1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί
3.1) "αρχίζει"+"περιέχει"+"τελειώνει": ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Αναλογία 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Αναλογία 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Κανονική Γλώσσα (Μηχανή Turing)
5.2.Α) Απόδειξη ότι μία γλώσσα είναι αποδεκτή
5.2.Β) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας
6) ΑΡΑΙΟ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑ είναι NP-complete
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2.1) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί
2.2) Διαίρει και Βασίλευε αλγόριθμος (αναδρομική σχέση και υπολογισμός φραγμάτων)
3.1) (011+11)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Ανισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Ανισότητα 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Αναλογία 3 πραγμάτων (Μηχανή Turing)
5.2) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας
6) Σωστά/Λάθος για NP-πληρότητα
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας)
3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ
3.2) (01*11)*: Κανονική Έκφρασε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ
3.3) Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα
4.2) Αυτόματα Στοίβας
4.3) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών που δεν είναι Χωρίς Συμφραζόμενα
5.1) Μηχανή Turing για έλεγχο ανισότητας
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί
3.1) "αρχίζει"+"περιέχει"+"τελειώνει": ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Αναλογία 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Αναλογία 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Κανονική Γλώσσα (Μηχανή Turing)
5.2.Α) Απόδειξη ότι μία γλώσσα είναι αποδεκτή
5.2.Β) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας
6) ΑΡΑΙΟ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑ είναι NP-complete
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2.1) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί
2.2) Διαίρει και Βασίλευε αλγόριθμος (αναδρομική σχέση και υπολογισμός φραγμάτων)
3.1) (011+11)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Ανισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Ανισότητα 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Αναλογία 3 πραγμάτων (Μηχανή Turing)
5.2) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας
6) Σωστά/Λάθος για NP-πληρότητα
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας)
3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ
3.2) (01*11)*: Κανονική Έκφρασε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ
3.3) Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα
4.2) Αυτόματα Στοίβας
4.3) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών που δεν είναι Χωρίς Συμφραζόμενα
5.1) Μηχανή Turing για έλεγχο ανισότητας
1) Η αναδρομή Τ(n)=aT(n-b)+c
1.1) Επίλυση με την Μέθοδο της Επανάληψης
2) Η αναδρομή Τ(n)=T(n-1)+f(n)
2.1) Επίλυση με την Μέθοδο της Επανάληψης
3) Η αναδρομή T(n)=T(n/a)+T(n/b)+f(n)
3.1) Επίλυση με τη Μέθοδο των Φραγμάτων
3.2) Επίλυση με το Δένδρο Αναδρομής
3.3) Επίλυση με τη Δραστηριότητα 3.6
Ασκήσεις
1) ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ
1.1) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός ο
1.2) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός Ο
1.3) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός Θ
1.4) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός Ω
1.5) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός ω
2) ΧΡΗΣΗ ΟΡΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ
3) ΛΗΜΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΥΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΥΣ
Ασκήσεις
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ
3.2) (10*)*: Κανονική Έκφρασε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ
3.3) Αναλογία: Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα
4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα
4.2) Συμμετρία στο Κέντρο (Λήμμα Αντλήσης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Μη Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοίβας, Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοιβας)
5.1) Μηχανή Turing για συμμετρία στο κέντρο.
1) Η αναδρομή Τ(n)=aT(n-b)+c
1.1) Επίλυση με την Μέθοδο της Επανάληψης
2) Η αναδρομή Τ(n)=T(n-1)+f(n)
2.1) Επίλυση με την Μέθοδο της Επανάληψης
3) Η αναδρομή T(n)=T(n/a)+T(n/b)+f(n)
3.1) Επίλυση με τη Μέθοδο των Φραγμάτων
3.2) Επίλυση με το Δένδρο Αναδρομής
3.3) Επίλυση με τη Δραστηριότητα 3.6
Ασκήσεις
1) ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ
1.1) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός ο
1.2) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός Ο
1.3) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός Θ
1.4) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός Ω
1.5) Ο ασυμπτωτικός συμβολισμός ω
2) ΧΡΗΣΗ ΟΡΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ
3) ΛΗΜΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΥΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΥΣ
Ασκήσεις
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ
3.2) (10*)*: Κανονική Έκφρασε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ
3.3) Αναλογία: Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα
4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα
4.2) Συμμετρία στο Κέντρο (Λήμμα Αντλήσης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Μη Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοίβας, Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοιβας)
5.1) Μηχανή Turing για συμμετρία στο κέντρο.
