Αρχές Οικονομικής Θεωρίας - Το γραπτό των πανελλαδικών εξετάσεωνPanagiotis Prentzas
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας (ΑΟΘ): Τι πρέπει να προσέξουν οι υποψήφιοι κατά τη διάρκεια των πανελλαδικών εξετάσεων στη δομή των απαντήσεών τους, αλλά και στην εμφάνιση του γραπτού τους.
Μπορείτε να δείτε και τη διαδραστική παρουσίαση στο www.study4economy.edu.gr.
Η παρουσίαση που ετοίμασε η Ε ομάδα για το πρόγραμμα Υιοθεσία Βυζαντινού "Άγιος Γεώργιος Ομορφοκκλησιάς". Συνεντεύξεις για τη συντήρηση και τη λειτουργία του ιερού Ναού.
Weatherman 1-hour Speed Course for Web [2024]Andreas Batsis
Εκλαϊκευμένη Διδασκαλία Μετεωρολογίας. Η συγκεκριμένη παρουσίαση παρέχει συνοπτικά το 20% της πληροφορίας σχετικά με το πως λειτουργεί ο καιρός, η οποία πληροφορία θα παρέχει στον αναγνώστη τη δυνατότητα να ερμηνεύει το 80% των καιρικών περιπτώσεων με τη χρήση ιντερνετικών εργαλείων. Η λογική της παρουσίασης βασίζεται κατά κύριο λόγο στην εφαρμογή και δευτερευόντως στην επιστημονική ερμηνεία η οποία περιορίζεται στα απολύτως απαραίτητα.
1. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
H f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 , με παράγωγο
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α < -2 τέτοιος, ώστε
2 22
1 1 1 1
f α = -1 f α = -θ + + = θ
θ α α + 1 α + 2
Θεωρούμε τη συνάρτηση g : , 2 με τύπο
2 22
1 1 1
g x
x x 1 x 2
x
lim g x 0
, άρα 1
g x 0 για κάποιο 1
x κοντά στο
x 2
lim g x
, άρα 2
g x 0 για κάποιο 2
x 2 κοντά στο 2
Η g είναι συνεχής στο , 2 , άρα και στο 1 2
x ,x
Οπότε η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα 1 2
x ,x , άρα
υπάρχει 1 2
α x ,x , 2 τέτοιο, ώστε
2 22
1 1 1
g α = 0 + +
α α + 1 α + 2
Επιπλέον η g είναι παραγωγίσιμη στο , 2 , με παράγωγο
3 33
1 1 1
g x 2 0
x x 1 x 2
για κάθε x 2
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο , 2 , οπότε ο αριθμός α είναι μοναδικός.
Λύνει ο Λάζαρος Ζαχαριάδης
2. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2 2
3 3 3
1 1 1
f : A ( , 2) ,f(x) .
x x 1 x 2
ια κάθε x A,
1 1 1
f'(x) ,
x (x 1) (x 2)
2 2 2
f''(x) 0,
x (x 1) (x 2)
άρα η f' είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α.
Συνεπώς το σύνολο τιμών της
xx 2
xx 2
είναι το f'(A) ( lim f '(x), lim f '(x)).
Είναι
1
lim f '(x)=- -1-(+ )=- και lim f '(x)=0, οπότε f '(Α) = (- ,0).
4
θ > 0 -θ 0, άρα -θ f '(Α).
Άρα υπάρχει μοναδικό , εφόσον η
0
0
0 0 f
ζ 0
0
f ' είναι γνησίως φθίνουσα, x ( , 2),
τέτοιο ώστε f '(x ) = -θ.
Στο σημείο Μ(x ,f(x )) η εφαπτομένη ζ της C έχει συντελεστή διεύθυνσης
λ = f '(x ) = -θ.
1 1
Για την ευθεία ε : θy = x + 1 y x ,
0 0 f
f
1
άρα λ .
1
ίναι λ 1 .
Υπάρχει δηλαδή μοναδικό σημείο Μ(x ,f(x )) της C , στο οποίο η εφαπτομένη ζ
της C είναι κάθετη στην ευθεία ε .
Λύνει η Ντίνα Ψαθά
3. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Η ευθεία
1 1
: y x 1 y x
έχει σ.δ
1
.
Η εφαπτομένη της f
C στο σημείο της 0 0
M x ,f x έχει σ.δ 0
f x
.
Για να είναι πρέπει
0 0
1
1 f x 1 f x
.
Για κάθε x , 2 είναι
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
και
3 33
2 2 2
f x 0
x x 1 x 2
αφού x 2
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 2 .
Η f είναι συνεχής στο , 2 ως πράξεις συνεχών και γνησίως φθίνουσα
σ’ αυτό οπότε xx 2
f , 2 lim f x , lim f x ,0
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
lim f x lim 1
x 4x 1 x 2
2 22x x
1 1 1
lim f x lim 0
x x 1 x 2
Είναι 0 0 άρα το ,0 δηλαδή στο σύνολο τιμών της f οπότε
υπάρχει 0
x , 2 ώστε 0
f x και είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως
φθίνουσα στο , 2 .
