H Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Για το σύστημα έχουμε
 
        
 
2 2
D 1 0 και άρα έχει πάντα λύση.
β)
 
      
 
2 2
x
D και
 
     
 y
D 2
Άρα θα έχουμε       2 2x
D
x
D
και      
y
D
y 2
D
γ)
Έχουμε                2 2
x y
D D D 0 2 1 0
                    2 2 2
1 2 1 0 2 2 0
 
  
        
   
0
2 0
0
Για            0 0 , , και

 
                   

0
3
0 1 1
4

     
3
,
4
δ)
Η συνάρτηση f ορίζεται για    x , και ο τύπος της είναι

                          

2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 0
Άρα σταθερή και ανεξάρτητη του θ.
Λύνει ο Μιχάλης Ροκίδης
Άσκηση Α

2. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι
      4
Άρα
      0 και       0
ή ισοδύναμα
      και      
Συνεπώς
        
Άρα
           5 3       
Λύνει ο Ηλίας Αγγελάκος
Άσκηση Β

3. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Είναι
 
        
 
2 2
D 1 0 για κάθε   .
Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση , για κάθε   .
β)
Είναι
 
         
 
2 2
x
D 2
και
 
             
 y
D 2 2
άρα
 
    x
D 2
x 2
D 1
και
 
    
y
D 2
y 2
D 1
γ)
     
                    
            
2
x y
D D D 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0
2 0 0 1 ή 0 2
Η        1 ,
Η      2 αν   0 τότε   0 άτοπο αφού
     2 2
1 άρα   0
Η      
                
 
3 3
2 1 ,
4 4
δ)
Είναι                          x y
f D D D f 2 2 1
Οι    2 , 2 έχουν πεδίο ορισμού το ενώ η  έχει πεδίο ορισμού το
        2
/ , οπότε πεδίο ορισμού της f
είναι το 2
.
Για κάθε   2
είναι:
       
                    

     
2
2 2
f 2 2 1 2 1 2 1
2 2 0
Επομένως η f είναι ανεξάρτητη του .
Λύνει o Τρύφωνας Ζωϊτσάκος
Άσκηση Α

4. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
ναι        2i 2 1,0 2,0 .
Έστω    1 1
x ,y και    2 2
x ,y με 1 2 1 2
x ,x ,y ,y 0.
             1 1 1 1
4 2 x 0 y 4 2 x 4 x 2
              2 2 2 2
4 2 x 0 y 4 2 x 4 x 2

 

               
         
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
y ,y 0
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x y x y 4 y 4 y 4 y 4 y
y y y y y y y y y y 0 1
       1 2 1 2
x x ,y y
       
 
 
 
              
       
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2 1 2 1 2
3 x x y y 3 2 2 y y 3
y y 3 y y 3 y y 3 2
                2 2 2 2
2 x ,0 y 2 2, y 0, y
           
  
22 2
2 2
2 2
5 0 y 5 y 5
y 5 y 5
Η    1
2 y 8
Άρα    2,8 και           2 2,0 8 0, 8
       
22
0 8 8
Άσκηση Β

5. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι    2,0 και έστω
    1 2
, και     1 2
, με  2
0
Από τη σχέση   4 προκύπτει ότι
    1 1
2 4 2
Από τη σχέση   4 προκύπτει ότι
    1 1
2 4 2
Άρα
   2
2, και     2
2, με  2
0
Επίσης
 
 
                  
2 0
2 2 22 2
2 2
25 2 29 25 5
                   
2 2 2 2
2 2 2
9 2 10 16 0 2 ή  2
8
 Αν   2
2    2,2 και     8 29 , άτοπο
 Αν   2
8    2,8 και     68 29 , άρα η τιμή  2
8 είναι δεκτή
Άρα
            2,0 2,8 0, 8 8
Σχόλιο:
Δεν χρησιμοποιήθηκε το δεδομένο της θετικότητας των συντεταγμένων του 
Λύνει ο Παύλος Τρύφων
Άσκηση Β

6. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε το σύστημα
   
   
       
 
      
x y
,
x y
α)
Επειδή η ορίζουσα του συστήματος
 
        
 
2 2
D 1 0 το σύστημα
έχει μοναδική λύση για κάθε   .
β)
Έχουμε:  
 
      
 
