1

1. .
Практичне заняття 2
Градієнт функції
Завдання 2.1. Знайти проекції градієнта скалярного поля
в точці2
( , ) 2 3 1z x y x xy y    (1,2)M .
Розв’язання. Градієнт скалярного поля знаходиться за формулою:
( )
M M
z z
gradz M i j
x y
 
 
 
 
.
Частинні похідні
M
z
x


і
M
z
y


є проекції градієнта скалярного поля.
Знайдемо їх:
2 2 ;
z
x y
x

 

2;
M
z
x

 

2 3;
z
x
y

  

1
M
z
y



.
Отже .( ) 2gradz M i j  
 
Завдання 2.2. Для функції arcsin
2
x
z
x y


в точці  2,4А знайти та
побудувати градієнт.
Розв’язання. Знайдемо ( )
A A
z z
gradz A i j
x y
 
 
 
 
.
 2 2
;
3 4 (2 )
z y
x x xy y x y


   
1
;
4 15A
z
x



 2 2
;
3 4 (2 )
z x
y x xy y x y


   
1
;
8 15A
z
y

 

Отже
1 1
( )
4 15 8 15
gradz A i j 
 
.
Вектор перпендикулярний до лінії рівня функціїgradz

2. arcsin
2
x
z
x y


. Знайдемо лінії рівня: arcsin
2
x
C
x y


- сімейство ліній
рівня. Знайдемо лінію рівня, що проходить через точку
1
(2;4):arcsin ,
4
A c
1
arcsin arcsin
2 4
x
x y


,
1
(2 0, 2 )
2 4
x
x y y
x y
    

x , 4 2x x y  , 2y x -
пряма (рис. П2.1).
Рис. П2.1
Завдання 2.3. Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля
в точці2 2 2
( , , ) 2u x y z x y z xyz    0(1; 1;2)M  . Визначити:
а) в яких точках простору Ox градієнт перпендикулярний до осі ;yz Ox
б) в яких точках він дорівнює нулю.
Розв'язання. Знайдемо частинні похідні , ,
u uu  
x y z  
і їх значення в
точці 0M .
2 2
u
;x yz
x

 
 0
6;
M
u
x



2 2
u
y x
y
;z

 

0
6;
M
u
y

 

2 2z x  ;
u
y
z


0
6
M
u
z



.
Отже,
0 00
0( ) 6 6 6
M MM
u u u
gradu M i j k i j k
x y z
  
     
  
     
.

3. Величина градієнта: 2 2 2
0( ) 6 ( 6) 6 6gradu M      3 .
Напрям градієнта:
6 1 6 1
cos ;cos ;
6 3 3 6 3 3
      
6 1
cos
6 3 3
 
В довільній точці ( ; ; )M x y z
( ) 2( ) 2( ) 2( )gradu M x yz i y xz j z xy k     
  
.
пендикул рний до осі , має рівну нулю першу
координату, тому
Вектор, який пер я Ox
2( ) 0x yz  .
Таким чином, для всіх точок M , які леж на поверхні ,ать x yz gradu
перпендикулярний осі Ох .
Для того, щоб ( ) 0adu Mgr  необхідн
0, 0, 0
о, щоб
x yz y xz z     xy
1(1;1 ( 1 (1;M M
. Цій відповідають точки:
.
Таким чином, в цих точках до
Завдання 2.4. 3найти кут між градієнтами скалярних полів
2
системі
( 1;1; 1); (0;M O 2 3 4); ;0);1); ; 1;1); 1; 1 0M   
gradu рівнює нулю.
2 2
9 6y z  таu x
1
v
xyz
 в точці
1 1
1; ;

.
3 6 
M

 
Розв’язання. Кут між градієнтами знаходимо за формулою:
( ) ( )
cos
( ) ( )
gradu M gradv M


gradu M gradv M
 .
Знайдемо градієнти скалярних полів

 и М та :( )v M
2 ; 2;
Mx x 
u u
x
 
  2
1
; 3 6;
v v
x xyz
 
   
  Mx
18 ; 6; 2
1
; 9
M
v v
y yxy z
 
   
 M
u u
y
y y
 
 
 
6;
12 ; 2
M
u u
z
z z
 
 
 
6; 2
1
; 18.
M
v v
z zxyz
 
  
 


4. ( ) 2 6 2 6
M MM
u u u
gradu M i j

 k i j k
x y z
 
    
  
 
.
   
