21

1. Практичне заняття 21.
Інтегрування тригонометричних функцій. Тригонометричні
заміни. Інтегрування ірраціональних функцій.
1. Інтегрування тригонометричних функцій.
Основний теоретичний матеріал.
Обчислення інтегралів від раціональних тригонометричних функцій
 cos ,sinR x x dx за допомогою універсальної тригонометричної підстановки
tg
2
x
t  , враховуючи, що 2arctgx t , 2
2
1
dx dt
t


, 2
2
sin ,
1
t
x
t


2
2
1
cos
1
t
x
t



,
зводиться до інтегрування раціонального дробу. На практиці інтеграли від
раціональних тригонометричних функцій знаходять штучними методами.
Наприклад, інтеграли виду sin cosm n
x xdx у випадку, коли б хоча б одне з чисел
,m n- ціле додатне непарне використовують метод відокремлення, а у випадку
коли обидва числа ,m n- цілі додатні парні, використовують формули пониження
степеня: 2 1 cos2
sin ;
2
x
x

 2 1 cos2
cos .
2
x
x


Інтеграли від ірраціональних функцій обчислюють за допомогою заміни.
Для обчислення інтегралів від дробово-раціональних функцій, які містять
характерний корінь 2 2
a x , або 2 2
a x , або 2 2
x a використовують
тригонометричну підстановку: sinx a t , tgy a t ,
cos
a
y
t
 , відповідно.
Приклад 1. Обчислити 3
sin cosx xdx .
Розв’язання. Для обчислення даного інтегралу використаємо метод внесення
функції під знак диференціала.
4
3 3 sin
sin cos sin sin
4
x
x xdx xd x C    .
Приклад 2. Обчислити 4
tg .xdx

2. Розв’язання. Необхідно обчислити інтеграл від раціональної
тригонометричної функції tg x. Зробимо заміну tg .x t
4
4
2
2
Заміна:
tg 1
tg ; arctg , 1
1
t
I xdx dt
t x x t dx dt t
t
  
   

 
Для обчислення інтегралу від неправильного дробу необхідно виділити цілу
частину.
4 3
2
2 2
1 1 1
1 arctg
31 1
t t
I dt t dt t t C
t t
   
        
  
  , де tg .t x
Приклад 3. Обчислити
2 3
( 3)
dx
x 
 .
Розв’язання.
2 2
2
32 3 2
2
33tg ( 3) (3tg 3)
cos
3 3
( 3) 3 tg 1 3
cos cos
cos
dtx t x t
dx tI dt
x dx t
t t
t
    
   
     
 
 
 
1 1 1
cos sin sinarctg
3 3 3 3
x
tdt t C C     .
2. Інтегрування ірраціональних функцій.
Основний теоретичний матеріал.
Розглянемо інтеграли від деяких ірраціональних функцій і покажемо, що в
ряді випадків вони зводяться до інтегралів від раціональних функцій
(раціоналізуються).
1. Інтеграли виду dxxxxR s
r
n
m
 





,...,, .
Застосовуємо підстановку k
tx  , де k - спільний знаменник дробів
s
r
n
m
,..., ,
при цьому dttkdx k 1
 .

