20

1. 1
Практичне заняття 20.
Інтегрування раціональних виразів
1. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен
Основний теоретичний матеріал.
Якщо інтеграл має вигляд 2
Mx N
dx
ax bx c

 
 або
2
Mx N
dx
ax bx c

 
 , тоді його
обчислюють за допомогою заміни:
2
b
t x
a
  .
Приклад 1. Обчислити: а) 2
4 6
dx
x x 
 ; б)   322
xx
dx
; в) dx
xx
x
 

52
23
2
.
Розв’язання.
а) Перший спосіб. Виділимо повний квадрат із знаменника:
10)2(10)44(64 222
 xxxxx .
Отже,
.
102
102
ln
102
1
10
10
ln
102
1
102
2
10)2(64 222
C
x
x
C
t
t
t
dt
tx
xt
x
dx
xx
dx















 
Тут ми скористалися табличним інтегралом C
au
au
aau
du




 ln
2
1
22
.
Другий спосіб. Зробимо заміну:
2
b
t x
a
  , тобто
.
102
102
ln
102
1
10
10
ln
102
1
1068444
6)2(4)2(
)2(
2
2
2
4
64
22
22
C
x
x
C
t
t
t
dt
ttt
dt
tt
dt
dtdx
dttdx
tx
xxt
xx
dx
























2. 2
б) Виділимо повний квадрат із знаменника:
2)1(31)12(32 222
 xxxxx .
Отже,
.
2
1
arctg
2
1
2
arctg
2
1
21
1
2)1(
)1(
2)1(32 2222
C
x
C
t
t
dt
tx
xt
x
xd
x
dx
xx
dx














  
в) Виділимо повний квадрат із знаменника:
4)1(51)12(52 222
 xxxxx .
Отже,




























2
arctg
2
1
4
)4(
2
1
3
)4(
2
1
)(
2
1
лдиференціапідвнесемо
44
3
4
13
4
2)1(3
1
1
4)1(
23
52
23
2
2
2222
2222
t
t
td
tdtdtdt
t
t
dt
t
tdt
dt
t
t
dt
t
t
dtdx
tx
xt
dx
x
x
dx
xx
x
C
x
xxC
t
t 


2
1
arctg
2
1
52ln
2
3
2
arctg
2
1
4ln
2
3 22
.
2. Інтегрування раціональних виразів
Для того щоб проінтегрувати правильний раціональний дріб його за
допомогою методу невизначених коефіцієнтів розкладають на прості
(елементарні) раціональні дроби.
Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення, можна виділити
раціональну частину )(xWk , і тоді отримаємо
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xW
xQ
xP
m
p
k
m
n
 ,

3. 3
де )(),( xRxW pk – многочлени k -го і p -го степеня, причому mp  , тобто дріб
)(
)(
xQ
xR
m
p
– правильний.
Елементарні раціональні дроби бувають 4 видів:
1)
A
x a
; 2)
 n
A
x a
, n >1; 3) 2
Mx N
x px q

 
; 4)
 2 n
Mx N
x px q

 
, n >1.
Для обчислення інтегралу від елементарного дробу 3-го типу
2
Mx N
dx
x px q

 
 доцільно використати заміну
2
p
t x  .
Як інтегрувати прості дроби
Приклад 2. Обчислити
 2
3 2
2
x
I dx
x x




Розв’язання. Маємо інтеграл від правильного дробу
 2
3 2
2
x
x x


.
Розкладемо правильний дріб на елементарні дроби з невизначеними
коефіцієнтами:
2)2(
23
22




x
C
x
B
x
A
xx
x
.
Зведемо дроби в правій частині до спільного знаменника. Спільний
знаменник виразу справа буде  2
2x x  , тобто такий як знаменник зліва.
)2(
)2()2(
2)2(
23
2
2
22







xx
xCxBxxA
x
C
x
B
x
A
xx
x
.
Оскільки якщо дроби рівні, і рівні їх знаменники, то рівні і чисельники:
2
)2()2(23 xCxBxxAx  ,
22
2223 xCBxBxAAxx  ,
AxABxCBxx 2)2()(230 22
 .
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x .

4. 4
2
1
0
0
3 2
2 2
х B C
x A B
Ax
 
 

Отримали систему трьох рівнянь з трьома невідомими.
Розв’язок системи 1, 1, 1.A B C   
Підставляючи коефіцієнти в розклад, маємо
2
111
)2(
23
22




xxxxx
x
.
Розклад підставимо в інтеграл, маємо:
C
xx
x
Cxx
x
dx
xxx










1
2
ln2lnln
1
2
111
2
.
Зауваження 1.
Наведемо декілька прикладів розкладу на прості дроби правильних
раціональних дробів:
732)7)(3)(2(
42








x
C
x
B
x
A
xxx
x
,
323
)3()3(32)3)(2(
7










x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
,
22222
2
)1(121)1)(2)(1(
167












xx
NMx
xx
DCx
x
B
x
A
xxxx
xx
.
Коефіціенти в цих розкладах можна знаходити методом невизначених
коефіцієнтів та методом окремих значень аргументу.
Приклад 3. Обчислити  

xx
dxx
3
2
)1(
.
Розв’язання.
Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом. Розкладемо
знаменник на множники: )1)(1()1( 23
 xxxxxxx .
Розкладемо правильний дріб на прості дроби з невизначеними
коефіцієнтами:

