Prerequisite material for calculus-1 Materi syarat perkuliahan kalkulus-1

1. Kalkulus-1 (Review)
Hasdi radiles
Teknik Elektro – FST
UIN SUSKA RIAU 2016

2. Matrikulasi
• Bilangan
• Set
• Koordinat Cartesian
• Polinomial
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 2

3. Matrikulasi|Bilangan
• Hirarki
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 3
𝑁 = 1, 2, 3, ⋯
𝑍 = ⋯ , −1,0, 1, 2, ⋯
𝑄 =
𝑎
𝑏
𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 ∧ 𝑏 ≠ 0
𝑅 = 𝑥 𝑥2 ≥ 0 Real
Rational
Integer
Natural
Quotient
Irrational

4. Matrikulasi|Bilangan
• Penulisan
 Penulisan real
• Bilangan bulat, contohnya: … , −3, −2,1, 0, 1, 2, 3, …
• Bilangan pecahan, contohnya:
1
2
, 1
2
3
,
11
4
,
4
2
 Penulisan desimal
• Bulat : 2.0 4.00
• Terminated: 2.25 4.5500 12.50
• Non-terminated:
• Berpola: 2.23232323 4.333333
• Tidak berpola: 2.3634212354 10.9128475
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 4

5. Matrikulasi|Bilangan
• Hukum operasi: Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁, maka berlaku:
 Komutatif (pertukaran posisi)
• Pada penjumlahan: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
• Pada perkalian: 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
 Asosiatif (pengelompokan)
• Pada penjumlahan: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
• Pada perkalian: 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐
 Distributif (penguraian)
• 𝑎 + 𝑏 𝑐 − 𝑑 = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑏𝑑
 Bilangan Invers
• Pada penjumlahan: 𝑎 + −𝑎 = 0
• Pada perkalian: 𝑎 × 1 𝑎 = 1
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 5

6. Matrikulasi|Set
• Definisi:
 Set(Himpunan): kumpulan dari suatu objek (anggota), yang bisa jadi tidak berurutan, tetapi
tidak terjadi duplikasi.
 Himpunan penyelesaian (HP): bilangan-bilangan yang memenuhi kriteria untuk
menyelesaikan suatu persamaan/pertidaksamaan
 Universal set(ruang semesta): seluruh anggota yang menjadi objek dari suatu pengamatan,
dalam hal ini adalah set bilangan real, disimbolkan dengan U atau S
 Null set (himpunan kosong): set tanpa anggota didalamnya, disimbolkan dengan ∅ atau
 Nama dari suatu set dituliskan dengan huruf Kapital, sedangkan anggotanya dituliskan
dengan huruf kecil
 Dua buah set A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika seluruh anggota A juga merupakan
anggota B
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 6

7. Matrikulasi|Set
• Notasi set pada domain bilangan Real:
 Notasi Interval: menggunakan simbol 𝑎, 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ; −∞, ∞ ; 𝑑𝑠𝑡
 Garis Bilangan:
 Set listing
 Enumerating: A = 1, 2, 3, 4, 5
 Ellipse : A = 1, 2, 3, ⋯ , 100
 Set builder
 Model set builder 𝐴 = 𝑥 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑥
𝐴 = 𝑥 1 ≤ 𝑥 < 10 ∪ 𝑥 > 15 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 4
 Simbol domain set: =, ≤, <, >, ≥, ≠, ∈, ∀, ∉,∧,∨
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 7
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓

8. Matrikulasi|Set
• Pertidaksamaan set
 Sub-Set
• Subset: A ⊂ 𝐵 → set A merupakan bagian dari set B atau seluruh anggota A merupakan
sebagian anggota B
• Improper-subset: A ⊆ 𝐵 → set A merupakan bagian dari atau sama dengan set B.
 Super-Set
• Superset: A ⊃ 𝐵 → Set A mengandung set B atau sebagian anggota A merupakan
seluruh anggota dari set B
• Improper-superset: A ⊇ 𝐵 → Set A mengandung atau sama dengan set B
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 8

