Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, mencari solusi khusus, dan menentukan solusi umum sebagai penjumlahan solusi homogen dan khusus.

1. SKRIPSI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERS ITAS CENDERAWAS IH
JAYAPURA
2014

2. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
TAK HOMOGEN DENGAN METODE
KOEFISIEN TAK TENTU
OLEH
RUTH DIAN FITRIO
NIM. 0100540040

3. ABSTRAK
Skripsi ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan
dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi tak diketahui dan tiga persamaan yang terdiri dari
tiga fungsi tak diketahui, khususnya yang berorde satu dan memiliki koefisien konstan
menggunakan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkah yang diperlukan untuk
menentukan solusi sistem persamaan diferensial dengan metode koefisien tak tentu dimulai
dengan menuliskan sistem persamaan diferensial dalam bentuk matriks 풚′ = 퐴풚 + 푭(풙)
dengan 퐴 merupakan matriks koefisien berordo 푛 × 푛 dan 푭(풙) merupakan matriks fungsi
tak homogen dari sistem tersebut. Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi homogen
(풚ℎ) dari sistem homogen 풚′ = 퐴풚 dengan cara mencari nilai eigen dan vektor eigen
dari matriks 퐴 sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem persamaan diferensial,
yaitu 풚ℎ = 푐1퐯1푒휆1푥 + 푐2퐯2푒휆2푥 + ⋯ + 푐푛퐯n푒휆푛푥 dengan 휆1, 휆2, … , 휆푛 merupakan
nilai eigen dan 퐯1, 퐯2, … , 퐯푛 merupakan vektor eigen dari matriks 퐴.

4. Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi khusus (풚푝) dari fungsi tak homogen
푭(풙). Langkah-langkahnya yaitu, melihat bentuk fungsi yang mirip dengan fungsi
tak homogen 푭(풙) dari bentuk-bentuk fungsi yang tersedia. Kemudian lihat
kesamaan 푭(풙) dengan solusi homogen (풚ℎ), setelah itu memilih pemisalan 풚푝
yaitu bentuk fungsi yang mirip dengan bentuk 푭(풙) dengan mengikuti aturan yang
ada. Selanjutnya, substitusikan 풚푝 ke sistem 풚′ = 퐴풚 + 푭(풙) untuk mencari nilai
dari koefisien-koefisien pada 풚푝. Setelah diperoleh hasil dari 풚ℎ dan 풚푝, maka dapat
ditentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen yaitu
풚 = 풚ℎ + 풚푝.

5. Latar Belakang
Persamaan diferensial dengan bentuk
푎푛 푥 푦 푛 + 푎푛−1 푥 푦 푛−1 + ⋯ + 푎0 푥 푦 = 푔 푥
dengan 푎0, 푎1, … , 푎푛 dan 푔 adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas 푥, 푎푛 ≠ 0
dan 푔 푥 ≠ 0 merupakan bentuk umum dari persamaan diferensial linear tak
homogen.
Sistem persamaan diferensial linear tak homogen adalah sistem yang memuat 2
atau lebih persamaan diferensial linear tak homogen.
Solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen ini dapat dicari
dengan menggunakan suatu metode tertentu.
Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode koefisien tak tentu.

6. Rumusan Masalah
Bagaimana cara menentukan solusi sistem persamaan
diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak
tentu.

7. Batasan Masalah
Sistem dengan dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi
tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.
Sistem dengan tiga persamaan yang terdiri dari tiga
fungsi tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.

8. Tujuan Penelitian
Mengetahui langkah-langkah menentukan solusi sistem
persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode
koefisien tak tentu.

9. 
Fungsi

Turunan

Matriks

Sistem Persamaan Linear

Operasi Baris Elementer

Determinan

Invers Matriks

Ruang Vektor

Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

Persamaan Diferensial

Metode Koefisien Tak Tentu

10. Langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak
homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:
1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks 풚′ = 퐴풚 + 푭 풙 .
2. Mencari solusi homogen dari sistem 풚′ = 퐴풚 yaitu
풚ℎ = 푐1퐯1푒휆1푥 + 푐2퐯2푒휆2푥
dengan 휆 dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks 퐴.
3. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen 푭 풙 dengan cara melihat
dan mencocokkan bentuk fungsi 푭 풙 dengan bentuk yang tersedia dan
dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan 풚푝 yang bentuknya
sesuai dengan bentuk 푭 풙 , setelah itu substitusikan 풚푝 ke sistem 풚′ =
퐴풚 + 푭 풙 untuk mencari koefisien-koefisien dari 풚푝.
4. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak
homogen, yaitu
풚 = 풚ℎ + 풚푝