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας)
3.1) Κανονικές Εκφράσεις
3.2) Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα
4.2) Αυτόματα Στοίβας
4.3) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών που δεν είναι Χωρίς Συμφραζόμενα
5.1) Μηχανή Turing για έλεγχο ανισότητας
1) Εισαγώγή
1.1) Σχήμα Απόδειξης Αναγωγής
1.2) Αναγωγές της Προτασιακής Λογικής
2) Το πρόβλημα PARTITION είναι NP-πλήρες
3) Το πρόβλημα KNAPSACK είναι NP-πλήρες
3.1) KNAPSACK ανήκει στο NP
3.2) PARTITION ανάγεται στο KNAPSACK
4) Το πρόβλημα 3PM είναι NP-πλήρες
5) Το πρόβλημα x3C είναι NP-πλήρες
5.1) X3C ανήκει στο NP
5.2) 3PM ανάγεται στο X3C
6) Το πρόβλημα EXACT-COVER είναι NP-πλήρες
7) Το πρόβλημα SET-COVER είναι NP-πλήρες
7.1) SET-COVER ανήκει στο NP
7.2) EXACT-COVER ανάγεται στο SET-COVER
1) Απαριθμησιμότητα
1.1) Σκεπτικό: Η Μηχανή Turing ως απαριθμητής
1.2) Λεξικογραφικά Turing Απαριθμήσιμες Γλώσσες
1.3) Θεώρημα: Αποφασίσιμες=Λεξικογραφικά Απαριθμήσιμες
1.4) Turing-Απαριθμήσιμες Γλώσσες
1.5) Θεώρημα: Αποδεκτές=Απαριθμήσιμες
2) Διαγωνοποίηση
2.1) Τα δύο άπειρα
2.2) Απόδειξη ότι ένα σύνολο είναι μετρήσιμα άπειρο
2.3) Απόδειξη ότι ένα σύνολο δεν είναι μετρήσιμα άπειρο
Ασκήσεις
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Αναδρομικός Αλγόριθμος (Ψευδοκώδικας για αναδρομική σχέση δυναμικού προγραμματισμού και εύρεση κάτω φράγματος)
3.1) (ab+aab)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Ισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Αναλογία 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Αναλογία 2 πραγμάτων (Μηχανή Turing)
5.2) Αναγωγή μη επιλυσιμότητας
6) Το At Least 6 SAT είναι NP-complete
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Άπληστος Αλγόριθμος (Αντιπαράδειγμα ε μη ορθό αλγόριθμο υπολογισμού συντομότερου μονοπατιού)
3.1) 0*1*11*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ και Κανονική Γραμματική
3.2) Διακριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών Όχι Χωρίς Συμφραζόμενα (Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Αυτόματο Στοίβας) και (Λήμμα Άντλησης για Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα.
5.1) Μηχανή Turing για συμπλήρωμα ισότητας
5.2) Αναγωγές μη Επιλυσιμότητας
6) NP-πληρότητα (το πρόβλημα της κομβικής επικάλυψης και το πρόβλημα του ανεξαρτήτου συνόλου)
Α. Δείκτες
1) Η μνήμη του υπολογιστή
2) Η έννοια του δείκτη
3) Ορισμός Δείκτη
4) Απόδοση τιμής σε δείκτη (Ο τελεστής &)
5) Απόδοση τιμής μέσω δείκτη (ο τελεστής *)
6) Παράδειγμα χρήσης δείκτη
Β. Δείκτες και Πίνακες
1) Το όνομα ενός πίνακα είναι δείκτης
2) Αποθήκευση ενός πίνακα στη μνήμη
3) Αριθμητική Δεικτών
4) Ισοδύναμος Συμβολισμός για πρόσβασή σε πίνακα
Γ. Δείκτες και Συναρτήσεις
1) Διοχέτευση Δείκτη σε Συνάρτηση
2) Διοχέτευση Ορίσματος σε Συνάρτηση μέσω Τιμής
3) Διοχέτευση Ορίσματος σε Συνάρτηση μέσω Αναφοράς
Δ. Παρατηρήσεις
1) Διοχέτευση πίνακα ως όρισμα σε συνάρτηση
2) Η Σταθερά NULL
Ασκήσεις
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
Διδακτέα - Εξεταστέα ύλη για το μάθημα "Οικονομία" (ΑΟΘ) της Γ τάξης του Επαγγελματικού λυκείου. Μπορείτε να δείτε και αναλυτικά την ύλη του μαθήματος επιλέγοντας τον παρακάτω σύνδεσμο:
https://view.genially.com/6450d17ad94e2600194eb286
2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 2
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 10+10)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους καθώς το n τείνει στο άπειρο:
n 3
4 n 2
!