9. Matrikulasi|Set
• Operasi set
 Union (gabungan)
o 𝐴 ∪ 𝐵 : menghasilkan set baru dengan anggota seluruh set A dan set B
o 𝐴 = 1,2,3 ; 𝐵 = 2,3,4,5 ∴ 𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5
 Intersection (irisan)
o 𝐴 ∩ 𝐵 : menghasilkan set baru dengan anggota: elemen set A tetapi juga elemen set B
o 𝐴 = 1,2,3 ; 𝐵 = 2,3,4,5 ∴ 𝐴 ∩ 𝐵 = 2,3
 Complement
o 𝐴 𝑐 : seluruh elemen universal yang bukan anggota dari set A
 Difference (pengurangan)
o 𝐴 − 𝐵: seluruh elemen A yang bukan menjadi elemen B
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 9

10. Matrikulasi|Set
• Diagram Venn
 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖
 𝐴 ∩ 𝐵 = ℎ, 𝑖
 𝐴 − 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
 𝐵 − 𝐴 = 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔
 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅
 𝐵 ∩ 𝐶 =
 𝐴 𝑐 = 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛
 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗, 𝑘
 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐
= 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛
 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
= 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 10
𝑈
a
b
c
𝐴
d
e
f
g
B
j
k
𝐶
h
i
m
n

11. Matrikulasi|Koordinat Cartesian
• Definisi
• Terdiri dari 2 buah sumbu: 𝑥 dan 𝑦
• Kedua sumbu berpotongan pada titik origin
𝑂 0,0
• Terdiri dari 4 kuadran dengan karakteristik:
• Kuadran I : 𝑥, 𝑦
• Kuadran II : −𝑥, 𝑦
• Kuadran III : −𝑥, −𝑦
• Kuadran IV : 𝑥, −𝑦
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 11
−𝟏−2−3−4 𝟏 𝟐 3 𝟒
−𝟐
−𝟑
−4
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
𝒚
III
III IV

12. Matrikulasi|Koordinat Cartesian
• Suatu Titik Koordinat
• Suatu titik dipetakan dengan penulisan 𝑥, 𝑦
• Dua Buah titik
• Jarak dua buah titik A dan B dapat dihitung sbb:
𝐷𝐴𝐵 = 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵
2 + 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵
2
• Kemiringan garis A dan B dihitung sbb:
𝑚 𝐴𝐵 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵
𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵
• Persamanaan garis lurus antara A dan B adalah:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 12
−𝟏−2−3−4 𝟏 𝟐 3 𝟒
−𝟐
−𝟑
−4
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
𝒚
𝐴
−3, −2
𝐵
3,2

13. Matrikulasi|Koordinat Cartesian
• Dua buah garis lurus
• Dua buah garis dikatakan sejajar jika:
𝑚1 = 𝑚2
• Dua buah garis dikatakan saling tegak lurus jika:
𝑚1 × 𝑚2 = −1
• Persamaan Lingkaran & Ellips
• Lingkaran dengan pusat 𝑎, 𝑏 dan jari-jari 𝑟:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
• Ellips yang berpusat pada 𝑎, 𝑏 dengan semi-
mayor 𝑚 dan semi-minor 𝑛 adalah:
𝑥 − 𝑎 2
𝑚2
+
𝑦 − 𝑏 2
𝑛2
= 1
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 13
−𝟏−2−3−4 𝟏 𝟐 3 𝟒
−𝟐
−𝟑
−4
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
𝒚
𝐴
−3, −2
𝐵
3,2

14. Matrikulasi|Polinomial
 Persamaan Polinomial
 Polinomial derajat-1 (linear)
• Bentuk umum : 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑎 ≠ 0
• Akar polynomial: 𝑥 = − 𝑏 𝑎
 Polinomial derajat-2 (kuadrat)
• Bentuk umum : 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0
• Akar polynomial: 𝑥1,2 =
−𝑏± 𝐷
2𝑎
; 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
• Sifat determinan 𝐷
• 𝐷 = 0; memiliki dua buah akar kembar
• 𝐷 > 0;memiliki dua buah akar yang berbeda
• 𝐷 < 0; tidak memiliki akar-akar real
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 14

15. Matrikulasi|Polinomial
 Persamaan Polinomial
 Polinomial derajat-n
• Bentuk umum:
𝑝 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0; 𝑎 𝑛 ≠ 0
• Metoda pencarian akar: membagi dengan polynomial lainnya sehingga terbentuk
perkalian polynomial derajat-1 atau 2.
𝑝 𝑥 = 𝑥6 − 1
Uji nilai 𝑥 sehingga 𝑝 𝑥 = 0 sehingga memiliki akar persamaan polinom.
𝑥 = 1 → 16 − 1 = 0 ∴ 𝑥 − 1 adalah salah satu akar polinom tersebut
𝑥 = −1 → −1 6 − 1 = 0 ∴ 𝑥 + 1 juga salah satu akar polinom tersebut
Sehingga kita dapatkan persamaan akhir:
𝑝 𝑥 = 𝑥6 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥2 + 𝑥 + 1
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 15

