m5

1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
1 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและ
ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมถูกนามาประยุกต์ใช้ในหลายๆสาขาวิชา เช่น สาขาฟิสิกส์
ใช้ในการคานวณหาปริมาณสารกัมมันตภาพรังสี คานวณระดับความเข้มเสียง สาขาเคมี ใช้ในการคานวณ
ระดับ pH หรืออาจจะเป็นสาขาเศรษฐศาสตร์ ใช้ในการคานวณดอกเบี้ย จะเห็นว่าบทนี้มีความสาคัญไม่น้อย
เลยทีเดียว แต่ก่อนที่นักเรียนจะศึกษาบทนี้ ครูขอแนะนาให้นักเรียนทบทวนเรื่อง ระบบจานวนจริง มาก่อน
จะช่วยให้นักเรียนมีพื้นฐานและเข้าใจบทนี้ได้ดียิ่งขึ้น
1. ความรู้พื้นฐานเลขยกกาลัง
บทนิยาม ถ้า a เป็นจานวนจริง และ nเป็นจานวนเต็มบวก
aaaaan
 ...
N ตัว
10
a เมื่อ 0a
n
n
a
a
1

เมื่อ 0a
คุณสมบัติของเลขยกกาลัง (สาคัญมาก!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
ถ้า a, b เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็น 0 และ m, n เป็นจานวนเต็มจะได้
1. nmnm
aaa 

2.   mnnm
aa 
3.   nnn
baab 
4. n
nn
b
a
b
a






5.
nm
n
m
a
a
a 


2. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
2 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1. 



 0
2 ………………………………………
2. 0
100 ………………………………………..
3.  72
22 ………………………………………
4. 62
)5( ………………………………………..
5.  3
)92(
………………………………………
6. 1
2 …………………………………………..
7. 2
2
1
………………………………………….
8. 2
9
7
7
…………………………………………...
9. 





3
3
2
………………………………………...
10. 





2
4
3
……………………………………….
ตัวอย่าง จงทาจานวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
1. 74
22 = …………………………………………………………………………………………............
2. ))(( 243
baba = …………………………………………………………………………………………..
3.
2
2
3
3







c
ba
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4.
2
14
32








nm
nm
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5.
5
23
13
43
2
















ba
ab
ba
ba
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

3. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
3 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
แบบฝึกหัด 1.1
จงทาให้เป็นรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กาลังเป็นบวก
1. 0
)3(
…………………………………………………
2. 0
)
2
1
(
…………………………………………………
3. 1
3
…………………………………………………
4. 2
4
…………………………………………………
5.
2
3
1







…………………………………………………
…………………………………………………
6. 3
)4( 

…………………………………………………
…………………………………………………
7.
3
6
1







…………………………………………………
…………………………………………………
8. 2
22
…………………………………………………
…………………………………………………
9. 52
33 

…………………………………………………
…………………………………………………
10.
34
3
2
3
2













…………………………………………………
…………………………………………………
11. 47
55 
…………………………………………………
…………………………………………………
12.
32
3
1
3
1













…………………………………………………
…………………………………………………
13. 23
)4(
…………………………………………………
14.
12
2
1















…………………………………………………
…………………………………………………
15. 2
)54( 

…………………………………………………
…………………………………………………
16. 3
47
3
33 

…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
17.
3
8
532
7
777





 
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………

4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
4 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
18.
1
4
32
7
77






 
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
19.
1
3
42
5
55






 
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
20.
2
4
23
10
101010






 
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
21. 05
53
23
32


…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
22.   





yxyx 542
2
1
12
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
23.  
3
49
2
x
xx
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
24.   07275
cbaba 
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
25.    221
2

abab
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
26.
2
36
24
1
21 
















ba
ba
ab
ba
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
27.   
yx
xyyx
2
3432 
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………

5. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
5 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
2. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ
บทนิยาม เมื่อ a เป็นจานวนจริง nเป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 1 และ aมีรากที่ n
nn
aa 
1
จากนิยามจะได้ว่า n
a
1
เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ a และจะได้ว่า aa
n
n







