1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2.1) Αναδρομικές Σχέσεις (Μέθοδος Επανάληψης) 1.2.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Μέθοδος Επανάληψης) 3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ 3.2) (1+01)*+10*: Κανονική Έκφρασε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ 3.3) wcwR: Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Αναλογία (Λήμμα Αντλήσης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Μη Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοίβας, Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοιβας) 5.1) Μηχανή Turing για αναλογία.

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ24
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
)log()(
)!log()(
2
1
n
nnf
nnf
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).
Υποδειξη: Τύπος Stirling (για τον υπολογισµό του παραγοντικού): ! 2
n
n
n n
e
π
 
≈  
 

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 2
(Ασκηση 2) Να υπολογίσετε την ακριβή λύση των αναδροµικών σχέσεων:
( )
0,
0,
0
341
)()1(
=
>


 −+−
=
n
nnnT
nT





=
>+





=
1,0
1,2
3
5
)()2(
2
n
nn
n
T
nT

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)1*(0+1)0*(0+1)
L2 = (01+10+00)*
L3 = (0+1)*11+11(0+1)*
L4 = (0+11)*(10+111)*(00+1)*(100+11)*
L5 = (101+1*0*+1*10*)*

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 4
Άσκηση 2:
1 ∆ίδεται η κανονική έκφραση: (1+01)*+10*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 5
Άσκηση 3:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας κανονική έκφραση που
παράγει τις συµβολοσειρές της
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: ∆είξτε ότι δεν είναι κανονική µε το λήµµα
άντλησης
}1||,{},1||,{ 21 ≥=≤= wwcwLwwcwL RR

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L 0 1 | 0
L | , 0
L | 3
L | , ∈ , ∗
, | | | | 1
L | , ∈ , ∗
, | | 1 | |
L ! "
L# | $

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 7
Άσκηση 2
∆ίδεται η γλώσσα του αλφαβήτου {0,1}: }0|10{ 1223
≥= ++
nL nn
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω % µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός & (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ' ∈ % µε |(| & να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ' )*+ όπου για τις συµβολοσειρές ), * και + ισχύει:
|)*| , &
* - .
)*/
+ ∈ % για κάθε φυσικό / 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 8
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, #, Y, N}, που να αποφασίζει την
γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).