16. Matrikulasi|Polinomial
 Pertidaksamaan Polynomial
 Bentuk umum:
𝐴 𝑥
𝐵 𝑥
≤
𝐶 𝑥
𝐷 𝑥
• Tanda ≤ dapat diganti dengan tanda pertidaksamaan lainnya: <, >, 𝑑𝑎𝑛 ≥
• 𝐴 𝑥 ; 𝐵 𝑥 ; 𝐶 𝑥 ; 𝐷 𝑥 ; merupakan polynomial
• Daerah asal (domain) dari pertidaksamaan memiliki syarat :
𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝐵 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝐷 𝑥 ≠ 0
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 16

17. Matrikulasi|Polinomial
 Pertidaksamaan Polynomial
Contoh soal
𝑥 + 1
2 − 𝑥
≥
𝑥
𝑥 + 3
↔
𝑥 + 1
2 − 𝑥
−
𝑥
𝑥 + 3
≥ 0
𝑥 + 1 𝑥 + 3 − 𝑥 2 − 𝑥
2 − 𝑥 𝑥 + 3
≥ 0 ↔
2𝑥2 + 2𝑥 + 3
−𝑥 + 2 𝑥 + 3
≥ 0
2𝑥2
+ 2𝑥 + 3 → 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡
HP = 𝑥 −3 < 𝑥 < 2; ∀𝑥 ∈ 𝑅
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 17
-3 2
+ + + +– – – – – – – –

18. Fungsi
• Pendahuluan
• Operasi pada fungsi
• Fungsi Komposit
• Fungsi Genap & Ganjil
• Fungsi Inverse
• Fungsi Trigonometri
• Fungsi Eksponensial
• Fungsi Logaritma
• Nilai Absolute
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 18

19. Fungsi|Pendahuluan
• Definisi : hubungan antara sekelompok input
dengan sekelompok output, dimana satu input
dipasangkan hanya dengan satu output.
• Misalkan terdapat suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 maka
dituliskan dengan 𝑓 𝑥
• Sekelompok input (𝑥) disebut set domain
disimbolkan 𝐷𝑓
• Sekelompok output (𝑦) disebut dengan set
kodomain/range, disimbolkan 𝑅𝑓
• Fungsi: aturan memasangkan 1 input ke 1
output bukan sebaliknya.
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 19
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4
𝐷𝑓 𝑅𝑓
Domain
Range
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4
Bukan fungsi

20. Fungsi|Operasi pada fungsi
• Misalkan 𝑓 𝑥 ; 𝑔 𝑥 merupakan suatu fungsi, maka:
• Penjumlahan/pengurangan
𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥
𝐷𝑓±𝑔 = 𝑥 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅
• Perkalian:
𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥
𝐷𝑓×𝑔 = 𝑥 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅
• Pembagian:
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
; 𝑔 𝑥 ≠ 0
𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ; 𝑔 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 20

21. Fungsi|Fungsi Komposit
• Definisi:
• Fungsi komposit adalah fungsi dari suatu fungsi
• Analoginya: misalkan 𝑔 𝑥 adalah fungsi dari rice cooker dan 𝑓 𝑥 adalah fungsi dari
penggorengan. Jika 𝑥 adalah beras dan 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 adalah nasi goreng, maka :
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 21
𝑔 ∙ 𝑓 ∙𝑥 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥
𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥

22. • Fungsi Genap
• Secara grafis suatu fungsi dikatakan genap jika simetris terhadap sumbu-y
• Suatu fungsi disebut fungsi genap jika dan hanya jika: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
• Contoh: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
• Fungsi Ganjil
• Secara grafis suatu fungsi dikatakan ganjil jika simetris terhadap titik origin 0,0
• Suatu fungsi disebut fungsi ganjil jika dan hanya jika: 𝑓 𝑥 = −𝑓 𝑥
• Contoh: 𝑓 𝑥 = 𝑥3
Fungsi|Fungsi Genap & Ganjil
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 22

