11. ตรีโกณมิติ
1. สูตรมุมประกอบ
1. sin (A + B) =
sin A cos B + cos A sin B
2. sin (A - B) =
sin A cos B - cos A sin B
3. cos (A + B) =
cos A cos B - sin A sin B
4. cos (A - B) =
cos A cos B + sin A sin B
5. tan (A + B) tan A + tan B
=
1 - tan A tan B
6. tan (A - B) = 1tan A - tan BB
+ tan A tan
cot A cot B - 1
7. cot (A + B) = cot B + cot A
8. cot (A - B) = cot ABcot B+ 1
cot - cot A
2. สูตรมุม 2 เทา
1. sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan 2A
1 + tan A
2. cos 2A = cos 2 A - sin2 A = 1 - 2 sin2 A = 2 cos2 A - 1 = 1 - tan2 A
1 + tan2 A
3. tan 2A = 2 tan2A
1 - tan A
2A
4. cot 2A = cotcot - 1
2 A
3. สูตรมุม 3 เทา
1. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A
2. cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A
3
3. tan 3A = 3 tan A - tan A
1 - 3 tan2 A
3
4. cot 3A = cot A - 3 cot A
3 cot 2 A - 1
คณิตศาสตร 1 (74) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
12. 4. สูตรมุมครึ่งเทา
1 - cos A เมื่อ A
2 2 อยูใน q 1 , q 2
1. sin A =
2
-1 - cos A เมื่อ A อยูใน q 3 , q 4
2 2
1 + cos A A
เมื่อ อยูใน q 1 , q 4
2. cos A =
2 2
2 - 1 + cos A เมื่อ A
2 2 อยูใน q 2 , q 3
1 - cos A A
1 + cos A เมื่อ อยูใน q 1 , q 3
3. tan 2 =
A 2
- 1 - cos A เมื่อ A
1 + cos A 2 อยูใน q 2 , q 4
= 1 - cos A
sin A
sin A
= 1 + cos A
5. ถา a, b ∈ R+ เราจะเขียน
a 2 + b 2 cos (θ - arctan b )
1. a cos θ + b sin θ = a
2 + b 2 sin (θ + arctan a )
a
b
a 2 + b 2 cos (θ + arctan b )
2. a cos θ - b sin θ = a
2 + b 2 sin (arctan a - θ)
a
b
2
a2 +b a tan α = a , arctan b = α
a
b
α
b
a b
a cos θ - b sin θ = a2 + b2 cos - sin θ
2 2
a 2 + b2
a +b
= a2 + b2 (sin α cos θ - cos α sin θ)
= a2 + b2 sin (α - θ)
= a2 + b2 sin (arctan a - θ)
b
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (75)
13. 6. สูตรแปลงผลคูณเปนผลบวกหรือผลตาง
1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)
2. 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)
3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
4. 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)
7. สูตรแปลงผลบวกหรือผลตางเปนผลคูณ
1. sin A + sin B = 2 sin A 2 B cos A - B
+
2
2. sin A - sin B = 2 cos A 2 B sin A - B
+
2
3. cos A + cos B = 2 cos A 2 B cos A - B
+
2
4. cos A - cos B = 2 sin A 2 B sin A - B
+
2
8. สูตรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ
1. กฎของ sines
A
c b
d
O C
a
B
a b c
sin A = sin B = sin C = d
(d = ความยาวของเสนผานศูนยกลางของวงกลมที่ลอมรอบสามเหลี่ยม ABC)
2. กฎของ cosines