( ) 3 6 9 6 18
M MM
v v v
gradv M i j k i j
x y z
  
      
  

k
   
.
Знайдемо величини та :

( )gradu M ( )gradv M
2 2 2
( ) 2 6 (2 6) 8gradu M ,   
2 2 2
( ) ( 3 6) ( 9 6) ( 18) 12 6.gradv M       
( ) ( ) 2 ( 3 6) 6 ( 9 6) 2 6( 18) 96 6gradu M gradv M           .
Отже
96 6
cos 1; 180
8 12 6
 

   


.
2.5. Знайти проекцію градієнта скалярного поля
в точці
Завдання
2 2
ln(2 )u x y  (2;1)A на градієнт скалярного поля в цій
же то
Розв’яза роекці знаходим
:
2
2v x y 
чці.
ння. П ю ( )gradu A на ( )gradv A о за
формулою
( )
(adu A) ( )
( )
( )
gradv A
gr gradv A
пр gradu A
gradv A

 .
Знайдемо градієнти скалярних полів  и А та ( ):v A
2 2
; ;
92 Ax xx y
 
 
4 8u x u 
2; 2;
A
v v
x x
 
 
 
2 2
2
;
92 A
u y u
y yx y
 

 
2 ; 2
v v2
; .
A
y
y y

   
 
8 2
( ) ;
9 9
gradu A i j 
   
gr ( ) 2 2 .adv A i j 
8 2
( )
4
2 ( 2) .
9 3
gradu A grad ( )
9
v A      
2 2
( ) 2 ( 2) 2 2.gradv A    

5. Таким чином, ( )
4 3 2
( )
2 2 3 2
gradv Aпр gradu A   .
Знайти точки, в яких градієнт функціїЗавдання 2.6.
1
ln( )z x
y
 
дорівнює
16
i j
 
.
Розв ня
9
’язан . Знайдемо градієнт функції :z
1
;
1 (
z y z
x xy y y y 1)x
 
  
   
.
Отже,
1
1 ( 1)
y
gradz i j
xy y xy
 
 
 
.
За умовою
16
9
gradz i j 
 
. Тобто,
1 1
1 ( 1) 9
y
i j i
xy y xy
  
 
6
j
   
.
стему:Складемо си
1,
1
1 1
.
( 1) 9
y
xy
y xy

 

 
 
6

Розв’язавши цю систему, знайдемо шукані точки:
1 3
( ; )
3 4
A  ,
7 3
( ; )
3 4
B  .
Завдання 2.7. Знайти похідну функції
1
,u
r
 де у2
напря
Обчислимо градієнт згідно з формулою (1.5):
2 2 2
r x y z  
мі її градієнта.
Розв’язання.
3 3 3
x y z
gradu i j k
r r r
    .
  
Звідси
2 2 2
6 2
1
( )
x y z
gradu M
r r
 
  .
ні косинуси градієнта будуть мати вигляд:Напрям
cos ;cos ;cos
x y z
r r r
        .
У цьому випадку:

6. 2 2 2
3 3 3 4
1u x x y y z z x y z
l r r rr r r r
 
       2
r


.
Знайти найбільшу швидкість зростання поля
в точці

Завдання 2.8.
( , , ) y
u x y z x z  (2;2;4)M .
Розв’язання. Найбільша швидкість зміни поля в даній точці
визнач похідні
значення в точці
ається за формулою (1.6). Знайдемо частинні поля і їх
 2; 2;М 4 :
1
; 4;y
M
u u
yx
x x

 
 
ln ; 4ln ;yu u
x x
y y
 
 
 
 
2
M
1; 1.
M
u u
z z
 
  
 

( ) 4 4ln2gradu M i j k  
  
.
Шукана найбільша швидкість зростання поля:
2 2 2
.
( ) 4 (4ln2) ( 1 2
17 16ln 2.
найб
u
gradu M
l
 
       
 
екції градієнта в довіль-
ній точці.
Відповідь. 3
)
Завдання 2.9. 2 3 4
5 3z x y xy y   . Знайти про
3 2 2
(10 3 ) (5 9 4 )gradz xy y i x xy y j    
 
.
2. 2 2
4z   x y . Знайти градієнт скалярного поля в точці (2;1).М
Відповідь.
1
( ) (2
3
gradz M i j) 
 
.
3. 2 2
( )
x
W M 2
x y z

 
. Знайти градієнт поля в точці
Вказівка. Скористатись формулою:
( )W M 0(1;2;2).М
2
1u
grad
v v
 ( ).
Відповідь
vgradu ugradv
:
1
(7 4 4 )
81
gradW i j k  
  
.
Завдання 2.10. Знайти та побудувати градієнт:
1. в точці2 2
z x y   3;2М .