23. • Sudut Istimewa
Fungsi|Fungsi Trigonometri
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 23
𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛼
0 0 1 0
30 1
2
1
2 3 1
3 3
45 1
2
2 1
2
2 1
60 1
2 3
1
2 3
90 1 0 ∞

24. • Pengetahuan Dasar
sin 𝛼 =
𝑦
𝑟
cos 𝛼 =
𝑥
𝑟
tan 𝛼 =
𝑦
𝑥
=
sin 𝛼
cos 𝛼
csc 𝛼 = sin−1 𝛼 sec 𝛼 = cos−1 𝛼 cot 𝛼 = tan−1 𝛼
sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 →
sin2 𝛼
cos2 𝛼
+
cos2 𝛼
cos2 𝛼
= 1 + tan2 𝛼 = sec 𝛼
sin 𝛼 ± 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 ± cos 𝛼 sin 𝛽
cos 𝛼 ± 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 sin 𝛽
tan 𝛼 ± 𝛽 =
tan 𝛼 ± tan 𝛽
1 ∓ tan 𝛼 tan 𝛽
Fungsi|Fungsi Trigonometri
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 24
𝛼
𝑥
𝑦
𝑟

25. • Hukum Trigonometri
𝐿𝑎𝑤 𝑜𝑓 𝑆𝑖𝑛𝑒𝑠:
𝑎
sin 𝛼
=
𝑏
sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
𝐿𝑎𝑤 𝑜𝑓 𝐶𝑜𝑠𝑖𝑛𝑒𝑠:
cos 𝛼 =
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
cos 𝛽 =
𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2
2𝑎𝑐
cos 𝛾 =
𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2
2𝑎𝑏
Fungsi|Fungsi Trigonometri
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 25
𝛼
𝛽
𝛾
𝑎
𝑏
𝑐

26. • Definisi: Absolute value atau nilai mutlak merupakan bilangan real non-negative, sehingga dapat
didefinisikan sebagai berikut:
𝑥 = 𝑥2
• Tanda absolute pada suatu fungsi dapat dihilangkan dengan mengkonversi nilai fungsi sebagai
berikut:
𝑓 𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 ≥ 0
−𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 < 0
• Contoh: berikan solusi pada fungsi berikut:
𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≤ 0
𝑥2 + 4𝑥 ≤ 4 ↔ −4 ≤ 𝑥2 + 4𝑥 ≤ 4
𝑥2 + 4𝑥 + 4 ≥ 0 ∪ 𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≤ 0
𝑥 + 2 2
≥ 0 ∪ 𝑥2
+ 4𝑥 − 4 ≤ 0
Fungsi|Nilai Absolute
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 26

27. Limit & Kontinuitas
• Latar belakang
• Ilustrasi grafis
• Properti
• Metoda Perhitungan
• Kontinuitas
• Garis singgung
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 27

28. Limit|Latar-belakang
• Masalah: Ada kalanya suatu fungsi tidak terdefinisi
• Secara numerik: penyebab utama adalah nilai penyebut menjadi nol
𝑃𝑒𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔
𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡
→ 𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
Fungsi di atas tidak terdefinisi ketika 𝑥 = 2
• Secara grafis:
fungsi tangga putus
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 4 𝑥 < −2
𝑥 − 2 −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
𝑥 > 2
Fungsi di atas terputus pada 𝑥 = ±2
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 28

29. Limit|Latar-belakang
• Ide pemecahan: melihat konvergensi nilai 𝑓 𝑥 dari arah kiri dan kanan
• Limit kiri dari 𝑓 𝑥 , notasi penulisan:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝑏
• Limit kanan dari 𝑓 𝑥 , notasi penulisan:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑏
• Nilai fungsi 𝑓 𝑥 , notasi penulisan
𝑓 𝑎 = 𝑏
• Limit 𝑓 𝑥 , notasi penulisan:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑏 ↔ lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑏
Limit dari 𝒇 𝒙 dikatakan “ada” jika limit kiri dan kanannya sama ketika 𝒇 𝒂 “tidak ada”
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 29

30. Limit|Ilustrasi grafis
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 30
𝑎 𝑐
𝑓 𝑥
𝑥
𝑘
𝑗
𝑙
𝑏 𝑑
𝑖
𝐴𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙
𝐴𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝐴𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝑗
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞
lim
𝑥→𝑑−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑑+
𝑓 𝑥 = 𝑙
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 = 𝑗
𝐾𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑝𝑑 𝑥 = 𝑐

