MNK

1. МЕТОДИ ОБРОБКИ ДАНИХ В ТАБЛИЧНОМУ
ПРОЦЕСОРІ MS EXCEL
к.т.н., доц. Грицук Ю.В.

2. Методи обробки даних: метод найменших квадратів
   1 1 N Nx , y ... x , y  y f x  k k kf x y  
    k k
1 k N
E f max f x y
 
 
   
N
1 k k
k 1
1
E f f x y
N 
  
   
1
N 2
2
2 k k
k 1
1
E f f x y
N 
 
   
 

Максимальна помилка:
Середня помилка:
Середньоквадратична помилка:

3. -2
0
2
4
6
8
10
12
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Yk
f(xk)=8,6-1,6*xk
Методи обробки даних: метод найменших квадратів
-1 10 10,2 0,2 0,04
0 9 8,6 0,4 0,16
1 7 7,0 0,0 0,00
2 5 5,4 0,4 0,16
3 4 3,8 0,2 0,04
4 3 2,2 0,8 0,64
5 0 0,6 0,6 0,36
6 -1 -1,0 0,0 0,00
2,6 1,40
kx ky  k kf x 8,6 1,6 x   k 2
k
   E f max 0,2;0,4;0,0;0,4;0,2;0,8;0,6;0,0 0,8  
   1
1
E f 2,6 0,325
8
  
 
1
2
2
1,4
E f 0,41833
8
 
  
 

4. Метод найменших квадратів
X …
Y …
1x 2x Nx
1y 2y Ny
 y f x Емпірична формула – формула, що служить для
аналітичного подання дослідних даних
  0 1f x a a x  
  2
0 1 2f x =a +a x+a x 
   0 1f x =a +a ln x
0 1 2 na , a , a ,..., a
Метод найменших квадратів – один з методів теорії
помилок для оцінки невідомих величин за
результатами вимірів, що містить випадкові помилки.
Застосовується при обробці спостережень
Апроксимація (від лат. approximo — наближаюся), заміна
одних математичних об’єктів (напр., чисел або функцій)
іншими, простішими і в тому або іншому значенні
близькими до вихідних (напр., кривих ліній близькими до
них ламаними)
  
N N
2
k k k
k 1 k 1
F f x y min
 
       2 m
0 1 2 mf x =a +a x+a x +...+a x  
 0 1 mF F a ,a ,...,a

5. Лінійна апроксимація
  0 1f x =a +a x    
N
2
0 1 0 1 k k
k 1
F a , a a a x y min

    
 o 1
0
F a ,a
0
a



 o 1
1
F a ,a
0
a



 
 
 
 
N
0 1
0 1 k k
k 10
N
0 1
0 1 k k k
k 11
F a , a
2 a a x y 0
a
F a , a
2 a a x y x 0
a



    



      


N N
0 1 k k
k 1 k 1
N N N
2
0 k 1 k k k
k 1 k 1 k 1
a N a x y
a x a x y x
 
  

   


     

 
  
N N
k k
k 1 k 10
N N N
2 1
k k k k
k 1 k 1 k 1
N x y
a
a
x x y x
 
  
   
    
     
        
   
 
  
0
1
a
A B
a
 
  
 
0 1
1
a
A B
a
 
  
 
   
   
N
k k
k 1
yx N N2 2
k k
k 1 k 1
x x y y
R
x x y y

 
  

  

 

6. Квадратична апроксимація
  2
0 1 2f x a a x a x    
 
 
 
 
 
 
N
0 1 2 2
0 1 k 2 k k
k 10
N
0 1 2 2
0 1 k 2 k k k
k 11
N
0 1 2 2 2
0 1 k 2 k k k
k 12
F a , a ,a
2 a a x a x y 0
a
F a , a ,a
2 a a x a x y x 0
a
F a , a ,a
2 a a x a x y x 0
a




      


       


        




N N N
2
0 1 k 2 k k
k 1 k 1 k 1
N N N N
2 3
0 k 1 k 2 k k k
k 1 k 1 k 1 k 1
N N N N
2 3 4 2
0 k 1 k 2 k k k
k 1 k 1 k 1 k 1
a N a x a x y
a x a x a x x y
a x a x a x x y
  
   
   

     


      


      

  
   
   

7. Квадратична апроксимація
 k 0 1 2 ky F a ,a ,a  
N
2
k
k 1
 

 
Із двох різних наближень однієї й тієї ж табличної функції кращим
вважається те, для якого сума квадратів відхилень має найменше
значення.
  2 m
0 1 2 mf x a a x a x ... a x       

8. Заміна змінної (змінних) для метода лінеаризації даних

9. Криві, що використовують при лінеаризації даних

10. Реалізація метода найменших квадратів в MS Excel

11. Реалізація метода найменших квадратів в MS Excel

12. Реалізація метода найменших квадратів в MS Excel