3. 2. Інтеграли виду dx
dcx
bax
dcx
bax
xR
s
r
n
m
 























,...,, .
Застосовуємо підстановку k
t
dcx
bax



, де k - спільний знаменник дробів
s
r
n
m
,..., . Звідси
act
dtb
x k
k


 . Далі знаходимо dt
act
bcadkt
dx k
k
2
1
)(
)(




.
3. Інтеграли виду    dxcbxaxxR 2
, .
Зробимо одну з підстановок dtdx
a
b
x
a
b
tx  ;
2
;
2
, тоді такі інтеграли
зводяться до одного з інтегралів:
а)    dttmtR 22
, ; б)    dttmtR 22
, ; в)    dtmttR 22
, .
Для знаходження інтегралів видів а); б); в) використовують тригонометричні
підстановки , які зводять задані інтеграли до інтегралів виду )cos,(sin zzR .
Для інтеграла    dttmtR 22
, застосовують підстановку zmt sin ; для
інтеграла    dtmttR 22
, застосовують підстановку
z
m
t
sin
 ; для інтеграла
   dttmtR 22
, застосовують підстановку ztgmt  .
4. Інтегрування диференціальних біномів.
Вираз виду pnm
bxax )(  , де pnm ,, - сталі раціональні числа, a і b - довільні
сталі числа, називається диференціальним біномом.
Інтеграл від диференціального бінома
  dxbxax pnm
)(
виражається через інтеграл від раціональних функцій відносно нової змінної,
якщо:
1) p – ціле число ( 0p , або 0p , або 0p ) і виконано підстановку
s
tx  , де s – найменший спільний знаменник дробів m і n ;

4. 2)
n
m 1
– ціле число 











0
1
,0
1
,0
1
n
m
n
m
n
m
і виконано
підстановку rn
tbxa  , де r – знаменник дробу p .
3) p
n
m

1
– ціле число 











0
1
,0
1
,0
1
p
n
m
p
n
m
p
n
m
і
виконано підстановку rn
tbax 
, де r – знаменник дробу p .
В інших випадках інтеграл від диференціального бінома через елементарні
функції не виражається.
Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл:
а) dx
x
x
  44 3
; б) .
11
1
3
6
 

xx
dxx
Розв’язання. а) Підінтегральна функція має вид   







 4
3
2
1
4 3
,, xxRxxR .
Оскільки спільний знаменник для чисел
4
3
,
2
1
є 4, то застосовуємо підстановку
dttdxtx 34
4 . Тоді, зробивши заміну, отримаємо









 dtt
t
t
dttdx
tx
dx
x
x
x
dxx 3
3
2
3
4
43
21
4 3
4
4
444


  dt
t
t
4
4 3
5




2
225
35
4
4
4|
t
ttt
tt









  dt
t
t
dttdt
t
t
t
4
164
4
44 3
2
2
3
2
2
| внесемо 2
t під знак диференціалу, маємо  4
3
1 32
 tddtt |
 
 



4
4
3
16
3
4 3
33
t
tdt
 Ctt 4ln
3
16
3
4 33
.4ln
3
16
3
4 4 34 3
Cxx 

5. б) .
11
1
3
6
 

xx
dxx
Підінтегральна функція має вид
  







 6
1
3
1
2
1
63
)1(,)1(,)1(1,1,1, xxxRxxxR . Оскільки спільний
знаменник для чисел
6
1
,
3
1
,
2
1
є 6, то застосовуємо підстановку dttdxtx 56
6 .
Тоді, зробивши заміну, отримаємо






 dttdx
tx
xx
dxx
5
6
3
6
6
1
11
1



  dt
t
t
dtt
tt
t
1
66
4
5
23
1
1
_
_
_
1
1|_
2
2
23
3
2334
4








t
t
tt
t
tt
t
ttttt
tt







  dt
t
ttt
1
1
16 23
 Cttttt 1ln6632
2
3 234
.11ln6161312)1(
2
3 6633 2
Cxxxxx 
Приклад 5. Знайти інтеграл 

dx
x
x3 4
1
.

6. Розв’язання. Оскільки   



 
 
dxxxdx
x
x 3
1
3 4
4
1
2
1
1
1
, маємо інтеграл від
диференціального біному та N
n
m
pnm 



 2
4
1
1
2
1
1
,
3
1
,
4
1
,
2
1
. Тому
зробимо підстановку 34
1
1 tx  . Маємо
 
 
     
 









 



dtttdttttt
dtttdx
tx
tx
dxxxdx
x
x
)1(121121
314
1
1
1
1
3323343
233
43
3
3
1
3 4
2
1
4
1
4
1
2
1
   C
tt
dttt
4
12
7
1212
47
36
    Cxx  3
4
43
7
4
131
7
12
.
Приклад 6. Знайти інтеграл
  
32
1 x
dx
.
Розв’язання. Маємо інтеграл виду 3а, тобто    dttmtR 22
, . Зробимо
підстановку zx sin .
  






