Вища математика

1. 1
Завдання для контрольної роботи
Завдання 1. Базовий рівень. (Див. практичне заняття 1).
Обчислити подвійний інтеграл ( , )
D
f x y dxdy , де область D обмежена
заданими кривими:
1. 2 2 2
, , 2 1.
D
x y dxdy y x y x  
2. 2 2
, 1, 2, 2 ( 1).
D
x y dxdy xy x y xy
   
3. 3
, 1, , 2.
D
dxdy
xy y x x
xy
  
4.
2
2
, tg , 0, .
1 4D
x dxdy
y x y x
y
  


5. 2 2
( ) , 1, 0, 0.
D
x y dxdy x y x y    
6. 2
cos , sin , 3sin , 0 .
D
y x dxdy y x y x x     
7.
2
, , , 2.x x
D
x
dxdy y e y e x
y

   .
8.  
D
dxdyyx ,)( де область D обмежена прямими х=0, у = 0, х+у = 2.
9.  
D
dxdyyx ,)( 22
де область D обмежена прямими у = 0, у = х, х = 1.
10.  
D
dxdyyx ,)( де область D обмежена прямими у = 0, у = х, х + у = 2.
Завдання 2. Поглиблений рівень. (Див. практичне заняття 2).
Обчислити інтеграли, перейшовши до циліндричних координат (варіанти
1-5) та до сферичних координат (варіанти 6-10).
1.
2
22
2 2
0 0 0
.
x x a
dx dy z x y dz

  
2.
2 2 22 422
0 0 0
.
r x yrx xr
dx dy dz
 
  
3. ,
G
dxdydz V  область, обмежена поверхнями
2 2 2 2 2 2
2 , ,x y z Rz x y z     що містить точку (0;0;R).
4. 2 2
( )
V
x z dxdydz , G – область обмежена параболоїдом 2 2
2y x z  і
площиною z = 1.

2. 2
5. 2 2 3/2
( )
V
x y dxdydz , G - область обмежена параболоїдом 2 2
z x y  і
площиною z = 1.
6.
2 2 22 2
2 2
2 2
0
( ) .
R x yR xR
R R x
dx x y dz
 
  
  
7.
2 22 111
2 2 2
0 0 0
.
x yx
dx x y z dz
 
   
8. 2 2
( )
V
x y dxdydz , V - область, визначена нерівностями
2 2 2 2 2
, 0.r x y z R z    
9. 2 2 2
2 2 2
, для 1.
( 2)V
dxdydz
V x y z
x y z
   
  

10. 2 2 2
,
V
x y z dxdydz V   область, обмежена сферою 2 2 2
.x y z z  
Завдання 3. Базовий рівень. (Див. практичне заняття 3).
Обчислити криволінійні інтеграли другого роду.
1. 2 2
L
y dx x dy , де L верхня половина еліпса cos , sinx a t y b t  за
ходом стрілки годинника.
2.
L
y
dx xdy
x
 , де L  лінія lny x від точки  1;0A до точки  ;1B e .
3.  2
L
x y dx ydy  , де L – відрізок прямої 1y x  від точки А(1; 0) до
точки
В(–1; –2).
4.  3 2 2
L
2 x 2x y dx x dy  , де L – відрізок прямої від точки А(0; 1) до точки
В(2; 5).
5.  2
L
2 8x y dx ydy  , де L – верхня половина еліпса 2cosx t , siny t і
обхід здійснюється за годинниковою стрілкою.
6.  2 2
ОА
x y dx y dy  від точки О(0; 0) до А(1; 1), що сполучені між
собою дугою параболи 2
.y x
7.
L
xdy , де L – права половина кола 2 2 2
x y a  від точки А(0; –а) до
точки В(0; а).
8. cos sin
ОА
x ydx y xdy  , де ОА – відрізок між точками О(0; 0) і А(π; 2π).

3. 3
9.
L
ydx xdy , де L – чверть кола cosx R t , siny R t від t1 = 0 до 2 .
2
t


10.
2 2
2 2
L
y dx x dy
x y


 , де L – верхня половина кола 2 2 2
x y a  від точки А(а;
0) до точки В(–а; 0).
Завдання 4. Базовий рівень. (Див. практичні заняття 4-6).
Знайти область збіжності наведених степеневих рядів.
1.
 
2
1
2
2
n
n
n
x
n




2.
 
1
1
3
n
n
n
n x



3.
 
1
2 3
5 3
n
n
x
n





4.
 
1
3
3
n
n
n
x
n





5.
 
2
1
1
1
n
n
n x
n





6.
 
3
1
2
2
n
n
n
x
n




7.
 
1
3
5
n
n
n
x
n

 

8.
 
1
2
2 3
n
n
x
n





9.
 
