H Ασκηση της Ημέρας

1. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Υπενθυμίζουμε αρχικά δύο γνωστές ανισότητες:
(i)
1
x 2 για x > 0
x
 
(ii) 2 2 2
2(a b ) (a b)   για πραγματικούς a,b
Είναι
1 π
f(x) b b b 2, αφού εφb > 0 γιατι b 0,
b 2
 
          
  
άρα f(x) ≥ 2
Επιπλέον είναι
2 2 2
( a a) 2( a b) 2       
( 𝜂𝜇𝑎 + 𝜎𝜐𝜈𝑎)2
≤ 2( 𝜂𝜇2
𝑎 + 𝜎𝜐𝜈2
𝑏) = 2
άρα f(x) ≤ 2
Συνεπώς:
f(x) ≤ 2 και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
β)
Αν αποδείξουμε ότι η ℎ είναι γνησίως φθίνουσα στο R τότε θα είναι και “1-1” άρα θα
είναι αντιστρέψιμη.
Eστω 1 2 1 2
x ,x με x x R
Αρκεί:
           
   1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
g x -g x
h x > h x ή g x -g x 2 x - x 0 ή x - x 2 0
x - x
 
    
  
που ισχύει αφού:
       
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x - x 0
g x -g x g x -g x
2 από υπόθεση
x - x x - x

 
Άρα
 
   1 2
1 2
1 2
g x -g x
x - x 2 0
x - x
 
  
  
και το ζητούμενο εδείχθη.
Λύνει ο Χάρης Πλάτανος

2. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
0  ισχύει
1
2  

άρα αφού 0  θα είναι
  1
f x 2   

(1) x  R και 0,
2
 
   
 
.
Επίσης θα είναι  f x 1 2 2     (2) x  R και 0,
2
 
   
 
.
Από (1) και (2) ισχύει  f x 2 .
β)
Αν 1 2
x x η δεδομένη ανισότητα γίνεται:
            1 2 1 2 2 1 1 1 2 2
2 x x g x g x 2 x x 0 g x 2x g x 2x          
   1 2
h x h x h  στο R άρα και 1-1.
Λύνει ο Κώστας Δεββές

3. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Θεωρούμε την συνάρτηση
 
 
   
 
2 2
2 2 2 2 2 2
παρ/μη στο 0, με
2
1 1
φ'
' 0
0 ή ημβ+συνβ=0 το οποίο απορρίπτεται αφού ημβ+συνβ>0 στο 0,
2
1
4
'
     
 
  
 
          
    
             
  
 
     
 
  
 

 
    0 φ' 0
εφβ>1 εφβ<1
, β 0,
4 2 4
   
     
     
   
Άρα η φ παρουσιάζει ελάχιστο για
4

 
Δηλαδή
 
 
   
   
4
2
Ό f x
f x 2 1
 
    
 
  
   

Eπίσης, θεωρώ την παράσταση:
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης

4. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
   
 
 
2
2 2
2
1 2
     
           
     
Όμως γνωρίζουμε οτι!
 
1 2 1
1 1 1 2 1 1
0 2
    
       
   
και επειδή    f x    προκύπτει οτι:    f x 2 2
Από (1),(2) έχουμε το συμπέρασμα οτι  f x 2
Δηλαδή οτι η f είναι σταθερή συνάρτηση.
β)
Εστω οτι η συνάρτηση h δεν είναι «1-1» , δηλαδή
1 2
x x  τέτοια ώστε
   
       
       
     
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
h x h x
g x f x x g x f x x
g x g x 2 x 2 x αφού f x f x =2 από το α) ερώτημα
g x g x 2 x x

    
     
   
Το οποίο είναι άτοπο αφού από την υπόθεση γνωρίζουμε οτι:
     
   
 
 
   
 
   
     
     
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
g x g x f x x x
g x g x
f x
x x
g x g x
f x f x
x x
g x g x
2 2
x x
x x ό g x g x 2 x x
x x τότε g x g x 2 x x
   




  


  

       
     
Επομένως η συνάρτηση h είναι «1-1», οπότε και αντιστρέφεται.

5. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε την συνάρτηση f :  με την ιδιότητα
   
2
f(x) , x 1          , όπου , 0,
2
 
       
 
.
α)
Επειδή  
2 2 2
1
2 1 2 1 1 2                    , έπεται ότι:
 f(x) 2, 2
Επίσης , επειδή
2 2
1 2
2
      
        
          
2
2,
2
    
 
διότι
1 2
0 0 2 0 2 1 1 2
2 2 2

                
   
προκύπτει ακόμη ότι:  f(x) 2, 3
Έτσι τελικά έχουμε: 2 f(x) 2 f(x) 2, x     
β)
Έχουμε: g :  με την ιδιότητα  1 2 1 2
g(x ) g(x ) 2 x x 4  
με 1 2 1 2
x ,x x x  
ακόμη είναι h :  με h(x) g(x) 2x 
   1 2 1 2
1 2 1 2
g(x ) g(x ) g(x ) g(x )
4 2 2 2 5
x x x x
 
     
 
Για την h έχουμε:
 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
h(x ) h(x ) g(x ) 2x g(x ) 2x g(x ) g(x ) 2 x x         
   5
1 21 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 x xh(x ) h(x ) g(x ) g(x ) g(x ) g(x )
2 0
x x x x x x x x
  
    
   
,
οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση και άρα είναι 1-1 , οπότε αντιστρέφεται.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος

6. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Είναι:
 
0
2 2 2
x 0,
2
1
0 2 1 0 1 21 2 2

 
 
 
                       

Επίσης:
 
2 2 2
22 1 2              
διότι 1 12 2 2     
Οπότε από την δοθείσα σχέση προκύπτει ότι:
   
2
f x 22          
Επομένως:  f x 2
β) Α΄ τρόπος
Από την υπόθεση έχουμε ότι:
     
       
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
g x
x
x g x f x x
g x g x g x g x
2
x
2 2
x x
  
 
  





Για κάθε 1 2
x ,x  R με 1 2
x x έχουμε:
1 2
x x 0  και
       1 2 1 2
1 2 1 2
g x g x g x g x
2 0
x x
2
x x 
 
 
Πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη έχουμε:
   
     
       
1 2
1 2 1 2 2
1 2
1 1 2 2 1 2
1
g x g x
2 x 0 g x g xx 2x 0
x
g x 2x
2x
x
h x hg xx 2x
 
  

     
 


 
   
Οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα και 1 – 1.
Β΄ τρόπος
Έστω ότι η h δεν είναι 1 – 1. Τότε θα υπάρχουν 1 2
x ,x  R με 1 2
x x τέτοια ώστε:
       
     
   
1 2 1 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2
h x h x g x 2x g x 2x
g x g x
g x g x
x
x 2 x 2
x
   

  

 

το οποίο είναι άτοπο διότι από την υπόθεση έχουμε ότι:
   1 2
1 2
g x g x
2
x x


Λύνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης

7. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2
2
1
)
2 2
2 2
ή (0, ) έ 2 (0, ) ά
2
2 1 2
0 2 1 2 (1)
2 2 2
Ά f(x) ( ) ( (1))
2 f(x) 1 2 2 ό f(x) 2 ή
)
g(x )

      
       
     

         
 
       
 
          
         


 
2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
g(x ) f(x) x x g(x ) g(x ) 2 x x
2 x x g(x ) g(x ) 2 x x (2)
x x ό x x x x 2 έ :
g(x ) g(x ) 2x 2x g(x ) 2x g(x ) 2x h(x ) h(x ).
Ά h ί ί
ώ έ
      
     
          
        
    
     
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

8. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Ισχύει
1
2      

αφού 0  για κάθε 0,
2
 
   
 
( το ίσον ισχύει για
4

  )
( από εφαρμογή σχολικού έχουμε :
1
x 2
x
  αν x 0 )
και  
2
2    αφού
 
2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1                        
που ισχύει για κάθε 0,
2
 
   
 
, ( το ίσον ισχύει για
4

  )
Άρα    
2
2 f x 2          , άρα  f x 2 για κάθε x  .
β)
Η δεδομένη σχέση γίνεται :
       1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
g x g x 2 x x 2 x x g x g x 2 x x          (1) ,
1 2
x ,x  , με 1 2
x x και η συνάρτηση h h :  έχει τύπο    h x g x 2x  .
Για οποιαδήποτε 1 2
x ,x  με 1 2
x x έχουμε από την (1) :
             1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 x x g x g x g x 2x g x 2x h x h x         , άρα η h είναι
γνησίως φθίνουσα στο  , άρα και «1-1» , δηλ. αντιστρέφεται.
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης