12

1. Практичне заняття 17.
Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. Метод
безпосереднього інтегрування
Основний теоретичний матеріал
Нехай функція  xf визначена на інтервалі ba; . Тоді функція  xF
називається первісною для функції  xf на інтервалі ba; , якщо  xF
диференційовна на ba; та для будь-якого bax ; виконується рівність
)()( xfxF  або dxxfxdF )()(  .
Сукупність усіх первісних для функції  xf на проміжку ba;
називається невизначеним інтегралом від функції  xf та позначається
  dxxf . Функція  xf називається підінтегральною функцією. Символ
  dxxf означає множину всіх первісних функції  xf на проміжку ba; .
Таким чином, якщо  xF – яка-небудь первісна для функції  xf , то
     CxFdxxf .
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають
інтегруванням.
Основні властивості невизначеного інтеграла
1.     CxFxdF  .
2.    dxxfdxxfd )( , або    )(xfdxxf 

 .
3.      dxxfdxxf  , де 0 .
4.           dxxgdxxfdxxgxf .
5. Якщо      CxFdxxf і )(xu  - довільна функція, що має
неперервну похідну, то     CuFudFduuf )()( .
6. Якщо      CxFdxxf , то      CbkxF
k
dxbkxf
1
, де 0k .

2. Таблиця основних інтегралів
1. ,1,
1
1 1


 
 


Cuduu
зокрема du u C   ;
du
u u
C2
1
   ; ;2 Cu
u
du

2. ;ln
1
Cudu
u

3. 1,0,
ln
 aaC
a
a
dua
u
u
, зокрема ;Cedue uu

4. Cuudu  cossin ; 5. Cuudu  sincos ;
6. Cudu
u
 tg
cos
1
2 ; 7. Cudu
u
 ctg
sin
1
2
;
8. Cuudu  coslntg ; 9. Cuudu  sinlnctg ;
10.   C
u
u
du
2
tgln
sin
; 11.  





 C
u
u
du
24
tgln
cos

;
12.
du
a u a
u
a
C2 2
1

  arctg , зокрема Cu
u
du

 arctg
1 2
;
13.
du
a u a
a u
a u
C2 2
1
2



 ln , зокрема C
au
au
aau
du




 ln
2
1
22
;
14.
du
a u
u
a
C
2 2

  arcsin , зокрема Cu
u
du


 sinarc
1 2
;
15.
du
u A
u u A C
2
2

    ln .
Приклад 1. Використовуючи таблицю та основні властивості
невизначеного інтеграла, обчислити інтеграли:
1)  





 dx
x
x
7
2
53 3
; 2) 

dx
x
xx 532
.
Розв’язання.
1) Скористуємося спочатку властивостями 3 та 4 невизначеного
інтегралу, а потім табличними інтегралами 1 та 3:

3. 





 

dxdxxdxdxdx
x
dxdx
x
xxx
72537
2
537
2
53 3
1
33
Cxx
a
Cx
x
a
xx








73
ln
53
7
1
3
1
2
ln
53 3 2
1
3
1
.
2) Почленно поділимо чисельник підінтегрального дробу на
знаменник: 2
1
2
1
2
3
2/1
22
53
5353 




xxx
x
xx
x
xx
. Тоді








 

dxxdxxdxxdxxxxdx
x
xx 2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
32
5353
53
CxxxC
xxx








2
1
2
3
2
51
2
1
1
2
1
1
2
3
102
5
2
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2
3
.
Приклад 2. Обчислити інтеграли:
а)   dxx 7
)64( ; б)  18x
dx
; в) 

dxe x 14
.
Розв’язання. Ці інтеграли можуть бути знайдені за допомогою
властивості 6.
а) Інтеграл   dxx 7
)64( відрізняється від табличного
Cuduu 

 

1
1
1 

тим, що основа степеню це вираз bkx  , а саме
4,64  kx . Тому за властивістю 6 одержимо
C
x
C
x
dxx 



 32
)64(
8
)64(
4
1
)64(
88
7
.
б) Інтеграл   x
dx
8
відрізняється від табличного  u
du
тим, що у
знаменнику знаходиться вираз bkx  , а саме 1,8  kx , тому за
властивістю 6 одержимо
Cx
x
dx

 8ln
8
.

4. в) Інтеграл 

dxe x 14
відрізняється від табличного  dueu
тим, що
показник степеню це вираз bkx  , а саме 4,14  kx , тому
Cedxe xx
 

1414
4
1
.
Приклад 3. Знайти інтеграли:
а)  
dx
x
x
42
2
; б)  dxxsin2
; в)  





 dx
xx
2
2
cos
2
sin .
Розв’язання.
а) Перетворимо підінтегральну функцію:
 
4
4
1
4
44
4 22
2
2
2





 xx
x
x
x
.
Звідси











 C
x
x
x
dx
dxdx
x
dx
x
x
2
arctg
2
1
4
4
4
4
4
1
4 222
2
C
x
x 
2
arctg2 .
б) Перетворимо підінтегральний вираз, скориставшись формулою
2
2cos1
sin2 x
x

 . Маємо


  Cxxdxxdxdx
x
dxx 2sin
2
1
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
2
2cos1
sin2
Cxx  2sin
4
1
2
1
.
в) Перетворимо підінтегральну функцію:
x
xxxxxx
sin1
2
cos
2
cos
2
sin2
2
sin
2
cos
2
sin 22
2







(тут ми використали формулу  cossin22sin  ).
Звідси
  Cxxdxxdxdxxdx
xx






  cossinsin1
2
cos
2
sin
2
.

5. Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Знайти інтеграли:
1) 2
(9 4 5)x x dx  ; 2) 3x
dx
x

 ;
3)
3 3
1 1
dx
x x
 
 
 
 ; 4)
2
(2 7)x
dx
x

 ;
5) 2 2
cos2
cos sin
x
dx
x x ; 6)
2
2
5 3
sin
tg x
dx
x

 ;
7)
2
2
(1 )
(1 )
x
dx
x x

 ; 8) 2 2
cos sin
dx
x x ;
9)
2
2
5 4
s
ctg x
dx
co x

 ; 10)
2 2
4
3 3
9
x x
dx
x
  

 .
(Відповідь: 1) 3 2
3 2 5x x x C   ; 2) 2
6
3
x x x C  ;
3) 3 2
2
1 3
22
x C
x
   ; 4) 28 56
98
5 3
x x x x x C   ; 5) tgx ctgx C   ;
6) 5 3ctgx tgx C   ; 7) ln 2x arctgx C  ; 8) 2 2ctg x C  ;
9) 5 4tgx ctgx C  ; 10) 2
arcsin ln 3
3
x
x x C    .)
№ 2. Знайти інтеграли:
1)
6 5
dx
x  ; 2) 2
4
dx
cos x ;
3) sin3xdx ; 4) 23
(8 5 )x dx ;
5) 7x
e dx ; 6) 2
16 1
dx
x  ;
7) 5
(3 2)
dx
x  ; 8) cos
4
x
dx ;
9) 2
2 9
dx
x  ; 10)
2
1 9
dx
x
 .
(Відповідь: 1) 1
ln 6 5
6
x C  ; 2) 1
4
4
tg x C ;
3) 1
cos3
3
x C  ; 4) 533
(8 5 )
25
x C   ; 5) 71
7
x
e C ;
6)
1 2 1
ln
8 2 1
x
C
x



; 7) 4
1
12(3 2)
C
x
 

; 8) 4sin
4
x
C ;
9) 1 2
33 2
x
arctg C ; 10) 1
arcsin3
3
x C .)