Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

11,135 views

Published on

Οι νέες σημειώσεις (σχ. έτος 2015-16) του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το lisari

Published in: Education
  • Be the first to comment

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

  1. 1. ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4ο ΓΛΧ 2015 - 2016 M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
  2. 2. Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Α: Συναρτήσεις - Όρια – Συνέχεια Έκδοση 15.07 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 2015 Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr
  3. 3. Γ Λυκείου –Μ ΣΥΝΑΡΤΗΣ 1 ΤΥΠ 1.01 Έσ A) Βρ B) Λύ Γ) Λύ Δ) Να 2 1 f 2συν x    1.02 Αν    f x f x  1.03 Δίν Δείξτε ότι f 1.04 Δίν το R με f x   f x f 1 x  1 f f 2004          1.05 Να λ 2 y x λ    Α) πα Β) κά Γ) να Δ) να Ε) να Στ) να Μαθηματικά Θ ΣΕΙΣ ΥΠΟΣ ΣΥΝΑ στω η συνάρτ ρείτε το πεδίο ύστε την εξίσ ύστε την ανίσ α δείξετε ότι f( 2) 1     ν  f x x  1 νεται η συνά   x y f x   νεται η συνά  x x 4 x 4 2   . Ν x και το : 2 ...f 2004         α προσδιορισ  3 2 λ λ  να αράλληλη στη άθετη στην y α διέρχεται απ α είναι κατακ α είναι οριζόν α σχηματίζει γ Θετικών Σπουδ ΑΡΤΗΣΗΣ τηση f(x)   ο ορισμού τη σωση  f x 1 σωση  f x  1 f συνx        2 x 1 . Να α άρτηση  f x    y 2f x f  άρτηση f με Να υπολογίσ 2002 2 f 2004 2         στεί ο λ ώστ α είναι: ην 2y x   4x 1   πό το σημείο κόρυφη ντια γωνία 135ο- μ δών Σ 2 1 n 1 x       ς 0 0 αποδείξετε ό  x x1 α α 2     y , x, y R πεδίο ορισμο σετε το 003 004    τε η ευθεία 5 ο  3, 1 με τον x΄x ότι x . R ού 1. συ 1. v λί κα απ 1. χω κα τη εί 1. τμ κα άθ συ τμ 1. σ συ τη πε εμ γρ απ γι τρ 1 .06 Να β υνάρτηση η .07 Ένα v km/h, κατ ίτρα καύσιμα αυσίμων που πόσταση 100 .08 Ένα ωρητικότητα ατασκευής το ης βάσης του ίναι 0,02 eu .09 Ένα μήματα με τα αι ένα τετράγ θροισμα των υναρτήσει το μήματα .10 Στο σχήμα να βρε υναρτήσει το η συνάρτηση εριγράφει το μβαδόν της ραμμοσκιασμ πό τη ΔΕ κα ια τις διάφορ ρίγωνο ΑΒΓ η BE x κ βρεθεί o λ    2 2 x f x x      όχημα όταν ταναλώνει τη α. Να βρείτε υ χρειάζεται 00 km με στα κυλινδρικό α 1 lt. Να εκφ ου δοχείου σ υ, αν το κόστο ro σύρμα μήκο α οποία σχημ γωνο αντιστο ν εμβαδών τω ου μήκους x διπλανό είτε ου x , που ο μένης περιοχ αι τις πλευρέ ρες θέσεις του είναι ισόπλε και ΔΕ ΒΕ R ώστε να ε 2x 5, x λ 4, 2-λ    ν ταξιδεύει μ ην ώρα 6 0, ε τη συνολική για να διανύ αθερή ταχύτη δοχείο έχει φράσετε το κ συναρτήσει τη ος του ενός c ους 10 κόβετ ματίζουμε έν οιχα. Να εκφ ων δύο σχημά του ενός απ χής που δημι ές του τριγών υ E πάνω στ λευρο με μήκο Ε 3 είναι 2 λ 3λ 2 x    με ταχύτητα 3 ,0001v ή ποσότητα ύσει ητα v κόστος ης ακτίνας 3 cm μετάλου ται σε δύο ναν κύκλο φράσετε το άτων πό τα δύο ιουργείται νου ΑΒΓ τη BΓ . Το ος πλευράς 3 υ
  4. 4. 4 http://users.s 1.11 Nα της συνάρτη πλήθος των 1.12 Να των παρακά  f x x   1 k x x  1.13 Να των συναρτή f(x) ln( x)  k(x) ln x 1.14 Nα συναρτήσεις Β) t(x 1.19 Για   2 f x 2f x fC δεν τέμν 1.20 Να είναι πάνω α Α)   x f x 4 Β) f(x 1.21 Έσ οποίες ισχύε Να βρεθεί η sch.gr/mipap α σχεδιάσετε ησης f(x) ln ριζών της εξί α σχεδιάσετε άτω συναρτή  g x   1 m x x   α σχεδιάσετε ήσεων ), x 0 m(x)   α παραστήσε ς Α) f(x)  x) 2 ημ 2  α τη συνάρτη  2 x x 1   ει τον άξονα α βρεθούν τα από τη gC ό x x 1 2   2 x x) 1 2x      στω οι συναρ ει  f x 9  σχετική θέση pagr τη γραφική n x και να β ίσωσης  f x τις γραφικές ήσεων x 1   1  n x τις γραφικές g(x) ln(   ln x t( ετε γραφικά τ ημx ημx  x π Γ) ηση f : R R 1 , x R . Ν α x x α διαστήματ όταν: και  g x αν x 0 αν x<0  κα ρτήσεις f,g : R   2 g x x για η των fC , C Γραφ παράσταση βρείτε το 6 10  ς παραστάσε  h x 1  1 x 1   ς παραστάσε x), x 0  x) ln x  τις , π x 0, 2        2 f(x) συν x Κ R ισχύει ότι Να δείξετε ότι α όπου η fC  x 2 2 8   ι g(x) x 2  R R για τι α κάθε x R g φική Παράσ εις x εις x 1. τω Α Β) 1. τύ το 1. τι g 1. συ Κοινά Σημε ι η 2 ις . 1. οπ x δύ 1. να Ν το τα 1. h Δε σταση .15 Να σ ων συναρτήσ Α)  f x ) g(x) .16 Να β ύπο της συνά ου σχήματος .17 Να π ις παρακάτω   lnx x e .18 Να π υνάρτήσεις f g(x) εία .22 Έστω ποία ισχύει ό R . Να δείξ ύο τουλάχιστ .23 Έστω α ισχύει f(x) Να βρεθεί ο κ ους, να τέμνο α διαστήματα .24 Για    3 2 h x h x είξτε ότι h x ΣΥΝΑΡΤ σχεδιάσετε τι σεων:   2 x x   x 2 e , ) lnx , 0 x 1 ,       βρείτε τον άρτησης ς παραστήσετε συναρτήσεις   2 h x x παραστήσετε   f x συν  ) π συν x  ω η συνάρτη ότι  2 f x 2  ξετε ότι η fC τον σημεία ω οι συναρτή 2 g(x) x   κ ώστε οι γρα ονται στην ευ α όπου η fC τη συνάρτησ    2 2h x x  x 0 για κά 2 ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ ις γραφικές π x 0 0<x e x e    ε γραφικά κά ς: 2  f x  ε γραφικά τις x π x π ση f : R R  f 3x 0  γ f τέμνει τον ά ήσεις f,g : R  κ κάθε x R αφικές παρα υθεία x 1 είναι πάνω ση h : R R 2 x 2  για κ άθε x R 42 2 2 4 2 O y Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ παραστάσεις άθε μια από x ln e ς R για την για κάθε άξονα x x σε R , ώστε R , κ R . αστάσεις καθώς και από την gC R ισχύει ότι κάθε x R . 96 y=f(x) ς ε x
  5. 5. Γ Λυκείου –Μ 1.25 Βρ συναρτήσεω x g(x) x x-3  h(x)  x 1 x  1.26 Βρ συναρτήσεω   2 x f x 2ημx   t x 2συν     e r x 2x   p(x)  x e - 1.27 Βρ 2 f(x) αx  1.30 Βρ συναρτήσεω Β) f Γ) f 1.31 Βρ συναρτήσεω Β) f 1.32 Βρ συναρτήσεω 2 x 2 f(x) x 1      Μαθηματικά Θ ρείτε τα πεδία ων  f x x l  x 1 3x+2 x  2 x 2 1 x    ρείτε τα πεδία ων x 1 2 1 x 5συνx   x e 1 ln x   , - 1 + 1 - lnx ρείτε το πεδίο αx , α 0 ρείτε τα σύνο ων: Α)  f x  x 3ln 1    2 x x 4x   ρείτε τα σύνο ων: Α)  f x   2 6 x x 4   ρείτε τα σύνο ων: 2 αν 2 x 1 αν 3 x   Θετικών Σπουδ α ορισμού τω  2 ln x φ(x) t(x)  x  k(x) (x -  α ορισμού τω  g x 3 φ(x) m x x  q x  ο ορισμού τη λα τιμών των 1 x e 3   2x 1  , x 3 λα τιμών των x 1 x 1    x 2 x λα τιμών των x 3 x 5   , g(x) δών Πε ων 2 ) x x  1 2 x 1  2 4 - x 1) x 1 ων  2εφx ημx ημ2   2 2x 2x x 1 ) e e     1 x ln x x 1    2 ln 1 x ς συνάρτηση Σύ ν  x 1,2   2, 1/2  ν 2,5  , 2  ν 3 2 x 1   εδίο ορισμ 2x ης 1. συ f k t p 1. συ k r( m r ύνολο Τιμώ 1 συ f( r 1 πα πλ Α Β) Γ) Δ Ε) μου .28 Βρεί υναρτήσεων   2 x x x 9 4.3    k(x)  2συ   1 x ln x 1   3 p(x) x x  .29 Βρεί υναρτήσεων 2 2x x 1 k(x) e e    2 x x (x) x x     m x ln(x   x ln x  ών .33 Βρεί υναρτήσεων (x)  1 log x      2 x x 4x  .34 Στο αράσταση τη λήθος των ρι Α)  f x )  f x )  f x )  f x )  f x ίτε τα πεδία ο x 1 x 1 3 27   υνx 1 x 2 ίτε τα πεδία ο 2x 1  , 2 2 x  , 1) 2 x 1 , t ίτε τα σύνολα 1     ,  g x  3 αν x σχήμα φαίν ης συνάρτηση ιζών των εξισ 2  0 1 2 α, α 3,3   ορισμού των   x 1 h x 4   x m(x) (e   1 r x l x 1     1 lnxq x x ορισμού των   x t x x 1      3 k x 2x 4    f(x)  x e -   1 t x εφx 1   α τιμών των x x 1 5 e 5 e     t(  2,5 νεται η γραφ ης  y f x . σώσεων: 3 5 ν 2 x 1)ln(x 1)   ln x ν ln x x 2 4 x 1     1 + 1 - lnx 1 ,  x 0,2π 2 2 x 2x x) x 4    ική Να βρείτε το 5  ο