  2 2
x
D 2 και
 
 
             
 
 



y
D 2 2 ,
οπότε η λύση του συστήματος είναι:

      


      

2 2x
y
D
x
D
D
y 2
D
γ)
Η σχέση   x y
D D D 0 γίνεται:            2 2
2 1 0, 1
                  2
1 1 2 2 1 0 0   0 ή   
η   0 δίνει    k ,k και
η

         1 ( )
4
, τότε

    k ,k
4
δ)
Η συνάρτηση f έχει τύπο      x y
f( ) D D D ή
               2 2
f( ) 2 1 ,
η οποία ορίζεται , όταν ορίζεται η  δηλ. για κάθε   x k ,k , οπότε το πεδίο
ορισμού της f είναι το σύνολο:       A x / x k ,k και τότε:
 
                            

2 2 2 2 2 2 2
f( ) 2 1 2
          2 2
f( ) 1 , δηλ, η f είναι σταθερή, ανεξάρτητη του θ.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος
Άσκηση Α

7. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έστω    1 1
x ,y και    2 2
x ,y με 1 1 2 2
x ,y ,x ,y 0 ,
έχουμε και        2i 2 1,0 2,0
 Επειδή          1 1 1
4 2 x 0 y 4 x 2 , δηλ.    1
2,y
 Επειδή           2 2 2
4 2 x 0 y 4 x 2 , δηλ.    2
2,y
 Από                          
2 22 2 2
5 5 25 2 25, 1
Όμως       
2
22 2 2
2 0 4 και        
2
22 2 2 2
2 2
2 y 4 y , έτσι η σχέση (1)
εξελίσσεται ως εξής:  

         
2y 0
2 2
2 2 2
1 4 2 4 4 y 25 y 25 y 5 , οπότε το
διάνυσμα    2,5 .
 Από                          
22
2 2 2
3 3 9 2 9, 2 , όπου:
       
22
2 2 2 2
1 1
2 y 4 y ,         1 1
2 2 5 y 4 5y και
      
2
22 2 2
2 5 29 ,
έτσι η          2
1 1
2 4 y 2 4 5y 29 9
             2
1 1 1 1 1 1
y 10y 16 0 y 2 y 8 0 y 2 ή y 8, όμως
 Από

             
1y 0
2 2 2 2
1 1 1
4 y 29 y 25 y 5, άρα 1
y 8 , οπότε το
   2,8 .
Είναι λοιπόν                     
22
2 2
2 4 2 4 68 64
    64 8 ,
διότι  2
4 ,       2 2 0 8 4 και
      
22
2 2 2
2 8 68.
Άσκηση Β

8. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Υπολογίζουμε τις ορίζουσες x ψ
D , D , D του συστήματος .
   2 2
συνθ -ημθ
D συν θ+ημ θ 1 0
ημθ συνθ
   2 2
x
συνθ -ημθ
D συν θ ημ θ συν2θ
-ημθ συνθ
   

ψ
συνθ συνθ
D -ημθ συνθ-ημθ συνθ=-ημ2θ
ημθ ημθ
Επειδή D 0 για κάθε θ το σύστημα έχει μοναδική λύση .
β)
x
D συν2θ
x= = =συν2θ
D 1
,
ψ
D -ημ2θ
ψ= = =-ημ2θ
D 1
οπότε
   x,ψ συν2θ,-ημ2θ
γ)
Από την δοσμένη σχέση έχουμε :
     
 
2
x ψ
D D D συν2θ-ημ2θ-1=0 1-2ημ θ-2ημθ συνθ-1=0
-2ημθ(ημθ+συνθ)=0 ημθ=0 ή ημθ+συνθ=0
 ημθ=0 θ=κπ , κ ή  
π
ημθ+συνθ=0 θ=κπ- ,κ
4
δ)
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το :     f
κπ , κ
       
   
   
   
x ψ
2 2 2
f θ =D + σφθ D +D δηλαδή f θ =συν2θ+ σφθ ( ημ2θ)+1
συνθ
f θ =2συν θ-1-2 ημθ συνθ+1 f θ =2συν θ-2συν θ=0
ημθ
Άρα   f θ 0
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς
Άσκηση Α

9. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
   α 2i 2 1,0 οπότε  α= 2,0 και έστω   1 2
β β ,β και  1 2
γ= γ ,γ
με 1 2 1 2
β , β , γ , γ θετικούς
     1 1 1 1
α β=α γ 4 2β =2γ =4 β =γ =2
Άρα:
 α= 2,0 ,   2
β 2,β ,  2
γ= 2,γ
 
       2 2β , γ 02 2 2 2
2 2 2 2 2 2
β γ 4 β 4 γ β γ β > γ
   
       2 2
2 β -γ 0
2 2 2 2 2 2
β γ 3 β -γ 3 β -γ 3 β -γ 3 (1)
     
         2
2 2 γ 0
2 2 2
α γ 5 2 2 0-γ 5 γ 5 γ 5 (2)
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) βρίσκουμε ότι : 2
β 8 2
γ 5
Άρα :
 α= 2,0 ,  β 2,8 ,  γ= 2,5 οπότε :
       
2 2
α β 2 2 0-8 8
Άσκηση Β

10. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
(α)
Για να αποδείξουμε ότι το σύστημα
   
   
R
       
 
      
x y
,
x y
έχει μοναδική λύση αρκεί να δείξουμε ότι D 0
Πράγματι :
 
        
 
2 2
D 1 0 επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση .
(β)
Υπολογίζουμε τις ορίζουσες x y
D ,D
 
         
 
2 2
x
D 2
και
 
        
 y
D 2 2
(*) Στις παραπάνω ισότητες για τα x y
D ,D δε μπορούμε να γνωρίζουμε στα επόμενα
ερωτήματα αν θα χρειαστούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς εκφρασμένους ως προς
 ή ως προς 2
Εφόσον το σύστημα έχει μοναδική λύση αυτή δίνεται από τον τύπο
     
 
        
 
yx
x y
DD
x,y , D ,D 2 , 2
D D
(γ)
 
 
            
              
             
2 2
x y
2 2 2 2
2
D D D 0 2 1 0
2 0
2 2 0 2 0
Από την τελευταία προκύπτει
           0 0 ,
ή



                  
2 3
0 1 ,
4
Λύνει ο Χρήστος Κουστέρης
Άσκηση Α

11. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
(δ)
Η συνάρτηση  f αντικαθιστώντας τα x y
D ,D ,D την

 

γίνεται
     
               

x y
f D D D f 2 2 1
Δε κάνουμε καμία απλοποίηση και καμία πράξη αν πρώτα δε βρούμε το πεδίο ορισμού
της f.
Για να ορίζεται η f πρέπει :
           0 0 ,
Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι  R R       x / x ,
    
                        
 
               
2 2 2 2
2 2 2 2 2
f 2 2 1 2
2 0
Δηλαδή   f x 0 για κάθε x A

12. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Η ορίζουσα του συστήματος είναι
 
        
 
2 2
D 1 0, άρα το
σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε   .
β΄ τρόπος
Επειδή για κάθε   ισχύει     0 οι εξισώσεις του συστήματος
παριστάνουν ευθείες  1 2
, με         1
: x y και
        2
: x y .
Τα διανύσματα     1
, και     2
, είναι παράλληλα προς τις ευθείες
 1 2
, αντίστοιχα και επειδή  
 
           
 
2 2
1 2
det , 1 0 δεν
είναι παράλληλα για κάθε τιμή του   , άρα και οι ευθείες τέμνονται για κάθε
  .
γ΄ τρόπος
Επειδή τα παραπάνω διανύσματα έχουν            1 2
0 είναι
      1 2 1 2
για κάθε   , άρα τέμνονται , δηλ. το σύστημα έχει μοναδική λύση
για κάθε   .
β)
Είναι
 
         
 
2 2
x
D 2 και
 
        
 y
D 2 2 ,
οπότε    x
D
x 2
D
και    
y
D
y 2
D
,
άρα η μοναδική λύση του συστήματος είναι        x,y 2 , 2 ,   .
β΄ τρόπος
   
   
   
   
               
  
               
2 2
2 2
x yx y
x y x y
 
 

               2 2 2 2
x x 2
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης
Άσκηση Α

13. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
και
   
   
   
   
                
  
                
2
2
x yx y
x y x y
 
 

