1

1. Практичне заняття 2.
Невизначений інтеграл
Мета заняття: ознайомлення студентів з поняттям «невизначений інтеграл» та
найпростішими методами інтегрування.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про таблицю інтегралів та
прикладів задач по заданій темі.
Завдання 2. Надання коротких теоретичних відомостей про метод обчислення
інтегралів – внесення функції під знак диференціалу та прикладів
задач по заданій темі.
Завдання 3. Надання коротких теоретичних відомостей про метод інтегрування –
заміна змінної та розв’язання прикладів на задану тему.
Завдання 4. Надання коротких теоретичних відомостей про метод інтегрування –
інтегрування частинами та розв’язання прикладів на задану тему
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Функція ( )F x називається первісною для функції ( )f x на проміжку ( ),a b ,
якщо ( ) ( )F x f x′ = , ( ), .x a b∈ Якщо ( )F x первісна для ( )f x , то сукупність усіх
первісних має вигляд ( )F x C+ , де C- довільна стала. Множина ( )F x C+
називається невизначеним інтегралом функції ( )f x і позначається ( )f x dx∫ ,
тобто ( ) ( )f x dx F x C= +∫ .
Властивості невизначеного інтеграла
1) ( )( ) ( )f x dx f x′ =∫
2) ( ) ( )dF x F x C= +∫
3) ( ) ( )C f x dx C f x dx=∫ ∫
4) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x dx f x dx f x dx+ = +∫ ∫ ∫
5) Якщо ( ) ( )f x dx F x C= +∫ і ( )u x= ϕ довільна неперервно диференційована
функція, то ( ) ( )f u du F u C= +∫ .

2. Таблиця інтегралів
1. 11
, 1
1
u du u Cα α+
= + α ≠ −
α +∫ 2. du u C= +∫
3. 2
du
u C
u
= +∫ 4. ln
du
u C
u
= +∫
5. u u
e du e C= +∫ 6.
ln
u
u a
a du C
a
= +∫
7. sin cosudu u C= − +∫ 8. cos sinudu u C= +∫
9. 2
tg
cos
du
u C
u
= +∫ 10. 2
ctg
sin
du
u C
u
= − +∫
11. sh chudu u C= +∫ 12. ch shudu u C= +∫
13. tg ln cosudu u C= − +∫ 14. ctg ln sinudu u C= +∫
15. ln tg
sin 2
du u
C
u
= +∫ 16. ln tg
cos 4 2
du u
C
u
π 
= + + 
 
∫
17.
2
arcsin
arccos1
u Cdu
u Cu
+
= 
− +−
∫ 18.
2 2
arcsin
arccos
u
C
du a
ua u C
a

+
= 
− − +

∫
19. 2
arctg
arcctg1
u Cdu
u Cu
+
= 
− ++ 
∫ 20. 2 2
1
arctg
1
arcctg
u
C
du a a
ua u
C
a a

+
= 
+ − +

∫
21. 2
2
ln
du
u u A C
u A
= + + +
+
∫
22. 2 2
1
ln
2
du a u
C
a a ua u
+
= +
−−
∫
23. 2 2
1
ln
2
du a u
C
a a uu a
−
= +
+−
∫
24.
2
2 2 2 2
arcsin
2 2
u a u
a u du a u C
a
− = − + +∫
25. 2 2 2
ln
2 2
u A
u A du u A u u A C+ = + + + + +∫

3. Приклад 1. Обчислити інтеграли:
3
5 4x x
dx
x
+ +
∫ .
Розв’язання.
3
2 35 4 1 4 5
5 2 4ln
3
x x
dx x dx dx dx x x x C
x xx
+ +
= + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ .
Приклад 2. Обчислити cos(1 2 )x dx+∫ .
Розв’язання.
( )
2 1 1
cos(1 2 ) cos(1 2 ) cos(1 2 ) 1 2 sin(1 2 )
2 2 2
x dx x dx x d x x C+ = + = + + = + +∫ ∫ ∫
Приклад 3. Обчислити
4 3
x
x
e
dx
e+
∫
Розв’язання.
( )4 31 1
ln 4 3
3 34 3 4 3
xx
x
x x
d ee dx
e C
e e
+
= = + +
+ +
∫ ∫
При обчисленні інтеграла використали властивості диференціала
( ) ( )
1
d u d ku
k
= , ( )d u a du+ = , ( ) ( )f x dx dF x= , та табличні інтеграли
u u
e du e C= +∫ ,
1
lndu u C
u
= +∫ .
Метод заміни змінної ґрунтується на теоремі:
Нехай функції ( )x x t= , ( )x t′ неперервні на ( ),α β , причому множина значень
функції ( )x t лежить на ( ),a b , тоді з формули
( ) ( )f x dx F x C= +∫ , ( ),x a b∈
випливає, що має місце формула
( )( ) ( ) ( )( )f x t x t dt F x t C′ = +∫ , ( ),t ∈ α β .
Приклад 4. Обчислити
4
xdx
x −∫ .
Розв’язання.
2
2 2
4 4
2
4 4 ( 4) 2
xdx x t t
tdt
tx x t dx t dt tdt
− = +
= = ⋅ =
′− = + = + =
∫ ∫
3 3
2 ( 4)
2 ( 4) 2( 4 ) 2( 4 4)
3 3
t x
t dt t C x C
−
= + = + + = + − +∫ .

