H Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Θεωρούμε τη συνάρτηση :  με τύπο   x
x e x  
Τότε η  είναι γνησίως αύξουσα στο , αφού   x
x e 1 0    , για κάθε x  .
Οπότε:
 
   
 
      
 
2 22 2
f x - x f x xx x + 1 x x 12 2 2 2
" 1 1"
2 2 2 2
2 2
e - x x + 1 = e +x -f x e f x - x e x x 1
f x x x x 1 f x x x x 1
f x x x 1 x , x
  
 
      
           
     
β)
Η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο
   2 2
f x x x 1 x

        2 2 2
2
x
x x 1 x x 1 x 2x
x 1
 
        

2
2
2
x
x 1 2x
x 1
    

2
24
24
x
x 1 0
x 1
 
    
  
, για κάθε x 
( διότι
2
24
24
x
x 1 0
x 1
 
    
  
2
2
24
x 1 x
0 x 1 x 0,
x 1
 
    

για κάθε x  ( εύκολη η διαπίστωση) ).
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ)
Είναι
      
 
x x x
x x x
x x x
2 2 2 2
2 2
2 2
4 2 2 2
2 2 2 2 2
x 0
2
22
x x x 1 x x x 1
f x x x x 1
x x x 1
x x x 1 x x
x x x 1 x x x 1 x x 1
x x
11
x x 1x x 1
xx
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
  
  
  

   
   
 
   
  
     
 
  
 
   
 
2
1 1
1 2
1 1
x


 
 
και
   x x
2 2
f x x x x 1lim lim
 
    
και η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο , άρα
Λύνει οι Ανδρέας Πάτσης – Παύλος Τρύφων

2. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
  1
f ,
2
 
   
 
δηλαδή
  1
f x 0
2
  για κάθε x 
Άρα
  3
f x 1
2
  για κάθε x 
και επειδή
x 1  για κάθε x 
συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση   3
x f x
2
   είναι αδύνατη στο
δ)
     
   
1 1 1 1 14 2 4 2 2 4 2
2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 12 2 4 2
2
0 00
2x x 2x x x 2x x
xf x dx xf x dx dx f x dx dx
22 x 1 2 x 1 2 x 1
x x 2x x
f x f x dx dx
2 2 2 x 1
     
       
    
  
   
 
    
 
1 122 4 2
2
2 2
0 0
1 14 2 4 2
3
2 2
0 0
2 1 x x 2x x
x 1 2x dx dx
2 2 2 x 1x 1
2 1 2x x 2x x
x dx dx
2 2 x 12 x 1
2
        
   
       
   


 
 
1 4 2
2
0
1 2x x
dx
2 2 x 1




1 4 2
2
0
1 2x x
dx
4 2 x 1

 


2 1
2 4
 

3. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Η σχέση
2 2
f(x) x 2 x x 1 2
e x x 1 e x f(x) 
     μετασχηματίζεται ισοδύναμα στην
 
2 2
f(x) x 2 x x 1 2
e f(x) x e x x 1,x 1 
     
Θεωρούμε την συνάρτηση x
g(x) e x,x   , επειδή x
g (x) e 1 0,x     και η g είναι
συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα στο και άρα "1 1" .
Η      
g,"1 1"
2 2 2 2 2 2
1 g f(x) x g x x 1 f(x) x x x 1 f(x) x x 1 x ,x

            
β)
Είναι
     
2
2 2 2 2 2 2
2
x
f (x) x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 2x
x 1
                

2
2
2x 1
f (x) 2x,x
x 1

   

Εξετάζουμε πότε;
 
22 2 x 1 0
2 2
2 2
2x 1 2x 1
f (x) 0 2x 0 2x 2x 1 2x 2x 1, 2
x 1 x 1
 
 
            
 
, όταν x 
 Για x 0 η (2) ισχύει προφανώς.
 Για x 0 τότε    
22
2 2 2 2
2x 1 2x 2x 1 0 2x 1 2x 2x 1          
4 2 4 2
4x 4x 1 4x 4x 1 0      , αληθής
Άρα
f (x) 0, x    και επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ)
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο το σύνολο τιμών της θα είναι
 x x
f( ) lim f(x), lim f(x)
 
 και επειδή ακόμη
   4 2 2 2
2 2
x x . x x2 2
2
2
x x x 1 x
lim f(x) lim x x 1 x lim lim
1x x x 1
x x x 1
x

    
  
     
 
 
2x 0
x x x
2 2
2 2
x 1 1
lim f(x) lim lim
1 1 2
x x 1 1 1
x x

  
 
   
   
, τότε
1 3 1 3
f(x) f(x)
2 2 2 2
      
3
f(x) 1
2
   και άρα η εξίσωση
3
x f(x)
2
   είναι αδύνατη.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος

4. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
δ)
Έχουμε
2
x
*
2 2 4 2 22
3
2 2 2
2x 1 2x 1 2x x x
f (x) 2x f (x) 2x f (x) x
2x 1 x 1 2 x 1
  
          
  
4 2 2 2 2 4 2 4
3
2
2x x x x x x x x
xf(x) xf(x) f (x) x f(x) f (x) f(x)
2 2 2 4 2 42 x 1
          
                    
        
οπότε
11 14 2 2 4 2 4
2
0 0 0
2x x x x x x 1 1
I xf(x) dx f(x) dx f(x) f(1)
2 4 2 4 2 42 x 1
     
               
     
 
1 2 1 1 2 2
I
2 4 4
 
  

5. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Για κάθε x  ισχύει:
 
   
   
2 22 2f x x f x x2 x x 1 2 2 x x 1 2
e x x 1 e x f x e f x x e x x 1 1
    
          
Θεωρούμε συνάρτηση   x
g x e x , x   .
Για κάθε x  είναι   x
g x e 1 0    άρα g γνησίως αύξουσα στο
οπότε και 1-1.
        
 
2 2 2 2
2 2
1 g f x x g x x 1 f x x x x 1
f x x x 1 x
       
   
β)
Για κάθε x  είναι
 
 
2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2
2x x
f x x 1 x 2x x 1 2x
2 x 1 x 1
x x 1x 1 x 2x x 1
0
x 1 x 1
          
 
    
  
 
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ)
Είναι
   
2 2
2 2
x x x x x2 2
2
22
x x 1
lim f x lim x x 1 x lim lim lim
11x x 1 x
1 1x 1 1
xx
1 1
1 0 1 2

    

    
  
     
 

  
 

και    2 2
x x
lim f x lim x x 1 x
 
    
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο άρα
      x x
1
f lim f x , lim f x ,
2 
 
    
 
Η εξίσωση    3 3
x f x f x x
2 2
      
Όμως   1
f x
2
  ενώ
3 1
x 1 x
2 2
       και άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
δ)
Λύνει ο Τρύφωνας Ζωϊτσάκος

6. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι
 
 
2
2
2 2 2 2
2 2 2
x x 1 x 2x x 1 x 1 2x 1
f x 2x
x 1 x 1 x 1
      
    
  
   
   
 
4 2 4 2
1 1 1
0 0 02 2
1
2 4 2 2 2 4 2
1 1 1 1
0 0 0 02 2
0
2 2 4 2
1 1
0 02 2
4 2
1
0 2
2x x 2x x
xf x dx xf x dx dx
2 x 1 2 x 1
x 2x x x x 2x x
f x dx dx f(x) f x dx dx
2 2 22 x 1 2 x 1
1 x 2x 1 2x x
f 1 2x dx dx
2 2 x 1 2 x 1
2 1 2x x
2 2 x 1
  
    
  
    
       
    
  
    
  
 


  
   
 
4 2
1 1
3
0 0 2
1
4
0
2x x
dx x dx dx
2 x 1
2 1 x 2 1 1 2 2 1
2 4 2 4 4

  

   
    
 
  

7. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Είναι
2 2
f(x) x 2 x x 1 2
e x x 1 e x f(x) 
     