3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 3
(Β) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
32
5
4
2/33
23
2
)()4(
3
3)()3(
100
1000)()2(log
3
27)()1(
n
n
T
n
TnTn
n
TnT
n
n
TnTnn
n
TnT
+
+
=+
⋅=
+
=+
=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ
4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 4
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 15+5)
Μας δίνουν µια σειρά από αντικείµενα 1, 2, 3, … , n, µε αντίστοιχες αξίες: a[1], a[2], a[3], …, a[n]. ∆ιαθέτουµε
συνολικό κεφάλαιο Κ χρηµάτων. Πρέπει να επιλέξουµε υποσύνολο αντικειµένων από το {1, 2, …, n} ξοδεύοντας
συνολικά το µεγαλύτερο δυνατό ποσό από το διαθέσιµο κεφάλαιο µας Κ, χωρίς όµως να το υπερβούµε.
(Α) Αν όλα τα αντικείµενα έχουν ίδια αξία, υπάρχει βέλτιστος άπληστος αλγόριθµος;
(Β) Αν τα αντικείµενα έχουν αξίες που διαφέρουν, σχεδιάστε αλγόριθµο ∆υναµικού Προγραµµατισµού.
5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 5
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 10+10)
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 1*(01+10)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 6
2. Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη
κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι
κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {0n
14
| n<5}
Β = {0m
1n
| m>2, n<2}
Γ = "# ∈ "0,1(∗|+ ,-./0ό1 234 0 5.4,. 056,7ύ25-+1 ,8ό 2+ 2-.87,9.+ 2+: ,-./0+: 234 ,9934(
∆ = {0n
10m
| n∈ ;, m∈ ; }
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω < µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός = (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε > ∈ < µε |?| @ = να
µπορεί να γραφεί στην µορφή > ABC όπου για τις συµβολοσειρές A, B και C ισχύει:
|AB| D =
B E F
ABG
C ∈ < για κάθε φυσικό G @ H
7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 7
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 4+4+12)
(Α) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα:
L1 = {bbam
bm+1
| m≥2}.
(B) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα:
L={am
bn
cp
dq
: m + n = p + q}
(Γ) ∆ώστε ένα ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας Μ που να αναγνωρίζει τη γλώσσα:
L3 = {a2n
cn
bm
am
| n,m ∈ }.
(1) Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
(2) ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας, αρχική
κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών καταστάσεων). Για
την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε πίνακα.
Σηµείωση: είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών
8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 10+10)
Α: Έστω αλφάβητο Σ={a,b,c} και η γλώσσα: I ", J K | @ 1(. Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε
αλφάβητο Σ0={α,b,c,#,$,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για
κάποιο # ∈ L∗
.
(1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και
σην συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ.
(2) ∆ώστε τα βήµατα της εκτέλεσης µε είσοδο #aaabbbc#
9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 9
Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M,q | η µηχανή Turing Μ δεν διέρχεται ποτέ από την κατάσταση q}. ∆είξτε ότι η L δεν
είναι επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.
10. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 10
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 5+15)
Α. Στο πρόβληµα της ∆ΙΠΛΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ δίνεται µια φόρµουλα φ σε κανονική συζευκτική µορφή
και ερωτάται αν υπάρχουν τουλάχιστον 2 αποτιµήσεις που την ικανοποιούν. Εξετάστε αν η ∆ΙΠΛΗ
ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ανήκει στην NP.
B. ∆ώστε πολυωνυµική αναγωγή του προβλήµατος της ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ στο πρόβληµα της ∆ΙΠΛΗΣ
ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ.