Η Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α) Αφού το      4 3 2
P(x) x x α x x β έχει παράγοντα  2
(x 1) , το P(x) έχει διπλή ρίζα το -1 .
Επομένως έχω (σχήμα HORNER)
Έτσι έχουμε:
   


           
3 2
α β 1 0 (1)
και
P(x) (x 1) x 2x (α 2)x α 1 (2)
Πρέπει και το πολυώνυμο      3 2
Π(x) x 2x (α 2)x α 1 να έχει ρίζα το -1, άρα
(σχήμα HORNER)
Έτσι έχουμε:
 

      



          

(2)
2 2 2
2α 6 0 α 3 και από την (1): β 2
και
P(x) (x 1) x 3x 2 (x 1) (x 1) (x 2)
B) Ακολουθεί πίνακας μεταβολής προσήμου του πολυωνύμου:
α) Άρα P(x) 0 όταν      x 1,2 1 και  2
P(1 x ) 0 όταν αντίστοιχα ισχύει:
        


               

2 2
2 2 2 2
1 x 1 x 2 x 2
ή
1 1 x 2 0 x 1 0 x 1 x 0 x 0
Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος
Σχήμα Horner
1 -1 α 1 β -1
-1 2 -α-2 α+1
1 -2 α+2 -α-1 α+β+1
Σχήμα Horner
1 -2 α+2 -α-1 -1
-1 3 -α-5
1 -3 α+5 -2α-6
x -∞ -1 1 2 +∞
Ρ(x) + 0 + 0 - 0 +

2. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Δηλαδή τελικά   x 0, 2 .
β) Αφού   1 συν2 1 (για την ακρίβεια είναι συν2 0 , επειδή  
π
2 π
2
) και  
π
1 2
2
, από
τον πίνακα μεταβολής προσήμου του P(x) προκύπτει:
π
P(συν2) 0 και P 0
2
 
  
 
με
συνέπεια να είναι
 
  
 
π
P(συν2) P
2
.
γ) Για κάθε    x 1,2R / έχουμε:
   
 
 
     
       
2 2
2
x 1 x 1κ λ κ λ
P(x) x 1 x 2 x 1 x 2x 1 (x 1) (x 2)
            
    
1 κ λ
1 κ (x 2) λ(x 1) 1 (κ λ)x 2κ λ
(x 1) (x 2) x 1 x 2
και από την ισότητα των ανωτέρω πολυωνύμων προκύπτει το σύστημα
   
      
      
       
κ λ 0 λ κ
κ,λ 1,1
2κ λ 1 κ 1
.

3. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
  
 
4 3 2 2
3 2
P(x) = x x +α x x+β . To (x+1) είναι παράγοντας του Ρ(x), άρα και το
(x+1) είναι παράγοντας του Ρ(x) υ = P(-1) = 0 α +β +1 = 0(1). ΤότεP(x) = (x +1)Π(x),
όπου Π(x) = x - 2x +(α + 2)x - α -1, όπωςπροκύπτει
Α)
από το σχήμα του Horner.
             
      
2
(1)
4 3 2 3 2
2
Το (x+1) είναι παράγοντας του P(x), άρα το x+1 είναι παράγοντας του
Π(x) Π( 1) 0 1 2 α 2 α 1 0 -2α - 6 = 0 α = -3 β = 2 .
P(x)=x x 3x x+2 P(x)=(x+1)(x 2x x+2)
P(x)=(x+1)[x (x-2)-(x-2)
Β)
 
       
   
      
2 2
2
(2)
2 2 2 2
2 2
] P(x)=(x+1)(x-2)(x -1) P(x)=(x+1) (x-1)(x-2) .
P(x) 0 (x+1) (x-1)(x-2) 0 x=-1, ή (x-1)(x-2) 0 1 x 2 . (2)
P(1- x )£0 1- x = -1, ή 1 1- x 2 x = 2,
άρα x = 2, ή 1 1- x 2 1 x
α)

      
  
2
0 x = 0.
(2) P(x)>0 x (- ,-1) (-1,1) (2, + ) .
π π
Eίναι 0 < συν2 < 1, άρα P(συν2) > 0, και 1 < < 2, άρα P( ) < 0.
2 2
π
Κατά συνέπεια είναι P(συν2) > P( ).
2
(x+1) κ λ
, για κάθε x -{1,-1,
P(x) x-1 x-2
β)
γ) 
   
 
 

2}
1 κ λ
, για κάθε x -{1,-1,2}
(x-1)(x-2) x-1 x-2
1 = κ(x - 2) + λ(x -1), για καθε x -{1,-1,2}
1 = (κ + λ)x - 2κ - λ, για κάθε x -{1,-1,2}
( κ + λ = 0 και - 2κ - λ = 1) (κ = -1και λ = 1).
Λύνει η Ντίνα Ψαθά
Σχήμα Horner
1 -1 α 1 β -1
-1 2 -α-2 α+1
1 -2 α+2 -α-1 α+β+1

4. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
(α τρόπος)
Εφόσον το πολυώνυμο      4 3 2
P x x x αx x β έχει παράγοντα το  
2
x 1 , η διαίρεση του
με το     
2 2
x 1 x 2x 1 θα αφήνει υπόλοιπο  υ x 0.(το μηδενικό πολυώνυμο)
Κάνοντας την Ευκλείδεια Διαίρεση των πολυωνύμων έχω:
   
   
    
  

4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2
x x αx x β
x 2x x
3x (α 1)x x β
3x 6x 3x
(α 5)x
 
  
 
     
    
2
2
2
x 2x 1
x 3x (α 5)
4x β
(α 5)x (2α 10)x (α 5)
( 2α 6)x β α 5
Άρα         υ x 2α 6 x β α 5 το οποίο πρέπει και αρκεί να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
Έτσι:
     
    
   
              
          
        
υ x 0 2α 6 x β α 5 0 2α 6 0 και β α 5 0
2α 6 και β α 5 α 3 και β 3 5
α 3 και β 3 5 α 3 και β 2
(β τρόπος)
Εφόσον το πολυώνυμο      4 3 2
P x x x αx x β έχει παράγοντα το        
2
x 1 x 1 x 1 , η
διαίρεση    P x : x 1 θα δίνει πηλίκο  1
π x και υπόλοιπο το μηδενικό πολυώνυμο.
Επιπλέον θα πρέπει και η διαίρεση του    1
π x : x 1 να δίνει επίσης υπόλοιπο το μηδενικό
πολυώνυμο.
Έτσι με χρήση του σχήματος Horner θα έχω:
Επομένως έχω:            3 2
1
π x x 2x α 2 x α 1 και υπόλοιπο    1
υ x α β 1 για το οποίο
πρέπει        1
υ x 0 α β 1 0 1 .
Ξανακάνω Horner για το  1
π x και έχω:
1 -1 α 1 β -1
 -1 2 -α-2 α+1
1 -2 α+2 -α-1 α+β+1
Λύνει ο Στράτος Μανιτάρου

5. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Επομένως έχω       2
2
π x x 3x α 2 και υπόλοιπο    2
υ x 2α 6 για το οποίο πρέπει
        2
υ x 0 2α 6 0 α 3.
Έτσι η (1) γράφεται:         α β 1 0 β 1 α β 2.
Επομένως  α 3 και β 2 είναι τα ζητούμενα. (Εύκολη η επαλήθευση)
(γ τρόπος – με ύλη Γ Λυκείου)
Για να είναι το 1 διπλή ρίζα του πολυωνύμου πρέπει και αρκεί   P 1 0 και    P 1 0 με
            4 3 2 3 2
P x x x αx x β 4x 3x 2αx 1. Έτσι έχω:
 
 
            
     
             
P 1 0 1 1 α 1 β 0 α β 1 β 2
4 3 2α 1 0 α 3 α 3P 1 0
Β) α)
Από την ταυτότητα της Διαίρεσης    
2
P x : x 1 έχω         
2 2
P x x 1 x 3x 2 .
Επομένως:
          
2 2
P x 0 x 1 x 3x 2 0
Η παραπάνω ανίσωση έχει σύνολο ορισμού όλο το .
Λύνω τις ανισώσεις:
     