Λύνει o Τρύφωνας Ζωϊτσάκος
4. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε:
1 1
( ) : y x
, με συντελεστή διεύθυνσης
1
, 0
.
Έστω 0, 0
x f(x ) με 0
x , 2 το σημείο επαφής της εφαπτομένης της f
C , η οποία
έχει συντελεστή διεύθυνσης 0
f (x ) , για να είναι αυτή κάθετη στην θα πρέπει
0 0 0 0
1
f (x ) 1 f (x ) 1 f (x ) f (x ) 0
, έτσι λοιπόν αρκεί να
δείξουμε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα 0
x , 2 .
Είναι
2 22
1 1 1
f (x) ,x , 2
x x 1 x 2
Θεωρούμε τη συνάρτηση
2 22
1 1 1
g(x) f (x) ,x , 2
x x 1 x 2
.
Θα δείξουμε ότι η g έχει μοναδική ρίζα 0
x , 2 .
Ύπαρξη της ρίζας
Επειδή
2 22x x
1 1 1
lim g(x) lim 0 0 0 0
x x 1 x 2
, θα
υπάρχει ένας «πολύ μικρός» , ( κοντά στο ) έτσι ώστε g( ) 0
Ακόμη
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
lim g(x) lim 1
x 4x 1 x 2
, οπότε θα
υπάρχει ένας , ( κοντά στο 2 ) έτσι ώστε g( ) 0 .
Άρα η g στο διάστημα , , 2 ως παραγωγίσιμη σ’ αυτό με
3 33
2 2 1
g (x) ,x , 2
x x 1 x 2
είναι συνεχής και ισχύει: g( ) g( ) 0 , οπότε
ικανοποιεί πλήρως τις υποθέσεις του Θ. Bolzano και άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένας
0
x , , 2 τέτοιος, ώστε 0
g(x ) 0.
Μοναδικότητα της ρίζας
Επειδή
3 33
2 2 1
g (x) 0, x , 2
x x 1 x 2
η g είναι γνησίως φθίνουσα στο
, 2 και άρα είναι "1 1" , οπότε η ρίζα 0
x , 2 είναι μοναδική.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος
5. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2
f x f x 0 f
x (x 1) (x 2) x (x 1) (x 2)
x
lim f x 0
, x 2
lim f x
.
Το σύνολο τιμών της f είναι το ,0 , άρα παίρνει την αρνητική τιμή μοναδική
φορά στο , 2 .
Δηλαδή υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f
C κάθετη στην .
Λύνει ο Κώστας Δεββές
6. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Η
1 1 1
f(x) , x ( , 2)
x x 1 x 2
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
2 2 2
1 1 1
f (x) , x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
και
3 3 3
2 2 2
f (x) 0, x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο ( , 2) και
xx 2
f ( ) ( lim f (x), limf (x)) ( ,0)
αφού
2 2 2x x x
1 1 1
lim 0, lim 0, lim
x (x 1) (x 2)
και
2 2 2x 2 x 2 x 2
1 1 1 1
lim , lim 1, lim
x 4 (x 1) (x 2)
επομένως για κάθε (0, ) το
1
(0, )
και το
1
( , 0) f (A)
οπότε
υπάρχει 0
x ( , 2) και μάλιστα μοναδικό λόγω μονοτονίας της f ώστε
0
1
f (x )
άρα και μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f το 0 0
(x , f(x )) με
εφαπτομένη κάθετη στην
1 1
y x
Λύνει ο Βασίλης Κακαβάς
7. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Πρέπει 0 0 0
1
f' x 1 f' x 1 f' x
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη x 2 με
2 22
1 1 1
f' x 0
x x 1 x 2
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα x 2
Επίσης η συνάρτηση f'είναι παραγωγίσιμη x 2 με
3 33
2 2 2
f'' x 0
x x 1 x 2
Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη και η συνάρτηση f'γνησίως φθίνουσα x 2
Βρίσκοντας το σύνολο τιμών της f'έχουμε ότι:
f'
x 2 x
f' , 2 limf' x , lim f' x ,0
αφού
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
limf' x lim 2
x 4x 1 x 2
2 22x x
1 1 1
lim f' x lim 0
x x 1 x 2
Άρα για κάθε 0 υπάρχει 0
x μοναδικό, λόγω μονοτονίας της f' , τέτοιο ώστε
0
f' x .
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης
8. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Επειδή θ>0 έχουμε ότι : ε
1
λ =
θ
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός
αριθμός 0
x , 2 τέτοιος ώστε να ισχύει : 0
f΄ x = θ
Η f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 οπότε έχουμε :
2 22
1 1 1
f΄ x =- - -
x x+1 x+2
Η f΄ είναι παραγωγίσιμη στο , 2 άρα :
3 33
2 2 2
f΄΄ x = + +
x x+1 x+2
Για κάθε x , 2 έχουμε ότι : 3
x 0 ,
3
x+1 0 ,
3
x+2 0
άρα f΄΄ x 0 οπότε f ΄ γνησίως φθίνουσα στο , 2
Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f ΄
2 22x x
1 1 1 1 1 1
limf΄(x) lim - - - - - - 0
x x+1 x+2
2 22x 2 x 2
1 1 1 1 1
lim f΄(x) lim - - - - -1-
x 4 0x+1 x+2
Άρα το σύνολο τιμών της f ΄ είναι : xx 2
lim f΄(x) , lim f΄(x) ,0
Επειδή θ>0 -θ ,0
Σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ υπάρχει αριθμός 0
x , 2 ώστε : 0
f΄ x = θ
και επειδή f ΄ γνησίως φθίνουσα στο , 2 ο αριθμός 0
x είναι μοναδικός .
