1

1. Практичне заняття 3
Векторні лінії Потік векторного поля
Векторні лінії.
Потік векторного поля.
3.1. Векторні лінії
Завдання 3.1. Знайти векторні лінії магнітного поля нескінченного
провідника струму.
Розв’язання. Будемо вважати, що провідник напрямлений по осі і в
даному напрямі (знизу догори) проходить постійний струм
Oz
I . Вектор
напруженості H

магнітного поля, яке створюється цим струмом,
визначається формулою 2 2
2
( )
I
H yi x j
x y
  

  
.
Диференціальні рівняння векторних ліній будуть мати вигляд
0
dx dy dz
y x
 

або ; .
0
dx dy dy dz
y x x
 

Інтегруючи дані рівняння, отримаємо
2 2 2
1
2
,
.
x y C
z C
  


Отже, векторні лінії – концентричні кола з центрами на осі (рис.
П3.1).
Oz
Завдання 3.2. Знайти векторні лінії плоского потоку рідини, який
характеризується вектором швидкості ( ) 2 ( 1)v M xyi x x j   .
  
Відповідь.
2
2
1 1 2( 1) ( 0),
2
y
)x C C z C     .

2. Завдання 3.3. Знайти векторні лінії плоских векторних полів:
) 2
) ;
а F xi y j
в F xi y j
 
 
  
  
;
2 2
) ;
) .
б F xi zk
г F x i y j
 
 
  
  
Відповідь:
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
) , ; ) , ; ) , ; ) ,а x C y z C б z C x y C в xy C z C г C z C
x y
         .
Рис. П3.1
Завдання 3.4. Знайти векторну лінію поля 2F xi y j zk  
   
, яка
проходить через точку 0(1; 1;2)M  .
Розв’язання. Маємо систему диференціальних рівнянь векторних ліній
2
dx dy dz
x y z
  

або ; .
2
dx dy dy dz
x y y z
  
Інтегруючи дані рівняння, отримаємо: 2
1 2, .xy C y C z 
Знайдемо ту векторну лінію, яка проходить через точку 0(1; 1;2)M  :
1 1
2
2 2 2
1 ( 1) 1;
1 2 1
xy C C C
y C z C C
1
2.
       
     
Отже, маємо систему рівнянь
2
1,
.
2
xy
z
y
 




3. яка задає лінію перетину гіперболічного циліндра 1xy   та
параболічного циліндра 2 1
.
2
y z
Завдання 3.5. Знайти векторні лінії векторного поля .F xi y j zk  
   
Відповідь.
1 2
y z
x
C C
  .
Завдання 3.6. Знайти векторну лінію поля 2 3 2
F x i y j z k  
   
, яка
проходить через точку 0
1 1
; ;1
2 2
M
 
 
 
.
Відповідь. 2
1 1 1 1
1, 4
2x z x y
    .
3.2. Потік векторного поля
Завдання 3.7. Знайти потік векторного поля
через поверхню
( ) 2F x y i y j z   
   
k
 , де  - верхня сторона трикутнику, утвореного перетином
площини 2 3 6x y z   з координатними площинами.
Розв’язання. Знайдемо нормаль n

до площини 2 3 6x y z   , в якій
лежить трикутник:
( 2 3 6) 2 3
.
( 2 3 6 14
grad x y z i j k
n
grad x y z
    
   
  
  

За умовою задачі нормаль n

утворює гострий кут  з віссю (рис.
П3.2), тому
Oz
2 3 3
;cos 0.
14 14
i j k
n 
 
 
  



4. Рис. П3.2
Маємо
14
;
| cos | 3
dxdy
d d

  xdy
xyD  проекція поверхні  на площину xOy (рис. П3.3);
( ) 4 3 3 3
.
14 14
x y y z x y
F n
z    
  
 
Рис. П3.3
Застосовуючи формулу (2.5) обчислимо потік:

5. 6 20
3 0
2 30 0
2 0
3
3 3
3 3 1 6 2 14
3 3
3 314 14
1 1
(6 ) (6 )
3 3
1 2 2 3
(6 )(6 2 ) (18 3 ) (18 ) 21.
3 3 3 2 3
xy
xy
D
y
D
x y z x y
d x y dxdy
y dxdy y dy dx
y y
y y dy y y dy y