2
x 1 0 x 1 και είναι θετικό για κάθε    x 1
      
2
x 3x 2 0 x 1,2
Και κατασκευάζω πίνακα προσήμων:
Άρα          P x 0 x 1,2 1
1 -2 α+2 -α-1 -1
 -1 3 -α-5
1 -3 α+2 -2α-6
x -∞ -1 1 2 +∞
(x+1)2 + 0 + + +
x2-3x+2 + + 0 - 0 +
P(x) + 0 + 0 - 0 +

6. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Για την ανίσωση   2
P 1 x 0 θέτω  2
1 x y και τότε η ανίσωση γράφεται:
     
 
   
                         
     
                  
2
2 2
2
2
2
2
1 1 x
P y 0 y 1,2 1 1 x 1,2 1 ή 1 x 1
1 x 2
0 x x 0
ή x 2 ή x 2 x 0 ή x 2
x1 x
β)
Παρατηρώ από τον πίνακα προσήμων ότι       συν2 1,1 P συν2 0 ενώ
   
   
 
π π
1,2 P 0
2 2
.
Άρα   
  
 
π
P 0 P συν2
2
γ)
Η σχέση που μας δίνεται για    x 1, 1,2 και         
2 2
P x x 1 x 3x 2 γράφεται
ισοδύναμα:
 
 
 
 

     
 

2
2
x 1 κ λ
,για κάθε x 1, 1,2
x 1 x 2P x
x 1
 
2
x 1  
 
  
 
  
     
  
     
  
 
2
κ λ
,για κάθε x 1, 1,2
x 1 x 2x 3x 2
1 κ λ
,για κάθε x 1, 1,2
x 1 x 2x 1 x 2
x 1 x 2
   
1
x 1 x 2
  x 1  

κ
x 2
x 1
     x 1 x 2

λ
x 2
 
       
   
       
,για κάθε x 1, 1,2
1 x 2 κ x 1 λ ,για κάθε x 1, 1,2
(α τρόπος)
Η σχέση   ισχύει για κάθε    x 1, 1,2 , άρα και για x 0 αλλά και x 3. Έτσι έχω:
Για x 0:       1 2κ λ 2κ λ 1
Για x 3:     1 κ 2λ κ 2λ 1
Λύνω το σύστημα των 2 εξισώσεων και έχω:
              
       
               
2κ λ 1 2κ λ 1 3λ 3 λ 1 λ 1
κ 2λ 1 2κ 4λ 2 κ 2λ 1 κ 1 2λ κ 1
(β τρόπος)

7. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
       
 
 
     
         
       
       
        
          
     
             
1 x 2 κ x 1 λ ,για κάθε x 1, 1,2
1 κx 2κ λx λ ,για κάθε x 1, 1,2
1 κx 2κ λx λ ,για κάθε x 1, 1,2
0 κ λ x 2κ λ 1 ,για κάθε x 1, 1,2
κ λ 0 κ λ κ λ κ 1
2κ λ 1 0 2λ λ 1 0 λ 1 λ 1

8. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α) Το πολυώνυμο  P x γράφεται:
       
        
     
4 3 2 3 2 2
2 2 22
2 2
P x x 2x x 3x 6x 3x α 5 x 2 α 5 x α 5 2α 6 x β α 5
x x 1 3x x 1 α 5 x 1 2α 6 x β α 5
x 1 x 3x α 5 2α 6 x β α 5
                
           
         
Επομένως το  
2
x 1 είναι παράγοντας του  P x , αν και μόνο αν, το υπόλοιπο ισούται με
μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν:
    
 
    
2α 6 0 α 3
β α 5 0 β 2
Σχόλιο:
Το παραπάνω «σπάσιμο» στηρίχθηκε στην απαίτηση το  2
x 2x 1 να είναι παράγοντας.
Ένα πιο απλό παράδειγμα για να κατανοηθεί η μέθοδος είναι το εξής:
Να λυθεί η εξίσωση:
   3 2
x 2x 3x 6 0
Λύση:
Εδώ ρίζα είναι το 2 άρα παράγοντας το x 2
   
  
3 2 3 2 2
2
2
x 3x 3x 2 0 x 2x x 2x x 2 0
x x 2 x x 2 x 2 0
x 2 x x 1 0
x 2
          
      
    
 
αφού
 
           
 
2
2 2 1 3 1 3 3
x x 1 x x x 0
4 4 2 4 4
Λύνει ο Ανδρέας Πάτσης (λύση Α ερωτήματος)

9. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Το πολυώνυμο  P x έχει παράγοντα το  
2
x 1
   24 3 2 2
P(x) x x αx x β x 1 κx λx μ           , για κάποια κ,λ,μR
     4 3 2 4 3 2
x x αx x β κx λ 2κ x μ 2λ κ x 2μ λ x μ             
κ 1κ 1
λ 3λ 2κ 1
μ 2μ 2λ κ α
2μ λ 1 β 2
μ β α 3
  
         
          
     
   
        
Λύνει ο Παύλος Τρύφων (λύση Α ερωτήματος)

10. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Για να είναι το  
2
x 1 παράγοντας πρέπει και αρκεί ο 1 να είναι ρίζα του Ρ(x)και του
πηλίκου της Ρ(x) :(x 1) . Με 2 Horner προκύπτει το σύστημα:
β α 1 0 α 3
6 2α 0 β 2
     
 
    
.
Β) α)
Η ζητούμενη 1η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται:    2 2
x 1 x 3x 2 0 x 1       ή x 1,2  
που προκύπτει εύκολα με πίνακα προσήμου.
Η 2η ανίσωση με χρήση του αποτελέσματος της 1ης ισοδύναμα γράφεται: 2
1 x 1   ή
2 2
1 1 x 2 x 2     ή 2
0 x 1 x 2      ή 2
0 x 1 x 2      ή x 0 .
β)
Είναι
π
Ρ(συν2) Ρ( )
2
 γιατί ισχύει
π
π 2 1 1 συν2 0 Ρ(συν2) 0
2
         και
π
Ρ( ) 0
2
 .
γ)
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:
   2
1 κ λ
1 κ x 2 λ x 1 ... κ 1,λ 1
x 1 x 2x 3x 2
           
  
Λύνει ο Κώστας Δεββές

11. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Το πολυώνυμο γράφεται          
2
P x x 1 Π x x 1 Q x    , όπου      Q x x 1 Π x 
Πρέπει να είναι :  P 1 0 1 1 α 1 β 0 β 1 α            (1)
Άρα        4 3 2 3 2
P x x x αx x 1 α P x x x 1 α x 1 x 1             
      3 2
P x x 1 x 1 α x 1     
               2 2
P x x 1 x 1 x x 1 α x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 α x 1                
 
     3 2
P x x 1 x 2x α 2 x α 1        .
Άρα    3 2
Q x x 2x α 2 x α 1      και
 Q 1 0 1 1 α 2 α 1 0 2α 6 α 3                και από την (1) : β 2 .
Β) (α) Είναι :          
24 3 2 3 2
P x x x 3x x 2 x 1 x 2x x 2 x 1 x 1 x 2              .
Με τη βοήθεια πίνακα προσήμων έχουμε :
 P x 0   x 1 1,2      .
Για την ανίσωση :  2 2
P 1 x 0 1 x 1      ή 2
1 1 x 2    x 2  ή x 0 .
(β) Επειδή
π
1 συν2 1
2
    είναι  P συν2 0 και
π
P 0
2
 
 
 
, άρα  π
P P συν2
2
 
 
 
.
(γ) Για κάθε  x 1,1,2  R :
 
    
   
2
x 1 κ λ 1 κ λ
κ x 1 λ x 2 1
x 1 x 2 x 1 x 2P x x 1 x 2

         
    
 κ λ x κ 2λ 1     , άρα πρέπει κ λ 0  και κ 2λ 1   .
Το σύστημα δίνει τη λύση    κ,λ 1, 1  .
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης
x -∞ -1 1 2 +∞
(x+1)2 + 0 + + +
x2-3x+2 + + 0 - 0 +
P(x) + 0 + 0 - 0 +

12. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε: 4 3 2
P(x) x x αx x β,     με x,α,βR
3 2
1
Π (x) x 2x (2 α)x 1 α,x      R και U(x) 1 α β  
1
Π ( 1) 0 α 3     και U( 1) 0 β 2   
Β) α) 4 3 2
P(x) x x 3x x 2,     x R . Θα παραγοντοποιήσουμε το P(x):
3 2
1
Π (x) x 2x x 2,x    R και 2
2
Π (x) x 3x 2,x   R
2
1 2
P(x) 0 (x 1)Π (x) 0 (x 1) Π (x) 0      
Κάνοντας πίνακα προσήμων προκύπτει
P(x) 0 x [1,2] { 1}    
και 2 2 2
P(1 x ) 0 (1 1 x 2) (1 x 1) x 0, 2            
β)P(συν2) 0 διότι συν2 ( 1,1)  και
π
P 0
2
 