 1
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1. 2
1
4 = ……………………………………………………………………………………………………..
2. 3
1
8 = ……………………………………………………………………………………………………..
3. 3
2
64 = …………………………………………………………………………………………………….
4.
5
3
)32( = ………………………………………………………………………………………………...
5.
3
2
)64(

 = ………………………………………………………………………………………………..
แบบฝึกหัด 1.2
1. 2
3
4
………………………………………………………………………………………………………………
2. 2
5
4
………………………………………………………………………………………………………………
3. 3
2
)8(
………………………………………………………………………………………………………………
4. 2
3
9
………………………………………………………………………………………………………………
5. 4
3
16
………………………………………………………………………………………………………………

6. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
6 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
6. 3
2
)27(
………………………………………………………………………………………………………………
7. 5
2
)32(


………………………………………………………………………………………………………………
8. 3
2
64

………………………………………………………………………………………………………………
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1. 3
4
3
1
33  = …………………………………………………………………………………………...
2. 2
5
5
1
)4( = ……………………………………………………………………………………………
3.
5
5
2
)8( 





 = ………………………………………………………………………………………...
ตัวอย่าง จงทาให้เป็นรูปอย่างง่าย
1.
5
3
3
2 









x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2.
x
x3
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3.  4
1
22
16 yx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

7. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
7 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
4.
6
3
1
2
1
3










x
yx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝึกหัด 1.3
ให้ x และ y เป็นจานวนจริงบวก จงทาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กาลังเป็นบวก
1.
4
3
3
2 








y
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2.
x
x4
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3.  3
1
63
8 yx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4.
6
3
2
2
1
3










x
yx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

8. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
8 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
3. การแก้สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์
ตัวอย่าง 1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 332 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 10615 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาเซตคาตอบของสมการ 137  xx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝึกหัด 1.4
1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 422 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 10712 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

9. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
9 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
3. จงหาเซตคาตอบของสมการ 333  xx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4. จงหาเซตคาตอบของสมการ 08 m
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5. จงหาเซตคาตอบของสมการ rr  52
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชัน
}1,0,),{(  
aaayRRyxf x
สรุป 1. ฐานของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะต้องเป็นจานวนบวกที่ไม่เท่ากับ 1
2. โดเมนของฟังก์ชัน คือ R
3. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ R+
4. y = 1x
เป็นฟังก์ชันคงที่ (ไม่ใช่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
5. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

10. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
10 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
6. ถ้า 1a แล้วจะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
7. ถ้า 10  a แล้วจะเป็นฟังก์ชันลด
ตัวอย่าง 1. กราฟของฟังก์ชัน x
y 2
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

11. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
11 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
2. กราฟของฟังก์ชัน
x
y 






2
1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. กราฟของฟังก์ชัน x
y 2 , x
y 3 , x
y 10 และ
x
y 






3
1
ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

12. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
12 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
แบบฝึกหัด 1.5
จงพิจารณาว่า ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด พร้อมทั้งเขียนกราฟ
1. กราฟของฟังก์ชัน x
y 5 , x
y 
 3 ,
x
y 






4
1
และ
x
y
2
3
1






 ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. กราฟของฟังก์ชัน
x
y 






2
1
, x
y 2
4 ,
x
y 






3
4
และ
x
y 






4
3
ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

13. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
13 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
5. การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล
1. ทาให้ฐานเหมือนกัน (จัดรูป) NM
AA  จะได้ NM 
2. ถ้า MM
BA  และ BA  จะได้ 0M
3. กรณีมียกกาลังคู่ ต้องตรวจคาตอบเสมอ
ตัวอย่าง 1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 813 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 1255 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาเซตคาตอบของสมการ 343
7
1






x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝึกหัดที่1.6
จงหาเซตคาตอบของสมการ หรือ อสมการต่อไปนี้
1) 10010 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

14. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
14 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
2)
27
1
3 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3) 416 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4) 16
2
1






x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5) 64
2
1
2






x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

15. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
15 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
6. ฟังก์ชันลอการิทึม
บทนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึมคือ
  1,0,log|,  
aaxyRRyx a
ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
  1,0,|,  
aaayRRyx x
การเขียนสมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลให้อยู่ในรูปสมการฟังก์ชันลอการิทึม
เมื่อพิจารณา
จะได้ y
a  x แล้วนำมำเขียนในรูปใหม่เป็น xlog=y a
ตัวอย่าง 1. จงเขียน 2
5 = 25ให้อยู่ในรูปฟังก์ชันลอการิทึม
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงเขียน 3
1
)8( = 2 ให้อยู่ในรูปฟังก์ชันลอการิทึม
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. จงเขียน 4 = 2 ให้อยู่ในรูปฟังก์ชันลอการิทึม
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4. จงเขียน 36 = 2
6 ให้อยู่ในรูปฟังก์ชันลอการิทึม
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

16. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
16 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
การเขียนสมการฟังก์ชันลอการิทึมให้เป็นสมการฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
พิจารณา จาก y  xloga
จะได้ xloga  y
xloga = y สามารถนามาเขียนให้อยู่ในรูป x = y
a
ตัวอย่าง 1. จงเขียน 128log2 = 7 ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงเขียน 49log7 = 2 ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. จงเขียน 4log16 =
2
1
ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝึกหัดที่1.7
1. จงเขียนสมการต่อไปนี้ในรูปลอการิทึม
1) 2
4 = 16
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
2) 3
2
27 = 9
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3)
2
2
1






=
4
1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

17. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
17 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
4) 4
10
= 0.0001
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5)
4
2
1







= 16
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
6)
3
2
3







=
8
27
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
7)
2
100
1







= 10,000
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
8) 2
3
4
= 0.125
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงเขียนสมการต่อไปนี้เป็นสมการในรูปเลขยกกาลัง
1) 100log10 = 2
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2) 32log2 = 5
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3) 1log5 = 0
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4) 





64
1
log4 = -3
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

18. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
18 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
5) 001.0log10 = -3
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
6) 3
9log =
3
2
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
7. คุณสมบัติของลอการิทึม(ต้องจาให้ได้!!!)
ถ้า M , N เป็นจานวนจริงบวก และ a > 0 , a  1 และ k เป็นจานวนจริง
สมบัติข้อที่1 log a a = 1
สมบัติข้อที่2 log a 1 = 0
สมบัติข้อที่3 loga M k
= k loga M
สมบัติข้อที่4 loga MN = loga M + loga N
สมบัติข้อที่5 log a N
M
= log a M  log a N
สมบัติข้อที่6 log N M = N
Ma
alog
log
สมบัติข้อที่7 log a N
1
= NN a
a
loglog1 
สมบัติข้อที่8 balog
aalog
1
สมบัติข้อที่9 Ma Ma
log
สมบัติข้อที่10 M
k
M aak log
1
log 

19. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
19 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง
1. 3log3 = ……………………
2.
9
1
log
9
1 = ……………………
3. 5log 5
= ……………………
ตัวอย่าง
1. 1log3 = ……………………
2. 1log2 = ……………………
3. 1log 5
= ……………………
ตัวอย่าง
1.
5
4 2log = ……………………………………
2. 6
2 10log = ……………………………………
3. 2
5 5log 
= ……………………………………
4. 4
3 1log 
= ……………………………………
5. 2
1
5 2.0log = ……………………………………
6. 2
3 3log = ……………………………………
= ……………………………………
7. 125log5 = ……………………………………
= ……………………………………
= ……………………………………
สมบัติข้อที่1 log a a = 1
สมบัติข้อที่2 log a 1 = 0
สมบัติข้อที่3 loga M k
= k loga
M

20. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
20 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
แบบฝึกหัดที่1.8
เรื่อง สมบัติลอการิทึม (ข้อ 1-3)
คาชี้แจง จงหาคาตอบของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1. 3log3 =…………………………………………………………….
2. 1log7 =…………………………………………………………….
3. log22 =…………………………………………………………….
4. log5 1 =…………………………………………………………….
5. log44 =…………………………………………………………….
6. 5
3 3log =…………………………………………………………….
7. 3
1010log =……………………………………………………………
8. 2
5 5log 
=……………………………………………………………
9. 3
7 10log =……………………………………………………………
10. 000,10log10 =……………………………………………………………
11.
64
1
log4 =……………………………………………………………
12. 1log
3
1
log4log 6
3
12  =……………………………………………….
=……………………………………………….
13. 1log125log 185  = ………………………………………………………..
= ………………………………………………………..
14. 3
32 9log32log  =………………………………………………………
= ………………………………………………………..
= ………………………………………………………..
15. 100log9log2log 10
3
1
3
2  =……………………………………………
=……………………………………………
=……………………………………………
=……………………………………………
=……………………………………………

21. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
21 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง
1) 15log3 = …………………………………….
= …………………………………….
= …………………………………….
2) 200log2 = …………………………………….
= …………………………………….
= …………………………………….
= …………………………………….
แบบฝึกหัดที่1.9
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 4)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1) 32log2log 44  =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
2) 33log3 =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
3) 16log9log 1212  =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
4) 2log5log 1010  =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
สมบัติข้อที่4

22. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
22 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
5) 12log3log 66  =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
6) 0025.0log4log 1010  =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
7) 8log
4
1
log
2
1
log 222  =…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
8) 4log10log25log 101010 
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………….

23. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
23 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง
1)
5
16
log2 = …………………………………….
2)
3
10
log3 = …………………………………….
3)
01.0
25
log5 = …………………………………….
4) 7log112log 22  = …………………………………….
แบบฝึกหัดที่1.10
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 5)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1.
64
16
log4 =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………
2.
16
4
log2 =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
3.
12
1
log12 =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
4. 2log16log 22  =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
สมบัติข้อที่5

24. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
24 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
5. 5log80log 22  =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
6. 4log400log 1010  =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
7. 12log27log60log125log 3333 
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
1. 2log8log1 44  =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
2. 22log6log 33  =………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………
10. 2log18log4log 666 
=………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………

25. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
25 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง
1) 9log3 = …………………………………
2) 5log6 = …………………………………
3) 2log8 = …………………………………
4)
4log
log
4
4 x
= …………………………………
5)
3log
log
5
5 y
= …………………………………
แบบฝึกหัดที่1.11
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 6)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1.
2log
16log
5
5
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
2.
3log
27log
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
3. 3log2log 43 x =………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
4. 3log2log 94  =………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
สมบัติข้อที่6

26. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
26 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
5. 3log2log 94  กาหนดให้ 6311.218log3  จงหาค่าของ 18log27
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
ตัวอย่าง จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
1)
9
1
log3 = …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
2)
8
1
log2 = …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
3) 16log
2
1 = …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
สมบัติข้อที่7

27. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
27 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
แบบฝึกหัดที่1.12
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 7)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1. 9log
3
1 =………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
2.
128
1
log2 =………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
3. 1.0log10 =………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
4. 33log
3
1 =………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
5. 64log
9
1
log16log
4
132 
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….
=………………………………………………………………………………………….

28. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
28 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
1) 5log3 = …………………………………
2) 5log125 = …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
แบบฝึกหัดที่1.13
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 8)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1. 3log81 =………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
2. 3log243
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
3. 4log8 =…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
สมบัติข้อที่8

29. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
29 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
4. 7log49
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
5. จงหาค่าของ 16log64
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
ตัวอย่าง จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
1) 9log2
2 = …………………………………
2) 5log2
4 = …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
3) จงหาค่าของ 7log2 2
2 
7log2 2
2 
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
= …………………………………
สมบัติข้อที่9

30. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
30 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
แบบฝึกหัดที่1.14
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 9)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1. 3log2
4 =…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
2. 5log3
9 =…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………
3. 2log3log 55
5 
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
4. 2log25log 33
3 
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
5. 5log1 4
4 
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………………..

31. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
31 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตัวอย่าง จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
1) 4log 2
3
= …………………………………
2) 2log 5
2
= …………………………………
= …………………………………
แบบฝึกหัดที่1.15
เรื่อง สมบัติของลอการิทึม (ข้อ 10)
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้โดยใช้สมบัติของลอการิทึม
1. 5log 3
2
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
2. 3log 2
3
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
3. 5log25 =………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
4. 2log64 =………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
สมบัติข้อที่10

32. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
32 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
5. 10log1000 =………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
=………………………………………………………………………………..
แบบฝึกหัดที่1.16
เรื่อง โจทย์ผสม
คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้พร้อมทั้งบองการนาสมบัติของลอการิทึมที่นามาใช้
1.      81log8log16log9log 3243 
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
2. 64log
9
1
log16log
4
132 
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
3. 27log25log8log
3
1
5
1
2
1 
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

33. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
33 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
4. 16log25log27log80log125log 33333 
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
5. 5log6
36
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
6. 2log2log1 57
549 

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
7. 3log15log 44
4 
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
8. 9log6log2 55
5 
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

34. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
34 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
8. สมการลอการิทึม
หลักการทั่วไปของในการแก้สมการ
1. สมการที่อยู่ในรูป log ; 0 , 0a x y x a   และ 1a  ให้จัดอยู่ในรูป y
a x
2. สมการที่อยู่ในรูป log loga ax y ; 0 , 0x y  ,  a,a
ให้ปลด log เป็น x y
ตัวอย่าง จงหาจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการในข้อต่อไปนี้
1. 8
2
log
3
x 
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. 2log (3 2) 3x  
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. 2
4 3 2log log log ( 2 ) 0x x 
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

35. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
35 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
แบบฝึกหัดที่1.17
1.
2
1
log16 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. 2)22(log2 x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. 0)6(logloglog 2
234  xx
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
มีอีกหลายเรื่องที่นักเรียนต้องไปศึกษาเองนะครับ.....
 อสมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
 ลอการิทึมสามัญ
 แอนติลอการิทึม
 ลอการิทึมธรรมชาติ
 อสมการลอการิทึม

36. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
36 โลกกลมๆใบนี้ ไม่มีอะไรที่ได้มาฟรีๆ| หลังผ่านปัญหา จะรู้ว่าปัญหานั้นเล็กนิดเดียว
ตารางการส่งงานเรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
วัน/เดือน/ปี งาน ลายเซ็นผู้ปกครอง ลายเซ็นครู
แบบฝึกหัดที่ 1.1
แบบฝึกหัดที่ 1.2
แบบฝึกหัดที่ 1.3
แบบฝึกหัดที่ 1.4
แบบฝึกหัดที่ 1.5
แบบฝึกหัดที่ 1.6
แบบฝึกหัดที่ 1.7
แบบฝึกหัดที่ 1.8
แบบฝึกหัดที่ 1.9
แบบฝึกหัดที่ 1.10
แบบฝึกหัดที่ 1.11
แบบฝึกหัดที่ 1.12
แบบฝึกหัดที่ 1.13
แบบฝึกหัดที่ 1.14
แบบฝึกหัดที่ 1.15
แบบฝึกหัดที่ 1.16
แบบฝึกหัดที่ 1.17
ประโยชน์ของการตรงต่อเวลา
1.ทาให้เรามีนิสัยขยันขันแข็งเอาการเอางานอย่างจริงจัง
2.ฝึกให้เราเป็นคนกระตือรือร้นมี่ชีวิตชีวา
3.ทาให้เรามีความซื่อตรงต่อตัวเองรักษาเกียรติยศของตนเอง
4.ทาให้เราทางานได้สะดวกรวดเร็วเรียบร้อยและมีผลดี
5.หน้าที่การงานประสบความสาเร็จชีวิตก้าวหน้า
6.สามารถกาหนดกิจกรรมต่างๆ ที่เราจะกระทาได้ในแต่ละวันทาให้ชีวิตมีระเบียบและมีวินัยกับตนเอง
7.เป็นที่เชื่อถือและไว้ใจของคนอื่น