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
3. กฎเสริม
a = b cos C + c cos B
b = c cos A + a cos C
c = a cos B + b cos A
1 1 1
4. พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = 2 ab sin C = 2 ac sin B = 2 bc sin A
คณิตศาสตร 1 (76) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
14. 9. อินเวอรสของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติทุกฟงกชันเปน many to one ฟงกชัน ดังนั้นอินเวอรสของฟงกชันตรีโกณมิติจึงไมเปนฟงกชัน
พิจารณา
1. f : y = sin x โดย -2 ≤ x ≤ π จะเห็นวาฟงกชันนี้เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ดังนั้นอินเวอรสของฟงกชัน
π
2
นี้ก็จะเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
f -1 : x = sin y, -2 ≤ y ≤ π
π
2
y = arcsin x, -1 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ π
π
2
ในทํานองเดียวกับ
2. f : y = cos x, 0 ≤ x ≤ π เปน 1-1 ฟงกชัน
f -1 : x = cos y, y = arccos x, -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π เปนฟงกชัน 1-1 ฟงกชัน
3. f : y = tan x, -2 < x < π เปน 1-1 ฟงกชัน
π
2
f -1 : x = tan y, y = arctan x, -∞ < x < ∞, -π < y < π เปน 1-1 ฟงกชัน
2 2
4. f : y = sec x, x ∈ 0, π U π, π เปน 1-1 ฟงกชัน
2 2
f -1 : x = sec y, y = arcsec x, x ∈ (-∞, -1] U [1, ∞), y ∈ 0, π U π, π เปน 1-1 ฟงกชัน
2 2
5. f : y = cosec x, x ∈ -2 , 0 U 0, π เปน 1-1 ฟงกชัน
π
2
f -1 : x = cosec y, y = arccos x, x ∈ (-∞, -1] U [1, ∞), y ∈ -2 , 0 U 0, π เปน 1-1 ฟงกชัน
π
2
6. f : y = cot x, x ∈ (0, π) เปน 1-1 ฟงกชัน
f -1 : x = cot y, y = arccot x, -∞ < x < ∞, y ∈ (0, π) เปน 1-1 ฟงกชัน
10. ทฤษฎีเกี่ยวกับฟงกชันอินเวอรสของตรีโกณมิติ
1. sin (arcsin x) = เมื่อ -1 ≤ x ≤ 1
x
2. cos (arccos x) = เมื่อ -1 ≤ x ≤ 1
x
3. tan (arctan x) = เมื่อ -∞ < x < ∞
x
4. cot (arccot x) = เมื่อ -∞ < x < ∞
x
5. sec (arcsec x) = เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [1, ∞)
x
6. cosec (arccosec x) = เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [1, ∞)
x
7. arcsin (sin x) = x เมื่อ x ∈ -2π , π
2
8. arccos (cos x) = x เมื่อ x ∈ [0, π)
9. arctan (tan x) = x เมื่อ x ∈ -2π , π
2
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (77)
15. 10. arccot (cot x) = x เมื่อ x ∈ (0, π)
11. arcsec (sec x) = x เมื่อ x ∈ 0, π U π, π
2 2
12. arccosec (cosec x) = x เมื่อ x ∈ -2 , 0 U 0, π
π
2
* ขอสังเกต
ให arctan 12 = α, arctan 15 = β
5 8
tan α = 12 , tan β = 15
5 8
tan α + tan β
และ tan (α + β) = 1 - tan α tan β
12 + 15
= 5 8
1 - 12 × 15
5 8
= -140 171
α + β = arctan -171
140
ตรงนี้ผิดนะ เพราะอะไร?