  6. 6. 6 http://users.s 1.35 Δίν Α) Να συναρτήσεις 2 1 x - 1 f (x) x - 1  3f (x) x    x 5f x ln e   Β) Βρείτε τ οποίο οι παρ 1.36 Να συναρτήσεις 1.37 Eξε   f x 1  1.42 Βρ f(x 1.43 Να αν f(x)  2   1.44 Για ότι   2 g x f δείξετε ότι η 1.45 Nα που ικανοπο 1.46 Nα  2 2 f g (x) sch.gr/mipap νεται η συνά α εξετάσετε π ς είναι ίσες μ 1 2f (x)  2 1 4f (x) 1 6f (x) το ευρύτερο ραπάνω συνα α εξετάσετε α ς 1 σ f(x) ημ   ετάστε αν είν   x 2 2 1  ρείτε τις συνα x) 4 |x|]  α βρεθούν οι 2x 1, x 2 x, x 2    α τις συναρτή    2 x 2f x  gC τέμνει το α βρείτε όλες οιούν την σχ α αποδείξετε  2 f g (x)  pagr άρτηση f(x)  ποιες από τις με τη συνάρτη 3 2 x 1 x - x 1    1 x 1 x        ln(x 1) e   υποσύνολο αρτήσεις είν αν είναι ίσες συνx μx και g(x ναι ίσες οι συ  x 1  και g x αρτήσεις f  ] και g(x)  ι συναρτήσει και  g x     ήσεις f,g : R 2 x 3  , x  ον θετικό ημι ς τις συναρτή χέση:  2 f x  ότι f g , α ) 2 για κάθ Ισότητ x 1  . παρακάτω ηση f . του R στο αι όλες ίσες. οι ημx x) 1 συνx   υναρτήσεις x 0 Πράξε g ,και g f ότα x 1 ς f g ,και g f lnx, 0 x -2x 3, x 3     R ισχύει R . Να άξονα Oy ήσεις f : R  2 x 1 , x αν ισχύει ότι ε x R τα Συναρτ x 1. f( 1. συ Α Β) 1. συ 1. f( εις Συναρτ αν g f 3 3 R R ι 1. οπ 1. πο 1. αύ ισ 1. αν 2 f 1. συ ότ τήσεων .38 Eξετ 2 (x) x x  .39 Να ε υναρτήσεις σ Α) f(x) x  ) f(x)  1 ln x    .40 Να β υναρτήσεις f .41 Eξετ (x)  1 ln 2 x    τήσεων .47 Βρεί ποίες ισχύει ό .48 Βρεί ου ικανοποιο .49 Να π ύξουσες συνα σχύει ότι 2 f (x .50 Να β ν για κάθε x    2 2 x g x .51 Να β υναρτήσεις f τι   f x 1 ΣΥΝΑΡΤ άστε αν είνα 1 και g(x) εξετάσετε αν στις παρακά 2 x 1 και g 1 2 x     και g βρεθεί ο R 3 2 x 3 (x) x x      άστε αν είνα 2    και  g x ίτε τις συναρτ ότι  2 f x 4 ίτε όλες τις συ ούν την σχέσ προσδιορίσετ αρτήσεις f : R 2 x) x  1 βρείτε τις συν R ισχύει ό 1 2 x    βρείτε τις συν f : R R αν   f x 2 0  ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ αι ίσες οι συν 2 1 ) x x 1     ν είναι ίσες οι άτω περιπτώσ 2 1 g(x) x x      x ln 1 2  R ώστε να εί 3x 4 x 4   και g αι ίσες οι συν  ln 1 2x  ρτήσεις f : R   x x 4e f x e υναρτήσεις f ση:  f x x ετε όλες τις γν R R για τι για κάθε x ναρτήσεις f, ότι  f x x  ναρτήσεις τι ν για κάθε x Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ναρτήσεις 1 ι σεις. 2 1 1 2x ln x ίναι ίσες οι g(x) x 1   ναρτήσεις ln x R για τις , x R  f : R R , x R  νήσια ις οποίες x R ,g : R R  g x ις R ισχύει
  7. 7. Γ Λυκείου –Μ 1.52 Nα οι συναρτήσ g(x) ln x  1.53 Για x f(x) f( x)  ότι η f είνα 1.54 ** Δ οποία ισχύει x,y R . Να Β) η f Γ) f 1.55 Η και ισχύει ό Να βρείτε τ 1.61 Ν σύνθεση δύο συναρτήσεω f(x) ln(1  f(x) ln(x  2 f(x) ln x 1.62 Ν Α) f(x)  Β) f(x)  x x    1.63 Αν ορίσετε τις σ Μαθηματικά Θ α εξετάσετε α σεις 2 x 1  , α τη συνάρτη 2 2f( x)    αι περιττή κα Δίνεται η συ ι f(x y) f(x  αποδείξετε ό f είναι άρτια x f(x) για συνάρτηση f ότι   2 f x x  ον τύπο της α εκφράσετε ο ή περισσοτ ων, αν: ημx) 2 1) lnx   2 2 1 ln x  α οριστεί η σ 1 x και g( x 1 x x 1 x       ν  f x 1  συναρτήσεις Θετικών Σπουδ αν είναι άρτι , 2x f(x) 2x       ηση f : R R 0, x R   . Ν ι να βρείτε τ νάρτηση f : R x y) 2f(x)   ότι: Α)  f 0  α κάθε x R f : R R εί 2 2x για ε τη συνάρτη τέρων (μη τα f(x) f(x) 3 f(x συνάρτηση f (x)  ln x (0,2) [2,4)   , g(x) 2 x ,  g x  f g και g  δών Άρ ες ή περιττές x 3 x 0 3 x 0 x 3 x 0      ισχύει ότι Να αποδείξετ ον τύπο της. R R για τη f(y) για κάθ 0 ναι περιττή κάθε x R . Σύνθε ση f ως αυτοτικών) )  συν 1 x 4 ) ημ (3x 5  x ) x f g αν ) x 1  3 x 2  να f ρτιες Περιτ ς τε ην θε 1. ιδ g ότ 1. δε 1. εί f( 1. η 1. A πε f ση Συναρτ 2 x 5) 1. g (f 1. h 1. σε Α Β) Γ) ττές .56 Δύο διότητες: 2 f    2 x g x  τι η f είναι ά .57 Αν ι είξετε ότι η f .58 Να δ ίναι άρτια κα (x) 0 .59 Δείξ συνάρτηση .60 Δίνο f gA A R  εριττές τότε η /g , (g(x) 0 τήσεων .64 Αν f (x)   x1 e 2  f g)(x)  (g  .65 Βρεί h με h(x) f( .66 Να β ε κάθε μια απ Α) Αν f ) Αν ( ) Αν ( συναρτήσεις     x f x f    g x για κ άρτια και η g ισχύει f(x y) είναι περιτ δείξετε ότι αν αι περιττή τό τε ότι για κά g(x)  f(x) + ονται οι συνα Να αποδείξε η f g είναι 0 ) είναι άρτι f(x)  ln(x  x e να απ f)(x) x ,  ίτε το πεδίο ο 2 (x 4) f(x   βρεθεί ο τύπο πό τις περιπτ  f ln(2x) x 2 (f g)(x) x (g f)(x)  συ ς f,g : R R x και κάθε x R . Ν g περιττή ) f(x) f(y)  , ττή ν η συνάρτησ ότε για κάθε άθε συνάρτη + f( x) είναι αρτήσεις f,g ετε ότι: Αν οι ι περιττή ενώ ιες 2 x 1) και ποδείξετε ότι x R  ορισμού της σ 1) αν fD  ος μιας συνά τώσεις: x 3 , x e  2 x 1  και 2 υν x και g(x 7 R έχουν τις Να δείξετε x,y R  να ση f : R R x είναι ση f : R R άρτια με ι f,g είναι ώ οι f g , ι συνάρτησης [0,5) άρτησης f , g(x) x 1  2 x) x 7 R
  8. 8. 8 http://users.sc 1.67 Ν συνάρτηση (1 x)f(x 1  1.68 Έσ gg : A R A) Αν η f ε B) Αν η f ε περιοδική μ 1.69 Δε να ικανοπο 1.70 Bρ ισχύει ότι f 1.71 Ν   2 f x x x  1.72 Αν δείξετε ότι η 1.73 Αν x R τότε ν 1.74 Ν Α) Αν Β) Αν 1.75 Αν ισχύει: f f 1.76 Έσ οποία ισχύε αποδείξετε ό τουλάχιστον ch.gr/mipapag α προσδιορι f : R R αν 1) f(1 x) x   στω συναρτή με  ff A A είναι άρτια, τ είναι περιοδι με την ίδια πε ειξτε ότι δεν οιεί τη σχέση ρείτε τη συνά x ln x f e        α βρείτε τη σ 2 1 f x 1   ν   2 f f(x) e η f παίρνει ν ισχύει ότι  να υπολογίσ α προσδιορι ν (1 x)f(x  ν ισχύει 2f(x ν f(x)  αx 2   f (x) x για στω η συνάρ ει ότι  f f(x) ότι η εξίσωσ ν ρίζα r ισθεί ο τύπος ν ισχύει ότι x 1 , x R  ήσεις ff : A  gA . Να απο τότε η gof ε ική, τότε και ερίοδο. υπάρχει συν f(x) f(2 x  άρτησης f : 0  f x 1 για κ συνάρτηση f 1 x για κάθ 2x για κάθε την τιμή 201  f f (x) 2x ετε το  f 1 ισθεί ο τύπος 1) f(1 x)    21 x) f x x        3 x   να βρεθ κάθε x 2 τηση f : R  2x 1  , x ση  f x 1 έχ ς της R R , δειχτεί ότι: είναι άρτια. η g f είναι νάρτηση που ) x , x R  0, R  α κάθε x 0 . f αν ισχύει ό θε x R x R , να 14 x 1 για κάθ ς της f : x 1  , x R 2 , x R *  εί ο α R , α R για την x R . Να χει μια ι R αν ότι θε R αν 1. f( f( 1. f( f( να 1. αν f 1. οπ δε το 1. τη τέ x x f( 1. ότ κα 1. f γι .77 Να β (2004) 1 κα 20 (x)f(y) f     .78 Για τ (x y) f(x)   f(x) 1 (x) e   κ α βρείτε την .79 Να β ν για κάθε x    x f y f  .80 Έστω ποία ισχύει ό είξετε ότι η C ουλάχιστον σ .81 ** Έσ ην οποία υπά έτοιοι ώστε α  ,1  κα  0,  . A (x) .82 Για τι   f x f αι  f 1 0 . Ν .83 Να π  : R 0 R  ια κάθε x R ΣΥΝΑΡΤ βρεθεί συνάρ αι για κάθε x 004 2004 f x y       τησυνάρτηση f(y) 1 e   x, y  και 1 f(x) e   f βρεθούν οι σ , y R ισχύε  xy x y   ω η συνάρτη ότι  2 f x 2  fC τέμνει τον σημεία. στω f : R R άρχουν α,β αf(x) βf( x)  αι αf(x) βf(  Aν f(3) 4, f (ww τη συνάρτησ  x y ln y        γ Να αποδείξετ προσδιορίσετ R τέτοιες ώστ  R 0 ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ ρτηση * f : R x,y 0 ισχύε 2f(xy)    , η * f : R R R .Να αποδ f( x)  για κάθ συναρτήσεις ύει ότι xy ση f : R R  f 3x 0  , ν x x σε δύο R μία συνάρ πραγματικο ) x 3   για x) x 3   γι f( 3) 2   , να ww.mathem ση  f : 0, για κάθε x,y ετε ότι  f x  ετε όλες τις συ τε   1 f x x   Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ * R αν ει ισχύει ότι δείξετε ότι θε x R και f : R R R για την x R  . Να ρτηση για οί αριθμοί α κάθε ια κάθε α βρείτε την matica.gr) R ισχύει  y 0,  ln x , x 0 υναρτήσεις 1 f x x      
