1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2) Δυναμικός Προγραμματισμός (Ύψωση σε Δύναμη) 3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ 3.2) ΚΕ[ 0(0+1)* + 1(0+1)*1 ] σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Ισότητα (Λήμμα Αντλήσης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Μη Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοίβας, Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοιβας) 5.1) Μηχανή Turing για ισότητα.

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ21
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
( )
( )
nnf
inf
inf
n
n
i
i
n
i
log)(
2)(
2)(
3
1
2
2
11
=
+=
=
∑
∑
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 2
(Ασκηση 2) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
TnT 2
log
25
5)()1( +





=
n
n
TnT +





=
2
5.0)()2(
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική
συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 3
ΘΕΜΑ 2: ΣΧΕ∆ΙΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Έστω nx, δύο ακέραιοι µε 1≥n . Να διατυπώσετε έναν αλγόριθµο τύπου «διαίρει και βασίλευε» που
να υπολογίζει την τιµή n
x και να υπολογίσετε την πολυπλοκότητα του.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 4
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)1(0+1)0
L2 = (111+01)*
L3 = 01*0*+10*1*
L4 = (010+0)*(00+1)* 1*0*
L5 = (0*10*1+10*11*)*

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 5
Άσκηση 2:
∆ίδεται η κανονική έκφραση: 0(0+1)*+1(0+1)*1
(Α) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L µε 4 καταστάσεις
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = | ≥ 0}
L = | , ≥ 0}
L = | ≥ 1}
L = | ∈ 0,1}∗
, ∈ 01,110}}
L = , , ! ≥ 0}
L" = > , ! ≥ 0}
L$ = | ≠ }

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 7
Άσκηση 2
Έστω Σ το αλφάβητο Σ={0,1} και L η γλώσσα που σχηµατίζεται ακριβώς και µόνον µε τους κανόνες
• 1111∈L
• Αν x∈L, τότε και 0x1∈ L
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω & µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός ' (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ( ∈ & µε |)| ≥ ' να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ( = *+, όπου για τις συµβολοσειρές *, + και , ισχύει:
|*+| ≤ '
+ ≠ .
*+/
, ∈ & για κάθε φυσικό / ≥ 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 21 8
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, #, $, Y, N}, που να
αποφασίζει την γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).