1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων Πολυπλοκότητας 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας) 3.1) Κανονικές Εκφράσεις σε ΜΠΑ 3.2) 00*1*+1: ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ 3.3) (0+1)*11(0+1)*: ΜΠΑ σε ΝΠΑ. Απλοποίηση ΝΠΑ. Απόδειξη Ελάχιστου Πλήθους Καταστάσεων 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Διακριση Κανονικών Γλωσσών και Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ18
ΘΕΜΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
nn
nn
nnnf
nnnf
nnnnf
nnnnnnnf
)(log)(
)(
loglnlog)(
)log(loglog)(
log
4
2
3
42
222
1
+=
+=
++=
++=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 2
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
4
2
2
16)()1( n
n
TnT +





=
7 6
128
64)()2( n
n
TnT +





=
105
)()3(
nn
TnT +





=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 110*11
L2 = (01+11+00)*
L3 = 1*0*1*+ 0*1*0*
L4 = (00)*(11)* (01)*(100)*
L5 = (101*11)*

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 4
Άσκηση 2: ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 00*1*+1
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 5
Άσκηση 3: ∆ίδεται η κανονική έκφραση: (0+1)*11(0+1)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
(Γ) Ελαχιστοποιήστε τις καταστάσεις του ΝΠΑ του ερωτήµατος Β
(∆) Αποδείξτε ότι το παραπάνω ΝΠΑ του ερωτήµατος Γ έχει το ελάχιστο πλήθος καταστάσεων,
δίνοντας ένα κατάλληλο πλήθος διακρινόµενων ανά δύο συµβολοσειρών.

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΩΝ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = | ≥ 0}
L = | , ≥ 0}
L = | ≥ 0}
L = ∈ , }∗
| ί !"#$ %ή}
L' = ( (
) , , * ≥ 0}
L+ = | > }
L- = | = + 1 ή = 2 }

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 18 7
Άσκηση 2
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b,c}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας την κανονική έκφραση
που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: (1) Αποδείξτε µε το λήµµα άντλησης ότι δεν είναι
κανονική. (2) ∆ωστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της
(3) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω 1 µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός 2 (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε 3 ∈ 1 µε |4| ≥ 2 να
µπορεί να γραφεί στην µορφή 3 = 567 όπου για τις συµβολοσειρές 5, 6 και 7 ισχύει:
|56| ≤ 2
6 ≠ :
56;
7 ∈ 1 για κάθε φυσικό ; ≥ <
}0,|{},|{ 21 ≥=>= mncbaLmncbaL mnmn