Solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu

1. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS CENDERAWASIH
JAYAPURA
2014
PROPOSAL SKRIPSI

2. OLEH
RUTH DIAN FITRIO
010 054 0040
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
TAK HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN
TAK TENTU

3. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
1.2 RUMUSAN MASALAH
1.3 BATASAN MASALAH
1.4 TUJUAN PENELITIAN
1.5 MANFAAT PENELITIAN
1.6 METODE PENELITIAN
1.7 SISTEMATIKA PENULISAN

4. 1.1 Latar Belakang
 Persamaan diferensial dengan bentuk
dengan seluruh koefisien adalah konstanta, dan
merupakan bentuk umum dari persamaan diferensial linear tak
homogen.
 Sistem persamaan diferensial linear tak homogen adalah sistem yang
memuat 2 atau lebih persamaan diferensial tak homogen.
 Solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen ini dapat
dicari dengan menggunakan suatu metode tertentu.
 Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode koefisien tak
tentu.
( ) ( 1)
0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n
na t y a t y a t y g t
   
0 1, , ..., na a a ( ) 0g t 

5. 1.2 Rumusan Masalah
Bagaimana cara menentukan solusi sistem persamaan
diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak
tentu.

6. 1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, sistem yang dibahas hanya terdiri dari
maksimal tiga persamaan diferensial linear tak homogen orde
satu dengan koefisien konstan.

7. 1.4 Tujuan Penelitian
Untuk mengetahui langkah-langkah menentukan solusi
sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan
metode koefisien tak tentu.

8. 1.5 Manfaat Penelitian
Menambah wawasan tentang sistem persamaan diferensial
dan mengetahui cara mencari solusinya.

9. 1.6 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah
metode kajian pustaka yaitu dengan mempelajari beberapa
referensi yang memuat materi yang berkaitan dengan
masalah yang akan dibahas.

10. 1.7 Sistematika Penulisan
BAB I : Pendahuluan. Bab ini berisi latar belakang, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode
penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II : Landasan Teori. Bab ini berisi kajian mengenai materi-materi
dasar yang terkait dengan masalah yang akan dibahas.
BAB III: Pembahasan. Bab ini berisi pembahasan tentang solusi sistem
persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode
koefisien tak tentu.
BAB IV: Penutup. Bab ini berisi kesimpulan atas hasil yang telah
didapatkan.
DAFTAR PUSTAKA

11. BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Fungsi
2.2 Turunan
2.3 Matriks
2.4 Sistem Persamaan Linear
2.5 Operasi Baris Elementer
2.6 Determinan
2.7 Invers Matriks
2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
2.9 Persamaan Diferensial
2.10 Metode Koefisien Tak Tentu

12. 2.1 Fungsi
Definisi 2.1 (Purcell, 2004)
Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang memadankan setiap
obyek dalam satu himpunan dengan tepat satu nilai tunggal
dari suatu himpunan kedua.
Fungsi dari A ke B dapat dituliskan dengan
f
x
( )f x
:f A B

13. 2.2 Turunan
Definisi 2.2 (Degeng, 2007)
Misalkan suatu fungsi didefinisikan pada sembarang
titik pada interval . Turunan di
didefinisikan sebagai:
asalkan limit ini ada.
( )y f x
0x ( , )a b ( )y f x 0x x
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
h
f x h f x
f x
h
 
 

14. 2.3 Matriks
Definisi 2.3 (Anton, 2009)
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari
bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan
tersebut dinamakan entri dalam matriks.

15. Matriks yang mempunyai baris dan kolom dinyatakan
dengan
m n
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a

 
 
 
 
 
 
L
L
M M O M
L

16. Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Baris
2. Matriks Kolom
3. Matriks Bujursangkar
4. Matriks Segitiga
5. Matriks Diagonal
6. Matriks Identitas
7. Matriks Nol

17. 2.4 Sistem Persamaan Linear
Definisi 2.4 (Anton dan Rorres, 2004)
Suatu sistem sebarang yang terdiri dari persamaan linear
dengan variabel yang tak diketahui adalah satu sistem
berbentuk
m
n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
   
   
M
(2.1)

18. Sistem (2.1) dapat diubah dalam bentuk matriks tunggal
Jika matriks di atas berturut-turut dilambangkan dan ,
maka sistem (2.1) dapat dituliskan sebagai
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn m m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
    
    
    
    
    
    
L
L
M M O M M M
L
,A X B
AX B

19. 2.5 Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer adalah sebagai berikut :
1. Mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta tak nol.
2. Menukarkan antara dua baris.
3. Menambahkan perkalian dari satu baris ke baris lainnya.