              2 2
y 2 y 2 , άρα        x,y 2 , 2 ,   .
γ΄ τρόπος
Καθώς το θ διατρέχει το , οι ευθείες         1
: x y έχουν σταθερό
σημείο το   1,0 ενώ οι ευθείες         2
: x y έχουν σταθερό σημείο το
  1,0 .
Επειδή είναι   1 2
το σημείο τομής τους Μ , θα ανήκει σε κύκλο με διάμετρο ΑΒ και
κέντρο το μέσο του ΑΒ δηλ. το   0,0 . Άρα ο κύκλος είναι ο μοναδιαίος , δηλ. έχει
εξίσωση  2 2
C : x y 1 .
Λύνοντας το σύστημα του  C και της  1
βρίσκουμε το     M 2 , 2 ,   .
δ΄ τρόπος
Όταν      0 k , k , οι  1 2
,
τέμνονται στο   1,0 (     2 2k 1,
     2 2k 0).
Όταν

      0 k
2
, k , οι  1 2
,
τέμνονται στο   1,0
(          2 2k 1,
        2 2k 0 ).
Όταν   0 και   0 τότε οι ευθείες τέμνονται στο  M x,y και η  2
τέμνει τον
y΄y στο  K 0, , όπως στο σχήμα , με    M x 1,y και    1, .
Τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΒΟΚ είναι όμοια , με



M 2
1
, άρα
           
  
2 22 2 2
2
2
x 1 y x 1 y 4
1
.
Επειδή το Μ ανήκει και στο μοναδιαίο κύκλο ισχύει :  2 2
x y 1 , οπότε λύνοντας το
σύστημα των δύο εξισώσεων έχουμε :   x 2 και   y 2 ( η λύση   y 2
απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί την εξίσωση της  2
) . Άρα για κάθε   οι ευθείες
τέμνονται στο     M 2 , 2 .

14. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
γ)
                    2
x y
D D D 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0
                  2
2 2 0 2 0 0 (1) ή     0 (2)
(1):      0 k , k .
(2)


                
0
3
0 1
4
,   .
Άρα   k , k ή

   
3
4
,   .
β΄ τρόπος

                     x y
D D D 0 2 2 1 2 2 1
4
  
           
                                  

2 2k
2 4 42 2 2
54 4 2 4 4 2 2k
4 4
      
 
   
        
 
2 2k k
3 3
2 2k k
2 4
, k .
γ΄ τρόπος
         x y
D D D 0 2 2 1
Για   2 0 έχουμε :
                        
22 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0
                2 2
2 2 2 1 2 2 2 2 0 2 0 ή     2 1
   2 1ή    2 0   2 2k ή

    
3
2 2k
2
  k ή

   
3
k
4
, k .
δ) Η συνάρτηση         x y
f D D D ορίζεται για      0 k , k , δηλ.
     f
k ,k .
Οπότε για κάθε   k , k έχουμε :
    
                        

2 2 2
x y
f D D D 2 2 1 2 1
              2 2
f 1 1 1 0 , δηλ. ανεξάρτητη του θ .
Άσκηση Β

15. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Αθανάσιος Μπεληγιάννης
Είναι ότι    2,0 και έστω     , ,     , με     , , , 0 .
α΄ τρόπος
Έχουμε         4 2 4 2 και          4 2 4 2 , δηλ.    2, και
   2, .
Επειδή
 
            
, 0
2 2
4 4 .
 

            
0
2 2
5 0 5 25 5
                
2
3 0 5 3 5 3 8 , άρα    2,8 .
           2,0 2,8 0, 8 , οπότε     8 .
β΄ τρόπος
Όπως και παραπάνω         4 2 4 2 και          4 2 4 2 ,
δηλ.    2, και    2, , οπότε
       0, ( με   ).
Επειδή     3 είναι     3 j .
Ομοίως      0, y'y με     5 δηλ.     5 j .
Άρα                          3 5 8 .
γ΄ τρόπος
Και μία γραφική λύση .

16. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Eίναι



D

       

2 2
1 0 , άρα το (Σ) έχει R  μοναδική λύση.
β)
Ισχύουν



x
D

        

2 2
2 ,



y
D

     

2 2 και η λύση του (Σ) είναι:
   x
D
x 2
D
και    
y
D
y 2
D
.
γ)
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:      2 2 1 (1). Με ύψωσή της στη δευτέρα έχω:

                 2 2 2 0 4 0 4 ,
4
.
Aντικαθιστώντας στην (1) έχω:
 
    1
2 2
(2).
Για     2 , η (2) γίνεται:
   
        
 
1,2 2
2 2 1,
   

     
,ά ( ή)
, ό ( ί )
.
Άρα αποδεκτή λύση η

 
2
, με  άρτιο δηλαδή     , .
Για      2 1, η (2) γίνεται:
            
               
    
1,(2 1) (2 1)
2 2 2 2 1,
    

    
,ά ( ί )
, ό ( ή)
.
Άρα αποδεκτή λύση η
    
   
(2 1)
2 2 4
, με  περιττό δηλαδή
   
         
3
2 1 ,
2 4 4
. Τελικά λύσεις οι

      
3
, ,
4
.
δ)
             f 2 2 1, , και
Λύνει ο Κώστας Δεββές
Άσκηση Α

17. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
                  

        

                       
2 2
2 2 2 2 2 2 2
f 2 2 1 2 2 1
2 1
2 1 1 0
Άρα ο τύπος της f είναι ανεξάρτητος του  με ΠΟ το      , .
Ισχύουν
     
  
      2,0 , x,y , ,z με  x,y, ,z 0 και
 
     4 2x 4 x 2 ,
 
        4 2 4 2 ,
 
        2 2
4 y 4 z y z (1).
 
 
        
(1)
2
3 z y 9 y z 3 ,
 
      2
5 z 25 z 5 και
y 8,
άρα
 
   8.
Άσκηση Β

18. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η Λύση



       
 
        
 
    

 
          
 
 
      
 
          


2 2
2 2
x
x
x
)
ί ί ή
D 1 0
ά έ ή ύ .
)
Έ : D 2
D 2 2
DD
Ά x 2 2
D D
)
D D
 

               
           
           

             

             
    
     
2 2 2 2
2
D 0 2
2 2 0 2 ( ) 0
0 ή 0 Ά , ή
1 ά
4
)
ί ύ ά ί ,
ύ έ 0
ύ ί 
      

              

x
2 2 2 2
: f( ) D ( )D D
( 2 ) 0
2η Λύση
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος
Άσκηση Α

19. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18



       
 
        
 
    

 
          
 
 
      
 
          


2 2
2 2
x
x
x
)
ί ί ή
D 1 0
ά έ ή ύ .
)
Έ : D 2
D 2 2
DD
Ά x 2 2
D D
)
D D
              

             


  
              


   
           
      
  
              

     

   
2 2
D 0 2 2 0
2 2 1 2 2 1
4
42 2 2
4 4 4
4
(2 ) 2 2
4 4 4 4
Ά , ή
2 2 , 2 2 ,
4 4 2
,
4
)
ί  

          
    
            

              

x
2 2 2 2
ύ ά ί ,
ύ έ 0
ύ ί : f( ) D ( )D D
( 2 ) 0

20. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η Λύση
             
          
       
       
                 
              
      
1 1 2 2
1 1
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1
1 1
Έ (2,0) έ ( , ) ( , )
ύ 4 2 4 2. ί
4 2 4 2
Ά (2, ) (2, )
ύ 5 5 5 ά 0 ό 5
ί 3 3 5 3
5 3 .       
         
      
1
8 ή 2 . (2,8) ή (2,2)
ύ ό ό (2,8)
ό 8 8
2η Λύση
              
        
                 
    
          
         
2
2
2 2
ή ( ) 0 0 0
ά ( ) .
( ) 4 4 0 ά ( ) 0 . ( )
. ( )
ό έ : 5 25
2 25 4 8    
           
                 
              
           
  
2 2
25 29
29 4 Ά
Έ , , ό
ύ
ύ , , έ έ έ
ό      έ ά ή :
Άσκηση Β

21. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
           
                     
         
ύ ί ό
ύ :
3 5 8
3η Λύση
 
 
 
              
            
          
                 
   
ή 4 4 4
ύ 2 έ 2 .
ύ ύ , . έ έ έ .
ί 4 4 4
ύ  
        
          
             
    
2 έ 2 .
ύ ύ , . έ έ έ .
ό , ύ , έ ά ί
ά ή :

22. ___________________________________________________________________________
19 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
           
                     
         
ύ ί ό
ύ :
3 5 8