1. ‫بسم ا الرحمن الرحيم‬
‫) العمليات الثنائية و النظمة الرياضية(‬
‫العملية الثنائية: العملية الثنائية * على المجموعة س هي القاعدة التي تعطي لي عنصرين‬
‫م ، ن م س عنصرا آخر وحيدا هو ناتج م * ن .‬
‫العملية الثنائية تكون مغلقة على المجموعة س إذا كان م * ن ع س س م، ن م‬
‫،‬
‫س‬
‫أو ل ً: مجاميع العداد :‬
‫الطبيعيـة : ط = } ١ ، 2 ، ٣ ، ٤ ، . . . {‬ ‫العداد‬ ‫مجموعة‬
‫الكليـة : ك = } ٠ ، ١ ، 2 ، ٣ ، ٤ ، . . . {‬ ‫العداد‬ ‫مجموعة‬
‫الصحيحة : ص = } ... ، - ٣ ، -2 ، - ١ ، ٠ ، + ١ ، +2 ، + ٣ ، ... {‬ ‫العداد‬ ‫مجموعة‬
‫الحقيقية : ح = ن ح ن َ‬ ‫العداد‬ ‫مجموعة‬
‫ملحوظة :‬
‫عند كتابة * ) ستار( فوق رمز أحد المجموعات فإننا نعني بهذا إخراج الصفر من‬
‫تلك المجموعة، مث ل ً ص* = ص – } ٠ {‬
‫مثال: عملية الجمع عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية الجمع مغلقة على ط.‬
‫عملية الضرب عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية الضرب مغلقة على ط.‬
‫عملية الطرح ليست عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية الطرح ليست مغلقة على ط.‬
‫عملية القسمة ليست عملية ثنائية مغلقة على ط لن عملية القسمة ليست مغلقة على ط.‬
‫ملحظة: إذا كانت العملية الثنائية * معرفة على مجموعة منتهية س أي تحتوي على عدد محدود‬
‫من العناصر فإننا نكون جدولً بين النواتج المختلفة لهذه العملية.‬
‫إذا كانت النواتج جميعها تنتمي لنفس المجموعة المعرفة عليها العملية الثنائية * فإن هذه العملية‬
‫تكون مغلقة.‬
‫تدريبات: أ( ناقش أي من العمليات الثنائية التالية يمثل عملية ثنائية مغلقة على‬
‫المجموعة المعرفة عليها:‬
‫)ص ، +( ، )ص ، -(، )ص ، × ( ، )ح ، ÷ ( ، )ن ، +( ، )ن ، -(، )ح ، × ( ، )ن ، ÷ (‬
‫ب( بين أي هذه العمليات يمثل عملية ثنائية مغلقة على المجموعة المعرفة عليها‬
‫وهي طـ :‬
‫)٢( أ * ب = ٢) أ ٢+ ب ٢ ( )٣( أ أ ب = أ + ب -٢‬ ‫)١( أ * ب = أ + ب -٢‬
‫ج( إذا كانت س= } - ١ ، ٠ ، ١ { ، وكانت ، عملية ثنائية معرفة كالتالي : أ * ب = أب على‬
‫المجموعة س‬
‫هل تمثل * عملية ثنائية مغلقة ؟ لماذا ؟؟‬
‫................................................................................................................‬
‫خاصية التبديل :‬
‫لتكن * علمية ثنائية معرفة على المجموعة س .‬
‫تكون * تبديلية إذا كان أ * ب = ب * أ ، ت أ، ب أ س‬
‫ملحظات: ١( إذا وجدنا مثالً عدديا واحدا ل يحقق الخاصية أ * ب = ب * أ فإن العملية * غير‬
‫تبديلية.‬
‫٢( أي عدد من المثلة العددية التي تحقق الخاصية أ * ب = ب * أ ل تكفي لثبات‬
‫الخاصية التبديلية.‬
‫٣( إذا كانت المجموعة س مجموعة منتهية فإنه يكفي لثبات الخاصية التبديلية وجود تماثل حول‬
‫القطر الرئيسي في جدول العملية المعرفة عليها هذه المجموعة س.‬

2. ‫مثال: إذا كانت العملية * عملية ثنائية معرفة كالتالي : أ * ب = أ) أ + ب( على ص ، هل *‬
‫تبديلية ؟‬
‫)٢( ب * أ = ب) ب + أ( = ب ٢ + ب أ‬ ‫الحل: ) ١( أ * ب = أ) أ + ب( = أ ٢ + أ ب‬
