Αντώνης Σπυριδάκης

1. http://lisari.blogspot.gr
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα
Επιμέλεια: Αντώνης Σπυριδάκης
ΘΕΜΑ 4
1. Αν οι αριθμοί λ, λx(λ-1), 1- x, με λ , αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής
προόδου, τότε:
α) Να αποδειχθεί ότι:
i) (2λ2 - 2λ +1)x = λ+1 (Ε)
ii) η εξίσωση (Ε) έχει μοναδική λύση για κάθε λ .
β) Να βρεθούν οι τιμές λ1, λ2 του λ για τις οποίες η (Ε) έχει ρίζα τον αριθμό 3.
γ) Αν οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) δύο ενδεχομένων Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω
είναι ίσες με τις τιμές λ1, λ2 του προηγούμενου ερωτήματος, να εξετάσετε αν τα Α, Β
είναι ασυμβίβαστα.
ΛΥΣΗ
α) i) Είναι 2λx(λ-1)=λ+1- x (2λ2 -2λ+1)x = λ+1
ii) Η Δ του τριωνύμου 2λ2 – 2λ +1 είναι ίση με – 4.
β) (2λ2 – 2λ +1)·3 = λ + 1 λ=
1
2
ή λ=
2
3
γ) Έστω Α, Β ασυμβίβαστα. Τότε: Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)=
1
2
+
2
3
=
7
6
>1, ΑΤΟΠΟ
2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= (λ-1)x2 + (λ+1)x + λ - 1, με λ≠1.
Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η γραφική παράσταση της f:
α) να μην έχει κοινά σημεία με τον οριζόντιο άξονα
β) να βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον οριζόντιο άξονα
γ) να τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε δύο σημεία με τετμημένες των οποίων ο
αριθμητικός μέσος είναι τριπλάσιος του γεωμετρικού τους μέσου.
ΛΥΣΗ
α) Αρκεί Δ < 0 λ2+2λ+1 – 4(λ2-2λ+1) < 0
-3λ2+10λ-3<0, με Δ’ = 64 και ρίζες x1=
1
3
και x2 = 3, άρα x (-∞,
1
3
)U(3, +∞).
β) Αρκεί (Δ<0 και λ-1>0) [x (-∞,
1
3
)U(3, +∞) και x>1] x (3, +∞).

2. http://lisari.blogspot.gr
γ) Αρκεί [Δ>0 και 1 2
2
x x
=3 1 2 x x ] [Δ>0 και x1+x2 = 6 1 2 x x ]
[λ (
1
3
, 3) και S=6 P ] [ λ (
1
3
, 3) και
λ+1
-
λ-1
=6] λ =
5
7
.
3. Θεωρούμε το τριώνυμο x2- (λ2+λ+2)x+μ2-3μ+3, με λ, μ .
A) Να αποδειχθεί ότι λ2+λ+2 > 1 για κάθε λ .
B) Αν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ρίζες του
τριωνύμου, τότε:
α) Να εξεταστεί αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα
β) Να αποδειχθεί ότι:
i) 1 μ 2
ii) |μ-1|+|μ-2|=1
ΛΥΣΗ
Α) Είναι Δ = 1-4=-3<0, άρα το τριώνυμο είναι ομόσημο του α = 1>0.
Β) α) Έστω Α, Β ασυμβίβαστα, τότε
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)= λ2+λ+2>1, ΑΤΟΠΟ
β) i) Αφού Ρ(Α), Ρ(Β) ρίζες του τριωνύμου, και ισχύει 0 Ρ(Α)·Ρ(Β) 1, θα είναι
0 μ2-3μ+3 1, με την πρώτη ανισότητα να ισχύει πάντα, και τη δεύτερη να δίνει το
ζητούμενο.
ii) Έχουμε, 0 μ – 1 και μ – 2 0, άρα |μ-1|+|μ-2|= μ – 1 – μ + 2 = 1.
4. Θεωρούμε το τριώνυμο x2+(2λ-1)x+λ-1, με λ .
α) Να αποδειχθεί ότι έχει δύο άνισες ρίζες ρ1, ρ2 για κάθε λ .
β) Αν οι αριθμοί ρ1, λ-
7
2
, ρ2 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τότε
να αποδειχθεί ότι:
i) λ = 2
ii) ρ1ρ2=1
iii) 2 3 4 2013 2014 1007
1 2 1 2 1 2 2 ρ .ρ .ρ .ρ . ... .ρ .ρ =ρ
ΛΥΣΗ
α) Είναι Δ = 4λ2-8λ+5, με Δ’ = -16