  9. 9. Γ Λυκείου –Μ ΜΟ 1.84 Ν συναρτήσεω f(x)  5   t x x 1  r(x)  x 3 x 2   1.85 Βρ  k x ln x 1.86 Έσ γνησίως αύξ είναι γνησίω 1.87 Α) να αποδειχθ Β) Ν 1.88 N Α) ln 1.89 Γι 5 2f (x) f x Α) Απ Β) Ν 1.90 Ν   x f x 2 x  λύσετε την α Μαθηματικά Θ ΟΝΟ α αποδείξετε ων 5 x 3 1 2 3 2 φ(x) ρείτε τη μονο , g(x)  x x στω η συνάρ ξουσα. Δείξτ ως φθίνουσα ) Αν  f x     θεί ότι η f εί α λυθεί η αν α λύσετε τις nx 1 x  ια τη συνάρτ  3x για κά ποδείξτε ότι α λυθεί η αν α αποδείξετε x . είναι γνη ανίσωση 3x 2 Θετικών Σπουδ ΟΤΟ ε τη μονοτον   e g x ln e   m x e )  ln x α 1 2x α    οτονία των σ 2 x 1 x 1   m τηση f : 0, τε ότι η  g x α στο  0, x x 3 4 5 5             ίναι γν. φθίν νίσωση x 3 4 ανισώσεις: Β) x e  ηση f : R R άθε x R . η f είναι γν νίσωση  2 f x  ε ότι η συνάρ ησίως αύξουσ 2 x x 6 2x 2    δών ΟΝΙΑ νία των x x e 1 e 1   4 x 3  αν 0 x 2 αν x 2    συναρτήσεων  x ln x   0,     1 1 f f x x      1 , x R τό νουσα. x x 4 5 . 1 x 1 x    R ισχύει ότι νήσια αύξουσ x 1 1   ρτηση σα και να 2 x 5x 6  Α 2 ν x    ότε ι: σα 1. εί εξ 1. ιδ Επ δε 1. ορ g φ 1. φ δε 1. συ ιδ 1. κα να 1. τη ότ .91 Δίνε ίναι γνήσια α ξίσωση f x .92 Η συ διότητα  f x πιπλέον ισχύ είξετε ότι η f .93 Έστω ρισμού το α    g x f x ,  θίνουσα. Δεί .94 Αν   θίνουσα στο είξετε ότι f(x .95 Να α υνάρτηση f : διότητα 2 2f (x .96 * Η σ αι για κάθε x α αποδείξετε .97 Έστω ην οποία ότι τι η f είναι γ εται ότι η συν αύξουσα στο    2 f x f  υνάρτηση f :   x -f y =f y       ύει ότι «αν α είναι γν. αύ ω συναρτήσε α,β , σύνολο  x α,β  κα ίξτε ότι f g(  f : R  R πε R  με f(f(x  ) x) x  , x R αποδειχθεί ό : R R , γνή 2 x ) 2xf(6x  συνάρτηση f x R ισχύει ό ότι f(x) x , ω συνάρτηση    f x f x e  γνήσια αύξου νάρτηση f ο  0, . Να    3 x f x : (0, ) R  για κάθε x, α 1 τότε f ύξουσα στο  εις f,g με κο τιμών το α αι η f είναι γ   (x) g f(x) εριττή και γν ))  x για κά R ότι δεν υπάρχ ήσια φθίνου 8) 4 3x,   f είναι γνησί ότι: 2x 3f f 5    , για κάθε x η f , ορισμέν 3 3 x x e  , x υσα και ότι 9 ορισμένη και α λύσετε την έχει την y 0 .  α 0 ». Να  0, οινό σύνολο ,β ώστε γνήσια  x α,β  νησίως άθε x R , να χει σα με την x R  ίως αύξουσα f(x) x    , R νη στο R για R . Δείξτε   3 f x x 9 ι α α α
  10. 10. 10 http://users.sc 1.98 Δί είναι γνήσια  5 2 f x x 1.99 Έσ γνήσια μον διέρχεται απ Α) Ν Β) Ν και  f 1 x Δ) Ν Πόσες ρίζες 1.100 Δί Α) Ν αύξουσα. Β) Ν 3 (3x 18)  1.101 Γι    f x f x 2e Α) Απ Β) Ν συνάρτηση Γ) Ν Δ) Ν 1.102 Έσ παίρνει θετι   31 2f x f x  Α) Ν φθίνουσα κ Β) Λύ  5 3 f x x  ch.gr/mipapag ίνεται η συνά α αύξουσα σ  2 1 f 1   στω συνάρτη ότονη και η πό τα σημεία α αποδείξετε α λύσετε τις 2 α λύσετε την ς μπορεί να έ ίνεται η συνά α αποδειχθε α λυθεί η αν 3 (7x 12)  ια τη συνάρτ  x 2  για ποδείξτε ότι α μελετηθεί ω  g x x 2e  α υπολογίσε α βρείτε το π στω συνάρτη ικές τιμές κα x 1 x  για α αποδείξετε και να βρείτε ύστε την ανί x 3 1  r άρτηση f : R στο R . Να λυ 2 x x 2   ηση f : R R γραφική της α  1, 1  κα ε ότι είναι γν ανισώσεις f ν εξίσωση f x έχει η εξίσωση άρτηση  f x ί ότι είναι γν νίσωση 7x 12 7x 12 5 5 1      ηση f : R R κάθε x R η f είναι γν ως προς τη μ x e ετε το  f 1 πρόσημο της ηση f ορισμ αι ισχύει α κάθε x R ε ότι η f είνα το  f 0 ίσωση R η οποί υθεί η ανίσωσ 5 x x  R , που είναι ς παράσταση αι  1,2 νήσια αύξουσ  2x 1 1   2 x 2 . η  f x 2014 3 x x 5   νησίως 3x 18 3x 18 5 5 1    . R ισχύει ότι νήσια αύξουσ μονοτονία η f μένη στο R , . αι γνήσια ία ση η σα 4 1 . ι σα 1. γν δι Α Β) κα Δ) Ε) f 1. μο ισ 1. h Β) ώ x Γ) υπ 1. συ να τη σ 1. τέ Θ h φ h .103 Έστω νήσια μονότο ιέρχεται από Α) Να α ) Να λ αι  f 1 x  ) Να λ ) Πόσ  x 2014 .104 Να α ονότονη συν σχύει  f f(x) .105 Α) Ν   5 3 h x x x  ) Έστω στε να ισχύε R . Αποδεί ) Να λ πολογίσετε τ .106 Αν f υνάρτηση το α βρείτε την ης συνάρτηση στο  1,0 (m .107 Έστω έτοια ώστε f    Θεωρούμε τη   1 x h x 1 x    . N θίνουσα στο   x 2x h e h e ΣΥΝΑΡΤ ω συνάρτηση ονη και η γρ τα σημεία  αποδείξετε ότ λύσετε τις αν 2 λύσετε την εξ σες ρίζες μπορ αποδείξετε ότ νάρτηση f : R 3x 0  για Να αποδείξετ x , x R ε ω συνάρτηση ει   5 3 f x f ίξτε ότι η f ε λύσετε την εξ ο  f 3 f : R R είν υ σχήματος, μονοτονία ης   g x f mathematica ω η συνάρτη   1 f x 0 x       συνάρτηση g Nα αποδείξε  1,1 και ν   11x h e  ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ η f : R R , ραφική της π 1, 1  και  ότι είναι γνήσ νισώσεις f 2x ξίσωση  2 f x ρεί να έχει η ότι δεν υπάρχ R R για τη κάθε x R . τε ότι η συνά είναι γνήσια ση f ορισμέν    x f x x  είναι γνήσια ξίσωση  h x ναι η  f(x) .gr) ση  f : 0, 0 για κάθε x   g x f h(x ετε ότι η h εί να λύσετε τη  111x h e στο Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ που είναι αράσταση  1,2 σια αύξουσα x 1 1    2 εξίσωση χει γνησίως ην οποία άρτηση αύξουσα. νη στο R για κάθε αύξουσα 3 και να  R x 0 . x) όπου ίναι γνήσια ην εξίσωση ο  1,1