4. Формула інтегрування частинами: .udv uv vdu= −∫ ∫
Формула інтегрування частинами зокрема застосовується (можливо декілька
разів) для обчислення інтегралів виду ( ) ( )nP x x dx⋅ϕ∫ , де ( )nP x - многочлени n -го
степеня, ( )xϕ одна з функцій:
cos , sin , , ln , arcsin , arccos , arctg , arcctgx
x x e x x x x xα
α α .
Приклад 5. Обчислити ( 5)sin2x xdx+∫ .
Розв’язання.
5
1
( 5)sin2 ( 5)cos21
2sin2 cos2
2
u x du dx
x xdx x x
dv xdx v x
= + =
+ = = − + +
= = −∫
1 1 1
cos2 ( 5)cos2 sin2
2 2 4
xdx x x x C+ = − + + +∫ .
Приклад 6. Обчислити lnx xdx∫ .
Розв’язання. Під знаком інтеграла стоїть добуток многочлена на
логарифмічну функцію, тому використаємо метод інтегрування частинами.
2 2
2
1
ln ;
1 1 1
ln ln
1 2 2
;
2
u x du dx
x
x xdx x x x dx
x
dv xdx v xdx x
= =
= = ⋅ − ⋅ =
= = =
∫ ∫
∫
2 21 1
ln
2 4
x x x C= − +
Завдання для індивідуальної роботи № 2.
Номер варіанта визначається за списком в журналі групи.
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
Обчислити інтеграли:
2.1. а) ( )1 2x
e dx
−
∫ ;. б)
2
ln 5
dx
x x +
∫ ; в)
e 3
e 1
x
x
dx
+
−
∫ ;г) arcctg(3 )x x dx⋅∫ .

5. 2.2. а) ( )sin 2 4x dx+∫ ; б)
4
9-16
x
x
dx
∫ ; в)
2
1 2
x
dx
x
+
− −∫ ; г) 3
ln x
dx
x∫ .
2.3. а)
3 5
dx
x −∫ ; б)
cos x
dx
x∫ ; в)
6x
dx
x
−
∫ ; г) ( )3 sin8x xdx−∫ .
2.4. а)
( )2
cos 2 3
dx
x+
∫ ; б)
3 tg5
cos5
x
dx
x∫ ; в)
2
1
x dx
dx
x −∫ ; г) ( )2
ln 5x dx+∫ .
2.5. а) ( )tg 1 4x dx+∫ ; б)
3
ln 3
ln
x
dx
x x
+
∫ ; в)
7
dx
x x +∫ ; г) ( )5 sin 4x xdx+∫ .
2.6. а) ( )3
3 5x dx+∫ ; б)
3
8
4
x dx
x−
∫ ; в)
3x
dx
x
+
∫ ; г) ( ) 5
4 x
x e dx+∫ .
2.7. а)
( )sin 2 3
dx
x−
∫ ; б)
2
6
4
x dx
x+∫ ; в)
2
4
x dx
x +∫ ; г) 7
ln3x xdx∫ .
2.8. а) ( )cos 3 4x dx−∫ ; б) 3
cos5 sin5x xdx∫ ; в)
2
1
x dx
x +∫ ;г) ( )8 cos
4
x
x dx+∫ .
2.9. а)
1 4
dx
x+∫ ; б) 2 3
ctgx x dx∫ ; в)
5
5
x
dx
x x
−
+ −∫ ;г) ( ) 4
3 x
x e dx+∫ .
2.10. а)
( )2
sin 2 3
dx
x −
∫ ; б)
tg x
dx
x∫ ; в)
( )5
dx
x x +∫ ; г) cos
8
x
x dx∫ .
2.11. а) ( )ctg 2 3x dx−∫ ; б) 2
1 1
cos dx
x x∫ ; в)
5x
dx
x
−
∫ ; г) 2
sin 4
x
dx
x∫ .
2.12. . а)
( )2
4 5
dx
x−
∫ ; б)
cos3
1 2sin3
x
dx
x+∫ ; в)
2
2
x
dx
x x
+
+ +∫ ; г) 3
ln4x xdx∫ .
2.13. а)
( )cos 3 2
dx
x−
∫ ; б)
sin
cos 2
x
dx
x +∫ ; в)
2
4
x dx
x +∫ ; г) arcsin2xdx∫ .
2.14. а)
2 4
dx
x −
∫ ; б)
4 ln x
dx
x
+
∫ ; в)
3x
dx
x
+
∫ ; г) 3
ln4x xdx∫ .
2.15. а) ( )3 4x
e dx
+
∫ ; б) ( )2
cos 1 3x x dx−∫ ; в)
7
dx
x x +∫ ; г) ( ) 6
2 x
x e dx−∫ .
2.16. а) ( )sin 3 1x dx−∫ ; б) ( )2
tg 2 1x x dx+∫ ; в)
2
1
x dx
dx
x −∫ ;г) 2
sin
x
dx
x∫ .
2.17. а)
2 4
dx
x+∫ ; б)
x
e
dx
x∫ ; в)
2
1
x dx
x +∫ ; г) arctg3xdx∫ .
2.18. а)
( )2
sin 1 5
dx
x−
∫ ; б)
( )
2
1
4
x dx
x
+
−
∫ ; в)
6x
dx
x
−
∫ ; г) ( )1 sin
3
x
x dx−∫ .

