Ένα φυλλάδιο με τη θεωρία και μια σειρά χαρακτηριστικών ασκήσεων για τη γενική μορφή εξίσωσης της ευθείας, σύμφωνα με την ύλη των μαθηματικών θετικού προσανατολισμού Β΄ Λυκείου.

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια : Παπαδόπουλος Παναγιώτης
ΘΕΩΡΗΜΑ
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής 0 ΓByAx με 0A ή 0B (1) και
αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.
Απόδειξη
Αρχικά θα δείξουμε πως κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής 0 ΓByAx με 0A ή 0B
.
 Θεωρούμε μια ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Α(x0, y0).
Τότε η εξίσωση της ευθείας θα είναι:  00 xxλyy 
Επεξεργαζόμαστε την εξίσωση της ευθείας κι έχουμε:
  010 00000000  xλyy)(xλyxλyxλyxλxλyxxλyy
Αν θεωρήσουμε ότι Α=λ, Β= 1 και Γ= y0λx0 τότε η εξίσωση της ευθείας γράφεται στην μορφή
0 ΓByAx
 Θεωρούμε μια ευθεία που δεν ορίζεται ο συντελεστή διεύθυνσης της. Αν η ευθεία διέρχεται από
το σημείο Α(x0, y0), τότε η εξίσωση της θα είναι της μορφής: 0xx 
Επεξεργαζόμαστε την εξίσωση της ευθείας κι έχουμε: 00 000  )x(xxxxx
Αν θεωρήσουμε ότι Α=1, Β=0 και Γ=x0 τότε η εξίσωση της ευθείας γράφεται στην μορφή
0 ΓByAx
Επομένως σε κάθε περίπτωση η ευθεία έχει εξίσωση της μορφής 0 ΓByAx με 0A ή
0B
Αντίστροφα:
Θεωρούμε την εξίσωση 0 ΓByAx με 0A ή 0B και θα αποδείξουμε ότι σε κάθε περί-
πτωση παριστάνει μια ευθεία γραμμή.
 Αν 0B τότε έχουμε:
B
Γ
x
B
A
yΓAxByΓByAx  0 που ως γνωστόν
παριστάνει ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης
B
A
λ  .
 Αν 0B τότε αναγκαστικά θα είναι 0A οπότε έχουμε:
A
Γ
xΓAxΓyAx  000 που ως γνωστόν παριστάνει ευθεία κάθετη στον xx΄.
Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της μορφής 0 ΓByAx με 0A ή 0B παριστάνει
ευθεία γραμμή.
    

2. Διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία :
Η ευθεία με εξίσωση 0 ΓByAx είναι παράλληλη στο διάνυσμα )A,B(δ 

Διάνυσμα κάθετο σε ευθεία :
Η ευθεία με εξίσωση 0 ΓByAx είναι κάθετη στο διάνυσμα )B,A(η 

Ασκήσεις
11.. Δίνεται η εξίσωση 031)y-(2λxλ  με λIR.
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία (ε), για κάθε λIR.
β) Να δείξετε ότι η ευθεία ε διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λIR.
22.. Δίνονται οι ευθείες (ε1): 033  yx και (ε2): 062  yx . Να βρείτε:
α) το σημείο τομής των ευθειών
β) την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε2.
33.. Δίνονται οι εξισώσεις:
(ε1):     084444 22
 κyκxκκ και
(ε2):     0344444 22
 2
κκyκκxκ
α) Να βρείτε τις τιμές του κIR για τις οποίες οι (ε1) και (ε2) παριστάνουν ευθείες.
β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες για κάθε κIR.{2, 2}.
γ) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε1) διέρχεται από σταθερό σημείο Α, το οποίο και να προσδιορίσετε.
δ) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε2) διέρχεται από σταθερό σημείο Β, το οποίο και να προσδιορίσετε.
ε) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ.
44.. Δίνεται σημείο Α που ανήκει στην ευθεία (ε1): 3 xy . Να δείξετε ότι το συμμετρικό του
σημείου Α ως προς την ευθεία (ε2): 12  xy , ανήκει στην ευθεία (ε3): 097  yx .
55.. Θεωρούμε την εξίσωση 0273 22
 xxyy (1).
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες.
β) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες του α΄ ερωτήματος.
γ) Αν (ε1): y=2x και (ε2): xy
3
1
 , να προσδιορίσετε:
i. την εξίσωση της ευθείας (δ) που διέρχεται από το σημείο Α(0, 3) και είναι κάθετη στην
ευθεία (ε1).
ii. Να βρείτε το σημείο Β στο οποίο τέμνονται οι ευθείες δ και ε2.
iii. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς την ευθεία (ε1).