  11. 11. Γ Λυκείου –Μ 1.108 Ν τις παρακάτ g(x) 4 x    2 r x x 4    x φ x 3x     1.109 Ν τις παρακάτ Α) f Β) f 1.110 Ν τις παρακάτ Α) f Β) f 1.111 Ν τις παρακάτ Α) f Β) f 1.112 Α) Β. Έσ αποδείξετε ό παρουσιάζε 1.113 Έσ Α) Ν 2 2f(x g(x) 1 f   Β) Ν συνάρτησης Μαθηματικά Θ Ακρ α βρεθούν τα τω συναρτήσ x 2 t(x) 4x 5 f :[ 1 αν x 1 αν x     α βρεθούν τα τω συναρτήσ   x 1 2ln  :[ 1,4) R  α βρεθούν τα τω συναρτήσ   2 x x 4x    2x x e 2e  α βρεθούν τα τω συναρτήσ    x x 2e x    2x x e 2e  )Να δείξετε ό στω f(x) 9 ότι f(x) 2 γ ει ελάχιστο στω f : R R α αποδείξετε 2 x) (x) έχει μέγ α βρείτε την ς 2e Φ(x) 1 e   Θετικών Σπουδ ρότατα α ακρότατα κ σεις  3 4 x 4x   1,4) R  με 2 2   α ακρότατα κ σεις   x 1 , x 2  με f(x) 2x α ακρότατα κ σεις 5 x 3 α ακρότατα κ σεις   2 x x 4 2e  x e 3 ότι 1 x 2 x     x 9 80 9  για κάθε x R συνάρτηση ε ότι η συνάρ γιστη τιμή το μέγιστη τιμή x 2x e 2013 e  δών κάθε μιας απ  4 x ε f(x) 2x 1  κάθε μιας απ 2,3 1 κάθε μιας απ κάθε μιας απ x 5 αν x 0  x 80 . Nα R και ότι η η με f(0) 1 ρτηση 1 . ή της πό 1 πό πό πό α f 1. f( 1. ( συ έχ 1. Α Β) 1. Α Β) α 1. A B) f Γ) f 1. Α αύ Β) Γ) 5 Δ) 5 .114 Να β 2 (x) x (λ   .115 Έστω  2 (f(x) g(x υνάρτηση h χει μέγιστο το .116 Αν f Α) Να β ) Να λ α) f .117 Αν f Α) Να β ) Να λ α) f 2x .118 Δίνε A) Απο ) Να λ 3 3 x f 2           ) Να β  α β 1 f   .119 Δίνε Α) Απο ύξουσα στο π ) Δείξ ) Να λ 3 2 x 2x 5   ) Να λ 3 α β 1 e   βρεθεί ο λ 1)x 2  να έ ω οι συναρτή 2 ) 1 για κ     x f x f  ο οποίο και ν   2 f x x 6x  βρείτε το πρό λύσετε τις αν  2x 3 0    2 f x x 6x  βρείτε το πρό λύσετε τις αν x 3 0  β εται η συνάρτ οδείξτε ότι η λυθεί η εξίσω 4 3 x 3x 2      βρείτε τους α  2α β 1   εται η συνάρτ οδείξτε ότι η πεδίο ορισμο τε ότι η f πα λύσετε την αν 2 2x 4x 10 e   5 λύσετε την εξ 2α 2β 2 3e 5 α   R , ώστε η σ έχει ελάχιστο ήσεις f,g : R κάθε x R .    1 x g x  να βρεθεί (m x 8 , x R ,τ όσημο του f νισώσεις β)  f f x x 8 , x R ,τ όσημο του f νισώσεις β)  f f x τηση  f x  f έχει ελάχισ ωση 6 0  α,β R ώστε 6 0  τηση  f x  f είναι γνησ ού της . αρουσιάζει ελ ανίσωση 3 2 5 x 4x 4  ξίσωση 2α α β 1 e   11 συνάρτηση ο το 2 R ώστε Δείξτε ότι η  g 1 x  mathematica) τότε  x  x 2 0   τότε  x  x 2 0   2 2 x x 2 x x 1     στο το 3 ε να ισχύει 2x3 5 x e . σίως λάχιστο. 2 2x 8x 8 e    α 2β 2 2 0    1 0
  12. 12. 12 http://users.s 1.120 Να συναρτήσεις Α) f Γ) f 1.121 Δίν την οποία ισ x [1, )  . Ν 1.122 Έσ 1 1 . Αποδε είναι 1 1 . 1.123 Αν ιδιότητα f  δείξετε ότι ε 1.124 Να συνάρτηση 1.125 Να συνάρτηση f 1.126 Δίν Α) Nα Β) Να Γ) Να 1.127 Να Α) x 1 e ln  Γ) 2 x x e   1.128 Nα  2 log λ 1  sch.gr/mipap α εξεταστεί π ς, είναι 1 1 x 2ln x 3    x x x 3  νεται η συνά σχύει f(f(x))  Να δείξετε ότ στω ότι η συν είξτε ότι η η ν η συνάρτησ   f x 3f x είναι 1-1 α βρεθεί ο λ f(x)  4 x λ     α αποδειχτεί f αν ισχύει 6f νεται η συνά α μελετήσετε α λύσετε την α λύσετε την α λύσετε τις ε n x 2 x  Β 2x 1 2 e x   α λύσετε την log 5λ 5   pagr ποιες από τις και ποιες όχ 3 Β)  f x  x 4 2004  άρτηση f :[1, 2 2x 3x 2   τι η f είναι νάρτηση f : R   3 F x f x ση f : R R  2003 x 0  , R ώστε να 2 x αν x λ 8 αν x ότι δεν είνα  2 2 f x f (x)  άρτηση  f x  τη μονοτονί εξίσωση 1 ανίσωση x εξισώσεις . Β) 7 5 x 2x 3  x 1 Δ) x 6 εξίσωση   4 5λ 5   Συ παρακάτω χι: x 1 3e 2   4 ) R  για 2 , για κάθε 1 1 R R είναι   x 2f x 3  έχει την x R να α είναι 1 1 η 0 0   ι 1 1 η 9 x R  2 x ln x   ία της f x lnx 0  lnx 1  3 3x x 6  x x x 8 10   42 λ 1 υνάρτηση 1 α η 1. f  δε 1. Α Β 2 1. g g 1. Α Β) 1. e 1. Ν 1. e 1. f υπ 4 1:1 .129 Δίνο  2 f f (x) x  x R  . Nα α εν είναι 1 1 .130 Δίνε Α Να α Να λ  2 x - 3x+2 = .131 Θεω : Β R , να g f είναι 1  .132 Αν ε Α) Να αποδε ) Να λυθεί .133 Να α 3 e       .134 Αν f Να λύσετε την .135 Αν Α) N Β) Ν 2 x -x 2 3 +(x - x) .136 *** Δ  : 0,1 R μ πάρχουν 1x ,   1 2f x 2f x ΣΥΝΑΡΤ ονται οι συνα 5x 9  και ποδείξετε ότι 1 εται η  f x  αποδείξετε ότ λύσετε την εξ  2 4 3x - 2 = ln x +    ρούμε τις συ αποδείξετε ό 1 τότε η g είναι x x e  είξετε ότι x  η εξίσωση x αποδείξετε ότ 3  τότε    x 2 f(x) 3        ν εξίσωση 3   x f x e x  Nα δείξετε ότ Να λύσετε την 3 2 +x - 2x = e Δίνεται η 1  με    f 0 f 1  2,x 0,1 ώ 2 1 . ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ αρτήσεις f,g   2 g x x x  ι  f 3 3 κα  2 2x ln x  ότι η f είναι ξίσωση: 2 +1 1    στο 2 υναρτήσεις f ότι αν B f είναι 1 1 y y e  , x, y . 2 x 3x 2 e   ότι αν ισχύει  με , R  x4 2 3   τότε: x x 2 4 3 3   3 x x 1  τότε τι είναι 1 1 ν εξίσωση: x+3 3 e +(x+3) 1 συνάρτησ  1 . Να απο ώστε να ισχύε Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ g : R R με  xf x 3 , ι ότι η g 1 , x 0 1-1 2, : Α R και (A) και η y R τότε 2 3x x 2 e e   R x 3 6 ε +3 ση οδείξετε ότι ει ι
  13. 13. Γ Λυκείου –Μ 1.137 Βρ συναρτήσεω Α) f(x) x Γ) f(x) lo Ε) f 1.138 Βρ συναρτήσεω Α) f( Γ) f( Ε) f( Στ) f(x) x 1.139 Ν αν f(x)  1.140 Έσ f(f(f(x))) 2 ότι f(1) 3, 1 1 και να 1.141 Έσ Α) Ν Β) Ν Γ) Ν 1.142 Έσ Α) Ν Β) Ν 2 2 2λ 1 ln λ 5    Μαθηματικά Θ ρείτε τις αντί ων 3 x 1 x og 3 10   x 2 x   ρείτε τις αντί ων (x)  2x 3 . x 4   x (x) log 1   2 x 1 (x) 9x     3 2 x 3x 3x  α βρείτε τα κ 1 x , x 1  στω συνάρτη 2x 7 για κά f(3) 9 . Να α λύσετε την στω η f με α αποδείξετε α λύσετε την α λύσετε την στω  f x x α βρείτε την α λύσετε την 2 4 λ Θετικών Σπουδ ίστροφες των Β) f(x) 5  Δ) f(x) ln 2 3 , x 3 ίστροφες των Β) f x x Δ) , x 0 , x 0   Ζ) f(x) ln κοινά σημεία 1,0 ηση f ώστε να άθε x R . Δίν αποδείξετε ό ν εξίσωση 1 f 3 f(x) 2x x  ε ότι η f αντ ν εξίσωση f(x ν ανίσωση f ln x τιμή 1 f e  ν εξίσωση δών Α ν x 2  x n(2 e ) x  ν f(x)  3x 3x 3 e 3 e   x f(x) 1 x    2 n x 1 x  α των 1 f C  C α ισχύει νεται ακόμη ότι η f είναι (x) 9 . x 2 . τιστρέφεται. 1 x) f (x)  . 1 (5x 6) 1   . 1 Αντίστροφ x x  fC . 1. υπ να 1. Α Β) Γ) άξ Δ) (2 αν 1. ισ Α κα 1. αν ισ 1. έχ αυ 1. τύ A B) 1. πα συ φη .143 Αν γ πάρχουν οι σ α αποδείξετε .144 Έστω Α) Να αποδ ) Να λύσετ ) Να βρείτε ξονες και με ) Να λύσετ 2 3 2 ημ x) η  νισώσεις: 1 f .145 Για τ σχύει ότι 3 f ( Αποδείξτε η f αθώς και τα .146 Οι σ ντιστρέψιμες σχύει f g g .147 Να α χει μόνο ένα υτό θα βρίσκ .148 Θεω ύπο 5 f(x) x A) f  ) Να λ .149 Να α αράστασης τ υμμετρίας τη για τις συναρ συναρτήσεις ότι υπάρχου ω η συνάρτη είξετε ότι αντ ε τις εξισώσε ε τα κοινά ση την ευθεία y τε την την εξ 3 2 ημ x ημ x  1 (x) 3 , και τη συνάρτησ x) 3f(x) x  αντιστρέφε τα κοινά ση συναρτήσεις ς έχουν σύνο g f , να δείξ αποδείξετε ότ κοινό σημείο κεται πάνω σ ρούμε την συ x 1  . Να α  11 f   λυθεί η εξίσω αποδείξετε ότ της   5x f x 2x  ην ευθεία y  ρτήσεις f , g   1 f g   και υν και οι 1 g ση 3 f(x) x  ντιστρέφεται εις f(x) 12 , ημεία της f C y x ξίσωση ημx 2  κα 1 f (x 1) x   ση f : R R 0 , για κάθ εται , να βρε ημεία των fC f,g : R R ολο τιμών το ξετε ότι f g  ότι αν μια συν ο με την αντ στην ευθεία y υνάρτηση f αποδείξετε ό 13  ωση 1 x f (x  ότι η γραφική x 2 x 5   έχει άξο x 13 : R R , ι   1 g f   , 1 και 1 f x 2  1 f (x) 2   1 με τους αι τις x 5 με  f R R θε x R . είτε την 1 f f και 1 f C  είναι R και 1 1 g f   νάρτηση ίστροφή της y x : R R με ότι ) ή ονα 3
