9789740337102

1. 1
SET
1
ในการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นความรู้พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเรื่องเซตมีความจาเป็น
อย่างยิ่งโดยเฉพาะในเรื่องของรูปแบบของเหตุการณ์ การทดลอง ปรากฏการณ์ต่างๆ ผลลัพธ์ที่
เกิดขึ้นจากการทดลอง สัญลักษณ์ และความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น ซึ่งจะเป็นพื้นฐานในการประมาณค่า
ความน่าจะเป็นและเป็นการทบทวนความรู้เบื้องต้นก่อนที่จะศึกษาวิชาความน่าจะเป็นต่อไป
1.1 ความหมายของเซต
บทนิยาม 1.1 เซต (Set) หมายถึง ผลลัพธ์หรือการรวบรวมสิ่งของต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
เหตุการณ์ ซึ่งมีการกาหนดขอบเขต รูปแบบไว้ชัดเจนแน่นอน เช่น เซตของเลขจานวนเต็มบวก
เซตของนักศึกษาที่ลงเรียนวิชาความน่าจะเป็น
แต่ละหน่วยที่ประกอบขึ้นเป็นเซตนั้น เรียกว่า สมาชิกของเซต (Element of Set) โดยที่แต่ละ
หน่วยนั้นจะต้องเป็นหน่วยที่แตกต่างกัน

2. 2
สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซต
1. สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนเซตจะใช้ตัวอักษรใหญ่แทนเช่น A B และ C เป็นต้น
2. สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนสมาชิกของเซตจะใช้ตัวอักษรเล็กแทนเช่น a b และ c
เป็นต้น
3. สัญลักษณ์  (Epsilon) ใช้แทนคาว่า “เป็นสมาชิกของเซต” และ สัญลักษณ์  ใช้
แทนคาว่า “ไม่เป็นสมาชิกของเซต”
4. ในการเขียนเซตจะเขียนได้2 แบบ คือ แบบแรกเขียนสมาชิกของเซตทุก ๆ ตัวเรียงไว้
ในปีกกา เช่น A = {1,2,3,….} และแบบที่สอง เขียนสัญลักษณ์ตัวหนึ่งแทนสมาชิก
ของเซตแล้วบรรยายสัญลักษณ์ตัวนั้นโดยคั่นด้วยเครื่องหมาย slash (|) ใช้เพื่อแทนคา
ว่า “ซึ่ง” หรือ “โดยที่” ภายในวงเล็บปีกกา เช่น A = {a | a เป็นเลขจานวนจริง}
ตัวอย่าง 1.1 ให้เซต A ประกอบด้วยเซตของเลขจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5
วิธีทา
A = {1,2,3,4} 
ตัวอย่าง 1.2 ให้เซต B เป็นเซตของเลขจานวนจริงที่มากกว่า 10
วิธีทา
B = { |b b 10} 
ตัวอย่าง 1.3 ให้เซต C เป็นผลบวกของหน้าลูกเต๋าในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก
วิธีทา
C = {2,3,4,…,12} 
ตัวอย่าง 1.4 ให้เซต D เป็นการจาแนกเพศของบุตรในครอบครัวหนึ่งที่มีบุตร 3 คน
วิธีทา
D = {ชายชายชาย, ชายชายหญิง, ชายหญิงชาย, ชายหญิงหญิง, หญิงหญิงชาย, หญิงชาย
หญิง, หญิงชายชาย, หญิงหญิงหญิง} 