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς
9. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι για x 2 ,
1 1 1
f(x)
x x 1 x 2
,
2 2 2
1 1 1
f'(x)
x (x 1) (x 2)
,
3 3 3
2 2 2
f''(x) 0
x (x 1) (x 2)
.
Η συνάρτηση f'είναι συνεχής στο ( , 2) ως άθροισμα συνεχών και είναι γνήσια
φθίνουσα διότι f''(x) 0 στο ( , 2) .
Τώρα
x
lim f'(x) 0
,
x 2
lim f'(x)
οπότε
πεδίο τιμών της f'είναι f' ( , 2) =( ,0) .
Όμως 0 0 f' ( , 2) , συνεπώς 0
x 2 ώστε 0
f'(x ) .
Στο σημείο Α 0 0)
x ,f(x η εφαπτόμενη (η) της γραφικής παράστασης της f είναι κάθετη
στην ευθεία (ε), διότι
1
,
και 1
.
Επειδή η f'είναι γνήσια φθίνουσα στο ( , 2) , το 0
x είναι μοναδικό.
Άρα υπάρχει μοναδικό σημείο Α 0 0)
x ,f(x στο οποίο η εφαπτόμενη της γραφικής
παράστασης της f είναι κάθετη στην ευθεία (ε).
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς
10. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η Λύση
2 2 2
3 3 3
xx 2
1 1 1
Έ f (x) 0 ά x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
2 2 2
f (x) 0 ά x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
ύ f ή ( , 2) f (x) 0 ά f ί ί
ύ ώ ί ( lim f (x), lim
f (x)) . ( ,0)
Για να υπάρχει σημείο της συνάρτησης στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην
0
x 1 έ f (x )
Αφού το σύνολο τιμών της f είναι ( ,0) άρα υπάρχει θ>0 τέτοιο ώστε 0
f (x )
και είναι μοναδικό, αφού η f ί ί ί
2η Λύση
2 2 2
x
x 2
1 1 1
έ h(x) ά ( , 2)
x (x 1) (x 2)
Έ ό lim h(x) 0 ά ά 0( ά ) έ ώ h( ) 0
ό έ ό lim h(x) 0 ά ά 0( ά 2) έ ώ h( ) 0.
ό . Bolz
0 0
03 3 3
ano [ , ] ά x ( , 2) έ ώ h(x ) ή h
ί ί ύ
2 2 2
(h (x) 0 x ( , 2)) ά x ί ό
x (x 1) (x 2)
3η Λύση
Θα μπορούσαμε και με Θ.Ε.Τ. στο [κ,λ] (από 2η Λύση) να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη
0 0
03 3 3
ό x ( , 2) έ ώ h(x ) ή h ί ί ύ
2 2 2
(h (x) 0 x ( , 2)) ά x ί ό
x (x 1) (x 2)
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος
11. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α΄ τρόπος
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 με
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
.
Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο A ,f τέτοιο , ώστε : f <0 .
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο , 2 με
3 33
2 2 2
f x 0
x x 1 x 2
για κάθε x , 2 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 2 .
Επίσης x
lim f x 0
και x 2
lim f x
, άρα είναι f , 2 ,0 .
Επειδή f , 2 υπάρχει , 2 : f και επειδή η f είναι γνησίως
φθίνουσα στο , 2 το είναι μοναδικό , άρα υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής
παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση
y x 1 .
β΄ τρόπος
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , 2 με
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
.
Έστω συνάρτηση g x f x με x , 2 , 0 .
Έχουμε x x
lim g x lim f x 0
και x 2 x 2
lim g x lim f x
, άρα
υπάρχουν αριθμοί 2 τέτοιοι ώστε g 0 και g 0 .
Οπότε επειδή η g είναι συνεχής στο , και g g 0 από Θ. Bolzano υπάρχει
μία τουλάχιστον τιμή , , 2 τέτοια , ώστε : g 0 f .
Έστω ότι υπάρχουν δύο ρίζες 1 2
, με 1 2
2 της εξίσωσης g x 0 , δηλ.
1 2
g g 0 . Τότε η g είναι συνεχής στο 1 2
, , 2 , παραγωγίσιμη στο
1 2
, με
3 33
2 2 2
g x f x
x x 1 x 2
και 1 2
g g 0 , οπότε από
Θ.Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 2
, : g 0 , άτοπο, αφού g x 0 στο
, 2 .
Άρα η g x 0 f x έχει μοναδική ρίζα στο , 2 .
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης