1.Α) Ιεραρχία Συναρτήσεων Πολυπλοκοτητας 1.Β) Απόδειξη Ασυμπτωτικού Συμβολισμού 1.Γ) Επίλυση Αναδρομικών Σχέσεων (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2) Επίλυση Αναδρομικής Σχέσης με Δυναμικό Προγραμματισμό

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 7 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ7
Ασκηση 1
(A) Ιεραρχήστε τις παρακάτω συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής πολυπλοκότητας:
( )
( )
n
n
nf
nnnnf
nnf
nnnf
nnf
n
n
nnn
log
)(
loglog)(
)(
log)(
)(
5
3
4
log
3
4
2
log
1
2
2
=
+=
=
+=
=
(B) Να αποδείξετε ότι )(log1loglog2
nnn ω=++

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 7 2
(Γ) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
T
n
TnT +





+





=
7
5
11
3
)()1(
( ) nnTnT 41)()2( +−=
5 4
4
51)()2( n
n
TnT +





=
n
n
TnT +





=
7
7)()3(
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 7 3
Ασκηση 2
∆ίδεται η ακολουθία ακεραίων αριθµών που δηµιουργείται από την
Α(n) = 2 A(n-1) + 3 A(n-2), για n >1, και A(n) = 1, n=0,1
1. Σχεδιάστε έναν αναδροµικό αλγόριθµο που θα υπολογίζει τον n-οστό όρο της ακολουθίας. Παρουσιάστε την
αναδροµική σχέση που ορίζει την ασυµπτωτική πολυπλοκότητα του αλγορίθµου.
2. Σχεδιάστε έναν αλγόριθµο δυναµικού προγραµµατισµού που λύνει το ίδιο πρόβληµα Ποιος είναι ο χρόνος
εκτέλεσης εκτέλεσης του αλγορίθµου?