เพราะ tan α = 5 12 > 1, α > 45°
tan β = 15 > 1, β > 45°
8
α + β > 90°
ดังนั้น α + β จึงไมสามารถเขียนอยูในรูป arctan -171
140
กรณีนี้ จาก tan (α + β) = -140171
ตองสรุปวา α + β = π - arctan 140
171
(α + β ตกในควอดรันตที่ 2)
ดังนั้น สูตรตอไปนี้ตองมีเงื่อนไข
π
1. arctan x + arctan y = arctan 1x-+xy เมื่อ -2 < arctan x + arctan y <
y π
2
π
2. arctan x - arctan y = arctan 1x+-xy เมื่อ -2 < arctan x - arctan y <
y π
2
3. arccot x + arccot y = arccot xy+-y1 เมื่อ 0 < arccot x + arccot y < π
x
4. arccot x - arccot y = arccot xy-+x1 เมื่อ 0 < arccot x - arccot y < π
y
5. 2 arctan x = arctan 2x 2 เมื่อ -2 < 2 arctan x < π
π
2
1- x
คณิตศาสตร 1 (78) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
16. 6. 2 arccot x = arccot x 2x 1 เมื่อ 0 < 2 arccot x < π
2
-
7. arcsin x + arccos x = 2π
8. arctan x + arccot x = π2
9. arcsec x + arccosec x = π2
แบบทดสอบ
1
1. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A, B และ C ตามลําดับ ถา cos B = 4
และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 12 2) 20 3) 205 4) 40
3
2. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนจริง
ก. ∃x(cot 2x - cot x = 0)
ข. ∀x sin4 x + cos4 x = 1 - 2 sin2 2x
1
คาความจริงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปนี้
1) ก. เปนจริง และ ข. เปนจริง 2) ก. เปนจริง และ ข. เปนเท็จ
3) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนจริง 4) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนเท็จ
3. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากับขอใดตอไปนี้
1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40°
4. จุด 2 จุดอยูบนพื้นราบหางจากเชิงหอคอยเปนระยะ a และ b เมตร จะเห็นยอดหอคอยเปนมุมยกขึ้น x° และ y°
ตามลําดับ ถา x° + y° = 90° จงหาความสูงของหอคอย
1) a + b เมตร 2) ab เมตร 3) ab เมตร 4) a 2 + b 2 เมตร
5. คาของ tan 2 arcsin - 1 เทากับขอใดตอไปนี้
5
1) -1 2) 1 3) 43 4) - 4
3
6. ถา cos A = 43 แลว sin A sin 5A เทากับขอใดตอไปนี้
2 2
1) 3211 11
2) 16 9
3) 16 9
4) 12
7. กําหนดให f(x) = cos2 x + cos x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2π ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1) ถา 0 ≤ x ≤ π แลว f(x) = 2 cos x 2) ถา π ≤ x ≤ 2π แลว f(x) = 2 cos x
3) ถา π ≤ x ≤ 32 แลว f(x) = 0
2
π π
4) ถา 32 ≤ x ≤ 2π แลว f(x) = 0
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (79)
17. 8. สามเหลี่ยม ABC มีดาน a, b, c เปนดานตรงขามมุม A, B, C ซึ่งมีความยาวเปน 3, 2.5 และ 1 หนวย
ตามลําดับ คาของ b cos C + c cos B เทากับเทาใด
9. กําหนดให 5 cos 3A cos A + 5 sin 3A sin A = -3 เมื่อ 0 < A < π ขอใดตอไปนี้คือคาของ tan A
2
1) 21 2) 1 3
3) 2 4) 2
10. กําหนดให x ∈ [0, 4π] เซตคําตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คือขอใดตอไปนี้
1) π, 56π, 13π
6 6
2) 56π, π, 13π
2 6
3) π, π, 13π, 52π
6 2 6
4) π , 56π , π , 54π
6
2
11. จํานวนสมาชิกของเซตคําตอบของสมการ arccos (x - x2) = arcsin x + arcsin (x - 1) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
12. tan 11π มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
12
1) -1 2) 1 - 3 3) 1 + 3 4) 3
1+ 3 1+ 3 1- 3 1- 3
13. ให ABC เปนสามเหลี่ยมดังรูป
A
5 7
C 8 B
คา sin2 B เทากับขอใดตอไปนี้
2
1) 283 2) 28 7 3) 12 21
4) 28
28