 
    
     
    
        
 
  
 
21 0    на поверхні  є джерела.
Завдання 3.8. Знайти потік векторного поля 2 (4F xi y j xy z    )k
   
через основу конуса: 2 2 2
;0 3x y z z    . Нормаль n

зовні конуса.
Розв’язання. Потік обчислюємо за формулою (2.5) F nd

  
 
.
В даному випадку : 3; xy xyz D пр  
(0;0n k 

3
круг, обмежений колом:
. Зовнішня нормаль2 2
9x y     ;1)
 
(рис. П3.4).
Рис. П3.4
2 0 0 (4 ) 1 4F n x y xy z xy z         
 
;
: 3,
(4 ) ;
cos , sin .
z
F nd xy z d n k d dxdy d d
x y 

    
   

          
 
 
   

2 3
2 3
0 0
1
(4 cos sin 3) 4 sin2 3
2Dxy
d d d

         
 
      
 
    

6. 3
4 22 2
0 00
3 81 27
sin2 sin2
2 2 2 2
d d
 
 
  
   
      
  
   
2
0
81 27
cos2 27 ;
4 2

  
 
    
 
27 0    на поверхні  є джерела.
Завдання 3.9. Знайти потік векторного поля 2 2 (5 )F xi y j z    k
   
через замкнену поверхню 2 2
:5 ; 1:z x y z     а) безпосередньо; б)
застосовуючи формулу Остроградського. Нормаль зовні поверхні.
Розв’язання. а) Потік обчислюємо за формулою (2.6)
1 2
,F nd F nd F nd
  
             
     
де 1 2    (рис. П3.5);
— частина поверхні еліптичного параболоїда,2 2
1 : 5 (z x    )y
12 : z  — частина площини паралельна площині .xOy
1
2 2 2 2
1 2 1 1; ; : 5F nd z x y u x y z

                 
 
5.
Рис. П3.5
Зовнішня нормаль 1;n 

2 2
2 2
.
4 4
gradu xi y j k
n
gradu x y
 
   
1 
  


7. Так як вектор утворює з віссю Oz гострий кутn

 (рис П3.6), то
2 2
2 2
4 4 1
xi y j k
n
x y
 

 
 


і
2 2
1
cos 0.
4 4 1x y
  
 
Знайдемо потік 1 :
1 1
2 2
1 2 2
4 4 5
4 4 1
x y z
F nd d
x y 
 
  
    
 
   
 
2 2
1
2 2
2 2
1
:5 ,
4 4 1
cos
4 2xyxy
z x y
dxdy
d x y dxdy
D пр круг x y



 
  
   
     

   
2 2
2 2 2 2 2 2 3
0 0
4 4 5 5
xy xyD D
x y x y dxdy x y dxdy d d

              
242
2
0
0 0
5 20
4
d


40  
 
  
 
 
 
5.
.
Знайдемо потік
2
2 ; (0;0; 1),F nd n k F n z

         
     
2
2
: 1,
2 (5 ) 4 16 .
xy
z
n k d dxdy
D
z d dxdy


 
  
          
Таким чином 40 16 24 .     
б) Знайдемо потік, застосовуючи формулу Остроградського (3.4). В
цьому випадку тому2 , 2 , 5 ,P x Q y R z    2 2 1 3
P Q R
x y z
.
  
     
  
2
52 2
0 0 1
2 2 2 2
2 3
0 0 0 0
42
2 2 2
0 0
0
3 3 3
3 (5 1) 3 (4 )
3 (2 ) 12 2 24 .
4
G G
dxdydz d d dz d d dz
d d d d
d

 


     
       

   

   
    
    
    
   




8. Завдання 3.10. Знайти потік векторного поля
через зовнішню сторону поверхні конуса
(рис. П3.6).
2
( ) ( ) ( 2F x y i x y j y z     
   
2 2 2
1 :( 1) ; 0z x y z    
)k
Рис. П 3.6.
Розв’язання. Поверхня 1 є незамкнена, тому доповнимо її поверхнею
основи 2 : 0z  . Тоді поверхня 1 2    буде замкненою і
1 2
F nd d F n

.dF n
 
    
 
 
   