5. 5
















)1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
)1)(1(
)1)(1(
11)1)(1(
12
xxx
xCx
xxx
xBx
xxx
xxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
)1)(1(
)1()1()1)(1(



xxx
xCxxBxxxA
.
Тут ми звели дроби до спільного знаменника. Оскільки, якщо дроби рівні, і
рівні їх знаменники, то рівні і чисельники. Отже,
)1()1()1)(1(12
 xCxxBxxxAx .
Використаємо метод окремих значень аргументу. Покладемо в цій
тотожності:
0x , то )10(0)10(0)10)(10(102
 CBA ,
  1111  AA ,
1x , то )11(1)11(1)11)(11(112
 CBA ,
122  BB ,
1x , то )11()1()11()1()11)(11(1)1( 2
 CBA ,
122  CC ,
Підставимо коефіціенти у розклад, маємо:
1
1
1
11
)1)(1(
12






xxxxxx
x
.
Отже,


















 1
)1(
1
)1(
1
1
1
11)1(
3
2
x
xd
x
xd
x
dx
dx
xxxxx
dxx
C
x
x
Cxxx 


1
ln1ln1lnln
2
.
Приклад 4. Обчислити
5
3
2
1
x
dx
x

 .
Розв’язання. Виділимо цілу частину, виконаємо ділення в стовпчик
многочлена на многочлен:
2
12
2
2
2
25
5





x
x
x
xx
x

6. 6
Тоді
)1)(1(
2
1
2
1
2
2
2
2
3
2
2
3
5








xxx
x
x
x
x
x
x
x
.
Розклавши правильний дріб
)1)(1(
2
2
2


xxx
x
на елементарні маємо:
2 2
3 2 3
2 ( 1) ( 1) ( )
1 1 1 1
x A Bx C A x x x Bx C
x x x x x
        
  
    
.
Тут ми звели дроби до спільного знаменника.
Отже, ))(1()1(2 22
CBxxxxAx  ,
CBxCxBxAAxAxx  222
2 ,
CAxBCAxBAxx  )()(201 22
.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях, отримаємо і розв’язуємо
систему рівнянь:
2
1
0
1,
0,
2,
x A B
x A B C
x A C
 
  
 
1,
0,
1.
A
B
C


 
  
Підставимо коефіціенти у розклад, маємо:
1
1
1
1
)1)(1(
2
22
2






xxxxxx
x
.
Отже,
1
1
1
1
)1)(1(
2
1
2
2
2
2
2
2
3
5









xxx
x
xxx
x
x
x
x
.
Далі дістаємо
 












111
1
1
1
2
2
2
2
xx
dx
x
dx
dxxdx
xxx
xI .
Обчислимо третій інтеграл, для цього виділимо повний квадрат у
знаменнику, а потім внесемо вираз
2
1
x під диференціал:

7. 7
































 
4
3
2
1
2
1
4
3
2
11
4
1
4
1
2
1
2
1 22
2
2
x
xd
x
dx
xx
dx
xx
dx
















  C
x
C
t
xt
t
dt
3
2
1
2
arctg
3
2
3
2
arctg
3
2
2
1
заміна
2
3
2
2
.
3
12
arctg
3
2
C
x



Тут ми використали табличний інтеграл C
a
u
aua
du

 arctg
1
22
.














  11
)1(
1
1
1
1
2
2
2
2
xx
dx
x
xd
dxxdx
xxx
xI
C
x
x
x



3
12
arctg
3
2
1ln
3
3
.
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Знайти інтеграли:
1) 2
4 5
dx
x x  ; 2) 2
2 4 5
dx
x x  ;
3) 2
(4 3)
2 6
x dx
x x

  ; 4) 2
(3 2)
4 5
x dx
x x

  ;
5)
2
2 17
dx
x x 
 ; 6)
2
2 3 2
dx
x x 
 ;
(Відповідь: 1)
1 1
ln
6 5
x
C
x



; 2) 1 2 2
6 6
x
arctg C

 ;
3) 2 1 1
2ln( 2 6)
5 5
x
x x arctg C

    ;
4) 23
ln( 4 5) 4 ( 2)
2
x x arctg x C     ;
5) 2
ln 1 2 17x x x C      ; 6) 1 4 3
arcsin
52
x
C

 )
№ 2. Обчислити інтеграли:
1) 2
2 7
2
x
dx
x x

  ; 2)
2
2
2
1
x
dx
x

 ;
3)
2
1
( 1)( 1)
x
dx
x x x

  ; 4)
2
4
( 1)( 2)( 3)
x x
dx
x x x
 
   ;

8. 8
5)
3
3
2
4
x
dx
x x

 ; 6)
2
3 2
2 1
5 6
x
dx
x x x

  .
(Відповідь: 1)
3
( 1)
ln
2
x
C
x



; 2)
3 1
ln
2 1
x
x C
x

 

; 3)
2
1
ln
x
C
x

 ; 4)
5
2
( 1)( 3)
ln
( 2)
x x
C
x
 


; 5) 1 3 5
ln ln 2 ln 2
2 4 4
x x x x C      ;
6) 1 7 17
ln ln 2 ln 3
6 2 3
x x x C      .)
№ 3. Обчислити інтеграли:
1) 2
2
( 2)
x
dx
x x

 ; 2)
2
2
3 2 1
( 2)( 1)
x x
dx
x x
 
  ;
3)
2
3 2
2 5 1
2
x x
dx
x x x
 
  ; 4) 3
5 1
3 2
x
dx
x x

  ;
5)
3
3 2
( 1)x dx
x x

 ; 6)
2
2 2
5 6 9
( 3) ( 1)
x x
dx
x x
 
  .
(Відповідь: 1)
1 2
ln
x
C
x x

  ; 2) 4 20 7
ln 1 ln 2
3( 1) 9 9
x x C
x
     

;
3) 2
ln ( 1)
1
x x C
x
  

; 4)
2 2
ln
1 1
x
C
x x

 
 
;
5)
2
1 ( 1)
ln
x
x C
x x

   ; 6) 9 1
2( 3) 2( 1)
C
x x
  
 
.)