14. กําหนดให A = sin θ tan θ(1 - sin θ) = 2cos 2θ ผลบวกของสมาชิกในเซต A เทากับขอใดตอไปนี้
cos θ
1) 32 2) 35 3) -1 4) -5
3 3
4 + arcsin 12 + x = π แลว tan x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
15. กําหนดให arccos 5 13 2
1) 16
63
6
2) 63 3) -16
63 4) -6
63
คณิตศาสตร 1 (80) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
19. 26. sin 82° 30′ sin 142° 30′ + sin 7° 30′ sin 52° 30′ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 2 2) 2 3) 1 4) 1
2
27. ถา A + B + C = π แลว sin A + sin B + sin C เทากับขอใดตอไปนี้
1) 2 cos A cos B cos C
2 2 2 2) 2 sin A sin B sin C
2 2 2
3) 2 cos 2A cos B sin C 4) 2 sin 2 A sin B cos C
2 2 2 2
28. ถา A + B = 45 π แลว (1 + tan A)(1 + tan B) เทากับขอใดตอไปนี้
1) -1 2) 21 3) 1 4) 2
29. ผลบวกของคําตอบของสมการ arcsin x + arcsin (1 - x) = arccos x คือขอใด
1) 2 1 2) 1 3) 3 1
4) - 2
2
$
30. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มี ACB = 90°, BC = 3a และ AC = 3b จุด D และ E แบง AB ออกเปน 3 สวน
เทาๆ กัน ถา CD = cos x และ CE = sin x โดย 0 < x < π แลว AB ยาวเทาใด
2
B
E
3a
x
sin
D
x
cos
A
C 3b
1) 5 2) 3 3) 3 5 5 4) 3 5
31. จงหาคาสูงสุดและตํ่าสุดของ y = cos2 x + 2 sin2 x - sin x - 3
1) ymax = 0 , ymin = - 9 4
1
2) ymax = 2 , ymin = -1
3) ymax = 1 , ymin = - 3 2 4) ymax = 0 , ymin = - 3
2
32. จงหาเซตคําตอบของอสมการ cos θ - sin θ ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π
1) π, 34
2
π
π
2) 0, 32 U {2π}
3) π, 34
4
π
4) 34 , 54π
π
33. จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ tan 3x - π = cot 2x + π , 0 ≤ x ≤ π
7
7
5π
1) 2 3π
2) 2 3) 27π π
4) 92
คณิตศาสตร 1 (82) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
21. MATRICES AND DETERMINANTS
1. ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับเมตริกซ
1. เมตริกซ A = [aij]m+n หมายถึง เมตริกซที่มิติ m × n คือ มี m แถว และ n หลัก มีสมาชิกอยูในแถวที่ i
และหลักที่ j เปน aij
a 11 , a 12 , ... , a 1j , a 1n
A = a 21 , a 22 , ... , a 2j , a 2n
...
a i1 , a i2 , ... , a ij , a in
a m1 , a m2 , ... , a mj , a mn
จะเห็นวา จํานวนสมาชิกในแตละแถวเทากับจํานวนหลัก = n
จํานวนสมาชิกในแตละหลักเทากับจํานวนแถว = m
a 11 a 12
2. เมตริกซจัตุรัส (Square matrix) คือ เมตริกซที่มีจํานวนแถวเทากับจํานวนหลัก เชน A2×2 = a a
21 22
3. เมตริกซศูนย (Zero matrix) คือ เมตริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย
4. เสนทแยงมุมหลัก (Diagonal line) หมายถึง แนวที่ผานสมาชิก aij เมื่อ i = j
a 11 a12 a13
a a 22 a 23
21
a a 32 a 33
31
5. เมตริกซทแยงมุม (Diagonal matrix) คือ เมตริกซที่มีสมาชิกทุกตัวบนเสนทแยงมุมหลักเทากันหมด สวน
สมาชิกตัวอื่นเปนศูนย
3 0 0
0 3 0
0 0 3
6. เมตริกซเอกลักษณ (Identity matrix)
1 0 0
I3 × 3 = 0 1 0
0 0 1
7. การเทากันของเมตริกซ เมตริกซ 2 เมตริกซจะเทากันเมื่อมีมิติเดียวกัน และสมาชิกที่อยูในตําแหนงเดียวกัน
เทากัน
Am × n = [aij]m × n, Bm × n = [bij]m × n, A = B ↔ aij = bij
คณิตศาสตร 1 (84) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
22. 2. การบวกและการลบของเมตริกซ
1. เมตริกซ 2 เมตริกซจะบวกหรือลบกันไดเมื่อเมตริกซทั้งสองมีมิติเดียวกัน
A = [aij]m × n, B = [bij]m × n
A + B = [aij]m × n + [bij]m × n = [aij + bij]m × n
A - B = [aij]m × n - [bij]m × n = [aij - bij]m × n
2. สมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมตริกซ
ใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของเมตริกซที่มีมิติ m × n
1. มีสมบัติปดสําหรับการบวก
Am × n + Bm × n = Cm × n
2. มีสมบัติเปลี่ยนกลุม
(A + B) + C = A + (B + C)
3. มีสมบัติสลับที่
A+B = B+A
4. เอกลักษณการบวกคือ [0]m × n
Am × n + [0]m × n = [0]m × n + Am × n = Am × n
5. ทุกเมตริกซ Am + n ใดๆ จะมี -Am × n = (-1)Am × n (อินเวอรสการบวก)
Am × n + (-Am × n) = (-Am × n) + Am × n = [0]m × n
3. การคูณเมตริกซดวยคาคงที่
ถา A = [aij]m × n และ c เปนคาคงที่แลว
1 2 3(1) 3(2) 3 6
cA = [caij]m × n เชน 3 5 7 = 3(5) 3(7) = 15 21
ถา b, c เปนคาคงที่ A, B เปนเมตริกซที่มีมิติเดียวกัน จะได
1. (bc)A = b(cA)
2. b(A + B) = bA + bB
3. (b + c)A = bA + cA
4. การคูณเมตริกซดวยเมตริกซ
เมตริกซ 2 เมตริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อจํานวนหลักของตัวหนาตองเทากับจํานวนแถวของตัวหลัง
* ตรงนี้เห็นไดชัดเลยวา การคูณกันของเมตริกซไมมีสมบัติสลับที่ เชน
A2 × 3 B3 × 4 คูณกันได แต B3 × 4 A2 × 3 คูณกันไมได
เทากัน ไมเทากัน
n
[aij]m × n[bij]n + r = [cij]m × r โดย cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj = ∑ aik b kj
k= 1
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (85)
23. สมบัติเกี่ยวกับการคูณเมตริกซดวยเมตริกซ ใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของเมตริกซจตุรัสที่มีมิติเดียวกัน (n × n)
1. มีสมบัติปดการคูณ An × n Bn × n = Cn × n
2. มีสมบัติเปลี่ยนกลุมได (AB)C = A(BC)
3. ไมมีสมบัติสลับที่ AB ไมจําเปนตองเทากับ BA โดยสวนใหญแลว AB ≠ BA
1 0 ... 0
4. มีเอกลักษณการคูณ In × n = 0 1 0 ... 0
0 0 ... 0 1
AI = IA = A
5. ถา det A ≠ 0 A จะมีอินเวอรสการคูณ A-1
a b
1 d - b
AA-1 = A-1A = I ถา A = c d , A-1 = ad - bc - c a
6. A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA
7. (A + B)(A - B) = AA - AB + BA - BB = A2 - AB + BA - B2 ≠ A2 - B2
(Q AB ≠ BA)
8. (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 ≠ A2 + 2AB + B2
9. AB = [0] ไมจําเปนที่ A = [0] หรือ B = [0]
10. AB = AC ไมจําเปนที่ B = C
5. ทรานสโพสของเมตริกซ A (At)
a 11 a 12 a 11 a 21
A = a 21 a 22 , At = a 12 a 22 เปลี่ยนแถว i ไปเปนหลักที่ i
* สมบัติทรานสโพสของเมตริกซ
1. (At)t = A
2. (cA)t = cAt
3. (A ± B)t = At ± Bt
4. (AB)t = BtAt
* สมบัติของอินเวอรสการคูณ
1. A-1 = det (A)
adj
(A)
* adj (A) = [cofactor (aij)]t
2. (AB)-1 = B-1A-1 เมื่อ A, B เปนเมตริกซจัตุรัส
(C2 × 2 = A2 × 3 B3 × 2)
* (A2 × 3 B3 × 2)-1 = (C2 × 2)-1 ถา det C2 × 2 ≠ 0 แตกรณีนี้ (A2 × 3 B3 × 2)-1 ≠ B-×2 A-×3
3
1
2
1
เพราะ B-1 2 และ A-× 3 ไมนิยาม
3× 2
1
คณิตศาสตร 1 (86) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
24. 3. (A-1)-1 = A
4. (At)-1 = (A-1)t
5. (An)-1 = (A-1)n
6. ดีเทอรมิแนนต (Determinant)
เปนฟงกชันจากเซตของเมตริกซจัตุรัสใดๆ ไปยังเซตของจํานวนจริง
ถา A เปนเมตริกซ 1 × 1 A = [a] จะได det (A) = a
1. ถา A = [aij]n×n จะได minor ของ aij = determinant ของสับเมตริกซของ A ที่เกิดจากการตัด
แถวที่ i และหลักที่ j ของ A ออก = Mij และ cofactor ของ aij = (-1)i+j Mij = Cij
a 11 a 12 a 13
A = a 21 a 22 a 23
a 31
a 32 a 33
a 12 a 13
cofactor ของ a21 = (-1)2+1 det a 32 a 33 = c21
= a12 a33 - a13 a32
C11 C12 ... C1n
ให cof(An × n) = C 21 C22 ... C2n
...