2 2
f(x) x 2 x x 1 2
e f(x) x e x x 1, x 
     
και αν x
g(x) e x, x   η ισότητα γράφεται
2 2
g(f(x) x ) g(x x 1), x    (1)
και επειδή τώρα x
g (x) e 1 0, x     η g είναι γνήσια αύξουσα στο άρα και 1 1
επομένως από την (1) έχουμε
2 2 2 2
f(x) x x x 1 f(x) x x x 1, x       
β)
Η 2 2
f(x) x x x 1, x    είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με
2
2 2 2
2
2 2
x 2x x 1 x 1 x
f (x) 2x x 1 x
x 1 x 1
   
     
 
ή
 
2
2
2
x x 1
f (x) 0, x
x 1
 
   

επομένως η f είναι γνήσια αύξουσα στο .
γ)
(1ος τρόπος)
Είναι
2
2 2 2 2 2
2f(x) 2x 2x x 1 2f(x) 1 x 2x x 1 x 1          ή
 
2
2
2f(x) 1 x x 1 0, x      επομένως
1 3
2f(x) 1 0 f(x) f(x) 1, x
2 2
        
και η εξίσωση
3
x f(x)
2
   είναι αδύνατη.
(2ος τρόπος)
Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο R έχει σύνολο τιμών το
 x x
1
f( ) lim f(x), lim f(x) ,
2 
 
     
 
γιατί
2 2
2
x x x x2 2
x x 1 x
limf(x) limx(x x 1) lim x lim
x x 1 x x 1   
    
        
      
x 0
x
2
1 1
lim
1 2
1 1
x


 
    
   
 
και 2
x x
limf(x) limx(x x 1)
 
    
και κατόπι όπως στο 1ο τρόπο.
δ)
Λύνει o Βασίλης Κακαβάς

8. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι
1 14 2 2
2
2 2
0 0
2x x 1 2x 1
I xf(x) dx 2xf(x) x dx
22 x 1 x 1
    
      
    
  (1)
και επειδή
2 2 2
2
2 2 2
x 2x 1 2x 1
f (x) 2x x 1 2x f (x) 2x
x 1 x 1 x 1
 
         
  
έχουμε ότι
   
1 1
2 2 2 3
0 0
1 1
I 2xf(x) x (f (x) 2x) dx (x ) f(x) x f (x) 2x ) dx
2 2
        
11 4 4
2 2
0 0
1 x 1 x
x f(x) dx x f(x)
2 2 2 2
   
       
   

1 1 1 1 2 2 1
(f(1) ) ( 2 )
2 2 2 2 4

   

9. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Από την δοσμένη σχέση έχουμε :
2 2 2 2
f(x) x 2 x x 1 2 f(x) x 2 x x 1 2
e x x 1 e x f(x) e +f(x)-x e x x 1   
         σχέση (1)
Θεωρούμε συνάρτηση g με τύπο :   x
g x e x  παραγωγίσημη στο με :
  x
g ΄ x e 1 0   οπότε g γνησίως αύξουσα στο και επομένως « 1-1»
Η σχέση (1) με την βοήθεια της συνάρτησης g γίνεται :
   2 2 2 2 2 2
g f(x) x g x x 1 f(x) x x x 1 f(x) x x 1 x          
β)
Παραγωγίζοντας την συνάρτηση f έχουμε :
 
2
2
2
2
2 2
x x 1x
f ΄(x) x 1 2x ........ 0
x 1 x 1
 
      
 
**** Η παράσταση : 2
x x 1  είναι θετικός γιατί :
2 2 2 2 2 2
1 x x 1 x x 1 x x 1 x x+ 1 x 0             
Άρα f γνησίως αύξουσα στο
γ)
 
2
2 2 2 2 2
2 2
x+ 1 x 0 2x 1 2x 1 x 0 2x 2x 1 x 1
1 1 3 1 3 3
x x 1 x f(x) f(x)+ + f(x)+ 1
2 2 2 2 2 2
            
             
οπότε σύμφωνα με το παραπάνω η εξίσωση :
3
ημx=f(x)+
2
είναι αδύνατη γιατί πρέπει να
ισχύει ότι :
3
ημx=f(x)+ 1
2
 . Άτοπο γιατί ημx 1
β΄ τρόπος
Επειδή f γνησίως αύξουσα στο βρίσκουμε το :
 