3. http://lisari.blogspot.gr
β) i) 2(λ-
7
2
) = ρ1+ρ2 2λ-7 = -2λ+1 λ=2
ii) λ-1 = 2-1=1
iii) 2 3 4 2013 2014 1 3 ... 2013 2 4 ... 2014
1 2 1 2 1 2 1 2 ρ .ρ .ρ .ρ . ... .ρ .ρ =ρ .ρ
Έχουμε δύο αριθμητικές προόδους με 1+3+…2013= 10072 και
2+4+…+2014=1007·1008=1007(1007+1)=10072+1007
άρα έχουμε,
1 3 ... 2013 2 4 ... 2014
1 2 1 2
10072 ρ .ρ (ρ .ρ ) · 1007
2 ρ =1· 1007
2 ρ
5. Δίνεται η εξίσωση
3 2
2
2
x -5x -4x
+ (λx) =0
3λ +2
, με λ .
Α) Να αποδείξετε ότι:
i) η εξίσωση γίνεται: x[x2+(3λ4+2λ2-5)x-4]=0
ii) οι μη μηδενικές ρίζες της εξίσωσης είναι ετερόσημες.
Β) Αν οι ρίζες της εξίσωσης αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τότε
i) να αποδείξετε ότι |λ|=1
ii) να βρεθούν οι τιμές των ριζών αυτών.
ΛΥΣΗ
Α) i) Η δεδομένη εξίσωση
3 2
2
2
x -5x -4x
+ (λx) =0
3λ +2
αν πολ/με όλους τους όρους με
3λ2+2 γίνεται, x3+(3λ4+2λ2-5)x2 -4x = 0 δηλ. x[x2+(3λ4+2λ2-5)x-4]=0.
ii) Αφού Ρ= - 4, οι ρίζες είναι ετερόσημες
Β) i) Αν ρ1, ρ2 οι ρίζες του τριωνύμου, με π.χ. ρ1<0, θα είναι ρ2>0. Έτσι, οι όροι θα
είναι ρ1, 0, ρ2 και αφού είναι διαδοχικοί, θα είναι 2·0= ρ1+ρ2 S=0 3λ4+2λ2-5=0.
Θέτω λ2 = μ 0 και έχω μ=1, δηλ. λ2 = 1 |λ|=1.
ii) x2 + 0x – 4 = 0 x = 2, δηλ. είναι: -2, 0, 2.
6. Έστω τα γεγονότα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω.
α) Να αποδειχθεί ότι αν οι αριθμοί Ρ(Α∩Β), Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι τρεις πρώτοι όροι
αριθμητικής προόδου τότε ο επόμενος όρος της προόδου είναι ο Ρ(ΑUΒ).
β) Αν ο 8ος όρος της παραπάνω προόδου είναι ίσος με 2 και ο 12ος ίσος με 3, τότε να
βρεθούν
i) οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και
ii) το άθροισμα των 40 πρώτων όρων της προόδου.

4. http://lisari.blogspot.gr
ΛΥΣΗ
α) Επειδή οι αριθμοί Ρ(Α∩Β), Ρ(Α), Ρ(Β) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής
προόδου έχουμε ισοδύναμα,
2Ρ(Α)= Ρ(Α∩Β)+Ρ(Β)
2Ρ(Α) = [Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(ΑUΒ)] + Ρ(Β)
Ρ(ΑUΒ) = 2Ρ(Β)-Ρ(Α)
Αν τώρα συμβολίσουμε με x τον επόμενο όρο της προόδου, τότε
2Ρ(Β)=Ρ(Α)+x x=2Ρ(Β) – Ρ(Α),
δηλαδή x = Ρ(ΑUΒ) .
β) 8 1
12 1
α =2 α + 7ω=2 1
ω =
α =3 α +11ω=3 4
και α1 =
1
4
i) Ρ(Α∩Β)=
1
4
, Ρ(Α)=
2 1
4 2
, Ρ(Β)=
3
4
ii) S40=
40 1 1
(2 39 ) 205
2 4 4
.