20. 2.6 Determinan
Definisi 2.6 (Anton, 2004)
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi
determinan dinyatakan dengan dan didefinisikan
sebagai jumlah semua hasil kali entri bertanda dari A.
det det( )A

21. 2.7 Invers Matriks
 
 
1
1
1
Suatu matriks berordo dikatakan memiliki
invers berordo , jika matriks tersebut non
singular atau det 0,dan berlaku
dengan matriks identitas berordo .
n
n
n
A n n
A n n
A
AA I
A A I
I n n










22. 2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.10 (Anton dan Rorres, 2004)
Misalkan adalah matriks bujursangkar, maka sebuah vektor
tak nol x dalam dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari
jika adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:
Dengan adalah skalar. Selanjutnya skalar dinamakan nilai
eigen (eigenvalue) dari dan x dikatakan vektor eigen yang
bersesuaian dengan yang terkait dengan .
A
A
n
R
A
A
 

A x x
Ax

23. 2.9 Persamaan Diferensial
Persamaan yang memuat turunan dari satu atau beberapa
fungsi tak diketahui disebut persamaan diferensial. Persamaan
diferensial yang hanya memuat satu peubah bebas dinamakan
persamaan diferensial biasa.
Tingkat (orde) persamaan diferensial adalah pangkat
tertinggi dari turunan yang muncul pada persamaan diferensial
tersebut.

24. Bentuk umum persamaan diferensial linear sebagai berikut
dengan dan adalah fungsi-fungsi dari variabel
bebas , serta .
Jika , maka persamaan di atas dinamakan persamaan
diferensial homogen.
Jika , maka persamaan di atas dinamakan persamaan
diferensial tak homogen.
Jika seluruh koefisien adalah konstanta, maka
persamaan di atas disebut persamaan diferensial dengan
koefisien konstan.
( ) ( 1)
0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n
na t y a t y a t y g t
   
0 1, , ..., na a a g
t 0 0a 
( ) 0g t 
( ) 0g t 
0 1, , ..., na a a

25. Sistem persamaan diferensial orde satu adalah suatu sistem yang
terdiri dari 2 atau lebih persamaan diferensial linear orde satu.
Bentuk umum sistem persamaan diferensial orde satu:
a) Sistem yang terdiri dari dua persamaan diferensial
b) Sistem yang terdiri dari tiga persamaan diferensial
11 12 1
21 22 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dx
a t x a t y F t
dt
dy
b t x b t y F t
dt
  
  
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
dx
a t x a t y a t z F t
dt
dy
b t x b t y b t z F t
dt
dz
c t x c t y c t z F t
dt
   
   
   

26. 2.10 Metode Koefisien Tak Tentu
Diberikan persamaan diferensial tak homogen sebagai berikut
dengan konstanta dan merupakan kombinasi
linear dari fungsi dengan tipe yg ada pada tabel di bawah ini.
( ) ( 1)
0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n
na t y a t y a t y g t
   
0 1, , ..., na a a ( )g t
Suku-suku dalam Pilihan untuk( )g t py
t
ke t
Ce
( 0,1,...)n
Kt n 
1
1 1 0...n n
n nK t K t K t K
   
cos sink t atau k t  cos sinK t M t 

27. Yang terpenting dari metode ini adalah bagaimana menduga
dengan tepat solusi khusus yang serupa dengan pada
persamaan di atas, dengan koefisien-koefisien tak diketahui yang
akan dicari dengan cara mensubstitusikan pada persamaan
awal.
py ( )g t
py

28. Daftar Pustaka
Anton, Howard dan Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi
Kedelapan). Terjemahan oleh Refina Indriasari dan Irzam Harmen. Jakarta :
Erlangga.
Anton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (Jilid 1). Tangerang :
Binarupa Aksara.
Ayres, Frank. 1985. Seri Buku Schaum, Matriks. Jakarta: Erlangga.
Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern. Terjemahan oleh Dra. Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.
Gazali, Wikaria. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta: Graha
Ilmu.
Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta:
Erlangga.
Purcell, Edwin J, Dale Verberg, dan Steven E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 1
(Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.