  14. 14. 14 http://users.s ΓΕΝ 1.150 Γι 1.151 Δί x, y R . Να 1.152 Έσ 2 f (x) 2f(x) 1.153 Έσ  f x 0 έχε Α) Ν Β) Ν 1.154 Γι Δίνεται επιλ Α) Ν Β) Ν 1.155 H  B 2,3 τότε 1.156 Γι Α) Να δεί Γ) Nα λύσ 1.157 H τα σημεία A Α) Ν Β) Ν Γ) Ν sch.gr/mipap ΝΙΚ ια τη συνάρτ ίνεται η 1 1 α αποδείξετε στω η συνάρ 2x ) e 1  . στω συνάρτη ει μοναδική ρ α αποδείξετε α λύσετε την ια τη συνάρτ λέον ότι ισχύ α αποδείξετε α λύσετε την συνάρτηση ε: Α) Αποδε ια την συνάρ ίξετε ότι η f σετε την εξίσ συνάρτηση  A 5,9 και B α αποδείξετε α λύσετε τις α λύσετε τις pagr ΚΕΣ ηση f : R R 1 συνάρτηση ε ότι: 1 f (xy) τηση f : R  Να βρείτε ηση f : (0, ) ρίζα, τότε ε ότι η f είνα ν εξίσωση f x ηση f : R R ύει η πρόταση ε ότι η f είν ν εξίσωση f 4 f : R R εί είξτε ότι η f ρτηση f : R  είναι αντιστ ωση x 4 e e  f : R R είν  B 2,3 τότε: ε ότι η f είνα εξισώσεις f ανισώσεις αν R ισχύει ότι f : R (0,  1 1 f (x) f    R με σύνολ την f και ) R με την αι 1 1   2 x f x 3  R ισχύει ότι η: « x 0  ναι περιττή κ 2 4x 2005  ίναι γνήσια μ είναι γν. αύξ R είναι γνω ρέψιμη. 2x 1 x 5   ναι γνήσια μ αι γν. αύξουσ 1 2 3 f (x 2   νίσωση 2 f x ι   ν όροι f f f ... x  ) για την ο 1 (y), x,y f λο τιμών το  ι την αντίστρ ν ιδιότητα: f   2 f x 1   ι   f x y f   f x 0 » . και γνήσια αύ  2 f 4x 2005  μονότονη κα ξουσα Β) ωστό ότι f x e Β) Να μονότονη, έχ σα 2x) 9 και   x 12f x 2   ... 2x 1   οποία ισχύει ό f(R)  1, και γ ροφη της.    x -f y =f     f x 1     x f y , γι ύξουσα  5 2f 8x 4  αι η fC διέρχ Λύστεί την   x f x x  γ βρείτε το f 1 χει σύνολο τι 1 2 f x ln x     27 και f x  ΣΥΝΑΡΤ 1 να βρείτε το ότι f(x y)  για κάθε x R x y    για κάθε ια κάθε x, y  4 χεται από τα εξίσωση f 3 για κάθε x 1 . ιμών το R κ 1 2     ln x 4 9   ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ το  f 1 f(x) f(y)  γι R ισχύει x, y 0 Αν R . σημεία A 5 1 2 f (x 2x   R και η fC διέρ Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ια κάθε η εξίσωση ,9 και x) 9 ρχεται από
  15. 15. Γ Λυκείου –Μ 1.158 Έσ στη fC τότε 1.159 Έσ η f είναι γν Α Τη 1.160 Α) B) Ν κοινά σημεί 1.161 Γι f(ξ) 0 . Ν Β) f( x) = 1.162 *Δ Α. Ν Γ. Ν 1.163 Έσ είναι γνησίω Α) Ν Γ) Ν 1.164 Ν 1.165 Έσ συνάρτηση Α) Ν Β) N Γ) Ν Μαθηματικά Θ στω η γνησίω ε να βρείτε το στω συνάρτη νήσια αύξουσ ην εξίσωση: f ) Αν f γν. α α αποδείξετε ία των fC κα ια τη συνάρτ Να αποδείξετε 1 f(x) και f(x Δίνεται η συν α δείξετε ότι α λύσετε την στω η συνάρ ως φθίνουσα α δείξετε ότι α λυθεί η εξί α λύσετε την στω η συνάρ   g x f h(x α αποδείξετε α αποδείξετε α λύσετε την Θετικών Σπουδ ως μονότονη ο λ R ώστε ηση f : R R σα να λύσετε  f x 223 ύξουσα στο ε ότι η συνάρ αι 1 f C  . ηση f : R R ε ότι: Α) f(x) x y) f(y)   , νάρτηση f : R ι f(x) 0 για ν ανίσωση: ln ρτηση f : 0, α. ι η f είναι γν ίσωση  f x  ν εξίσωση 3 3 τηση f : 0, x) όπου h x ε ότι η g είν ε ότι τη μονο ν εξίσωση h δών συνάρτηση ε 1 1 f 2 f   R για την οπ ε: R και ox R ρτηση  f x  R ισχύει ότι f(x) 0 για x R  R R για τη α κάθε x R . n f(x) 0 .  0,   νησίως φθίνο   7 5 f x f x  3 3x 1 2x 2 3     R  τέτο  1 x x 1 x    . Τό αι περιττή. οτονία της h   x 2x e h e f : R R . Α  λ 1 e 1 0   ποία ισχύει: f Β R , τότε f f(x 3 4x 1 3   αντ ι f(x y) f(x  α κάθε x R Γ) f(νx ην οποία ισχ . Β.  με  f 1  ουσα. B)   5 9 f x 1 οια ώστε 1 f x    ότε:  11x h e h  Αν τα σημεία 0 . x f(e x) 8f(  Την αν  o ox x f  ιστρέφεται, ν x)f(y) για κά και ν ) f (x) για χύει: f(x) 2   Να δείξ 1 και η συνά Nα λύσ   1 f x 0 x      111x h e στο α  A 1,2 κα x 1) 2008  ίσωση  x f e   o ox x να βρείτε την άθε x, y R κ f(0) 1 κάθε ν Ν x 2 3e f (x) , για κ ξετε ότι η f ε άρτηση  g x σετε την εξίσω για κάθε x   1,1 αι  B 1,3 β x e για κάθε x 2 e 22    ν 1 f καθώς και υπάρχει και x R κάθε x R είναι γνησίω   xf x 1  η ωση  f x ln 0 . Θεωρούμ 15 ρίσκονται ε x R . Αν 23 . και τα ξ R , ώστε ως αύξουσα. η οποία  n e x 0  με τη 5
  16. 16. 16 http://users.s ΟΡΙ ΟΡΙΟ ΣΤΟ X 1.166 Ν Α) x lim  Β) x lim  1.167 Ν Α) x li  Β) x lim  Γ) x lim  1.168 Ν Α) x lim  Β) x lim  1.169 Ν x 1 lim  2 x 1  1.170 Ν x 2 f(x)        1.171 Ν Α) x 0 6x lim x  Γ) x lim  sch.gr/mipap ΙΑ X0 α υπολογίσε 21 2 m x 1 x    ν 1 1 νx (ν m x     α υπολογίσε 2 im  3 6 x x 2    3 2 0 m x x   2 9 x m 2x x 6x   α υπολογίσε 1 m  3 2 3 x 2 x x 2 x   1 m  x 3 x   α υπολογίσε 1 x 1 x 1     , α υπολογίσε 2 x 2 αν 4x 0 αν   α υπολογίσε 3ημx 2ημx   2 20 x 2 m x 4     pagr ετε τα όρια 3 3 x 1     1)x 1 με 1   ετε τα όρια x 6 2  81 3 x 9    ετε τα όρια x 1 1   2 x 4x 3 1    ετε τα όρια x 1 x 1 lim 2 x    ετε το x 0 lim f(x  ν x 0 ν x 0   ετε τα όρια: Β) 2 lim      2 x 2 4 2    ε ν Ν* x 1 x 1    x) αν 1      1. Α Β) 1. x li  1. Α Γ) 1. x li  1. x li  1. x li  1. x li  1. x li  .172 Να υ Α) x 1 lim  ) x 1 lim  .173 Να υ   3 ημ πx im x 1 2   .174 Να υ Α)  x 1 ημ x lim ημ( ) x 0 lim  .175 Να β 0 im  ημx ημ    .176 Να β 0 ημx ημ2 im   .177 Αν x l 1 imf(x) 5    .178 Αν x l 0 im  2 xf(3x)-f(-x 3x   .179 Αν x 2 2 gf(x) im x  ΣΥΝΑΡΤ υπολογίσετε x ημ 1 x 1     1 x ημ π 1 x     υπολογίσετε και υπολογίσετε x 3 2 (x 1)    Β  2 1 συν 1 σ x   βρείτε (αν υπ 1 x    βρεθεί ο ν  2x ... ημνx x   x 1 f(x) 5 lim f(x) 2    x 0 lim  f(x) 2 x  ν 2 x) ημ2x x x 2 lim g(x) 7   2 g(x) g(x) x x 4    ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ τα όρια 1 x    1 2     τα όρια: x 0 2x lim συνx 1   τα όρια: Β) x 0 ημ lim  συνx πάρχουν) τα 2 2x 0 1 x ημ xlim x x  N αν x 28 0 να αποδε να βρείτε το , να βρείτε τ 2 x x Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ημx συνx  2 2 μ ημ x x όρια είξετε ότι ο
  17. 17. Γ Λυκείου –Μ 1.180 Ν x 1 lim f(x)(x   1.181 Ν  x lim f x 0   1.182 Η ισχύει ότι x l  x 3 lim f(x)  1.183 Αν x 3 lim f(x)  1.184 Αν   f x f 1  1.185 Ν αν x 1 lim f(x)  1.186 Αν x 1 lim  f(x) x x-1  x 1 lim  2 f(x) f (x)   1.187 Aν x R να απ 1.188 Αν x 1 lim f(x) 2   Μαθηματικά Θ α βρεθεί το  x 1 g 1) lim       α αποδείξετε 0 . συνάρτηση 3 lim f(x) 2x   ν x 3 lim 12f(x)  ν x 2 f(x) 4 lim x-2  x , x R βρ α βρεθούν τα g(x) 5  κ ν για τη συν x 2 , να βρε 2 1 x και x 1 lim  ν   2 f x 2f x ποδείξτε ότι ν η f: R R να βρεθεί τ Θετικών Σπουδ x 1 lim f(x)g(x)  g(x) 3 x 1     ε ότι αν x lim f  f είναι άρτι x 5 4  . Να 2 ) 4f (x) 9  4 1 και ισχ ρείτε το x 1 lim  α  x 1 lim f(x)  κ και x 1 lim 2f(x)  άρτηση f : R ίτε τα όρια 1 m 2 2 f (x) f(x) f (x) 3     2 x συν x  x 0 lim f(x)  =1. R είναι περιτ το x 0 lim[f(x-1)-  δών  αν  2 f x 0 , τότ ια στο R και α βρείτε το 9 , να βρεθεί τ χύει 1 f(x) και  x 1 lim g(x)  ) g(x) 4  R R είναι 2 2x   0 για κάθε ττή με -f(1-x)] τε ι το  , 1. x li  1. Α Β) x 1. f Α Β) x li  Γ) x li  1. οπ x ότ x li  1. ιδ Α ρί Β) x li  .189 Αν x l 3 im f(x)  .190 Έστω Α) Να δ ) Αν f R να δείξ .191 Έστω    x y f x  Α) Να αποδεί ) Αν ισχύει ό   α im f x f α   ) Αν ισχύει ό   2 f x 2 im x 2    .192 Έστω ποία ισχύει ό R * . Αν x lim  τι α 1 και ν 0 f(ημx) im x x l .193 Έστω διότητα: f(x) Α) Αν η ίζα το 1 να δ ) Αν x l π 4 f(ημx) f im ημx σ   x 3 f(x) x lim x-3   ω συνάρτηση δείξετε ότι x li 2 2 f (vx) ημ x ξετε ότι 3v  ω συνάρτηση   f y , x, y ίξετε ότι η f ε ότι  x 0 lim f x   α για κάθε α ότι   x 0 f x lim x  2012 και x lim  ω συνάρτηση ότι  3 f x 2x 0 f(x) m α R x   να βρείτε τα x 0 f(f(x)) im x ω η συνάρτη x f(y) f y        η εξίσωση f(x δείξετε ότι η x 1 f(x) lim 2 x 1   (συνx) συνx 2 , να βρεθε η f με x 0 f( lim x x 0 f(vx) im 3v x  x 2f(vx) ημ  1 η f για την ο y R . είναι περιττή 0 , να αποδ α R 2012 να απ   0 f ημ(x) η m x  η f : R R *  2 x f x 3ημ R , τότε να α 2 2x 1 f(x x lim x 3x    ηση * f : R     για κάθε x) 0 έχει μο f είναι 1 1 2 να βρείτε 17 εί το (x) 3 x  v , v 0 μx για κάθε οποία ισχύει ή δείξτε ότι ποδείξετε ότι  ημ f(x) 0 για την 3 x , για κάθε αποδείξετε x) 2 . R με την x,y 0 οναδική 1 το 7 ι ε