 C
x
x
C
z
z
Ctgz
z
zdz
zdzdx
zx
x
dx
I
2332
1cos
sin
cos
cos
cos
sin
)1(
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Обчислити інтеграли:
1) 3 2
sin cosx xdx ; 2)
3
8
sin
cos
x
dx
x ;
3) 4
cos
2
x
dx ; 4) 2 4
sin cosx xdx ;
5) 3
ctg xdx ; 6) 4
tg xdx ;
7) s5 cos4co x xdx ; 8) sin3 cos5x xdx ;
9) 4
cos
dx
x ; 10) 2 4
sin cos
dx
x x .
(Відповідь: 1) 2 21
cos (3cos 5)
15
x x C  ; 2) 7 5
1 1
7 5
C
cos x cos x
  ;

7. 3) 3 1 1
sin sin2
8 2 16
x x C
x
   ; 4) 31 1
sin4 sin 2
16 64 48
x
x x C   ;
5) 21
ln sin
2
ctg x x C   ; 6) 31
3
tg x tgx x C   ;
7) 1 1
sin9 sin
18 2
x x C  ; 8) 1 1
8 cos2
16 4
cos x x C   ;
9) 31
3
tg x tgx C  ; 10) 31
2
3
tgx tg x ctgx x C    .)
№ 2. Обчислити інтеграли:
1)
3 5
dx
cosx ; 2)
4cos 3sin
dx
x x ;
3)
5 4sin 3
dx
x cosx  ; 4)
8 4sin 7
dx
x cosx  ;
5) 2
1 3
dx
cos x ; 6) 2 2
4 3 5sin
dx
cos x x  ;
7)
1
dx
tgx ; 8)
1
1
ctgx
dx
ctgx

 .
(Відповідь: 1)
2
1 2ln
4 2
2
x
tg
C
x
tg



; 2)
2 1
1 2ln
5 2
2
x
tg
C
x
tg



; 3) 1
2
2
C
x
tg


;
4)
5
2ln
3
2
x
tg
C
x
tg



; 5) 1
2 2
tgx
arctg C
 
 
 
; 6)  
1
3
3
arctg tgx C ;
7)
1
( ln sin cos )
2
x x x C   ; 8) ln sin cosx x C  . )
№ 3. Обчислити інтеграли:
1) 3
1
3 1
x
dx
x


 ; 2)
1
2 1
x
dx
x


 ;
3)
2 1 1
xdx
x  
 ; 4) 3
3 1 1
dx
x  
 ;
5)
1
2
x
dx
x x


 ; 6)
1
1
x
x dx
x

 4
7) 3
xdx
x x ; 8) 4
dx
x x ;
9)
3 x
dx
e
 ; 10)
9x
dx
e 
 .
(Відповідь: 1) 232
(3 1)
5
x
x C

  ; 2)
( 2) 2 1
3
x x
C
 
 ;
3) 2 1
(2 2 1 3)
12
x
x C

   ; 4)
23
3 3(3 1)
3 1 ln 3 1 1
2
x
x x C

      ;

8. 5) 2
2 2 2
2
x
x arctg C

   ; 6)
2
21 1
( 2) ln 1
2 2
x
x x x C

     ;
7)
5 26 3 3 6 66 3
2 3 6 6ln 1
5 2
x x x x x x x C        ;
8) 4 4
2 4 4ln(1 )x x x C    ; 9) 3 3 3
ln
3 3 3
x
x
e
C
e
 

 
;
10) 2
1
3 9
x
e
arctg C  .)
№ 4. Обчислити інтеграли:
1)
2
2
4
x dx
x
 ; 2)
2
2
1 x
dx
x

 ; 3)
2
2
1x
dx
x

 ; 4)
2 2
9
dx
x x 
 .
(Відповідь: 1) 2
2arcsin 4
2 2
x x
x C   ; 2)
2
1
arcsin
x
x C
x

   ;
3)
2
2 1
ln 1
x
x x C
x

    ; 4)
2
9
9
x
C
x

 )