2. Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier
simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang
tak diketahui.
Bentuk umum:
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
11
22121
11111
...........
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak
diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya
merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut
sistem persamaan homogen
3. Sistem Persamaan Linier
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set
nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak
penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem
persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai
satu solusi?
4. Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
11
22121
11111
...........
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut
operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan
dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan
sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu
himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini
tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
6. Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan
memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat bAx
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
;; bxA
dengan
7. Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu
matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan
menggandengkan matriks A dengan b menjadi
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
|
|
|
|
~
21
222221
111211
A
Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara
lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita
terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan
faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
8. Sistem Persamaan Linier
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan
menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks
gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan
matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem
persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
10. Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk
memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan
merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier,
maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:
Contoh:
0234
8253
024
8
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
11. Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengnya
adalah:
0|2341
8|2531
0|0241
8|0011
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil
baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris
berikutnya menjadi bernilai nol.
1)baris(
1)baris(
baris1)(
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan
dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris
ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil
operasi ini adalah
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
12. Sistem Persamaan Linier
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks
gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku
kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan
mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke
baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi
ini adalah
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
2)(-baris
2)baris2/3(
(pivot)
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
1)baris(
1)baris(
baris1)(
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
14. Sistem Persamaan Linier
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai
pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat
kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian
menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3baris11
pivot
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
15. Sistem Persamaan Linier
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
1616
16611
823
8
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xx
yang dengan substitusi
mundur akan memberikan:
12;4;2;1 ABCD xxxx
Hasil terakhir
langkah ketiga
adalah:
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
16
16
8
8
16000
61100
0230
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
17. Sistem Persamaan Linier
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak
dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling
bergantungan.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem
menjadi tertentu berlebihan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka
sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu
memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak)
sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan
solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
18. Sistem Persamaan Linier
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
823
024
8
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng:
8|230
0|241
8|011
Eliminasi Gauss:
8|230
8|230
8|011
0|000
8|230
8|011
Contoh:
19. Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
00
823
8
CB
BA
xx
xx
3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak
solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita
menentukan nilai xC lebih dulu
20. Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
Sistem Persamaan Linier
1023
024
8
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
10|230
0|241
8|011
10|230
8|230
8|011
2|000
8|230
8|011
Contoh:
21. Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
Sistem Persamaan Linier
20
823
8
CB
BA
xx
xx
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya
menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau
tidak memberikan solusi.
22. Bentuk Eselon
Sistem Persamaan Linier
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk
eselon.
000
230
011
2|000
8|230
8|011
dan
Secara umum bentuk
eselon matriks
gandengan adalah
m
r
rrnrr
n
n
b
b
bkk
bcc
baaa
|0
|
|0
|
|
|0
|
1
2222
111211
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks
gandengannya adalah
23. dan sistem yang
telah tereduksi
pada langkah akhir
eliminasi Gauss
akan berbentuk
m
r
rnrnrrr
nn
nn
b
b
bxkxk
bxaxc
bxaxaxa
0
0 1
22222
11212111
dengan 0,0,0 2211 rrkaa , dan r n
Sistem Persamaan Linier
a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada,
maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada,
maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol
atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan
solusi.
nr mr bb ,,1
nr mr bb ,,1
nr nr mr bb ,,1
Perhatikan bentuk ini:
24. Sistem Persamaan Linier
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika
sama dengan nol atau tidak ada.
mr bb ,,1
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan
solusi terjadi jika .nr
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya
vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian
tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
26. Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Sistem Persamaan Linier
Misalkan maaa ,, 21
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
02211 mmccc aaa
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien
(c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien
yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada
satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
tidak bebas linier.
27. Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier,
maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena
dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk
dapat dipenuhi.
Sistem Persamaan Linier
Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
0
1
2
1
2
1 m
m
c
c
c
c
aaa
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada
persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak
bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari vektor yang lain.
28. Sistem Persamaan Linier
Contoh: Dua vektor baris 21321 a 26242 adan
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
026242132 212211 cccc aa
hanya akan terjadi jika 021 cc
Ambil vektor ketiga 42643 a
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3
sebagai
4264213222 13 aa
Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan
a3 sebagai
4264262402132202 213 aaa
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah
bebas linier.
30. Sistem Persamaan Linier
Rank Matriks
Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank
matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk]
disebut rank matriks A disingkat rank A.
Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara
baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks.
Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu
sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir
eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
31. Sistem Persamaan Linier
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
16000
61100
0230
0011
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks
gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Contoh:
32. Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Sistem Persamaan Linier
Contoh:
000
230
011
0|000
8|230
8|011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank
matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
33. Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
000
230
011
2|000
8|230
8|011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan
rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2
sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak
samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak
adanya solusi.
34. Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas
ternyata berlaku umum.
Sistem Persamaan Linier
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang
tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank
matriks koefisien harus sama dengan rank matriks
gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank
matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak
diketahui;