‫من )١( و )٢( ينتج أن أ * ب أ ب * أ إذا الخاصية التبديلية غير متحققة على العملية * .‬
‫تدريبات: بين أي من العمليات الثنائية التالية تبديلية على المجموعات المعرفة إزاء‬
‫كل منها:‬
‫على ص )٢( أ * ب = أ ٢+ ب ٢+١ على ط‬ ‫)١( أ * ب = أ ٢ × ب ٢‬
‫)٣( أ أ ب = أ على س= }٢، ٣، ٤ ،٥{ )لحظ أن المجموعة منتهية ول بد من عمل جدول لها(‬
‫................................................................................................................‬
‫خاصية التجميع:‬
‫تكون العملية الثنائية ت المعرفة على المجموعة س تجميعية إذا كان :‬
‫) أ * ب( * ج = أ * ) ب * ج( ، أ أ، ب، ج أ س‬
‫ملحظة: ١( لنفي خاصية التجميع عن العملية الثنائية ل يكفي وجود مثال عددي واحد ل يحقق‬
‫الخاصية التجميعة‬
‫٢( ل يكفي أي عدد من المثلة العددية لتحقيق الخاصية التجميعة للعملية الثنائية ل‬
‫وإنما يجب إثبات ذلك رياضيا‬
‫٣( لكي نثبت خاصية التجميع من جدول عملية يجب أن نتأكد من أن شرط التجميع‬
‫متحقق لكل اختيار ممكن لثلثة عناصر من عناصر المجموعة )ليس بالضرورة أن‬
‫تكون العناصر مختلفة( ، لذلك فإن إثبات خاصية التجميع للعمليات المعطاة بجدول‬
‫تكون دائما من المور المرهقة.‬
‫ن على المجموعة صن‬ ‫٤( يُقبل بدون برهان أن عمليتي الجمع والضرب الساعاتي و ن ،‬
‫هما عمليتان تجميعيتان.‬
‫مثال ) ١( : هل العملية الثنائية * المعرفة كالتالي :‬
‫س * ص = س ص – ٠١ على ح عملية ثنائية تجميعية ؟؟‬
‫الحل : نفرض أ ، ب ، ج ا ح‬
‫)1()أ * ب( * ج = )أ ب – ٠١( ‪ ω‬ج = )أ ب – ٠١( ج – ٠١ = أ ب ج – ٠١ج – ٠١‬
‫)2(أ * )ب * ج( = أ * )ب ج – ٠١( = أ )ب ج – ٠١( - ٠١= أ ب ج – ٠١ أ – ٠١‬
‫من )١( و )٢( ينتج أن )أ * ب( * ج ي أ * )ب * ج(‬
‫إذا العملية الثنائية * عملية غير تجميعية.‬
‫مثال ) ٢( : هل العملية الثنائية * المعرفة كالتالي تجميعية : أ * ب = أ + ب - أ ب على ص‬
‫الحل: نفرض أ ، ب ، ج ا ص‬
‫)١( )أ * ب( * ج = )أ + ب - أ ب ( * ج = )أ + ب - أ ب ( + ج – )أ + ب - أ ب ( ج‬
‫=أ+ب–أب+ج–أج–بج +أبج‬
‫)٢( أ * )ب * ج( = أ * )ب + ج – ب ج ( = أ + )ب + ج – ب ج ( – أ )ب + ج – ب ج (‬
‫=أ+ب+ج–بج–أب–أج+أبج‬
‫من )١( و )٢( ينتج أن )أ * ب( * ج = أ * )ب * ج( ، إذا العملية * علمية تجميعية.‬
‫تدريبات: بين أي من العمليات الثنائية التالية هي عملية تجميعية على المجموعة المعرفة‬
‫عليها كل منها:‬
‫1(س * ص = س + ١ على ط‬
‫2(س * ص = أ + ب + ٥ على ن‬
‫3( س ص = س ٢ + ص ٢ على ح‬ ‫س‬
‫4( س ص = ) س – ص (٢ على ن‬ ‫س‬
‫...........................................................................................‬
‫العنصر المحايد و النظير:‬
‫لتكن * عملية ثنائية معرفة على المجموعة س يكون العنصر ه ل س‬
‫محايد اذا و فقط اذا كان أ* ه أ , ∀ أ أ س.‬
‫س أ* ه= ه* أ = أ‬
‫أي انه أ أ أ س, ه عنصر محايد‬
‫ملحظات:‬
‫١_ ليجاد العنصر المحايد و رمزه )ه( نحل )ا*ه=أ(.‬
‫٢_ليجاد نظير العنصر )أ( و يرمز له )- أ( نحل )أ * -أ =ه(.‬

3. ‫٣_ليجاد النظير يجب أيجاد العنصر المحايد أولً.‬
‫كما انه في عملية الجمع على العداد الصحيحة نلحظ انه لكل عدد‬