31. Limit|Ilustrasi grafis
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑑𝑘 𝑎𝑑𝑎
• lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = 𝑘
• 𝑓 0 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
• lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = 𝑙
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞
• lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = ∞
• 𝑓 𝑎 = ∞
• lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = ∞
lim
𝑥→𝑏
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑑𝑘 𝑎𝑑𝑎
• lim
𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑙
• 𝑓 𝑏 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
• lim
𝑥→𝑏+
𝑓 𝑥 = 𝑖
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑗
• lim
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝑗
• 𝑓 𝑐 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
• lim
𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝑗
lim
𝑥→𝑑
𝑓 𝑥 = 𝑙
• lim
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝑙
• 𝑓 𝑐 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
• lim
𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝑙
 lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑠𝑒𝑝𝑖ℎ𝑎𝑘
• lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0
• lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝑗
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 31

32. Limit|Properti
• Misalkan lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 danlim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ada, dan 𝑘 adalah konstanta, maka berlaku sifat limit:
1. lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 × lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
4. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
← lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ≠ 0
5. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑘 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑘
6. lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
7. lim
𝑥→𝑎
𝑥 𝑘
= 𝑎 𝑘
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 32

33. Limit|Metoda Perhitungan
1. Konvensional:
Menghitung langsung nilai 𝑓 𝑥 untuk 𝑥 sehingga mendekati nilai limitnya
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
Hasil perhitungan dapat dilihat pada table berikut:
Dari table dapat dilihat bahwa nilai 𝑓 𝑥 mendekati 2 ketika 𝑥 → 2 dari kiri dan kanan
Sehingga disimpulkan dan dapat dituliskan sebagai berikut :
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
= 2
𝑥 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1
𝑓 𝑥 1.9 1.99 1.999 1.9999 Error 2.0001 2.001 2.01 2.1
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 33

34. Limit|Metoda Perhitungan
2. Faktorisasi & Eliminasi
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=?
• Pecah 𝑓 𝑥 menjadi polynomial menjadi suku polinomial derajat terkecil:
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1 𝑥 + 1
𝑥 − 1
• Eliminasi suku-suku polynomial yang sama
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
• Hitung nilai limit dengan mensubsitusikan 𝑥 = 1
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
= 2
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 34

35. Limit|Metoda Perhitungan
3. Perkalian Conjugate
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=?
• Eliminasi bentuk akar pada penyebut dengan perkalian conjugate:
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
×
𝑥 + 1
𝑥 + 1
• Eliminasi suku-suku polynomial yang sama dari hasil perkalian
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1
𝑥 − 1
• Hitung nilai limit dengan mensubsitusikan 𝑥 = 1
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 𝑥 + 1 = 4
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 35

36. Limit|Metoda Perhitungan
4. Aturan L’hopital
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
0
0
𝑎𝑡𝑎𝑢 lim
𝑥→1
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
±∞
±∞
∴ lim
𝑥→1
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
= lim
𝑥→1
𝑑 𝑓 𝑥
𝑑 𝑓 𝑥
↔ 𝑑 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡; 𝑑 𝑔 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡; 𝑑𝑎𝑛 𝑑 𝑔 𝑥 ≠ 0
lim
𝑥→∞
𝑥2 + 2𝑥 + 5
2𝑥2 + 4
=
lim
𝑥→∞
2𝑥 + 2
4𝑥
𝐿′ℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
= lim
𝑥→∞
𝑥 2 +
2
𝑥
4𝑥
=
1
2
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 36

37. Limit|Metoda Perhitungan
4. Aturan L’hopital
lim
𝑥→−1+
3
𝑥 + 1 ln 𝑥 + 1 = lim
𝑥→−1+
ln 𝑥 + 1
𝑥 + 1 −
1
3
≡ lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
∞
∞
𝑑𝑓 𝑥 =
1
𝑥 + 1
𝑑𝑔 𝑥 = −
1
3
𝑥 + 1 −
4
3
lim
𝑥→−1+
3
𝑥 + 1 ln 𝑥 + 1 = lim
𝑥→−1+
−3
𝑥 + 1 −1
𝑥 + 1 −
4
3
= lim
𝑥→−1+
−3 𝑥 + 1
1
3 = 0
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 37

