1

1. Практичне заняття 5.
Визначений інтеграл
Мета заняття: ознайомлення студентів з поняттям «визначений інтеграл» та
методами обчислення.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про визначений інтеграл
та прикладів задач по заданій темі.
Завдання 2. Надання відомостей про методи інтегрування визначених інтегралів..
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Нехай функція ( )f x визначена на відрізку [ ];a b . Розіб’ємо відрізок [ ];a b
точками 0 1 2 1... n na x x x x x b−= < < < < < = .
Позначимо 1k k kx x x+∆ = − . Виберемо довільну точку [ ]1;k k kc x x +∈ . Складемо
інтегральні суми ( )
1
0
n
k k
k
f c x
−
=
⋅∆∑ .
Позначимо ( )
1
0
( ) lim
b n
k k
n
ka
f x dx f c x
−
→∞
=
= ⋅∆∑∫ , ( )max 0kx∆ → . Отже, визначеним
інтегралом від функції ( )f x на відрізку [ ];a b називається границя інтегральних
сум при n → ∞, якщо ця границя не залежить ні від розбиття kx∆ , ні від вибору
точок kc .
Для обчислення визначеного інтегралу використовують формулу Ньютона –
Лейбніца:
( ) ( ) ( ) ( ),
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫
де F x( ) — первісна для f x( ).
Основні властивості визначеного інтеграла:
1. ( ) 0;
a
a
f x dx =∫
2. ( ) ( ) ;
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
3. ( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ,
b b b
a a a
k f x k f x dx k f x dx k f x dx± = ±∫ ∫ ∫ де k k1 2, - сталі;
4. ( ) ( ) ( ) ;
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

2. 5. ( ) ( ) ,
b b
a a
f x dx x dxϕ≤∫ ∫ якщо [ ]( ) ( ), , ;f x x x a bϕ≤ ∈
6. ( ) ( ) ( ),
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ де m та M найменше та найбільше
значення функції f x( ) на відрізку [ , ]a b .
Методи обчислення визначених інтегралів.
Якщо ( )u x і ( )v x неперервно диференційовані на відрізку [ , ]a b , то
справедлива формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
.
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫
Нехай задано інтеграл ( ) ,
b
a
f x dx∫ де ( )f x - неперервна функція на відрізку
[ , ]a b . Якщо функція ( ),x t tϕ α β= ≤ ≤ , неперервно диференційована і
монотонна на відрізку [ ] ( ), , a t bα β ϕ≤ ≤ при зміні t від α до β ,
( ) ( ), ,a bϕ α ϕ β= = то має місце рівність:
( )( ) ( )( ) .
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ′=∫ ∫
Метод інтегрування з використанням цієї рівності називається методом
підстановки (заміни змінної), а функція ( )x tϕ= - підстановкою. Зазначимо, що
при інтегруванні цим методом обов’язкова заміна меж інтегрування.
Приклад 1. Обчислити інтеграл
( )
2
1
ln 1
dx
x x +∫
Розв’язання.
( )
( )
( )
( ) 11 1
ln 11
ln 1 ln ln 1
ln 1 ln 1
ee e
d xdx
x x
x x x x
+′= + = = = + =
+ +∫ ∫
ln2 ln1 ln2= − = ;
Приклад 2. Обчислити інтеграл
1
0
arctgx xdx∫
Розв’язання.
б) x xdx
u x du
dx
x
dv xdx v
x
x
x
x
x
dxarctg
arctg
arctg
0
1
2
2
2
0
1 2
2
0
1
1
2
2
1
2 1
∫ ∫=
= =
+
= =
= −
+
=
1 1
0 0
1 1 1 1
arctg
8 2 2 8 2 8 4 2
x x
π π π π
= − + = − + = − .