C n1 Cn2 ... Cnn
นิยามเมตริกซผูกผัน (Adjoint matrix) ของ An × n คือ (cof(An × n))t
c11 c12 ... cn1
adj (A) = c12 c22 ... cn2
c2n ... cnn
...
c1n
ถา det (A) ≠ 0 จะได A-1 = det (A)
adj
(A)
adj (A) = det (A)A-1
det (adj (A)) = det (det (A)A-1)
= (det A)n ⋅ det (A-1)
n
= (det A) = (det A)n-1
det A
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (87)
25. a b
Ex จงหา A-1 จาก A = c d
c11 = (-1)1+1 det [d] = d, c12 = (-1)1+2 det [c] = -c
c21 = (-1)2+1 det [b] = -b, c22 = (-1)2+2 det [a] = a
c 11 c 12 d -c
cof (A) = c c = -b a
21 22
d -c t d -b
adj (A) = [cof (A)]t = -b a = -c a
A-1 = det (A)
adj
(A)
d -b
-c a
= ad-bc
7. กฎคราเมอร (Cramer's rule)
1. ในระบบสมการเชิงเสน 2 สมการ 2 ตัวแปร
a11x + a12y = a1
a 11 a 12 x b1
→
a 21 a 22 y = b Ax = B
2
a21x + a22y = b2
b 1 a12 a 11 b 1
b a a b
จะได x = 2|A| 22 , y = 21|A| 2 เมื่อ | A | ≠ 0
2. ในระบบสมการเชิงเสน 3 สมการ 3 ตัวแปร
a11x + a12y + a13z = b1
a 11 a 12 a 13 x
b1
a21x + a22y + a23z = b2 → a 21 a 22 a 23 y =
b2 → Ax = B
a 31
a 32 a 33 z
b3
a31x + a32y + a33z = b3
b 1 a12 a13 a 11 b1 a 13 a 11 a12 b1
b 2 a 22 a23 a 21 b2 a 23 a 21 a22 b2
b a 32 a a b3 a a 31 a32 b3
จะได x = 3 |A| 33 , y = 31 |A| 33 , z = |A| เมื่อ | A | ≠ 0
คณิตศาสตร 1 (88) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
26. คุณสมบัติเกี่ยวกับดีเทอรมิแนนต เมื่อ A, B เปนเมตริกซที่มีมิติเดียวกัน
1. det (AB) = det A ⋅ det B
2. det (At) = det (A)
3. det (A-1) = det A 1
4. det (I) = 1
5. det (An) = (det (A))n
6. det (k An × n) = kn det (A) (k เปนคาคงที่)
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n a11 a12 ... 0 ... a1n
7. 0 0 ... 0 = a21 a22 ... 0 ... a2n = 0
...
...
an1 an2 ... ann an1 an2... 0 ... ann
a11 a12 ... a1n
ka11 ka12... ka1n
8. a31 a32 ... a3n = 0
...
an1 an2 ... ann
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n a12 a11 ... a1n
9. a21 a22 ... a2n = - a11 a12 ... a1n = - a22 a21 ... a2n (สลับแถว, สลับหลัก)
...
