1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Δένδρο Αναδρομής, Θεώρημα Κυριαρχίας) 3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑε 3.2) 0*: ΜΠΑ σε ΝΠΑ. Απλοποίηση ΝΠΑ. Απόδειξη Ελάχιστου Πλήθους Καταστάσεων 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα (Αναδρομικός Ορισμός Γλώσσας): Λήμμα Άντλησης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Αυτόματο Στοίβας 5.1) Μηχανή Turing για copy paste

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ20
ΘΕΜΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
nnf
nnf
nnf
n
nn
nn
log)(
)log()(
)(log)(
3
2
1
=
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 2
(Ασκηση 2) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
TnT log
3
2)()1( +





=
n
n
T
n
T
n
TnT +





+





+





=
423
)()2(
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική
συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 1(0+1)*11*(0+1)(0+1)1
L2 = (10010+00)*
L3 = 00+11
L4 = (10+01)*(01+00)* (101)*(00+001)*
L5 = (0*10*1)*

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 4
Ορισµός (∆ιακρινόµενες συµβολοσειρές)
Άσκηση 2:
(A) Βρείτε µια κανονική έκφραση για τη γλώσσα που αναγνωρίζει το αυτόµατο του παρακάτω σχήµατος.
(B) Μετατρέψτε το παραπάνω µη ντετερµινιστικό (µη αιτιοκρατικό) αυτόµατο µε ε κινήσεις σε µη
ντετερµινιστικό αυτόµατο χωρίς ε κινήσεις.
(Γ) Μετατρέψτε το µη ντετερµινιστικό αυτόµατο του ερωτήµατος Β σε ντετερµινιστικό.
(∆) Ελαχιστοποιήστε τις καταστάσεις του αυτοµάτου του ερωτήµατος Γ και δείξτε ότι δεν υπάρχει άλλο
ντετερµινιστικό πεπερασµένο αυτόµατο µε λιγότερες καταστάσεις που να δέχεται την ίδια γλώσσα, βρίσκοντας
ένα κατάλληλο πλήθος συµβολοσειρών ανά δύο διακρινόµενων.

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 5
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = | ≥ 0}
L = | , ≥ 0}
L = | ≥ 3}
L = | ∈ 0,1}∗
, ∈ 0,1}}
L = , , ! ≥ 0}
L" = > , ! ≥ 0}
L$ = | > ή > }

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 6
Άσκηση 2
Έστω Σ το αλφάβητο Σ={a,b} και L η γλώσσα που σχηµατίζεται ακριβώς και µόνον µε τους κανόνες
• a∈L
• Αν x∈L, τότε και aaxb∈ L
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω & µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός ' (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ( ∈ & µε |)| ≥ ' να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ( = *+, όπου για τις συµβολοσειρές *, + και , ισχύει:
|*+| ≤ '
+ ≠ /
*+0
, ∈ & για κάθε φυσικό 0 ≥ 1

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 20 7
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε Μηχανή Turing στο αλφάβητο {0,1} η οποία µε είσοδο #w# να παράγει την έξοδο
#w#wR
#