Η Ασκηση της Ημέρας

1. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Έχουμε
 
   

 
 
         
  
  
0
0
f (x) g (x) g (x)f(x) f (x) g (x) g (x)f(x) 0
f (x) g (x) f(x) 1
f(x) 1 g (x) f(x) 1
 
   
   
 
 

  
  
  
g x 0
e
g x g x
e e 0
σ x 0 για κάθε x 0
f(x) 1 g (x) f(x) 1
και επειδή η συνάρτηση σ είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) στο R, προκύπτει ότι η
συνάρτηση σ είναι γνησίως αύξουσα στο R
β) Για            
<σ
x 0 σ x σ 0 0 f x 1 0
Για            
<σ
x 0 σ x σ 0 0 f x 1 0
Άρα για κάθε x 0 ισχύει    x f x 1 0
Διαιρώντας με 2
x 0 προκύπτει
         
 
  
      
x 0
f παραγωγίσιμη στο 0f x 1 f x f 0 f x f 0
0 0 0 f 0 εφω 0
x x x
lim======>
Άρα
  
π
ω 2ω π.
2
Έχουμε
               
         
    

 

         

    
    
 
R
x
e 0
x
f x f x g x g x f x g x g x f x
f x g x f x g x 0
f x g x e 0 για κάθε x
Άρα η συνάρτηση        
  x
m x f x g x e είναι γνησίως αύξουσα στο R
Οπότε
Λύνει ο Ανδρέας Πάτσης
Για μαθητές
Για καθηγητές

2. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
             
          


      
   
0
0
xx
0 0 0 0
x x
0 0
για x x m x m x f x g x e f x g x e
f x g x f x g x e 1
και επειδή
   
 



 
 
   
 
 
0
x
x x
0 0
f x g x elim
προκύπτει από τη σχέση  1 ότι
      
  
x
f x g x 2lim
Άρα
 
 
 
  
                               
        
2
x 0 x 02 2
1
ημ 1 συνx
x 1 συνx 1 1
lim lim ημ 0
x1 1 1 1x
x f x g f g
x x x x
διότι

  
      
   
    
      
   
22
2
2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
1 συνx 1 συνx ημx1 συνx 1 συν x 1 1
lim lim lim lim 1 0
x 1 συνx 2x x 1 συνx x 1 συνx
ή εναλλακτικά
 
 
  
 
 
 
  

    

0
0
2
x 0 x 0 x 02
1 συνx ημx1 συνx 1 1 1
lim lim lim 1
2 x 2 2x
x

   


 
                       
    
1
t
x
tx 0
1 1 1
lim ημ lim ημt 0
x f t g t1 1
f g
x x
αφού για  0
t x έχουμε
           
   
       
           
 
      
    
    
  
f t g t 0
1 1 1 1 1
ημt ημt ημt
f t g t f t g t f t g t f t g t f t g t
1 1 1
ημt
f t g t f t g t f t g t
και επειδή
   
 

 
  
  
t
2
1
0
f t g t
lim προκύπτει ότι
   
 
  
  
t
1
lim ημt 0
f t g t

3. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Η σ έχει πεδίο ορισμού το και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό με
 
   
   
 
 
         
 
 
g x g x
2
g x
f x e g x e f x 1
σ x
e
 
      
 
       
 
        
 
 
 
g x
2 g x
g x
e f x g x f x 1 f x g x f x g x
ee
.
Όμως  
  
g x
e 0, x και                            f x g x g x f x f x g x f x g x 0, x .
Οπότε     σ x 0, x . Άρα, 1σ .
β) Θέλουμε να δείξουμε ότι 
π
ω
2
.
Όμως για οποιαδήποτε ευθεία ισχύει:  0 ω π.
Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι    εφω 0 f 0 0 .
Έχουμε:
 
       
   
 
           
       
g 0
g 0 g 0
f 0 g 0 f 0 g 0 f 0
σ 0 σ 0 f 0 σ 0 e
e e
.
Είναι   σ 0 0, αφού   σ x 0,  x και  

g 0
e 0.
Οπότε,   f 0 0 .
Άρα, 2ω π.
Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου
Για μαθητές

4. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
         f (x) f(x) g (x) g(x) f (x) g (x) f(x) g(x) (1).
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση h με τύπο:

 x
f(x) g(x)
h(x)
e
με Rx .
Τότε:
           
(1)
x
f (x) g (x) f(x) g(x)
h (x) 0
e
.
Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R.
Για  o
x x θα ισχύει:


   
o
o o
o x x
f(x ) g(x )f(x) g(x)
h(x) h(x ) 0
e e
γιατί  o o
f(x ) g(x ) 0 από την
εκφώνηση της άσκησης.
Άρα η συνάρτηση h είναι θετική και γνησίως αύξουσα για  o
x x . Τότε:


  
  
  R*x
lim h(x)
α
Το όριο γράφεται:
 
 
 
    
           