  18. 18. 18 http://users.s ΜΗ ΠΕΠΕΡ 1.194 Ν Α) x 4 2 lim x 3  Γ) x 4 lim x x Ε) 2 3x 1 x lim x  1.195 Ν Α) 2x 1 lim x  Γ) x 1 lim x x Ε) x 1 x lim x     1.200 Αν βρεθούν τα x 1 lim f(x)  στ 1.201 Αν βρείτε το x lim  1.202 Αν βρείτε το x lim  1.203 Ν 3 x 1 x (λ lim    sch.gr/mipap ΡΑΣΜΕΝΟ α βρεθούν(α 2 x 3 x 2   5 2x 2x 2 x     2 2 5x 4 3x 3x 1     α βρεθούν(α x 1 2 x 1    Β) 2 x 5x x x x 1     2 5 x 3 1 (x 1)       ν 2 f(x) αx       α,β,γ R ώ το σύνολο τω ν 2 ημ f(x) x x         0 mf(x)  για κά ν 2 2x f(x) x     4 m f(x)  για κά α βρείτε του 2 3 μ)x (2λ x 3x      pagr ΟΡΙΟ ΣΤΟ αν υπάρχουν Β) x 1 lim x 4 Δ) x π 5 lim  Στ) x 1 lim ( αν υπάρχουν ) x 0 x 1 lim x      Δ) x 0 3 lim συ     Ζ) x 0 3 lim 1   Όρια Π 2 2 βx 2 , x 1 γx 5 , x 1      ώστε να υπάρ ων πραγματι μ(αx) αν x x x αν 2 x   άθε α R x 1 αν x λ αν    άθε λ R ς λ,μ R ώσ μ 1)x 3 2      ΧΟ ν)τα όρια 2 2 x 3 2 x 2x 1     2 5 x ημx  3 3 x 1 (x 1)   ν)τα όρια 16 4 x    2 3x 2 υνx 1   2 3 2x συν x  Παραμετρι x 1 x 1     να ρχει το ικών x 0 x 0   να x λ x λ   να στε : μ R  1. x li  1. βρ 1. x li  1. x li  ικών Συνα 1. 1. 1. συ πρ 1. A 1. 1. x li  .196 Α) Α 1 img(x)  .197 Αν x l ρεθεί το x 1 lim  .198 Αν x l 2 im f(x)  .199 Αν x l 1 g(x) 2x im x x    αρτήσεων .204 Βρεί .205 Βρεί .206 Να α υνάρτηση f( ραγματικό ό .207 Nα β A) 2 2x 2 x x lim x   .208 Nα β .209 Βρεί 3 2 αx βx im x 2    ΣΥΝΑΡΤ Αν x 1 h(x) lim |x 2  2 x 1 lim (x 4)f    1 f(x) x 2 2x 3 lim f(x)   x 1 limg(x) 3    g(x) 6 4x x x 1      στο Χο ίτε το λ R ώ ίτε τα λ,μ R αποδειχτεί ότ 2 3 2 x -λx x) x -3x    ριο στο 1 . βρεθούν για x 6 αx   ` B βρεθεί το x lim  ίτε τα α,β, R 6 4   ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ |   να βρ f(x) 3x 2   5   να β 3 να βρεθεί τ x ώστε x 9 x lim (x  R αν x 1 λx lim   τι για κάθε λ 2 3x-1   δεν έχ κάθε α R B) 3x 1 x lim x   2 4 x α m (x 4)( x    R αν Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ρεθεί το   να βρεθεί το το 2 2 5λ λ )     μ x 2 8 x 3 2      λ R η ει τα όρια: x α 7 2    2) , α R 
  19. 19. Γ Λυκείου –Μ Όριο συν 1.210 Ν Α) x li  Β) x li  Γ) x li  1.211 Ν Α) x li  Β) x li  Γ) x li  Δ) x lim  1.212 Ν Α) x li  Β) x li  1.213 Ν 1.214 Ν 1.215 Ν 1.216 Γι ισχύει x lim    x ln f x lim lnx Μαθηματικά Θ ναρτησης σ α υπολογίσε im x x    2 im x x 3    2 im x x    α υπολογίσε 2 x 2 im x x     x x 1 x 2 x e 3 im e 3      2 2 x 2x im x 2x    0 3 2log x m 1 2log x   α υπολογίσε 2 2 x 2ημ im x x   3 xσυνx η im x  α υπολογίσε α βρείτε το x α βρείτε το t ια την συνάρ    f x l 0 x   x Θετικών Σπουδ στο απειρο ετε τα όρια x x  2 3 x 2 x 2 2x   ετε τα όρια x 2   1 3 3 4 x 5    ετε τα όρια μx 3 2 ημx ετε το x ln lim ln  2 x lim ημ x  t ln(t t lim ln t  ρτηση f : 0, 0,  Να βρ δών ο x x x n(1 3 ) n(1 2 )   1 x  2 t 1) t   R  ρεθεί το Π 1. βρ 1. α 1. x li  1. 0 1. x li  1. x l 1. x l 1. α f( 1. βρ x l Παραμετρικ .217 Αν f ρεθεί το x lim  .218 Αν f ,β R ώστε x .219 Αν f im f(x)  για κ .220 Αν f φ,ω π  . Ν .221 Να β 2 im x 2x      .222 Για κ - lim   x x x x α 2 α -2    .223 Για κ lim   x x x 1 α 2 α 2   .224 Να β β γ 0   με 2 (x) α x 1   .225 Έστω ρείτε τα όρια lim f(x) ln(    κά όρια στ 3 (λ 1)x f(x)   f(x)  για κάθ 2 x 2x f(x) x 1     x lim f(x) 3β    2 f(x) x 2x  κάθε λ R 2 f(x) x 4   α βρείτε τα φ βρεθούν οι α 3 αx β     κάθε α 0 , ν 1 1 , κάθε α 0 , ν 1 x 2  βρεθεί το όρι α,β,γ R κα 2 β x 2 γ   ω η  f x ln     α  x 0 lim f x  , x l x) . το απειρο 3 2 (λ μ)x μ x 1     θε λ,μ R 3 -αx-β  να 11 x 3 λx  να xημφ συνω  φ,ω ώστε x lim  α,β R ώστε: 12 να υπολογίσε να υπολογίσε ιο x lim f(x)  Α αι 2 x 3 2 2 x κ x      κ  lim f x   19 μx 3 να βρεθούν οι βρεθεί το με 3 m f(x) 2  ετε το ετε το Αν 0 Να 9
  20. 20. 20 http://users.s … 1.226 Έσ ισχύει: 2 2 βρείτε τα A) x 2 f(x)- lim x  Γ) 2 x 2 f (x) lim x  1.227 Ν   2 2 f x g x x R . 1.228 Αν τότε να απο 1.229 Aν x R , να α 1.230 Αν x 3 lim f(x)  1.231 Η στο ox 2 κ    x 2 f x  1.232 Ν 1.233 **Έ ισχύει 2f x αποδείξετε ό 1.234 Απ sch.gr/mipap στω συνάρτη x f(x) x   -4 2 B) )-16 2 Δ) α βρείτε τα x l   x 2f x 4  ν ισχύει ότι οδείξετε ότι x l ν   2 f x 2f x ποδειχθεί ότ ν x 3 lim 12f(x)  συνάρτηση και για κάθε 2 x 7x 10   α υπολογίσε Έστω η συνά   ημf x x  ότι  x f x lim x ποδείξτε ότι pagr ηση f για τη 2 , για κάθε x 2 f(x)-4 lim x 2   2x 2 f(x)-1 -3 lim x 4   x 0 lim f x  , x lim   4g x 5 x   o 2 x x lim f x     ox x lim f x   x li   2 x συν x  τι x 0 lim f(x)   2 ) 4f (x) 9  f έχει πραγ ε x R ισχύε 0 .Βρείτε το x l ετε το x 0 x lim x άρτηση f γι x για κάθε x 1 2  x x συ lim x η   ν οποία x 0 . Να 4 2 3  0 mg x  αν x , για κάθε  2 g x 0  ,   ox im g x 0   0 για κάθε 1 9 να βρείτε τ ματικό όριο ει x 2 lim f(x)  2 2 1 x ημ x x x α την οποία x R . Nα 2 υν x 1 ημx  το 1. ισ g x li  τα 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. στ γι 1. x κά 1. .235 Δίνο σχύουν x 2 2 lim  (x) f(x) x  2 x 2 im 1 h(x)   κ α x 2 limg(x)  , .236 Βρεί .237 Να β .238 Να β .239 Να β .240 Να β .241 Να β .242 Να β .243 Να β .244 Η συ το ox 2 κα ια κάθε x R .245 Για τ  2 2xf x f  άθε x R , ν .246 ΣΥΝΑΡΤ ονται οι συνα 2g(x) 4 2 x 2    ημ(x x 2 (x 2     και για κάθε x 2 limh(x)  και ίτε το x lim  βρεθεί το βρεθεί το x lim  βρεθεί το x lim  βρεθεί το x lim  βρεθεί το x lim  βρείτε το x lim  βρείτε το x lim  υνάρτηση f αι ισχύει x  R . Να βρεθεί τη συνάρτησ   2 2 f x ημ να αποδείξετε ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ αρτήσεις f, g 2) h(x) 2 2)    ε  x R 2  . ι x 2 lim f(x)  2 x ημx 1  x x ημx lim x ημx   2ημx συ im x  2 2 x 2ημx m x x    3 xσυνx η m x  2 x 3 m 3 ημx σ    4ημ x 3 συ m     2 xημx 3συ m x 2x    έχει πραγμα    2 2 f x x  ί το x 2 lim f(x)  . ση f : R R   x 2xf x  ε ότι: x 0 lim f x  Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ g, h ώστε να 2 και Να βρείτε x x x υν2x x 3 2 μx 3 συνx μx υνx    υνx 2 ατικό όριο 7x 10  ισχύει  2 ημ x για   x 0 f 0  . α α