 
 
διότι
π
(1,2)
2

άρα
π
P(συν2) P
2
 
  
 
γ) Για x { 1,1,2}  R
2
(x 1) k λ
P(x) x 1 x 2

 
 
2
2 2
(x 1) k λ
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
x 1 x 2(x 1) (x 3x 2)

        
   
k 1
1 (x 2)k λ(x 1)
λ 1
  
       
 
Λύνει ο Πέτρος Τζίκας
Το υπόλοιπο είναι
ανεξάρτητο του x
οπότε μπορούμε να
το συμβολίσουμε
και με U
Σχήμα Horner
1 -1 α 1 β -1
-1 2 -α-2 α+1
1 -2 α+2 -α-1 α+β+1
Σχήμα Horner (δυο φορες)
1 -1 -3 1 2 -1
-1 2 1 -2
1 -2 -1 2 0
1 -2 -1 2 -1
-1 3 -2
1 -3 2 0
x -∞ -1 1 2 +∞
Ρ(x) + 0 + 0 - 0 +

13. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α) Εκτελούμε την διαίρεση    P x : x 1 με σχήμα Horner:
Έχουμε:      3 2
P x x 1 x 2x α 2 x α 1 α β 1            .
Έστω το πολυώνυμο  π x x   R με τύπο    3 2
π x x 2x α 2 x α 1      .
Για να ισχύει:    
2
x 1 P x πρέπει        
4 3 2
P 1 0 1 1 α 1 1 β            0 α β 1    
και         
3 2
π 1 0 1 2 1 α 2 1 α 1 0 α 3                .
Οπότε β 2 .
Β) Για α = –3 και β = 2 :
       4 3 2 4 3 2 2 3 2
P x x x 3x x 2 x x x x 2x 2 x x 1 x x 1 2 x 1                
              3 2 2 2 2
x 1 x x 2 x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x x 1 2                  
               
22
x 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 P x x 1 x 1 x 2               .
α) Είναι:
         
2
P x 0 x 1 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0          και  
2
x 1 0  , αφού  
2
x 1 0, x   R.
Άρα,  x 1, 2 1     
Είναι:
     
2
u 1 x
2 2
P 1 x 0 P u 0 u 1, 2 1 1 1 x 2
 
              ή 2
1 x 1   .
‘Εχουμε:
 
2
2 2
2
2 2
1 x 1 x 2
x 0, 21 x 1 x 0 x 0
1 1 x 2 x 0
1 x 2 x 1 x
      
  
           
      
          

R
β) Ο πίνακας προσήμων του  P x είναι:
Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου
Σχήμα Horner
1 -1 α 1 β ρ = -1
-1 2 -α-2 α+1
1 -2 α+2 -α-1 α+β+1

14. ___________________________________________________________________________
24η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Είναι:  συν2 1, 1  , οπότε  P συν2 0 .
Επιπλέον, είναι  π
1, 2
2
 , οπότε
π
P 0
2
 
 
 
.
Άρα,   π
P συν2 P
2
 
  
 
.
γ) Είναι       
 
    
 
2
2 x 1 1
P x x 1 x 1 x 2 , x 1, 2
P x x 1 x 2

         
 
R .
Αναζητούμε λοιπόν πραγματικούς αριθμούς κ, λ τέτοιους, ώστε
  
     1 κ λ
1 κ x 2 λ x 1 κ λ x 2κ λ 1 0
x 1 x 2x 1 x 2
            
  
.
Οπότε, πρέπει κ λ 0  και 2κ λ 1 0   .
Επιλύοντας το σύστημα βρίσκουμε: κ 1  και λ 1 .
x -∞ -1 1 2 +∞
(x+1)2 + 0 + + +
x - 1 - - 0 +
0
+
x - 2 - - - 0 +
P(x) + 0 + 0 - 0 +