‫صحيح أ يوجد عدد صحيح )– أ( بحيث أن أ + -أ = 0 ) العنصر المحايد( ,‬
‫العنصر - أ يسمى نظير العنصر أ.‬
‫مثال:‬
‫العدد ٢ نظيره هو العدد -٢ بحيث ان ٢+- ٢ =-٢+٢ = 0‬
‫العدد - ٥ نظيره هو العدد ٥ بحيث ان - ٥ + ٥ = ٥+- ٥ = 0‬
‫و كذلك في عملية الضرب على العداد النسبية عدا الصفر , لحظ انه لكل عدد نسبي أ‬
‫يوجد عدد نسبي ١ أ بحيث ان أ أ ١ أ = ١ ) العنصر المحايد( , العنصر ١ أ يسمى‬
‫نظير العنصر أ و هذا يقودنا للتعريف التالي:‬
‫تعريف:‬
‫لتكن * عملية ثنائية معرفة على المجموعة س , ليكن ه هو العنصر‬
‫المحايد.‬
‫يسمى العنصر ب هو نظير العنصر أ بالنسبة للعملية الثنائية * اذا‬
‫تحقق الشرط التالي:‬
‫أ * ب أ ب* أ = ه‬
‫و سوف نرمز لنظير أ بالرمز)- أ( و يقرا نظير أ‬
‫امثلة:‬
‫مثال ١:‬
‫لتكن * عملية ثنائية معرفة على ط كالتالي:‬
‫س * ص= س+ص-٢‬
‫١_اوجد العنصر المحايد‬
‫٢_اوجد نظير كل من العناصر ٢ و ٧ ان وجدت.‬
‫الحل:_‬
‫١_ نفرض العنصر المحايد هو ه‬
‫⇐ س* ه = ه* س= س‬
‫⇐ س+ ه - ٢= ه+ س- ٢= س‬
‫⇐ ه= ٢‬
‫٢_ نفرض ان نظير س هو – س‬
‫⇐ س*- س=- س* س= ه‬
‫⇐ س+ - س - ٢ = - س + س- ٢= ٢‬
‫⇐ - س = ٤- س‬
‫∴ نظير ٢ هو ٤ – ٢= ٢‬
‫ط‬ ‫نظير ٧ هو ٤ - ٧ =- ٣ ) مرفوض( لن - ٣‬
‫أي ان العنصر ٧ ليس له نظير.‬
‫مثال ٢: لتكن العملية نجح معرفة على المجموعة س = } ١ ، ٢ ، ٣ ، ٤ { ممثلة‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫نجح‬ ‫بالجدول التالي :‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫١‬
‫٣‬ ‫١‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬
‫٢‬ ‫٤‬ ‫١‬ ‫٣‬ ‫٣‬
‫١‬ ‫٢‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٤‬

4. ‫ا~ اوجد العنصر المحايد للعملية نجح‬
‫ب~ هل خاصية النظير للعملية نجح موجودة ؟ أوجد نظير كل عنصر ) إن‬
‫أمكن(.‬
‫الحل/‬
‫ا~ العنصر المحايد هو ) تقاطع الصف المماثل للصف العلوي مع العمود‬
‫المماثل للعمود العلوي( م = ١‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫نجح‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫١‬
‫٣‬ ‫١‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬
‫٢‬ ‫٤‬ ‫١‬ ‫٣‬ ‫٣‬
‫١‬ ‫٢‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٤‬
‫ب~ بما أن العنصر المحايد موجود أمام كل عنصر من عناصر سس ، فإن هذا‬
‫يثبت خاصية وجود النظير للعملية نجح‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫نجح‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫١‬
‫٣‬ ‫١‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬
‫٢‬ ‫٤‬ ‫١‬ ‫٣‬ ‫٣‬
‫١‬ ‫٢‬ ‫٣‬ ‫٤‬ ‫٤‬
‫ونظير كل عنصر هو كما يلي :‬
‫العن‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬
‫صر‬
‫نظي‬
‫٤‬ ‫٣‬ ‫٢‬ ‫١‬
‫ره‬
‫تم بحمد ا و رعايته‬
‫.......................................................................................‬
‫عمل مجموعة طلب الصف النهاية‬
‫العاشر )ج( :‬
‫١_ طارق علن‬
‫٢_ صادق متروك‬
‫3_ محمد ابو سعدة‬
‫٤_ ليث خالد‬
‫٥_ اسامة عادل‬