           
            
            
x 0 x 0
2
1 1
ημ 1 συνx ημ
x x 1 συνx
lim lim
x1 1 1 1
x f g x f g
x x x x
(2)
Ισχύει: 



x 0
1 συνx
lim 0
x
.
Επίσης:
    
   
       
     
    
    
u u
u u u ux 0
u
1 u ημu u ημuημ
ημu u ημux e elim lim lim lim lim
f(u) g(u) f(u) g(u)f(u) g(u) h(u)1 1
x f g
u ex x
(3)
Όπου 
1
u
x
και άρα: όταν 
x 0 τότε  u
Ισχύει:
 
      
u
u
0
e
u u u
u u u
1 ημu 1 ημu
e e e
Όμως:


 
 u uu u
u 1
lim lim 0
e e
και από κριτήριο παρεμβολής:

 
 
 
uu
u
lim ημu 0
e
(4)
Λύνει ο Δημήτρης Σαριβασίλης
Για καθηγητές

5. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Από (3), (4)

 
  
  
   
   
u
u
0u ημu
0
αelim
h(u) 0 1
0 0
(5)
Τελικά από (2), (5) το όριο είναι ίσο με το 0.

6. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
 Αφού  x ισχύει από την υπόθεση:
   
      
       
    
      
' ' ' '
' '
'
' ' x x
f (x) f(x) g (x) g(x) f (x) f(x) g (x) g(x) 0
f (x) g (x) f(x) g(x) 0
f (x) g (x) e e f(x) g(x) 0
      
 
'
x
e f(x) g(x) 0 (1)
 Θεωρώ την συνάρτηση   
   Rx
h(x) f(x) g(x) e , x που από την (1) είναι
  '
h (x) 0, x και κατά συνέπεια είναι γνησίως αύξουσα.
 Δεδομένου, από υπόθεση, ότι υπάρχει     R0 0 0 0 0
x ώστε f(x ) g(x ) f(x ) g(x ) 0
επομένως και 0
h(x ) 0 είναι    0 0
h(x) h(x ) 0, x x (2)
  

  
   
        
   
          
                
          

1
x
(1),(2)
1
x 0 x 0
2 2 x
1 1
ημ (1 συνx) e ημ (1 συνx) (1 συνx)
x x
lim lim
1 1 1 1
x f g x f g e (1 συνx)
x x x x


  
  
      
  
  
  
2
1 2
x 0
x
1
ημ
ημ xx 1 1
lim 0
(1 συνx) 1x
he
x
γιατί:  
 
 
  
 
22
2
x 0 x 0
ημ x ημx
lim lim 1
xx
και



 

  
        
   
 
 

1
θέτω y
x
x 0 ,y
1 yyx 0
x
1
ημ
ημyx
lim lim 0
e
e
αφού:
 
 

    



    
      
    
y y y y y
y y
x 0 x 0
ημy ημy1 1 1
e e e e e
και
1 1
lim lim 0
e e
Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος
Για καθηγητές

7. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
και τέλος:






  
  
  
x 0
0
1 1
lim
1 συνx 2
και
1
h h(x )
x

8. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Από την υπόθεση είναι:
 f΄(x) g΄(x) f(x) g(x)   f΄(x) f(x) g΄(x) g(x)   
 x x
e f΄(x) e f(x)  
x x
e g΄(x) e g(x)
  
 x
e (f(x) g(x)) ΄ 0  Rx
επόμενα η συνάρτηση h(x) 
x
e (f(x) g(x) είναι γνήσια αύξουσα στο R.
Συνεπώς
  0 0
x x h(x) h(x )

 x
f(x) g(x)
e

0
0 0
x
f(x ) g(x )
e
οπότε:
 f΄(x) g΄(x) 
  0x x
f(x) g(x) e 0 0
(f(x ) g(x ))>0 και επειδή 0 0
f(x ) g(x )>0 ,


 0x x
x
lim e θα είναι

   
x
lim(f(x) g(x))


x
lim(f΄(x) g΄(x)).
Επίσης



u
u
lim
f(u) g(u) 

u
1
lim 0
f΄(u) g΄(u)
, από κανόνα de l' Hospital,



2x 0
1 συνx
lim
x 

x 0
ημx 1
lim
2x 2
, επίσης από κανόνα de l' Hospital,

 
 
 
1
xημ x
x

 
   
 
1
x xημ x
x
οπότε από κριτήριο παρεμβολής

 
 
 x 0
1
limxημ 0
x
.
΄Αρα το δοσμένο όριο είναι: 

 
  
  
   
   
   
x 0 2 2
1
ημ (1 συνx)
x
lim
1 1
x f x g
x x


  
 
  
   
   
   
2
x 0
1 1 συνx
xημ
x x
lim 0
1 1
x(f g )
x x
Διότι αν θέσω 
1
u
x
τότε
 
 
   
   
   
ux 0
1 u
lim lim 0.
f(u) g(u)1 1
xf xg
x x
α) Προφανώς η σ(x) είναι συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη.
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς
Για καθηγητές
Για μαθητές

9. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Δίνεται:
σ(x)

 g(x)
f(x) 1
e

 

g(x) g(x)
2g(x)
f΄(x)e (f(x) 1)g΄(x)e
σ΄(x)
e
 σ΄(x)
 
g(x)
f΄(x) f(x)g΄(x) g΄(x)
0
e
για κάθε x 0 διότι  f΄(x) g΄(x) g΄(x)f(x).Επόμενα η σ΄(x) διατηρεί πρόσημο στο
 ,0 ∪  0, , οπότε η σ(x) είναι γνήσια αύξουσα στο R.
β) Επειδή η Cf διέρχεται από το σημείο Α(0,1) θα είναι f(0) 1 και σ(0)=0.
Επίσης για x 0,


f(x) f(0)
x


f(x) 1
x
g(x)
σ(x)e
x
και
εφω=


 
x 0
f(x) f(0)
f΄(0) lim
x 

g(x)
x 0
σ(x)e
lim
x 

 g(x)
x 0
σ(x) σ(0)
lime
x
 g(0)
e σ΄(0) 0
΄Ομως  0 ω π, οπότε προκύπτει   
π
0 ω 0
2
 2ω π.

10. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Η σ παραγωγίζεται στο R ως πράξεις παρ/μων με
       
   
g(x) g(x)
2g(x) g(x)
f (x)e g (x)e f(x) 1 f (x) g (x)f(x) g (x)
σ (x) 0
e e
στο  ,0 και στο  0, από
την υπόθεση. Επειδή η σ είναι συνεχής στο 0 θα είναι στο   ,0 και στο  0, άρα και
στο .
β) Eίναι

 g(x)f(x) f(0) σ(x)
e ,x 0
x x
. Λόγω μονοτονίας της σ και επειδή σ(0) 0οι σ(x),x
έχουν ομόσημες τιμές, άρα κοντά στο 0 ισχύει

        g(x) g(x) g(0)
x 0
σ(x) σ(x) π
e 0 lim( e ) 0 f (0) σ (0)e 0 ω
x x 2
Η συνάρτηση της οποίας ζητάμε το όριο γράφεται:
 
 
   
   
 
2
2
1 x
ημ ημ
1 συνx 1x 2
1 1 x2x
f( ) g( )
x x 2
με


2x 0
1 συνx 1
lim
2x
αφού


x 0
x
ημ
2lim 1
x
2
Αν θέσουμε  h(x) f(x) g(x) η ανισοτική σχέση της υπόθεσης γράφεται
           x x x x
h (x) h(x) h (x)e h(x)e 0 h(x)e 0 h(x)e στο R δηλαδή για

   0xx
0 0
x x e h(x) e h(x ) 0 επειδή 0 0
f(x ) g(x ). Άρα 
 0x x
0
h(x) e h(x )κι επειδή


 0x x
0x
lim e h(x ) θα είναι
 
   
x x
1
lim h(x) lim 0
h(x)
. Για   
1
u
x
στην

1
ημ
x
1 1
f( ) g( )
x x
ισούται με
ημu
h(u)
και από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι  
ημu 1
0
h(u) h(u)
και το ζητούμενο
όριο 0.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
Για καθηγητές
Για μαθητές

11. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
 
 
    
           
           
            
            
x 0 x 0
2
1 1
ημ 1 συνx ημ
x x1 συνx
lim lim 0
x1 1 1 1
x f g x f g
x x x x
Αφού έχουμε ότι:



x 0
1 συνx
lim 0
x
και
          
   
   
     
          
        
       
x 0 x 0 u u
1 1 1
ημ ημ
uημu ημux x x
lim lim lim lim
f u g u f u g u1 11 1
f gx f g
x xx x u
Όμως
                   
    
   
ημu ημu1 1 1
f u g u f u g uf u g u f u g u f u g u
u uu u u
Αρκεί να δείξουμε ότι:
   


 
x
f x g x
lim
x
Η δοσμένη γίνεται:
                  
x
f (x) g (x) f(x) g(x) 0 e f(x) g(x) 0
Δηλαδή η  
 x
h(x) e f(x) g(x) έχει  h (x) 0 , h συνεχής άρα γνησίως αύξουσα στο R,
οπότε αν    0 0
x > x h x > h x
Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ. στο   0
x ,x και έχουμε: h συνεχής και παραγωγίσιμη στο   0
x ,x άρα
υπάρχει    
   
      

      

0
0 0 0
0
h x h x
ξ x ,x : h ξ h x h ξ x x h x
x x
Οπότε:          
        0 0x x
lim h x lim h ξ x x h x αφού h ξ 0
Άρα το ζητούμενο όριο γίνεται:
     
       

       
x x
x x x x
f x g x e h x e
lim lim lim lim h x
x x x
αφού
  
 
 
  
   
x x
x
x x x
e e
lim lim lim e
x 1
(3)
Άρα το όριο είναι ίσο με το 0.
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος
Για καθηγητές

12. ___________________________________________________________________________
19η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17