2
2 2
x x x
2
2
x 1
lim f(x) lim x x 1 x ............ lim
1 2
x 1 1
x
        
 
       
    
 
οπότε
1
f(x)
2
  ,
άρα ……
δ)
Από το β) ερώτημα έχουμε ότι :
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς

10. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
 
2
2
2 2 2
2 2 2
x x 1 2x 1 2x x 1 2x 1
f ΄(x) 2x
x 1 x 1 x 1
     
   
  
οπότε
2 2
2 2
2x 1 2x 1 f ΄(x)
f ΄(x) 2x x
2x 1 2 x 1
 
    
 
σχέση (2)
 1 1 124 2 2
2 2
2 2
0 0 0
11 12 2
3
0 0 0
2x x 2x 1 f ΄(x)
xf(x) dx xf(x) x dx xf(x) x x dx
22 x 1 2 x 1
x x
xf(x) f ΄(x) x dx xf(x)dx f (x) x
2 2
      
                    
   
          
   
  
 
 
11 4
0 0
x
f(x)dx
4
1 1 1 1 2 2 1
f(1)- 2 1
2 4 2 4 4
 
  
 

    


11. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Η   x
x e x   είναι στο άρα και 1 1 και η δοσμένη ισότητα ισοδύναμα γράφεται:
      2 2 2 2
f x x x x 1 f x x x x 1         .
β)
Η f με συζυγή παράσταση γράφεται   2
x
f x
x 1 x

 
, αφού 2
x 1 x x   
και η  
 
2
2 2
1
f x 0 f
x 1 x 1 x
   
  
στο .
γ)
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:  3
x f x
2
   .
Το σύνολο τιμών της
3
x
2
  είναι το
5 1
,
2 2
 
  
 
, ενώ της f το
1
,
2
 
  
 
αφού
 x
lim f x

  και
 
 2 2 4
x x x x2 2 2
2
x x 1 x x x 1
lim f x lim lim lim
21x x 1 x x 1 x
x 1 1
x
   
 
    
    
    
 
.
Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
δ)
Είναι
Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι
 
1
2 4
0
x f x x 2 1
2 4 2 4
 
     
  
.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
   
   
   
2 2 2 2
2
4 2 3 2 4 2
3
2 2
2 4 4 2
2
x x 2x 1 2x x 1
f x xf x
2 2 x 1
2x x 2x x 1 2x x
xf x xf x x
2 x 1 2 x 1
x x 2x x
f x xf x
2 4 2 x 1
    
   
 
   
    
 
  
    
 

12. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Η συνάρτηση   x
g x e x  , x  είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο  με
  x
g x e 1   .
Επειδή  g x 0  για κάθε x  , η g είναι γνησίως αύξουσα στο  , άρα και «1-1» .
Για κάθε x  :
 
   
 
2 22 2f x x f x x2 x x 1 2 2 x x 1 2
e x x 1 e x f x e f x x e x x 1
  
           
        
g"1 1"
2 2 2 2 2 2
g f x x g x x 1 f x x x x 1 f x x x 1 x

            , x  .
β΄ τρόπος
Έστω οι συναρτήσεις     2
h x f x x  , x  και   2
k x x x 1  , x  .
Αν υπάρχει 1
x  :        1 1h x k x
1 1
h x k x e e   οπότε    
   1 1h x k x
1 1
h x e k x e  
καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν υπάρχει 2
x  :        2 2h x k x
2 2
h x k x e e   οπότε    
   2 2h x k x
2 2
h x e k x e  
καταλήγουμε σε άτοπο.
Άρα ισχύει        2 2 2 2
h x k x f x x x x 1 f x x x 1 x         , x  .
β)
Η f είναι παραγωγίσιμη στο  με
 
 
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
x 1 xx x 1 2x x 1 x
f x x 1 2x 0
x 1 x 1 x 1
    
       
  
x  , αφού
2 2 2
x 1 x x x x 1 x 0         για κάθε x  .
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ)
   2 2
x x
lim f x lim x x 1 x
 
     και
     2 2
2 2
x x x x2
2
x x 1 x x
lim f x lim x x 1 x lim lim
1x 1 x
x 1 x
x
   
 
    