...
...
...
...
an1 an2... ann an1 an2... ann an2 a n1... ann
a (b + c) d a b d a c d
10. e (f + g) h = e f h + e g h
i (j + k) m i j m i k m
a11 a12 a13 a11 a12 a13
11. ka21 ka22 ka23 = k a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a11 a12 a13
12. a21 a22 a23 = (a21 + ka11 ) (a22 + ka12 ) (a23 + ka13 )
a31 a32 a33 a31 a32 a33
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (89)
27. แบบทดสอบ
x 5 -1
1. กําหนดให A = 0 4 -2 โดยที่ det A = -1 และ x เปนจํานวนจริง ถา I เปนเมตริกซเอกลักษณขนาด
0 0 -x
3 × 3 แลว det [2(I - A)At] มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 4 2) 8 3) 12 4) 18
x y 0
2. ถา A = [aij]3 × 3 = 1 2 0 , det A = 1 และโคแฟกเตอรของ a21 = 3 แลว det (A + I) เทากับเทาใด
- 1 - x 1
(เมื่อ I เปนเมตริกซเอกลักษณขนาด 3 × 3)
1) 6 2) 5 3) 4 4) 3
2 0 a b
3. กําหนดให A = 0 - 1 และ B = c d โดยที่ a, b, c, d เปนจํานวนจริง ถา A + B = AB
แลว det 2 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1
1) - 41 1
2) - 2 1
3) 4 1
4) 2
2
x -x 1
4. ให f(x) = det 0
1 2 ถาชวง [a, b] เปนเซตคําตอบของอสมการ f(x) ≥ -2 แลว | a - b |
x
1 1
คือขอใดตอไปนี้
1) 31 2) 2 3) 4 4) 5
3 3 3
a -1 0
5. ให a, b, c เปนจํานวนจริง และ A = b 1 1
c 1 -1
ให Cij(A) คือ โคเฟกเตอรของสมาชิกในตําแหนงแถวที่ i หลักที่ j ของ A
ถา C12(A) = 1 และ det (A) = -5 แลว a เทากับคาในขอใดตอไปนี้
1) -5 2) -1 3) 2 4) 3
คณิตศาสตร 1 (90) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004
28. 1 2 -1 1 0 0
6. กําหนดให A = 2 1 1 และ I = 0 1 0 ถา B เปนเมตริกซที่ทําให AB = BA = I แลวคาของ
-1 1 0 0 0 1
det (adj B -1) เทากับขอใดตอไปนี้
1) 1 2) 16 3) 25 4) 36
x y 4
7. กําหนดให A = -3 8 0 โดยทีโ่ คแฟกเตอรของ a21 = -6 โคแฟกเตอรของ a23 = 4 แลวโคแฟกเตอร
x -y -1
ของ a33 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) -14 2) -13 3) 13 4) 14
3 4 1 2 a b
8. กําหนดให A = 2 3 , B = -1 3 , X = c d ถา AX + B = A แลว b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1) 7 2) 9 3) 10 4) 11
1 2 a
x 1
9. กําหนดให A = 2 3 b , X = y , B = 1 โดยที่ a, b, c เปนจํานวนจริง ถา AX = B
-1 0 c
z 0
1 2 3
และ A ∼ 0 -1 -1 R2 - 2R1 แลว x มีคาเทากับคาใดตอไปนี้
-1 0 2
1) -1 2) - 2
3 3) 34 4) 2
1
2 3 p 1
q ถา A2(adj A)x = 6 แลว P มีคาเทากับเทาใด
10. กําหนดให A = 0 -1 0 และ x =
2
1 0
r 0
1) 0.5 2) 1.5 3) 2 4) 2.5
3 4 30 18
11. ถา A = 1 2 และ C = 12 8 และ B เปนเมตริกซซึ่งทําให AB = C แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1) det (B-1) = 12 2) det (B-1A-1) = 24
3) det (2Bt) = 24 4) det (A2B) = 48
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 1 (91)