  21. 21. Γ Λυκείου –Μ ΣΥΝ 1.247 Ν συνάρτησης 2 xf(x) 5x  1.248 Αν συνεχής, βρ 1.249 Δί x α f(α)= lim  εξετάσετε ως 1.250 Αν 2 ημ x 2xf( αποδείξετε ό 1.251 Γι ότι  2 f x g x R  . Απ 0x /2  1.252 Μ ιδιότητα 5 f ότι είναι συ 1.253 ** 0 και ισχύε βρείτε το f( 1.254 Αν συνεχής, να Μαθηματικά Θ ΝΕΧ α βρεθεί ο τύ ς f αν ισχύε 2 ημx (x   ν x 2 f(x)-2x lim x-2 ρείτε το x 2 x lim  ίνεται η συνά 2x 1 2 2x α α α 1    γι ς προς τη συ ν για κάθε x 2 x) f (x) η  ότι η f είνα ια τις συναρτ    2 g x 2f x ποδείξτε ότι ο Μια συνάρτησ    x f x x  νεχής στο ox Αν η συνάρ ει x xf(x) e  0) ν   1 f x l x   α δείξετε ότι x l Θετικών Σπουδ ΧΕΙΑ ύπος της συν ει ότι x 1)(x 2)  ,  x 1 και η f 2 xf(x)-2x 3f x-2  άρτηση f : 0 ια κάθε α 0 νέχεια τη συ x R ισχύει ό 2 ημ x x x 2  αι συνεχής στ τήσεις f,g : R   5 4g x  οι f, g είναι σ ση f : R R x x R  . Ν o 0 . ρτηση f είνα 1 για κάθε ln x και η f    1 1x 0 f x x lim x f x     δών Α νεχούς x R  είναι (2)-6x , R  με 0, . Να νάρτηση f . τι 2f(x) .Να το ox 0 . R R ισχύει 2 συν x , συνεχείς στο έχει την α αποδείξετε ι συνεχής στο x R , να 1 είναι  2 x 1 x  ε ι ο ε ο 1. Α ασ Β) 1. 3 f f εί 1. οπ Α Β) Γ) 1. Α x l Β) 1. x x 1. στ x .255 Έστω Α) Να αποδεί συνεχής στο ) Να εξετάσε .256 Έστω    3 x 3f x  2x (x) e 1  ίναι συνεχής .257 Έστω ποία ισχύει Α) Να α ) Απο ) Να β .258 Δίνε Α) Να υ  lim f x   , x l ) Υπάρχει τ .259 Η συ 0 1 και ισχ , y R . Να α .260 Έστω το κα , y R . Δείξτ α R ω   3 1 x 2f x x       ίξετε ότι αν α ox α . ετε τη συνέχε ω f : R R μ 2x e 1  , για , x R κα στο μηδεν ω η συνάρτη 2 f(x) 2f(x) αποδείξετε ότ οδείξτε ότι η βρείτε το όρι εται η  f x  υπολογίσετε  - lim f x   , x li  ιμή του α ώ υνάρτηση f χύει ότι f(xy) αποδείξετε ότ ω ότι η συνάρ ι ισχύει f x τε ότι η f είν 2 1 x ημ , αν x x x, αν x α 0 τότε η εια της f για με α κάθε x R αι να εξετάσετ ση f : R R 2 ) συν x 0  ότι f(x) 1  f είναι συνε ιο x 0 1 lim xf x      1 x 1 x 2 2 , x 2 1 α, x         τα όρια:   0 im f x  , x lim  ώστε η f να είν είναι συνεχή ) f(x) f(y)  τι είναι συνε ρτηση f είνα   x y f x   ναι συνεχής σ 21 x α x α  f είναι α α 0 . Δείξτε ότι τε αν η f R , για την , x R x εχής στο 0    x 0 0     0 m f x  ναι συνεχής; ής στο για κάθε εχής στο R αι συνεχής  f y 1  , στο R 1
  22. 22. 22 http://users.s Βασικά Θ 1.261 Ν 2 x 1 εφ x 2x    τουλάχιστον 1.262 Ν 2 2 κ λ x x 1   δύο ρίζες, τι μάλιστα ισχ 1.263 Έσ α,β R , β έχει δύο του 1.264 'Ε συνάρτηση, ότι υπάρχει 1.265 Εσ ώστε f(0)   ox 0,π , 1.266 Η και για κάθ αποδείξετε ό B) Υπάρχο 1.267 Δί το είν τουλάχιστον f(x) 20 α   (α,β) (α,β) 0,0  ox 0,1 sch.gr/mipap Θεωρήματα α αποδείξετε φx έχει στο δ ν μια ρίζα α αποδείξετε 2 μ 0 x - 1   μ ις 1 2ρ , ρ   χύει ότι 1 1 ρ  στω η εξίσωσ 0 , α β 1  υλάχιστον ρί στω  f : α,β , ώστε f(α)  ι ox [α,β] , στω f :[0,π]  f(π) . Να απ ώστε of(x )  συνάρτηση ε x R είνα ότι: A) Η ουν άπειροι α ίνονται οι συ , ναι σημείο τη , αποδείξτε ν κοινό σημε x x e  g(x)  0 pagr α ε ότι η εξίσωσ διάστημα 1 2    ε ότι η εξίσωσ με κ, λ,μ 0 1,1 για τις 2 2 2 2 μ -λ1 ρ κ   ση 3 2 x αx  1 0 . Να απο ίζες στο  1, R , συνεχ 2 α και f(β) ώστε of(x )  R συνεχή οδείξετε ότι υ o π f x 2        . f είναι συνε ι f(x) f(x  Η f είναι πε α R ώστε f υναρτήσεις μ ης ευθείας ε ότι οι , είο με τετμημ 21 β (ημx   2 fC ση π , 2 2    ση έχει ακριβώς οποίες β 0  , με οδειχτεί ότι 1 χής 2 β . Δείξτε 2 ox . ς συνάρτηση υπάρχει εχής στο R 2) 0 Να εριοδική (α) f(α 2)  με τύπους . Αν , με έχουν έν μένη συνx) 1y 20x gC ς η, ε να 1. εί κα f 1.  x 1. f Δε 7 1. εξ απ 1. ότ εξ 1. 1 απ f 1. συ f ώ 1. συ ώ .268 Έστω ίναι συνεχής αι  f x 0 γ    x f x 0  .269 Η συ 1,2 με f   o 1,2  ώ .270 Eστω  : α,β R , είξτε ότι υπά    0f x f  .271 Αν α ξίσωση αημx πόλυτη τιμή .272 Αν η τι   f x f 2  ξίσωση  f x  .273 Αν η 1,2 με  f 2 ποδείξετε ότι   2 o o ox x x  .274 Η συ υνεχής και υ γβα f f β γ α             στε  of x x .275 'Εστ υνάρτηση. Δ στε  o of x x ΣΥΝΑΡΤ ω συνάρτηση στο R και ι για κάθε x R για κάθε x υνάρτηση f   1 f 2 , δε στε 3f( 1) 4  ω η συνεχής σ με   f f  άρχει ox (α   2f 4f    α,β 0 , να x β x  έχει δεν υπερβαί η f είναι συνε x 0  για κ 0 έχει μία τ η συνάρτηση 6 , και ακό ι υπάρχει, ox 2 o . υνάρτηση f : πάρχουν 0  γ 1 α    . Να δ 2010 ox ω είξτε ότι υπά (S. Banach)   f : 0,1 0 o ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ η f : R R η ισχύουν f 4 * R . Δείξτε ότ * R και βρ είναι συνεχή είξτε ότι υπάρ o4f(2) 7f(x συνάρτηση   , και γ  α,β) , ώστε  αποδείξετε ό ρίζα της οπ ίνει τον α β εχής στο R κ κάθε x ,δείξτ τουλάχιστον η f είναι συν όμη   f 1 f 2  o 1,2 ώστ   : 0, 0  α β γ  ώσ δείξετε ότι υπ συνεχής άρχει ) 0,1 ox 0, Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ η οποία   f 4 0   τι ρείτε το  f 0 ής στο ρχει )  α,β . ότι η ποίας η β . και ισχύει τε ότι η ν ρίζα στο R νεχής στο 2 8 , να τε 0, είναι στε πάρχει ox ς τέτοιο1
  23. 23. Γ Λυκείου –Μ 1.276 Ν αν ισχύει και 1.277 Αν αποδείξετε ό  ox 0,1 ώ o 1x α x  1.278 Ν συναρτήσει   2 f x 2f x 1.279 *∆ με  2 f x 9 αποδείξετε ό 1.280 N συνάρτησης την ανίσωση 1.281 Έσ οποία ισχύε  x 3,3  . Να βρείτε τ 1.282 Βρ συναρτήσεω Α) f Β) f 1.283 Μ ικανοποιεί τ μπορούσε η R  f 0 l Μαθηματικά Θ α βρείτε τη σ ι ν 1 2α ,α ,...,α ότι υπάρχει, ώστε o 2x α .....   α βρεθούν όλ ις f : R R α x ημx 1 ,  ∆ίνεται συνάρ για κάθε x ότι  f x 3 γ βρείτε το σύ ς  f x 4  η  f x 0 στω η συνεχή ει ότι 2 4x 9 ον τύπο της ρείτε τα σύνο ων   2 1 x x , x     3 x x συν  Μια συνεχής σ τη σχέση: f η f να είναι α  f x e 4x 4  ln 2 Θετικών Σπουδ συνάρτηση γι  1994α 0,1 . ένα τουλάχι o 1994x α   λες οι συνεχε αν ισχύει ότι x R  ρτηση f : R  R και  f 0 για κάθε x R ύνολο τιμών x 2 x   κα ής συνάρτησ  2 9 f(x) 36 αν  f 0 2  ολα τιμών τω 0 x 1  νx , x 0,π συνάρτηση f    1 f 2 f  αντιστρέψιμ f  f x 4e 0   δών , συνεχή στο ια κάθε Να ιστον 997. είς ι R συνεχής 3 . Να R της αι να λύσετε η f για την για κάθε 2 ων /2 f : R R   3 f 4 . Θα μη; f x R ο α 1. υπ η 1. πα g δι 1. συ Έ 0 ω 1. f 1. f 1. γν x l απ ώ 1. κα απ 1. γι βρ R .284 Αν α πάρχει ox      2 oμ x α  .285 Να α αραστάσεις τ  g x συν2x ιαστήματος    .286 Οι σ υνεχείς και ισ στω ακόμα ό 0,1 . Να απο ωστε  of x  .287 Να β αν   f x  .288 Έστω  1 2 , να α .289 Αν η νησίως αύξου   0 lim f x γ   ποδείξετε ότι στε  of x e .290 Η συ αι ισχύει f f ποδείξετε ότι .291 Έστω ια κάθε x R ρείτε το  f 5 α,β,γ R , ν π 0, 2      ώστε  2 oημ x α αποδείξετε ότ των συναρτή τέμνονται σ π 0, 4      . συναρτήσεις σχύει f g g ότι η f είναι οδειχθεί ότι υ ox και  og x βρείτε το πρό  2 4x 5πx π  ω συνεχής συ αποδείξετε ότ η συνάρτηση υσα στο (0, + R και x lim  ι υπάρχει μό  ox 1 oe ln x  υνάρτηση f (x) x για κ ι υπάρχει α  ω f : R R σ R ισχύει ότι f να αποδείξετε 2 oημ x α  ότι οι γραφικ ήσεων  f x  σε ένα μόνο σ  f,g : 0,1  g f για κάθ γνησίως φθί υπάρχει (τε)  ox όσημο της συ 2 π ημx , 0  υνάρτηση f : τι  f x 2 ,  η f είναι συν + ) με  m f x δ    όνο ένας αριθ  1 . είναι συνεχή κάθε x R . Ν R ώστε f α συνεχής με f     f x ·f f x  23 ε ότι  3 α 2  ές x και σημείο του  0,1 είναι θε  x 0,1 . ίνουσα στο  ox 0,1 υνάρτησης x 2π R Z και x R  . νεχής και R , να θμός οx 0 ής στο R Να α α  10 9 και 1 . Να 3