 2
1
3 1
1 2
n
n
n
x
n



 

10.
 
3
1
1
1
n
n
n x
n





Завдання 5. Поглиблений рівень. (Див. практичне заняття 6).
За допомогою рядів обчислити наближене значення інтегралів з точністю
до 0,001:
1. e dx
x


2
2
0
1
2. sinx dx2
0
1

3. cosx dx2
0
1

4.
sinx
x
dx
0
1

5. x xdxsin
0
1

6. xe dx
x

 2
0
1
4
7. x e dxx2
0
1
2


8. x xdxcos
0
1

9. xe dx
x

 3
0
1
10. x
x
dx2
2
0
1
2
sin

4. 4
Завдання 6. Поглиблений рівень. (Див. практичне заняття 7).
Розкласти функцію )(xf в ряд Фур’є на даному проміжку.
1.







.0,0
,0,12
)(


x
xx
xf
2. ( ) , ( ; ].f x x     
3. ( ) , ( ; ].f x x     
4.







.0,2
,0,0
)(


xx
x
xf
5.  1, ( ;0)( )
1, [0; ].
f x 

 
6. 1, ( ;0)( )
3, [0; ].
f x 


7.







.0,0
,0,32
)(


x
xx
xf
8. ( ) , ( ; ].f x x x    
9.








.0,2
3
,0,0
)(


x
x
x
xf
10.







.0,23
,0,0
)(


xx
x
xf
Завдання 7. Базовий рівень. (Див. практичне заняття 8).
а) Обчислити комплексне число, записати його у алгебраїчній формі та
зобразити геометрично; б) знайти всі корені рівняння.
1. а)  8
3i ; б) 083
z .
2. а)  
16
2 2i  ; б) 0643
z .
3. а)  
18
3 3i  ; б) 3
2 2 0z   .
4. а)  
16
2 2i  ; б) 4
3 12 0z   .
5. а)  
12
3 3i ; б) 4
4 4 0z   .
6. а)  
12
1 3i ; б) 3
2 128 0z   .
7. а)  6
22 i ; б) 3
2 2 0z   .
8. а)  8
1 i ; б) 014
z .
9. а)  10
31 i ; б) 094
z .
10.а)  6
33 i ; б) 013
z .
Завдання 8. Поглиблений рівень. (Див. практичне заняття 9-13).
Обчислити інтеграл за допомогою лишків. Зробити рисунок.

5. 5
1.
   
2
1 3 1 1z
dz
z z   
 . 2.
 2 2
1 9
z
z
e dz
z z  .
3. 
1
2
14z
z
zdz
. 4. 2
1
1
cos
z
z dz
z
 .
5.
1
2
2
z
z
z e dz

 . 6.
  
2
1
2
2
1 2z
zdz
z z 
 

7.
  
 2
2
14z zz
dz
. 8. 
1
1
cos
z
dz
z
z .
9.
  
 31
2
11z zz
dz
. 10.
  2
3 4 1z
dz
z z   .
Завдання 9. Базовий рівень. (Див. практичне заняття 14-15).
За допомогою формули розкладу знайти оригінал функції по її
зображенню.
1.  
   
17
1 5 6
p
F p
p p p p


  
.
2.  
   
2
2
4
1 2 4
p
F p
p p p


  
.
3.  
   
2
2 5
1 2 5
p p
F p
p p p p
 

  
.
4.  
  2 2
3 1
1 4
p
F p
p p


 
.
5.  
 
   
2
1
1 4 5
p
F p
p p p p


  
.
6.  
   
3 2
2 3 1
p
F p
p p p p


  
.
7.  
    
2
2 14
3 4 1 2
p p
F p
p p p p
 

   
.
8.  
 
  
2
2 2
1
4 9
p
F p
p p


 
.
9.  
  2
7 5
1 2
p
F p
p p p


 
.
10.  
  2 2
2
4 9
p
F p
p p


 
.

6. 6
Завдання 10. Базовий рівень. (Див. практичне заняття 16).
Методом операційного числення розв’язати задачу Коші.
1. 2 5 5 2x x x t     ,    0 0 0x x  .
2. 2 t
x x e   ,  0 1x  ,  0 2x  .
3. 2
4 4 8 t
x x x e
    ,    0 0 1x x  .
4. cosx x t   ,    0 0 0x x  .
5. 5 4 4x x x    ,  0 0x  ,  0 2x  .
6. 4 1x x t    ,    0 0 0x x  .
7. 9 cos3x x t   ,  0 0x  ,  0 0x  .
8. 3 1x x   ,  0 0x  ,  
1
0
3
x  .
9. " 5 ' 6 6x x x   ,  0 2x  ,  0 0x  .
10. 2
9 t
x x e
   ,    0 0 0x x  .