38. Limit|Metoda Perhitungan
5. Limit pada Nilai mutlak
𝑓 𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 ≥ 0
−𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 < 0
Contoh:
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
lim
𝑥→1+
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1+
𝑥 − 1 𝑥 + 1
𝑥 − 1
= 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥2 − 1 ≥ 0
lim
𝑥→1−
− 𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1−
− 𝑥 − 1 𝑥 + 1
𝑥 − 1
= −2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥2 − 1 < 0
Sehingga:
lim
𝑥→1−
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
≠ lim
𝑥→1+
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
→ lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 38

39. Limit|Metoda Perhitungan
6. Limit pada 𝒙 → ±∞
• Cari cara untuk merubah ∞ → 0
lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 2𝑥 + 5
2𝑥2 + 4
= lim
𝑥→∞
𝑥2
1 +
2
𝑥
+
5
𝑥2
𝑥2 2 +
4
𝑥2
=
1
2
lim
𝑥→∞
2𝑥 + 5
2𝑥2 + 4
= lim
𝑥→∞
𝑥2 2
𝑥
+
5
𝑥2
𝑥2 2 +
4
𝑥2
= 0
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 39

40. Limit|Metoda Perhitungan
7. Teorama Squeezing
• Jika 𝑓 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥
• Dan jika lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿
• Maka : lim
𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 𝐿
lim
𝑥→0
𝑥2
cos
1
𝑥
−1 ≤ cos
1
𝑥
≤ 1 ↔ −𝑥2
≤ 𝑥2
cos
1
𝑥
≤ 𝑥2
lim
𝑥→0
−𝑥2 = lim
𝑥→0
𝑥2 = 0
lim
𝑥→0
𝑥2 cos
1
𝑥
= 0
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 40

41. Limit|Kontinuitas fungsi
• Suatu fungsi dikatakan kontinu pada 𝑎 jika dan hanya jika:lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 = 𝐿
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 41
𝑎 𝑐
𝑓 𝑥
𝑥
𝑘
𝑗
𝑙
𝑏 𝑑
𝑖
𝑓 𝑥 kontinu sepihak dari kiri
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 = 𝑘
𝑓 𝑥 diskontinu pada 𝑎
lim
𝑥→𝑑
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑑
Diskontinu pada 𝑥 = 𝑑
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 = 𝑗
𝐾𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑝𝑑 𝑥 = 𝑐
𝑓 𝑥
kontinu sepihak
kanan

42. Limit|Garis singgung
• Sebuah garis yang melewati suatu kurva :
 Secant Line : garis lurus memotong kurva pada titik
𝑥 = 𝑎 dan di sembarang 𝑥
 Tangent Line : garis lurus memotong (menyinggung)
kurva hanya pada titik 𝑥 = 𝑎
• Solusi: Garis secant dirotasikan agar berubah
kemiringannya sehingga menjadi garis tangen.
𝑚 𝑇 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∴ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎
• Jika ∆𝑥 = ℎ ≡ 𝑥 − 𝑎 , maka:
𝑚 𝑇 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎
ℎ
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 42
𝑎 𝑥
𝑓 𝑎
𝑓 𝑥
𝑦
𝑥

43. Limit|Garis singgung
• Contoh: cari persamaan garis lurus yang menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥 + 5 pada titik 2,3
𝑚 = lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎
→ lim
𝑥→2
2𝑥 + 5 − 3
𝑥 − 2
Hilangkan tanda akar dengan metoda conjugate:
𝑚 = lim
𝑥→2
2𝑥 + 5 − 3
𝑥 − 2
×
2𝑥 + 5 + 3
2𝑥 + 5 + 3
= lim
𝑥→2
2𝑥 + 5 − 9
𝑥 − 2 2𝑥 + 5 + 3
Eliminasi suku yang sama dan subsitusikan nilai 𝑥:
𝑚 = lim
𝑥→2
2 𝑥 − 2
𝑥 − 2 2𝑥 + 5 + 3
= lim
𝑥→2
2
2𝑥 + 5 + 3
=
1
3
Masukan titik 2,3 kedalam persamaaan garis :
𝑦 =
1
3
𝑥 + 𝑐 → 𝑐 = 3 −
2
3
=
7
3
∴ 𝑦 =
𝑥 + 7
3
10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 43