3. 3
1.2 ชนิดของเซต
เซตแบ่งได้เป็น 2 ชนิดคือ
1.2.1 เซตจากัด (Finite Sets) หมายถึงเซตที่มีจานวนสมาชิกที่นับได้หรือมีขอบเขตจากัด
เช่น เซตของเลขจานวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 เซตของมหาวิทยาลัยในประเทศไทย เซต
ของนักศึกษาที่ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาอังกฤษ
1.2.2 เซตอนันต์ (Infinite Sets) หมายถึงเซตที่มีจานวนสมาชิกนับไม่ได้หรือไม่มีขอบเขต
จากัด เช่น เซตของเลขจานวนจริงที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เซตของจานวนต้นไม้บนโลก
1.3 ลักษณะต่าง ๆ ของเซต
1.3.1 เซตที่เท่ากัน (Equal Sets)
บทนิยาม 1.2 เซต 2 เซตใด ๆ A และ B จะเรียกว่าเป็นเซตที่เท่ากัน ถ้าสมาชิกของเซต A
เหมือนกับสมาชิกของเซต B ทุกประการซึ่งเขียนสัญลักษณ์แทนว่า A B และ ถ้าสมาชิกของ
เซต A ทุกตัวไม่เหมือนกับสมาชิกของเซต B เรียกว่า A และ B เซตที่ไม่เท่ากัน ซึ่งเขียน
สัญลักษณ์แทนว่า A B
ตัวอย่าง 1.5 ให้เซต A = {2,4,8} และ B = {4,8,2}
วิธีทา
เมื่อพิจารณาทั้งเซต A และ B จะได้ว่า A B หรือเซต A และ B เป็นเซตที่เท่ากัน 
ตัวอย่าง 1.6 ให้เซต A ={ก,ข,ค,ง} และ B = {a,b,ค,ง}
วิธีทา
เมื่อพิจารณาทั้งเซต A และ B จะได้ว่า A B หรือเซต A และ B เป็นเซตที่ไม่เท่ากัน 
1.3.2 เซตที่เหมือนกัน (Equivalent Sets)
บทนิยาม 1.3 เซต 2 เซตใด ๆ A และ B จะเป็นเซตที่เหมือนกัน ถ้าจานวนสมาชิกของเซต A
เท่ากับจานวนสมาชิกของเซต B และเขียนสัญลักษณ์แทนว่า A B และ ถ้าจานวนสมาชิกของ
เซต A ไม่เท่ากับจานวนสมาชิกของเซต B เรียกว่า เซต A ไม่เหมือนเซต B

4. 4
จากบทนิยาม 1.2 จะเห็นได้ว่า ถ้าเซต 2 เซตนั้นเท่ากันทั้ง 2 เซตจะเป็นเซตที่เหมือนกัน
ด้วย แต่ถ้าเซตทั้ง 2 เซตเป็นเซตที่เหมือนกัน เซต 2 เซตนั้นอาจะเป็นเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้
ตัวอย่าง 1.7 ให้เซต A ={ก,ข,ค,ง} และ B = {a, b, c, d}
วิธีทา
เมื่อพิจารณาทั้งเซต A และ B จะได้ว่า A B แต่ A B
หรือเซต A และ B เป็นเซตที่เหมือนกันไม่เป็นเซตที่ไม่เท่ากัน 
1.3.3 สับเซต (Subsets)
บทนิยาม 1.4 เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ถ้าสมาชิกทุก ๆ ตัวของเซต A ต่างก็เป็นสมาชิก
ของเซต B ด้วย และเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย A B แต่ถ้าสมาชิกไม่ทุกตัวของเซต A เป็น
สมาชิกของเซต B ด้วย และเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย A B
ตัวอย่าง 1.8 ให้ เซต A = { |x x เป็นเลขจานวนเต็มคี่ที่น้อยกว่า 10}
เซต B = {1,2,3,4,….,10} และ เซต C = {8,9,10,…,15}
จงแสดงว่าเซตใดเป็นสับเซตของเซตใดบ้าง
วิธีทา
เซต A ประกอบด้วยสมาชิกของเซตคือ A = {1,3,5,7,9}
แสดงว่า A B หรือ A เป็นสับเซตของเซต B 
1.3.4 เซตว่าง (Empty Sets หรือ Null Sets)
บทนิยาม 1.5 เซตใด ๆ ที่ไม่มีสมาชิกเลยเรียกว่า เซตว่าง เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย  เช่น เซตของ
เลขจานวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 2 ถึง 3
ข้อสังเกต
1. เซตว่าง 2 เซตใด ๆ เป็นเซตที่เท่ากัน
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุก ๆ เซต

5. 5
1.3.5 เซตจักรวาลหรือเซตสากล (Universal Sets)
บทนิยาม 1.6 เซตใด ๆ ก็ตามที่เป็นสับเซตของเซตที่ใหญ่กว่า เซตที่ใหญ่กว่านั้นเรียกว่า เซตสากล
หรือเซตจักรวาล เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย U เช่น ให้เซต U เป็นเซตของเลขจานวนเต็มบวก
ดังนั้นเซตของเลขจานวนเต็มเป็นเซตจักรวาล
ข้อสังเกต
1. A A
2. เซตว่าง ()เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต
3. ถ้า A B และ B A จะได้ว่า A B
4. ถ้า A B และ B C จะได้ว่า A C
5. ถ้า A B ไม่จาเป็นที่ B A
6. จานวนสับเซตที่สร้างได้จะเท่ากับ n
2 เมื่อ n คือสมาชิกของเซตนั้น ๆ
ตัวอย่าง 1.9 ถ้าเซตจักรวาล { | 3 3}U x x    เซต { | 1 1}A x x    และ
เซต { | 2 2}B x x    จงแสดงว่าเซตใดเป็นสับเซตของเซตใดบ้าง
วิธีทา
เซต A B และ เซตB U ดังนั้น เซต A U เช่นกัน 
ตัวอย่าง 1.10 ถ้าเซต A = {1,2,3} จงเขียนสับเซตของเซต A
วิธีทา
{,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} มีจานวนสับเซตเท่ากับ 8 หรือเท่ากับ 3
2 
1.3.6 เซตที่ไม่เกิดร่วมกัน (Disjoint Sets)
บทนิยาม 1.7 เซต 2 เซตใด ๆ ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลยเรียกว่า เซตทั้งสองเซตไม่เกิดร่วมกัน
(Disjoint Sets หรือ Mutually Exclusives)