 
 
x 0
x x
2 2
x x 1
lim lim
1 21
x 1 x x 1 1
x x

 
   
 
       
 
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο το σύνολο τιμών της είναι :
      x x
1
f lim f x , lim f x ,
2 
 
    
 
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης

13. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Άρα για κάθε x  :    1 3
f x f x 1 x
2 2
       ,
άρα η εξίσωση   3
x f x
2
   είναι αδύνατη.
δ)
Είναι :
     
4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2x x x 2x 1 x x 1 x
xf x xf x xf x
2 22 x 1 x 1 x 1 x 1
   
         
    
        
2 2 2 2 2
2 3
2
x x x x x
xf x x 1 f x f x 2x f x x
2 2 2 2x 1
      
                 
     
, άρα
   
   1
4 2 2 4
1
0 2
0
f 1 2f 1 12x x x x 1 2 2 1
xf x dx f x
2 4 2 4 4 42 x 1
    
          
   
 .
β΄ τρόπος
   
4 2 4 2
1 1 1
0 0 02 2
2x x 2x x
xf x dx xf x dx dx
2 x 1 2 x 1
  
    
  
  
   
1
2 2 4 2
1 1
0 0 2
0
x x 2x x
f x f x dx dx
2 2 2 x 1
  
    
 
 
 
 
4 2 2
1
0 2
f 1 2x x x
f x dx
2 22 x 1
 
   
 

   
2
2
4 2 2
1
0 2 2
x 1 xf 1 2x x x
dx
2 22 x 1 x 1
 
  
   
  
 

  4 2 4 2 3 2 4
1
0 2
f 1 2x x x x 2x x 1 x
dx
2 2 x 1
      
  
  

  1
3
0
f 1
x dx
2
  
  1
3
0
f 1
x dx
2
   .
1
4
0
2 1 x 2 1 1 2 2 1
2 4 2 4 4
   
     
 

14. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Θέτω x
g(x) e x  , x R  . x
g'(x) e 1 0   x  οπότε η g  επόμενα είναι 1-1.
Tώρα
2
f(x) x
e 
 2
x x 1 
2
x x 1
e 
 2
x f(x) 
2
f(x) x 2
e f(x) x
  
2
x x 1 2
e x x 1
  
2
g(f(x) x )  2
g(x x 1)  2
f(x) x  2
x x 1  f(x)  2 2
x x 1 x  .
β)
f'(x)  2
x 1 
2
x 2x
2x
2 x 1

 

2
x 1 
2
2
x
2x
x 1
 

2 2 2
2
x 1 2x x 1 x
x 1
   


2 2
2
2x 1 2x x 1
x 1
  


2 2
2
(x x 1)
0
x 1
 


x  . Άρα f  .
γ)
x
lim f(x)

  , f(x)  2
[x( x 1 x) 
2
x
1 x x

 
2
x
1
x( 1 1)
x
 
 
2
1
1
1 1
x
 
 
και
x
lim f(x)


x
2
1 1
lim
1 2
1 1
x

  
 
.
Επόμενα f( ) (
1
2
 , ),δηλαδή
1
f(x)
2
  
3
f(x) 1
2
  και επειδή 1 x 1    η
εξίσωση x 
3
f(x)
2
 είναι αδύνατη στο .
δ)
1 4 2
2
0
2x x
xf(x) dx
2 x 1
 
  
 

1
0
xf(x)dx 
1 2 2
2
0
x (2x 1)
dx
2 x 1




1 2
0
x
( )'f(x)dx
2

1 2 2
2
0
x (2x 1)
dx
2 x 1




1
2
0
x
f(x)
2
 
 
 
-
1 2
0
x
f'(x)dx
2

1 2 2
2
0
x (2x 1)
dx
2 x 1




1 2 2
2
0
f(1) x 2x 1
[f'(x) ]dx
2 2 x 1

 

 
1 2 2
2
0
( 2 1) x 2x x 1
( )dx
2 2 x 1
 
 


( 2 1)
2


1 2
0
x
2xdx
2
 
( 2 1)
2


1
3
0
x dx 
( 2 1)
2


1
4
0
x
4
 
 
 
