Ένα φυλλάδιο με τη θεωρία της ισότητας τριγώνων (παράγραφοι 3.1 - 3.6 του σχολικού βιβλίου) και μια σειρά χαρακτηριστικών ασκήσεων της ίδιας ενότητας, σύμφωνα με την ύλη της Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου.

1. Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης
Πρωτεύομτα και δευτερεύομτα στοιχεία τριγώμου
Κάζε ηξίγσλν έρεη ηα πξσηεύνληα θαη ηα δεπηεξεύνληα ζηνηρεία ηνπ.
Ππυηεύονηα ζηοισεία ηξηγώλνπ είλαη νη θνξπθέο ηνπ θαη νη πιεπξέο ηνπ.
Δεςηεπεύονηα ζηνηρεία ηξηγώλνπ είλαη νη δηάκεζνί ηνπ, ηα ύςε ηνπ θαη νη δηρνηόκνη ηνπ. Δηδηθόηεξα:
● Διάμεζορ ελόο ηξηγώλνπ νλνκάδεηαη ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ελώλεη κηα θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ
κε ην κέζν ηεο απέλαληη πιεπξάο. Ζ δηάκεζνο πξνο ηελ πιεπξά α ζπκβνιίδεηαη κα .

2. [2]
● Δισοηόμορ κηαο γσλίαο ελόο ηξηγώλνπ νλνκάδεηαη ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ελώλεη κηα θνξπθή
ηνπ ηξηγώλνπ κε έλα ζεκείν ηεο απέλαληη πιεπξά θαη ρσξίδεη ηελ αληίζηνηρε γσλία ηνπ ηξηγώλνπ ζε
δύν ίζα κέξε. Ζ δηρνηόκνο πξνο ηελ πιεπξά α ζπκβνιίδεηαη δα .
● Ύτορ ελόο ηξηγώλνπ νλνκάδεηαη ην θάζεην επζύγξακκν ηκήκα από κηα θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ
πξνο ηελ επζεία ηεο απέλαληη πιεπξάο. Τν ύςνο πξνο ηελ πιεπξά α ζπκβνιίδεηαη πα.
Είδη τριγώμωμ ως προς τις πλευρές τους
Ιζοζκελέρ νλνκάδεηαη ην ηξίγσλν πνπ έρεη δπν πιεπξέο ηνπ ίζεο.
Ιζόπλεςπο νλνκάδεηαη ην ηξίγσλν πνπ έρεη όιεο ηηο πιεπξέο ηνπ ίζεο.
Σκαληνό νλνκάδεηαη ην ηξίγσλν πνπ όιεο νη πιεπξέο ηνπ είλαη άληζεο.
Ηζνζθειέο Ηζόπιεπξν Σθαιελό

3. [3]
Είδη τριγώμωμ ως προς τις γωμίες τους
Οπθογώνιο νλνκάδεηαη ην ηξίγσλν πνπ έρεη κηα νξζή γσλία.
Αμβλςγώνιο νλνκάδεηαη ην ηξίγσλν πνπ κηα ακβιεία γσλία.
Οξςγώνιο νλνκάδεηαη ην ηξίγσλν πνπ έρεη όιεο ηηο γσλίεο ηνπ νμείεο
Οξζνγώλην Ακβιπγώλην Ομπγώλην
Ίσα τρίγωμα
Γπν ηξίγσλα ιέγνληαη ίζα όηαλ έρνπλ όιεο ηηο πιεπξέο θαη όιεο ηηο γσλίεο ηνπο κία πξνο κία ίζεο.
Παπαηήπηζη : Σε ίζα ηξίγσλα απέλαληη από ίζεο πιεπξέο βξίζθνληαη ίζεο γσλίεο θη αληίζηξνθα.
Κριτήρια ισότητας τριγώμωμ
1ο
κπιηήπιο ιζόηηηαρ (Π – Γ  Π) :
Αλ δπν ηξίγσλα έρνπλ δπν πιεπξέο ίζεο κία πξνο κία θαη ηηο πεξηερόκελεο ζε απηέο γσλίεο ίζεο, ηόηε
είλαη ίζα.