6. 6
ตัวอย่าง 1.11 เซต A = {1,2,3,4} และ เซต B = {5,6,7,8}
จงแสดงว่า เซต A และ เซต B ไม่มีสมาชิกเกิดร่วมกัน
วิธีทา
เขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram) ได้ดังรูป 1.1
A
1,2,3,4
B
5,6,7,8
รูป 1.1 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A และ เซต B ที่ไม่มีสมาชิกเกิดร่วมกัน
จากรูปสมาชิกในเซต A ไม่ได้เกิดร่วมกันสมาชิกในเซต B
สรุปได้ว่า เซต A และ เซต B ไม่มีสมาชิกเกิดร่วมกัน
1.3.7 เซตที่เกิดร่วมกัน (Joint Sets)
บทนิยาม 1.8 เซต 2 เซตใด ๆ ที่มีสมาชิกร่วมกัน ในทางกลับกันถ้าเซต A และ B มีสมาชิก
ร่วมกัน เรียกเซต A และเซต B เป็นเซตที่ร่วมกัน (Joint Sets)
ตัวอย่าง 1.12 เซต A = {1,2,3,4,5,6,7} และ เซต B = {5,6,7,8}
จงแสดงว่า เซต A และ เซต B มีสมาชิกเกิดร่วมกัน
วิธีทา
จากโจทย์ เซตที่เกิดร่วมกันคือ {5,6,7}
หรือเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดังรูป 1.2

7. 7
5,
6,
7
1,2,3,4
A
8
B
รูป 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A และ เซต B ที่มีสมาชิกเกิดร่วมกัน

1.4 ความสัมพันธ์ของเซต (Operation on Sets)
ความสัมพันธ์ของเซตหมายถึง การกาหนดความสัมพันธ์ของสมาชิกเซตหนึ่งกับอีกเซตหนึ่ง
โดยแสดงความสัมพันธ์ในลักษณะของเหตุการณ์รวม (Union) เหตุการณ์ร่วม (Intersection) และ
คอมพลีเมนต์ (Complement) เพื่อประโยชน์ในการวิเคราะห์ปัญหาต่าง ๆ
บทนิยาม 1.9 เหตุการณ์รวม (Union) ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย “ ” โดยที่
BA   |x x A  หรือ }x B หรือ
BA  หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซต A หรือเซต B
หรือทั้งเซต A และเซต B

8. 8
เขียนเป็นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดังรูป 1.3-1.6
กรณีที่ 1 เซตที่เกิดร่วมกัน (Joint Sets)
BA   |x x A  หรือ }x B
A B
รูป 1.3 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A B ของเซตที่เกิดร่วมกัน
กรณีที่ 2 เซตที่เกิดไม่ร่วมกัน (Disjoint Sets)
BA  =  |x x A  หรือ }x B
A B
รูป 1.4 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A B ของเซตที่ไม่เกิดร่วมกัน

9. 9
กรณีที่ 3 A B
A B B 
B
A
รูป 1.5 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A B ของ A B
กรณีที่ 4 B A
B A A 
A
B
รูป 1.6 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A B ของB A

10. 10
บทนิยาม 1.10 เหตุการณ์ร่วม (Intersection) ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย “ ” โดยที่
BA   |x x A  และ }x B หรือ
BA  หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซต A และเซต B
เขียนเป็นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ได้ดังรูป 1.7-1.10
กรณีที่ 1 เซตที่เกิดร่วมกัน (Joint Sets)
BA   |x x A  และ }x B
A B
รูป 1.7 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A B ของเซตที่เกิดร่วมกัน
กรณีที่ 2 เซตที่เกิดไม่ร่วมกัน (Disjoint Sets)
BA  = 
A B
รูป 1.8 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ของเซต A B ของเซตที่ไม่เกิดร่วมกัน