26

1. Практичне заняття 26.
Застосування визначеного інтеграла.
1. Обчислення довжини дуги кривої.
Нехай крива АВ на площині задана рівнянням  y f x , a x b  . Якщо
функція  f x та її похідна  f x неперервні на відрізку  ,a b , то довжина L
дуги кривої AB обчислюється за формулою
 
2
1
b
a
L f x dx     .
Якщо крива задана параметрично: ( ), ( ),x x t y y t t     , то
довжина дуги
2 2
( ( )) ( ( ))L x t y t dt


   .
Приклад. Знайти довжину дуги лінії  2
ln 1y x  від початку
координат до точки
1 3
;ln
2 4
A
 
 
 
.
Розв’язання. Знайдемо похідну 2
2
1
x
y
x
  

і підставимо її у формулу
для обчислення довжини дуги. Маємо:
 
1 1 1
2 22 2 2
2 2 22
0 0 0
4 1 2
1 1
1 11
x x
l dx dx dx
x xx
  
      
  
  
1
2 1
2
0
0
1 3 1
ln ln .
1 2 2
x
x
x

   

2. Обчислення об’ємів тіл обертання.
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної
трапеції, обмеженої кривою  xfy  та прямими 0y , ax  , bx  , ba 
обчислюється за формулою:
 
b
a
x dxxfV 2
 . (5)
Помітимо, що коли тіло утворюється при обертанні навколо осі Oy
криволінійної трапеції, обмеженої кривою  yx  та прямими 0x , cy  ,
dy  , dc  об’єм тіла обертання дорівнює:
 
d
c
y dyyxV 2
 . (6)

2. Приклад. Обчислити об’єм тіла, отриманого при обертанні фігури,
обмеженої лініями x
ey 
 , 0y , 0x , 1x навколо осі Ox.
Розв’язання.
За формулою (5):
 
 3
2
1
0
2
1
0
2
од.36,1
1
1
2
2
1













 

e
edxeV xx
x


Приклад. Обчислити об’єм тіла, отриманого при обертанні фігури,
обмеженої лініями 2
2 xxy  , 2 xy навколо осі Ox.
Розв’язання. Побудуємо графіки всіх функцій.
Знайдемо координати точок перетину графіків функцій 2
2 xxy  та
2 xy , для цього розв’яжемо рівняння 2
22 xxx  : )0;2( та )1;1( .
За рисунком об’єм, який потрібно знайти, дорівнює різниці двох
об’ємів: об’єму 1V , отриманого при обертанні навколо осі Ox фігури,

3. обмеженої лініями 2
2 xxy  , 1x , 2x , та об’єму 2V , отриманого при
обертанні навколо осі Ox фігури, обмеженої лініями 2 xy , 1x , 2x .
За формулою (5) маємо
     
   ..од
5
42
5
4434
444422
3
2
1
234
52
1
234
2
1
2432
2
1
2
2
1
22













xxxx
x
dxxxxx
dxxxxxxdxxdxxxV
Приклад. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням параболи 2
y х на
проміжку 21  x навколо осі Oх , і осі Oу ( 41  у ).
Розв’язання. За формулами (5) та (6) маємо:
25 5 52
4
1 1
2 1 31
,
5 5 5 5
Ох
х
V х dx
  
        
 

42 2 24
1 1
4 1 15
.
2 2 2 2
Оу
у
V уdу
  
        
 

3. Фізичні застосування визначеного інтегралу.
Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі Ox під дією сили
 F F x , що напрямлена паралельно цій осі. Робота, що виконана силою
при зміщенні точки M з положення x a в положення x b  a b ,
знаходиться за формулою
 
b
a
A F x dx 
Нехай матеріальна точка рухається по прямій зі змінною швидкістю.
Тоді, шлях пройдений нею за проміжок часу від 1t до 2t обчислюється за
формулою
 
1
2
t
t
S V t dt 
Нехай в рідину занурена вертикальна пластина, обмежена лініями
x a , x b ,  1 1y f x та  2 2y f x . Тоді тиск, що діє на цю пластину
знаходиться за формулою
    2 1
b
a
P g f x f x xdx  
де, g - прискорення вільного падіння,  - густина рідини.

4. Приклад. Яку роботу потрібно виконати, щоб розтягнути пружину на
0,05 м, якщо сила 100 Н розтягує пружину на 0,01 м?
Розв’язання. По закону Гука сила пружності пропорційна величині
розтягу пружини, тобто F kx , де k - коефіцієнт пропорційності. За умовою
сила 100F  Н розтягує пружину на 0,01x  м; тому, 100 0,01k  , звідки
10000k  ; отже 10000F x . Шукана робота дорівнює
0,05
2 0,05
0
0
10000 5000 12,5A xdx x   (Дж).
Приклад 8. Знайти шлях пройдений тілом за 4 секунди від початку
руху, якщо швидкість тіла   10 2V t t  (м/с).
Розв’язання. Якщо   10 2V t t  (м/с), то шлях пройдений тілом від
початку руху  0t  до кінця 4-ї секунди, дорівнює
 
4
2 4 4
0 0
0
10 2 5 2 80 8 88S t dt t t       (м).
Приклад. Визначити величину тиску води на півкулю радіусом R, яка
вертикально занурена в рідину. Центр знаходиться на вільній поверхні води.
Розв’язання. В даному випадку пластина обмежена 2 2
1y R x   ,
2 2
2y R x  , 0x  , x R тому
  2 2 2 2 2 2
0 0
2
R R
P g R x R x xdx g R x xdx         
   
 
32 21
2 2 2 22
0
0
21
2
2 3
R
R
R x
g R x d R x g 
 
         
 

 2 32 2
0
3 3
g R g R     .
Задачі для самостійного розв’язання:
№ 1. Обчислити довжину дуги кривої:
1) 2y x від точки О(0; 0) до А(1; 2);
2) lny x від 3x  до 8x  ;
3) Астроїди 3 3
5cos , 5sinx t y t  ;
4) Однієї арки циклоїди ( ), (1 cos )x a t sint y a t    ;
(Відповідь: 1) 2 ln(1 2)  ; 2) 1 3
1 ln
2 2
 ; 3) 30; 4) 8a;)

5. № 2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої
лініями:
1) 4, 1, 4, 0xy x x y    навколо осі Ох;
2) 2
2 , 2 2 3 0y x x y    навколо осі Ох;
3) 21
2 2, 2
2
y x x y    навколо осі Оу;
4) 2
4 , 0y x x   навколо осі Оу;
5) Астроїдою 3 3
cos , sinx a t y a t  навколо осі Оу;
6) Однією аркою циклоїди 4( sin ), 4(1 cos )x t t y t    навколо осі Ох.
(Відповідь: 1) 12 ; 2) 272
15
 ; 3) 64
3
 ; 4) 512
15
 ;
5) 332
105
a ; 6) 2
320 .)