4. [4]
2ο
κπιηήπιο ιζόηηηαρ (Γ – Π  Γ) :
Αλ δύν ηξίγσλα έρνπλ κηα πιεπξά θαη ηηο πξνζθείκελεο ζε απηή γσλίεο ίζεο κία πξνο κία, ηόηε ηα ηξί-
γσλα είλαη ίζα.
3ο
κπιηήπιο ιζόηηηαρ (Π – Π  Π) :
Αλ δύν ηξίγσλα έρνπλ ηηο πιεπξέο ηνπο ίζεο κία πξνο κία, ηόηε ηα ηξίγσλα είλαη ίζα
Κριτήρια ισότητας ορθογωμίωμ τριγώμωμ
● Γπν νξζνγώληα ηξίγσλα είλαη ίζα αλ έρνπλ δύν αληίζηνηρεο πιεπξέο ίζεο κία πξνο κία.
● Γπν νξζνγώληα ηξίγσλα είλαη ίζα αλ έρνπλ ηελ ππνηείλνπζα θη κία νμεία γσλία ηνπο ίζεο κία πξνο
κία.
● Γπν νξζνγώληα ηξίγσλα είλαη ίζα αλ έρνπλ κηα θάζεηε πιεπξά θαη ηελ πξνζθείκελε ζ’ απηήλ νμεία
γσλία ίζεο κία πξνο κία.

5. [5]
Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώμου
Σε θάζε ηζνζθειέο ηξίγσλν νη πξνζθείκελεο ζηε βάζε γσλίεο είλαη ίζεο.
Απόδειξη
Φέξλνπκε ηε δηάκεζν ΑΜ θαη θαηόπηλ ζπγθξίλνπκε ηα
ηξίγσλα ΑΒΜ θαη ΑΜΓ.
ΑΒ=ΑΓ (ίζεο πιεπξέο ηνπ ηζνζθεινύο ΑΒΓ)
ΑΜ=ΑΜ (θνηλή)
ΒΜ=ΜΓ (Μ κέζν ΒΓ)
Άξα ΑΒΜ=ΑΜΓ (ΠΠΠ). Σε ίζα ηξίγσλα απέλαληη
από ίζεο γσλίεο βξίζθνληαη ίζεο πιεπξέο θη αληίζηξνθα
άξα:

 ΓBAMAM
Παπαηήπηζη : Οη γσλίεο ηνπ ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ είλαη ίζεο.
Ζ δηάκεζνο, ην ύςνο θαη ε δηρνηόκνο από ηελ θνξπθή ελόο ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ηαπηίδνληαη.
Απόδειξη
Αλ ΑΜ είλαη δηάκεζνο ηόηε ζπγθξίλνληαο ηα ηξίγσλα
ΑΒΜ θαη ΑΜΓ έρνπκε:
ΑΒ=ΑΓ (ίζεο πιεπξέο ηνπ ηζνζθεινύο ΑΒΓ)
ΑΜ=ΑΜ (θνηλή)
ΒΜ=ΜΓ (Μ κέζν ΒΓ)
Άξα ΑΒΜ=ΑΜΓ (ΠΠΠ). Σε ίζα ηξίγσλα απέλαληη
από ίζεο γσλίεο βξίζθνληαη ίζεο πιεπξέο θη αληίζηξνθα
άξα:

 ΓΑΜΑΜBΓMBM δει. ΑΜ δηρνηόκνο

 ΓΜΑΜΑBΑΓBΑ θη επεηδή
ν
180ΓΜΑΜΑB 

άξα ν
90ΓΜΑΜΑB 

άξα ΑΜ ύςνο.
Οκνίσο ππνζέηνληαο όηη ε ΑΜ είλαη δηρνηόκνο ή ύςνο, ζπγθξίλνληαο ηα ηξίγσλα ΑΒΜ θαη ΑΜΓ, θα-
ηαιήγνπκε ζην ζπκπέξαζκα όηη ην ύςνο, ε δηάκεζνο θαη ε δηρνηόκνο από ηελ θνξπθή ελόο ηζνζθε-
ινύο ηξηγώλνπ ηαπηίδνληαη.