6. 2.19. . а) ( )tg 2 3x dx−∫ ; б)
1 sin x
dx
x
−
∫ ; в)
2
2
x
dx
x x
+
+ +∫ ; г) ( ) 5
2 x
x e dx+∫ .
2.20. а)
( )sin 2 4
dx
x +
∫ ; б) 2 3x x
e e dx+∫ ; в)
2
1
x dx
x +∫ ; г) ( )6 cos3x xdx−∫ .
2.21. а) 3 1x dx+∫ ; б) 2
9 4
x
x
e dx
e +∫ ; в)
( )5
dx
x x +∫ ; г) arctg3xdx∫ .
2.22. а)
( )cos 2 4
dx
x −
∫ ; б) 2
4 9
x
x
e dx
e +∫ ; в)
5x
dx
x
−
∫ ; г) 2
sin 3
x
dx
x∫ .
2.23. а) ( )ctg 2 5x dx+∫ ; б) 2
sin2
cos 2 9
x
dx
x −∫ ; в)
2
4
x dx
x +∫ ; г) 7
ln3x xdx∫ .
2.24. а) ( )6
2 4x dx−∫ ; б)
2
3
7 3
x dx
x+
∫ ; в)
2
1
x dx
x +∫ ; г) ( )8 cos
4
x
x dx+∫ .
2.25. а) ( )cos 1 5x dx−∫ б)
arctg2
2
1 4
x
e dx
x+∫ ; в)
2
1
x dx
dx
x −∫ ; г) ( )2
ln 5x dx+∫ .
2.26. а) ( )cos 3 4x dx−∫ ; б)
2
ln 5
dx
x x +
∫ ; в)
3x
dx
x
+
∫ ; г) ( ) 5
4 x
x e dx+∫ .
2.27. а)
1 4
dx
x+∫ ; б) 2 3x x
e e dx+∫ ; в)
( )5
dx
x x +∫ ; г) cos
8
x
x dx∫ .
2.28. а)
( )2
sin 2 3
dx
x −
∫ ; б) 2
1
tg dx
x
x
 
 
 
∫ ; в)
2
1 2
x
dx
x
+
− −∫ ; г) 3
ln x
dx
x∫ .
2.29. а) ( )ctg 2 3x dx−∫ ; б)
5
10
e
4e 25
x
x
dx
+∫ ; в)
6x
dx
x
−
∫ ;г) ( )3 sin8x xdx−∫ .
2.30. а) ( )sin 2 4x dx+∫ ;б) 2 4cos (2 ) tg(2 )
dx
x x∫ ;в)
2
2
x
dx
x x
+
+ +∫ ;г) 3
ln4x xdx∫ .