( 2 1) 1
2 4

 
2 1
2 4
 
2 2 1
4

 .
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς

15. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Θεωρούμε συνάρτηση g :  με τύπο   x
g x e x  .
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με   x
g x e 1 0   , άρα η g είναι
γνησίως αύξουσα στο , οπότε και 1 1 .
Δίνεται:
 
 
2 2f x x 2 x x 1 2
e f x x e x x 1
 
          2 2
g f x x g x x 1      2 2
f x x x x 1  
β)
Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο , με
 
2
2
2
x
f x 2x x 1
x 1
   

 .
Προφανώς για x 0  f x 0  .
Εργαζόμαστε για x 0 .
 
2 2
2
2x x 1 2x 1
f x
x 1
  



Προκειμένου να δείξουμε ότι  f x 0  , αρκεί να δείξουμε ότι 2 2
2x 1 2x x 1    , όπου
με τετραγωνισμό, αφού και τα δύο μέλη είναι θετικά προκύπτει
4 2 4 2
4x 4x 1 4x 4x 1 0      που ισχύει.
Άρα,  f x 0  για κάθε x  , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
γ)
    f x x
R lim f x , lim f x
 

Προφανώς  x
lim f x

 
 
  2 2 2 2
x x 2 2
x x 1 x x x 1 x
lim f x lim
x x 1 x 
   

 
2
x
2
2
x 1
lim
21
x 1 1
x

  
 
    
 
Άρα, f
1
R ,
2
 
   
 
.
Τότε    1 3
f x f x 1
2 2
     και αφού x 1  , η εξίσωση είναι αδύνατη.
δ)
 
1 4 2
2
0
2x x
xf x dx I
2 x 1
 
  
 

Λύνει ο Ιωάννης Πετρόπουλος

16. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Γνωρίζουμε ότι  
 2 2
2 2
f x2x 1 2x 1
f x 2x x
2x 1 2 x 1

 
 

     .
Το ολοκλήρωμα γίνεται:
 
 1
2
0
f x
xf x x x dx
2
  
     
    

    
1 2
3
0
x
xf x f x x dx
2
 
   
 
  
 2 4
f 11x x 1
f x
02 4 2 4
 
    
 
,
αφού  f 0 0 ,
2 1 1 2 2 1
2 4 4
 
  

17. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2 2 2
f(x)-x 2 x x +1 2 f(x)-x 2 x x +1 2
2 2 x
x
2 2 2 2
e - x x + 1 = e + x - f(x) e + f(x) - x = e + x x + 1
Η σχέση γράφεται :
h(f(x) - x ) = h(x x + 1) όπου h(x) = e +x η οποία είναι γνησίως αύξουσα αφού
h (x) = e +1 > 0, άρα και 1 - 1, οπότε :
f(x) - x = x x + 1Ûf(x) = x + x x + 1
Βρίσ


α)
β)
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
x x
κουμε την παράγωγο της f και έχουμε :
2x x + 1 + x + 2x x + 1 (x + x + 1)
f (x) = x + 1 + x + 2x = = > 0
2 x + 1 x + 1 x + 1
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.
3
Έχουμε την εξίσωση f(x) = ημx - .
2
Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f.
(x + x x + 1)(x
lim f(x) lim
 


γ)
2 2 4 4
x2 2 2 2
x
- x x + 1) x - x - 1 1
lim = ... = -
2(x - x x + 1) x - x x + 1
limf(x) .
1 3
Άρα το f(A) = ( , ) και το ημx - παίρνει τιμές
2 2
5 1
στο [- ,- ] άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
2 2


 
 
 
3
1 1 14 2 2 2 4
3 3 3 1
02
0 0 0
Προσθαφαιρώ το x μέσα στο ολοκλήρωμα και έχω :
2x + x x x x 1 1
(xf(x) + + x - x )dx = ( f(x)) dx - x dx = [ f(x) - ] = f(1) - =
2 2 4 2 42 x + 1
1 1 2 2 + 1
( 2 + 1) - =
2 4 4


  
δ)
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

18. ___________________________________________________________________________
27η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18