6. [6]
Μεσοκάθετος
Μεζοκάθεηορ ελόο επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ νλνκάδεηαη ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ
ΑΒ θαη ην ηέκλεη θάζεηα.
Κάζε ζεκείν πνπ ηζαπέρεη από ηα άθξα ελόο ηκήκαηνο αλήθεη ζηε κεζνθάζεηό ηνπ.
Απόδειξη
Αλ ην ζεκείν Α ηζαπέρεη από ηα άθξα ηνπ ηκήκαηνο ΒΓ, ηόηε ην
ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο. Αλ Μ είλαη ην κέζν ηνπ ΒΓ ηόηε
ην ΑΜ ζα είλαη δηάκεζνο αιιά θαη ύςνο θαη δηρνηόκνο. Σπλεπώο
ε επζεία ΑΜ ζα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΒΓ θαη ζα είλαη
θάζεηε ζ’ απηό.
Άξα ην ζεκείν Α ζα βξίζθεηαη ζηε κεζνθάζεην ηνπ ΒΓ.
Εφαρμογές της ισότητας τριγώμωμ
● Αλ νη ρνξδέο δύν ηόμσλ ελόο θύθινπ είλαη ίζεο, ηόηε θαη ηα ηόμα είλαη ίζα
● Ζ θάζεηνο πνπ θέξεηαη από ην θέληξν ελόο θύθινπ πξνο κηα ρνξδή ηνπ δηρνηνκεί ηε ρνξδή θαη ην
αληίζηνηρν ηόμν ηεο.

7. [7]
Ασκήσεις
11.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ θαηά ίζα ηκή-
καηα ΒΓ θαη ΓΔ αληίζηνηρα. Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ λα δείμεηε όηη
α) ην ηξίγσλν ΓΜΔ είλαη ηζνζθειέο
β) ηα ζεκεία Α, Μ, Ν είλαη ζπλεπζεηαθά, όπνπ Ν είλαη ην κέζν ηνπ ΓΔ.
22.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Σηελ πιεπξά ΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ θαη Δ έηζη
ώζηε λα ηζρύεη ΒΓ=ΓΔ. Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΓΔ είλαη ηζνζθειέο.
33.. Σε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) νη δηάκεζνη κβ θαη κγ ηέκλνληαη ζην Κ. Αλ Μ, Ν είλαη ηα
κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα, λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΜΝ είλαη ηζνζθειέο.
44.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Σηηο πξνεθηάζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ην
Α, παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ, Δ αληίζηνηρα έηζη ώζηε λα ηζρύεη ΑΓ=ΑΔ. Αλ Μ είλαη ην κέζν ηνπ
ΓΔ λα απνδείμεηε όηη:
α) ην ηξίγσλν ΜΒΓ είλαη ηζνζθειέο
β) ε επζεία ΑΜ ηέκλεη θάζεηα ηελ επζεία ΒΓ.
55.. Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ. Σηηο πξνεθηάζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ παίξλνπκε ηα ζε-
κεία Γ, Δ, Ε αληίζηνηρα έηζη ώζηε λα ηζρύεη ΒΓ = ΓΔ = ΑΕ. Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΓΔΕ είλαη
ηζόπιεπξν.
66.. Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ. Σηηο πιεπξέο ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ, Δ, Ε αληί-
ζηνηρα έηζη ώζηε λα ηζρύεη ΒΓ = ΓΔ= ΑΕ. Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΓΔΕ είλαη ηζόπιεπξν.