  24. 24. 24 http://users.s 1.292 Α) Β) Δί R , να βρείτ 1.293 Έσ συνεχής 1.294 Έσ Α) Απ Β) Αν 1.295 Έσ ,    f 1 f 2  Α)  f x 0 Β) Η συνάρ Γ) Η f δεν 1.296 Έσ είναι μία συ 1.297 Έσ Α) Ν Β) Αν έχει μια του β) 1.298 Έσ x 0 f(x) 3 lim x  Α) Ν Β) Ν μόνο σημείο sch.gr/mipap ) Να αποδείξ ίνεται η συνά τε την τιμή το στω  g x x στω f : R R ποδείξτε ότι ν η f είναι σ στω συνεχής    f 3 f 4 Ν 0 για κάθε x ρτηση  g x  είναι αντιστ στω η συνάρ υνεχής συνάρ στω οι συνεχ α βρείτε το f ν  f x 0 για υλάχιστον ρίζ )  g x 0 γ στω η συνεχή 3 και 2ημ α βρείτε το σ α δείξετε ότι ο με τετμημέν pagr ξετε ότι η εξί άρτηση  f x ου α R 2 x xημx κα R συνάρτηση η f είναι συ συνεχής στο συνάρτηση Να αποδείξετ  1,4 ,    2 f x f 1  τρέψιμη. τηση g(x)  ρτηση ορισμ χείς συναρτήσ  f 0 α κάθε x 0 ζα στο  0,2 ια κάθε x ής και γνησίω μ(x 1) (x   σύνολο τιμών ι η γραφική π νη 0x (0,1) Γεν ίσωση ln x 2 3 2 x 2 α x xln       αι   3 x f x       η, ώστε 2 f x υνεχής στο 0 R και ισχύει f στο  1,4 ε ότι:   f 2 έχει μια β - α x 5  ορι ένη στο R , ν σεις f,g : 0, 0,4 να δείξε . 0,4 . ως φθίνουσα 2 1)f(x) x  ν της h(x) f παράσταση τ ) νικές Ασκή  2 x 1 0  έ  2 1 x 1 α nα 1 α    3 2 x συνx , α g(x) α α   2 2 x ημ x x  ι    f α f β  για την οπο α τουλάχιστο ισμένη στο α να δείξετε ότι  R  με ετε ότι: α) α συνάρτηση 1 για κάθε x f(x) ln x 3  της συνάρτησ ήσεις έχει μοναδικ αν x 1 αν x 1   μ αν g(x) 0 ν g(x) 0   2 , x R  . 0 να δείξετε οία ισχύουν: ον ρίζα στο  α,β . Αν ισχύ ι υπάρχει οx  g 0 1 κα Η εξίσω f : (0,1) R x (0,1) 3 σης f g(x) e ΣΥΝΑΡΤ κή ρίζα με α R Αν Να βρείτε τ ε ότι αβ 0 .  f x 0 για  1,2 . ύει 4α f g 5      ο [α,β] ώστ ι x f(x) g( ωση   x 2 f R για την οπο (x) 3 τέμνει τ ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ ν η f είναι συ το α R αν κάθε x 1, β f(α) 5     τε οf(x ) f(g  (x) x 3f(x   x xf x 2  οία ισχύουν την ευθεία y Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ υνεχής στο η f είναι 4 ,  f 1 0 όπου f οg(x )) x) g(x)   2 x x 2  y x σε ένα
  25. 25. Γ Λυκείου –Μ 1.299 A) αποδείξετε ό B) Αν Δ . 1.300 Έσ κάθε x R . 1.301 Η ότι: Α. η Β. Aν Γ. υπ Δ. f 1.302 Η ορειβάτης ξ Την άλλη μέ επιστρέφει σ ίδια ώρα κα 1.303 Η να αποδείξε   ν 2f ξ f 1.304 Έσ A) Αν B) Ν 1.305 Έσ Α) Ν Β) Ν Μαθηματικά Θ ) Η συνάρτη ότι θα είναι ε ν η συνάρτη στω συνάρτη Να αποδείξ συνάρτηση f είναι 1 1 ν η f είναι γ πάρχει ox R  1 1 ανάβαση - ό ξεκινάει την α έρα ξεκινάει στη βάση. Ν αι τις δύο ημέ συνάρτηση ετε ότι υπάρ   1 2x f x f  στω η συνάρ ν η συνάρτη α αποδείξετε στω συνεχής α αποδείξετε α μελετηθεί ω Θετικών Σπουδ ηση f είναι σ είτε f(α) f(β ση f είναι σ ηση f , συνεχ ξετε ότι η εξίσ f είναι συν 1 γνήσια μονό R ώστε  of x όπως και η κ ανάβαση στι ι στις 6 το πρ Να δείξετε ότι έρες f είναι συνε ρχουν 1 2ξ ,ξ    3 vx ... f x  τηση f : IR  ση f είναι σ ε ότι η συνάρ ς συνάρτηση ε ότι 3 x f  ως προς τη σ δών συνεχής και 1 β) f(γ) είτε συνεχής και 1 χής στο R κα σωση  f x 0 νεχής στο R , ότονη τότε είν  ox ατάβαση - στ ις 6 το πρωί κ ωί την κατάβ ι υπάρχει ένα εχής στο α,  α,β ώστε v IR ώστε f συνεχής στο σ ρτηση f δεν  f : 0,   x 0 συνέχεια η συ 1 1 σε διάσ ε f(γ) f(β) 1 1 στo Δ , αι ισχύει η σχ 0 έχει τουλά και ισχύει f ναι γνήσια φ την ψηλότερ και χωρίς να βαση, σε 6 ώ α τουλάχιστο ,β με  f x     1 1 f x f ξ    2 f x f f(x) σημείο 0x 1 είναι συνεχή IR για την υνάρτηση g στημα Δ . Αν f(α) να αποδείξετ χέση  3 f x 4 άχιστον μια ρ  f f(x) x 4  φθίνουσα ρη κορυφή το α σταματήσει ώρες, ακολου ον σημείο τη 0 ,  x α,β   1 2f x f v    4 για κά 1 , να υπολογ ής στο  1,2 ν οποία ισχύε    f x ημ x         α,β,γ Δ μ τε ότι είναι γ   2 4f x 6f x ρίζα στο 0,1  4 2f x για ου Ολύμπου βρίσκεται σε θώντας την ί ς διαδρομής . Για κάθε x   3x ... f v   θε x IR κα γίσετε το όριο ει   3 f x xf     2 f x2 μ 1 x x 1 f x x     με α β γ  γνησίως μονό  3 2 x x 2x  1 κάθε x R . διαρκεί 6 ώρ σε 6 ώρες στην ίδια διαδρομ ς όπου βρίσκε 1 2 3x ,x ,x ,...,x  vx και αι  f 2 1 ο x 1 lim f(x)     3 x x 0  , 1 , x 0 , x 0 , x 0    25 , να ότονη στο 6x 1  για Να δείξετε ρες. Ένας ν κορυφή. μή, εται την  vx α,β  1 3 ημ x 1  x 0,  5
  26. 26. 26 http://users.s 1.306 Δί Α) Ν Β) Ν Γ) Ν 1.307 Γι υπολογίσετε 1.308 Έσ   3 f x 3f x Α) ότ Β) ότ Δ) Ν Ε) x lim  1.309 ** οποίου τα ά ορισμού το Α) Ν Β) N 1.310 Δί Η συνάρτησ     f f(x) f f(x) 2   Για τη συνά Α) f Β) Υπ Γ) f Δ) υπ Ε) οι sch.gr/mipap ίνεται η συνε α αποδείξετε α βρείτε το σ α αποδείξετε ια τη συνεχή ε το και στω συνάρτη x x για κά τι η f είναι 1 τι η f είναι γ α αποδείξετε   0 f x 1 m x 3  * Αν f είναι άκρα ανήκου  0,1 και με α αποδείξετε α αποδείξετε ίνονται οι συ ση f είναι συ     f f(x) 1 f f(x) 1    , άρτηση g ισχ  x 0 , για κ πάρχει ω R     1 f 2 f 3 πάρχει μια το ι f και g δεν f(0) pagr εχής συνάρτη ε ότι η είνα σύνολο τιμών ε ότι η εξίσωσ συνάρτηση f ι να αποδείξε ηση f ορισμέ άθε x R . Να 1 1 και να β γνήσια αύξου ε ότι η f είνα μια συνάρτη υν στη γραφι ε    f 0 f 1  ε ότι υπάρχει ε ότι υπάρχει υναρτήσεις f υνεχής στο R , για κάθε x χύει ότι  g x κάθε x R R ώστε  f ω   3 f 4 ουλάχιστον ρ ν είναι αντισ f ηση με αι αντιστρέψ ν της συνάρτ ση f, ισχύει ότι: ετε ότι υπάρχ ένη στο R με α αποδείξετε βρείτε τον τύ υσα. αι συνεχής στ ηση, τότε λέγ ική παράστα 0 . ι οριζόντια χ ι οριζόντια χ f και g για τ R με  f x 0 R .    2 f x f 1  2 ρίζα της g σ στρέψιμες. f f x   x f x e  ψιμη και να ο τησης έχει μο χει, ένα τουλ ε σύνολο τιμ ε ότι ύπο της αντίσ Γ) f x το μηδέν γοντας χορδή αση της f . Έσ χορδή της f χορδή της f τις οποίες ισχ 0 , για κάθε x   1 f 2 , για κ στο  1,2  x ln x ln   g x  1 0   3 2 x 4  ορίσετε την οναδική λύσ λάχιστον μών το R , γι στροφής της.   2 x x f x 3   ή της f εννοο στω ότι f είν με μήκος 1 2 . με μήκος 1 ν , χύουν ότι: x R ,  f 0  κάθε x R .  x 1 f   x f x e  2x 8 xf(  κ  ΣΥΝΑΡΤ ση μεγαλύτερ ώστε ια την οποία 3 για κάθε x ούμε ένα ευθ ναι μια συνεχ . , όπου ν 1 1 ,  f 2009  Ν' αποδειχθε 1 f x (x) ημ x 6   (0,1] f ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ ρη του ένα , . Ν ισχύει ότι x R θύγραμμο τμ χής συνάρτη 1,2,3... 2009 και εί ότι : 6 x 4     κ f κ ημ 6   Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Να . μήμα του ση με πεδίο 6 κ

×