1. (العمليات الثنائية و الأنظمة الرياضية ) بسم الله الرحمن الرحيم العملية الثنائية : العملية الثنائية * على المجموعة س هي القاعدة التي تعطي لأي عنصرين م ، ن  س عنصراً آخر وحيداً هو ناتج م * ن . العملية الثنائية تكون مغلقة على المجموعة س إذا كان م * ن  س ،  م، ن  س مجاميع الأعداد : مجموعة الأعداد الطبيعيـة : ط = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... } مجموعة الأعداد الكليـة : ك = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... } مجموعة الأعداد الصحيحة : ص = { ... ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ... } مجموعة الأعداد الحقيقية : ح = ن ح ن َ ملحوظة : عند كتابة * ( ستار ) فوق رمز أحد المجموعات فإننا نعني بهذا إخراج الصفر من تلك المجموعة، مثلاً ص * = ص – { 0 } التالي

4. خاصية التبديل ملاحظات : 1) إذا وجدنا مثالاً عددياً واحداً لا يحقق الخاصية أ * ب = ب * أ فإن العملية * غير تبديليه . 2) أي عدد من الأمثلة العددية التي تحقق الخاصية أ * ب = ب * أ لا تكفي لإثبات الخاصية التبديلية . 3) إذا كانت المجموعة س مجموعة منتهية فإنه يكفي لإثبات الخاصية التبديلية وجود تماثل حول القطر الرئيسي في جدول العملية المعرفة عليها هذه المجموعة س . التالي خاصية التبديل : لتكن * علمية ثنائية معرفة على المجموعة س . تكون * تبديليه إذا كان أ * ب = ب * أ ،  أ، ب  س

6. خاصية التجميع خاصية التجميع : تكون العملية الثنائية  المعرفة على المجموعة س تجميعية إذا كان : ( أ * ب ) * ج = أ * ( ب * ج ) ،  أ، ب، ج  س ملاحظات : 1) لنفي خاصية التجميع عن العملية الثنائية  يكفي وجود مثال عددي واحد لا يحقق الخاصية التجميعه 2) لا يكفي أي عدد من الأمثلة العددية لتحقيق الخاصية التجميعه للعملية الثنائية  وإنما يجب إثبات ذلك رياضياً 3) لكي نثبت خاصية التجميع من جدول عملية يجب أن نتأكد من أن شرط التجميع متحقق لكل اختيار ممكن لثلاثة عناصر من عناصر المجموعة ( ليس بالضرورة أن تكون العناصر مختلفة ) ، لذلك فإن إثبات خاصية التجميع للعمليات المعطاة بجدول تكون دائماً من الأمور المرهقة . 4) يُقبل بدون برهان أن عمليتي الجمع والضرب الساعاتي  ­­ ن ،  ­­ ن على المجموعة صن هما عمليتان تجميعيتان . التالي

9. 1_ لإيجاد العنصر المحايد و رمزه ( ه ) نحل ( ا * ه = أ ). 2_ لإيجاد نظير العنصر ( أ ) و يرمز له (- أ ) نحل ( أ * - أ = ه ). 3_ لإيجاد النظير يجب أيجاد العنصر المحايد أولاً . كما انه في عملية الجمع على الأعداد الصحيحة نلاحظ انه لكل عدد صحيح أ يوجد عدد صحيح (– أ ) بحيث أن أ + - أ =  ( العنصر المحايد ) , العنصر - أ يسمى نظير العنصر أ . العنصر المحايد والنظير العنصر المحايد و النظير : لتكن * عملية ثنائية معرفة على المجموعة س يكون العنصره  س محايد اذا و فقط اذا كان أ * ه  أ ,  أ  س . أي انه  أ  س , ه عنصر محايد  أ * ه = ه * أ = أ ملاحظات : التالي

12. مثال 2: لتكن العملية نجح معرفة على المجموعة س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 } ممثلة بالجدول التالي : ا ~ اوجد العنصر المحايد للعملية نجح ب ~ هل خاصية النظير للعملية نجح موجودة ؟ أوجد نظير كل عنصر ( إن أمكن ). الحل ا ~ العنصر المحايد هو ( تقاطع الصف المماثل للصف العلوي مع العمود المماثل للعمود العلوي ) م = 1 العنصر المحايد والنظير التالي 1 2 3 4 4 2 4 1 3 3 3 1 4 2 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1 نجح 1 2 3 4 4 2 4 1 3 3 3 1 4 2 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1 نجح

13. ب ~ بما أن العنصر المحايد موجود أمام كل عنصر من عناصر سس ، فإن هذا يثبت خاصية وجود النظير للعملية نجح ونظير كل عنصر هو كما يلي : العنصر المحايد والنظير السابق 1 2 3 4 4 2 4 1 3 3 3 1 4 2 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1 نجح 4 3 2 1 نظيره 4 3 2 1 العنصر

14. تم بحمد الله ورعايته بأشراف الاستاذ الفاضل : أ. احمد عبد القادر عمل الطلاب : 1- صادق متروك 2- طارق علان 3- محمد ابو سعده 4- ليث خالد 5- اسامه عادل