8. [8]
77.. Σε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) κε ΑΒ>ΒΓ, πξνεθηείλνπκε ηε ΒΓ θαηά ηκήκα
ΒΓΑΒΓΓ  . Οκνίσο πξνεθηείλνπκε θαη ηελ πιεπξά ΑΒ θαηά ηκήκα ΒΔ = ΓΓ. Να απνδείμεηε
όηη ην ηξίγσλν ΑΓΔ είλαη ηζνζθειέο.
88.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Σηηο πιεπξέο ΑΒ, ΑΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ θαη Δ
έηζη ώζηε λα ηζρύεη ΑΓ=ΑΔ. Σηελ πιεπξά ΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Μ, Ν έηζη ώζηε λα ηζρύεη
ΒΜ=ΓΝ<
2
ΒΓ
. Αλ ηα ηκήκαηα ΓΝ θαη ΔΜ ηέκλνληαη ζην Κ, λα απνδείμεηε όηη:
α) ΓΜ=ΔΝ
β) ΓΝ=ΔΜ
γ) ηα ηξίγσλα ΚΜΝ θαη ΚΓΔ είλαη ηζνζθειή.
99.. Σηελ πξνέθηαζε ηεο βάζεο ΒΓ ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ, Δ
έηζη ώζηε ΒΓ=ΓΔ. Αλ Μ, Ν είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΑΓ αληίζηνηρα θαη ηα ηκήκαηα ΔΜ,
ΓΝ ηέκλνληαη ζην Κ, λα απνδείμεηε όηη:
α) ΔΜ = ΓΝ
β) ην ηξίγσλν ΚΓΔ είλαη ηζνζθειέο.
1100.. Σε θύθιν (Ο, R) ζεσξνύκε ρνξδή ΒΓ. Σηελ πξνέθηαζε ηεο ΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ, Δ έηζη
ώζηε λα ηζρύεη ΒΓ = ΓΔ.
α) Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΓΔ είλαη ηζνζθειέο.
β) Αλ Μ είλαη ην κέζν ηνπ ηόμνπ

ΒΓ λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΜΓΔ είλαη ηζνζθειέο.
1111.. Σε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) ηα ύςε πβ θαη πγ ηέκλνληαη ζην Κ. Αλ Μ, Ν είλαη ηα κέζα
ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα, λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΜΝ είλαη ηζνζθειέο.
1122.. Σε ηξίγσλν ΑΒΓ πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο ΑΒ, ΑΓ θαηά ηκήκαηα ΒΓ θαη ΓΔ έηζη ώζηε
ΒΓ=ΑΒ θαη ΓΔ=ΑΓ. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ, Δ ηζαπέρνπλ από ηελ επζεία ΒΓ.
1133.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Σηε βάζε ΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ, Δ έηζη ώζηε
λα ηζρύεη ΒΓ=ΓΔ. Από ην Γ θαη ην Δ θέξλνπκε θάζεηεο επζείεο πξνο ηε ΒΓ νη νπνίεο ηέκλνπλ ηηο
πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Κ θαη Λ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη:
α) ΓΚ = ΔΛ
β) ΚΔ= ΛΓ

9. [9]
1144.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) κε o
90A 

. Σηε βάζε ΒΓ παίξλνπκε ζεκείν Γ έηζη
ώζηε λα ηζρύεη ΒΓ=ΑΒ. Σηελ πιεπξά ΑΒ ζεσξνύκε ζεκείν Δ ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη ΓΑ = ΓΔ
(όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα). Να απνδείμεηε όηη:
α) ΓΓΑΒΔΓ


β) ηα ηξίγσλα ΒΔΓ θαη ΑΓΓ είλαη ίζα
γ) ηα ζεκεία Δ θαη Γ ηζαπέρνπλ από ηηο πιεπξέο ΒΓ θαη ΑΓ αληίζηνηρα.
1155.. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη παίξλνπκε ζηελ πιεπξά ΑΒ ηπραίν ζεκείν Γ.
Πξνεθηείλνπκε ηελ ΑΓ θαηά ηκήκα ΓΔ=ΒΓ. Τν ΓΔ ηέκλεη ηε ΒΓ ζην ζεκείν Μ. Πξνεθηείλνπκε
ηε ΓΒ θαηά ηκήκα ΒΕ=ΓΜ. Να δείμεηε όηη:
α) ΓΕ= ΜΔ.
β) Τν ηξίγσλν ΓΕΜ είλαη ηζνζθειέο.
γ) Τν ζεκείν Μ είλαη κέζν ηνπ ΓΔ.