Шуканий потік
1 2
1 .F nd F nd F nd
  
          
     
Обчислимо дані поверхневі інтеграли:
2 2 2 12 1
:(0 1)
1,0 1
0 0 0
2 1 2 1
2 3 2
0 0 0 0
3 4 2
1) ( ) (2 1 2)
(2 cos 1)
(1 )(2 cos 1) [2cos ( ) ]
[2cos ( )
3 4
xy
G G
D x y
z
P Q R
F nd dxdydz x dxdydz
x y z
d d dz
d d d


 
 

    
d            
  


   
   
  
       
  
   
      
  
  
  
   
 

32
1
0
0
]
2 3
d


 

9. 2
2
0
0
1 1 1 1
( cos ) (sin ) 2
6 6 6 6
d

 1
3
            .
2 2
2
2 1 2
2 2
0
0 0 0
: 0,
2) (0;0; 1) ( 2 )
1 1
sin sin cos | 0.
3 3
xyD
z
F nd n k y z d ydxdy
d dxdy
d d d
 
 


 

      
 
 
         
  
    
  
  
   

Отже, маємо 1
1 1
0
3 3
        0 на поверхні 1 є стоки.
Завдання 3.11. Знайти потік векторного поля 2
( ) 2F x i x y j zk   
   
2через замкнену поверхню 2 2
: 4;0x y z     (рис. П3.7).
Рис. П3.7.
Розв’язання. Поверхня  є замкненою, тому для обчислення потоку
застосуємо формулу Остроградського (3.4).
Маємо
2 2 2
: 2,0 2,
2 1 2 cos 1
0 0 0
22 2 2
2 3 2
0
0 0 0
2
2
0
0
(2 1) | | (2 cos 1)
2
2 (2 cos ) 2 ( cos ) |
3 2
16 16
2 ( cos 2) 2( sin 2 ) 8 .
3 3
xyD z
divF x
G
x dxdydz d d dz
d d d
d


 
 


    

       
    
  
   
      
    
    
   
  



10. Завдання 3.12. Знайти потік поля ( 2 ) ( 3 ) (5 )F x z i x y z j x y       k
   
через верхню сторону трикутника, утвореного перетином площини
1x y z   з координатними площинами.
Відповідь.
5
3
  .
Завдання 3.13. Знайти потік векторного поля
через основу конуса: . Нормаль зовні конуса.
3 ( )F xi y j y z k   
   
2 2 2
,x y z z   4
Відповідь. ( ) 16y z d

      .
Завдання 3.14. Знайти потік векторного поля
через замкнену поверхню
(3 )F xi y j z k   
   
2 2
:3 ; 2:z x y z     а) безпосередньо; б)
застосовуючи формулу Остроградського. Нормаль зовні поверхні.
Відповідь. а) 1 2
3
;
2 2

         б)
2G
dxdydz

   .
Завдання 3.15. Знайти потік векторного поля 2F xi xy j z   k
  
2
; 0.y z

через
зовнішню сторону поверхні конуса: 2 2
:( 2)z x    
Відповідь. 1 2
8 8
0
3 3

        .
Завдання 3.16. Знайти потік векторного поля 2
3F xi y j zk  
   
3.
2
через
замкнену поверхню 2 2
: 9;0x y z    
Відповідь..
Завдання 3.17. Знайти потік векторного поля через
частину поверхні параболоїда
2
F y j zk 
  
2
z x y  , що відтинається площиною 2z  .
Нормаль зовні еліптичного параболоїда.
Відповідь. 2   .
Завдання 3.18. Знайти потік векторного поля через
сферу
F xi y j zk  
   
2 2 2 2
x y z R   .

11. Відповідь. 3
4 R  .
Завдання 3.19. Знайти потік векторного поля F yzi x j yk  
  
)

1
)k 0
через
замкнену поверхню .2 2 2
: , 1(0x y z z z     
Відповідь..
Завдання 3.20. Знайти потік векторного поля
через частину площини2 2 2 2 2 2
( ) ( ) (F x y i y z j z x     
   
z  ,
обмеженої колом в напрямі орта2 2
1x y  k

.
Відповідь.
4

  .
ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ:
Практичне завдання №3
Номери:3.16, 3.19.
РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ВИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З
РОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)