7. Відповідь: ( ) 6 4gradz M i j 
 
.
2. arcsin
x
z
x y


в точці (1;1).М
Відповідь.
1
( ) (
2 3
gradz M i j) 
 
.
Завдання 2.11. Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля
у точці2 2 2
2 3 3 2 6u x y z xy x y z       (1;1;1).А Визначити: в яких точках
в якій точці градієнт
поля дорівнює нулю?
просто адієнт перпендикулярнийру Oxyz гр до осі ;Oy
Відповідь. (2 3) (4 2) (6 6) ;gradu x y i y x j z k       
  
( ) 6 3 ; ( ) 3 5;gradu A i j gradu A  
 
2 1 1
5 5
x
cos ;cos ;cos 0; ; 0
2 4
y gradu        у точці ( 2;1;1)M  .
2.12. В яких точках простору поля
а) перпендикулярний до осі ює нулю?
Відповідь. а) б)
Завдання градієнтOxyz
б) дорівн3 3 3
3 :u x y z xyz    Oz ;
2
;z xy x y z  ).
Завдання 2.13. 3найти найбільшу швидкість зростання поля
в точці2 2
ln( 4 )u x y  (6;4;0).М
Відповідь.
Знайти між градієнтами скалярних полів таЗавдання 2.14. кут ( , , )u x y z
( , ,v x y )z у точціМ .
1. 2 2 2
, arcsin , (1;1; 7
x
u x y z v M
x y
   

).
2.
Відповідь..
2
, 6
x x
u 
3
3 3
2
1 1
3 6 , ( 2; ; ).
2 2 3
v y z M
yz
  
Відповідь.
3
4

.

8. 3.
2
2 2 2 1 1 1
, 3 , ( ;
2 2 3
yz
u v x y z M
x
    ; ).
Відповідь.  .
Завдання 2.15. Знайти кут між градієнтами функції ln
y
z
x
 в
точках 1
2 4
 
 
1 1
;M
 
та 2(1;1).M
Відповідь.
3
cos
10
  .
Завдання 2.16. Знайти кут між градієнтами скалярного поля
2
в точках2 2
2u x y z   1(2;3; 1)M  та 2(1; 1;2)M  .
Відповідь.
4
cos
41
   .
Завдання йти проек градієнта ункції2.17. Зна цію ф
2
z
2 2
u
x y
 в точці
2 2
2; ) на гр ії( ;
3 3
M адієнт функц
2 2
23
2
2 2
x y
v z   в цій же точці.
Завдання 2.18. Знайти проекцію градієнта функції в точці
Відповідь. 0.
2 2
u x y z 
(1; 1;2)A  на градієнт функції 2 1
v x z
y
  в тій же точці.
Відповідь.
16
3 2
.
дання 2.19. Знайти кій градієнт фуЗав точку, в я нкції
дорівнює .
.
ієнта функції
2 2
z xy y x  
6 2i j
 
Відповідь. 2; 2М 
Завдання 2.20. Знайти точки, в яких модуль град
2 2 3 2
) дорівнює 2.(z x y 

9. Відповідь. Точки які лежать на колі, 2 2 2
x y
3
  .
Завдання 2.21. Знайти похідну функції в точці2 2 2
ln( )u x y z  
 2;2; 1А   за напрямом градієнта функції 2 2 2
2v x y z   в точці
(4;2; 4).В 
відВідпо ь
Завдання 2.22. В яких точках 1,gradu  де 2 2 2
ln .u x y   z
Точки сфери 2 2 2
1x y z  Відповідь. .
:
Практичне завдання№2
Номери: 2.13, 2.14, 2.21
РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З
ОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)
ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ
В
Р