3. Приклад 3.
Обчислити визначений інтеграл
4
2
0
16I x dx= −∫ .
Розв’язання.
2
2 2
2
0 0
4sin 16 4cos
4cos 4cos 16 cos
4cos 4
2
0 0
x t x t
x t
I t tdt tdt
dx tdt
π π
π
= − =
= = ⋅ = =
= ∫ ∫
( )
2
0
2
1 1
8 1 cos2 8 sin 2 8 sin 0 4
2 2 2
0
t dt t t
π π
π
π π
   
= + = + = + − =   
   
∫ .
Завдання для індивідуальної роботи № 5.
Номер варіанта визначається за списком в журналі групи.
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
Обчислити визначені інтеграли:
5.1. а)
5
5
2
2 1
2 1 1
x
dx
x
−
− −∫ ; б)
1
2
1
2 3
arctg2xdx∫ .
5.2. а)
1
22
2
0 1
x
dx
x−
∫ ; б)
6
2
0
sin2x xdx
π
∫ .
5.3. а)
2
0
sin
1 sin cos
x
dx
x x
π
+ +∫ ; б)
2
e
1
ln x
dx
x∫ .
5.4. а)
4
3
0
tg xdx
π
∫ ; б)
e+1
2
ln( 1)x x dx−∫ .
5.5. а)
3
3
2 2 2
dx
x − +∫ ; б)
1
2
0
(2 1)e x
x −∫ .

4. 5.6. а)
sin
sin
x
x
dx
+∫ 20
2
; б) arccosxdx
−
∫
1
0
.
5.7. а)
7 2
4 50
5
x
x
dx
−
+ +∫ ; б) x
x
dxsin
20
2
π
∫ .
5.8. а)
8 5
4 3 23
7
x
x
dx
+
− +∫ ; б) xe dxx−
∫
2
0
2ln
.
5.9. а)
xdx
x −∫ 14
9
; б) ( )π
π
−∫ x xdxsin
0
.
5.10. а)
dx
x5 30
2
+∫ sin
π
; б) ( )ln x dx
e
+
−
∫ 1
0
1
.
5.11. а) x x dx2 2
0
2
4 −∫ ; б)
xdx
xsin2
6
4
2π
π
∫ .
5.12. а)
xdx
x5 41
1
−−
∫ ; б) ( )1
42
2
−
−
∫ x
x
dxsin
π
.
5.13. а)
xdx
x + +∫ 1 22
4
; б)
lnx
x
dx
e
2
1
∫ .
5.14. а)
dx
x xcos sin+ +∫ 10
2
π
; б) ( )x x dxln +∫ 1
1
2
.
5.15. а)
( )x dx
x
−
+∫
1
14
9
; б) xe dxx
l
3
0
∫ .
5.16. а)
dx
x x10
2
− +∫ sin cos
π
; б) x xdxcos3
0
6
π
∫ .
5.17. а)
( )
dx
x xsin cos+∫
0
4
π
; б) x xdxarcsin
0
1
∫ .
5.18. а)
6 7
3 2 11
6
x
x
dx
+
− +∫ ; б) ( )π
π
−∫ x xdxsin
0
.
5.19. а)
dx
x20
2
+∫ cos
π
; б) ( )2 3
1
0
x e dxx
+ −
−
∫ .

5. 5.20. а)
dx
x x4 3 5sin cos+ +∫ ; б) ( )2 1 4
0
1
x e dxx
+∫ .
5.21. а)
dx
x x10
2
− +∫ cos sin
π
; б) ( )2 3
0
2
−∫ x xdxsin
π
.
5.22. а)
x x
x
dx
−
∫
3
1
64
; б) x xdxsin2
0
π
∫ .
5.23. а)
dx
ex
13
8
+
∫
ln
ln
; б) x xdx
e
2
1
ln∫ .
5.24. а)
dx
x5 40
2
+∫ cos
π
; б) arctgxdx
0
1
∫ .
5.25. а)
2 1
13
2
4
x
x
dx
+
+∫ ; б) arccosxdx
−
∫
1
1
.
5.26. а)
dx
x10
4
+∫ cos
π
; б) x xdx
e
ln
1
4
∫ .
5.27. а)
x
x
dx
+
+∫
1
2 13
0
13
; б) ( )2 3
0
6
−∫ x xdxsin
π
.
5.28. а)
dx
x x10
2
− −∫ sin cos
π
; б)
xdx
xsin2
4
3
2π
π
∫ .
5.29. а)
x
x
dx
+ +
+ −∫
1 1
1 13
8
; б) ( )ln x dx−∫ 1
2
3
.
5.30. а)
4 2
3
2
−
∫
x
x
dx; б) x x
e
e
3
2
ln∫ .