11. Kasus 1:
Diberikan sebuah SPD linear sebagai berikut
푦= −3푦+ 2푦1 − 푥2
1 ′
2 푦2 ′
= 푦1 − 2푦2 + 푒푥
Solusi umumnya yaitu 풚 = 풚ℎ + 풚푝
Bentuk matriks dari Sistem (3.1) adalah 풚′ = 퐴풚 + 푭(풙) dengan 퐴 =
−3 2
1 −2
dan 푭 풙 = −푥2
푒푥 .
 Solusi Homogen 풚ℎ dari SPD homogen 풚′ = 퐴풚
풚ℎ = 푐1퐯1푒휆1푥 + 푐2퐯2푒휆2푥
Mencari nilai-nilai eigen dari matriks 퐴
퐴 =
−3 2
1 −2
det(휆퐼 − 퐴) = 0
det
휆 0
0 휆
−
−3 2
1 −2
= 0
휆 + 3 −2
−1 휆 + 2
= 0
(3.1)

12. 휆 + 3 휆 + 2 − (−2) −1 = 0
휆2 + 5휆 + 6 − 2 = 0
휆2 + 5휆 + 4 = 0
휆 + 1 휆 + 4 = 0
Sehingga diperoleh nilai eigen dari 퐴 yaitu λ1 = −1 dan 휆2 = −4.
Selanjutnya, mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen.
Untuk 휆1 = −1,
휆퐼 − 퐴 퐯 = ퟎ
휆 + 3 −2
푥1
0
=
−1 휆 + 2
푥2
0
2 −2
−1 1
푥1
푥2
=
0
0
Dengan operasi baris elementer, diperoleh
1 −1
푥1
0
=
0 0
푥2
0
– 푥1 +푥2 = 0
푥2 = 푥1
Misalkan 푥1 = 푠, maka 푥2 = 푠 sehingga vektor 퐯 =
푠
푠
= 푠
1
1
jadi
vektor eigen yang bersesuaian dengan 휆1 = −1 yaitu 퐯1 =
1
1
.

13. Digunakan cara yang sama untuk 휆2 = −4, sehingga diperoleh vektor
eigen 퐯2 =
−2
1
.
Sehingga diperoleh solusi homogen dari SPD yaitu
풚ℎ = 푐1퐯1푒휆1푥 + 푐2퐯2푒휆2푥
= 푐1
1
1
푒−푥 + 푐2
−2
1
푒−4푥
 Solusi khusus (풚푝) dari fungsi tak homogen 푭(풙)
푭 풙 = −푥2
푒푥 = −푥2
0
+
0
푒푥 =
−1
0
푥2 +
0
1
푒푥
Dapat dilihat bahwa 푭(풙) memuat bentuk-bentuk polinomial dan
eksponensial, dan 푭(풙) tidak sama dengan solusi homogen dari SPD,
sehingga dapat dipilih pemisalan 풚푝 yang sesuai dengan bentuk 푭 풙
yaitu
풚푝 = 풂푥2 + 풃푥 + 풄 + 풅푒푥
Substitusikan pada SPD ′
풚푝 풚푝
= 퐴풚푝 + 푭(풙)
2풂푥 + 풃 + 풅푒푥 = 퐴풂푥2 + 퐴풃푥 + 퐴풄 + 퐴풅푒푥 +
−1
0
푥2 +
0
1
푒푥
Dari persamaan di atas, diperoleh koefisien-koefisien 풂, 풃, 풄, dan 풅
yang akan dicari.

14. 1) koefisien dari 푥2 yaitu:
ퟎ = 퐴풂 +
−1
0
…(1)
퐴풂 +
−1
0
= ퟎ
퐴풂 =
1
0
풂 = 퐴−1 1
0
풂 =
1
6 − 2
−2 −2
−1 −3
1
0
풂 =
−
1
2
−
1
2
−
1
4
−
3
4
1
0
풂 =
1
−
2
−
1
4

15. 2) koefisien dari 푥 yaitu:
2풂 = 퐴풃 …(2)
2풂 = 퐴풃
풃 = 퐴−12풂
풃 =
−
1
2
−
1
2
−
1
4
−
3
4
−1
−
1
2
풃 =
3
4
5
8

16. 3) koefisien dari 푒푥 yaitu:
풅 = 퐴풅 +
0
1
풅 = 퐴풅 +
0
1
misalkan 풅 =
푥
푦
푥
푦 =
−3 2
1 −2
푥
푦 +
0
1
푥
푦 =
−3푥 + 2푦
푥 − 2푦
+
0
1
푥
푦 =
−3푥 + 2푦
푥 − 2푦 + 1
Diperoleh
푥 = −3푥 + 2푦 atau 4푥 − 2푦 = 0 …(3.1)
푦 = 푥 − 2푦 + 1 atau 푥 − 3푦 = −1 …(3.2)
Persamaan (3.1) dan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks
4 −2
푥
0
=
1 −3
푦 −1
Dengan operasi baris elementer, diperoleh
1 0
0 1
푥
푦 =
2
10
4
10
sehingga, 풅 =
푥
푦 =
2
10
4
10
…(3)

17. 4) dan konstanta yaitu:
11
16
−
Sehingga diperoleh solusi khusus 풚푝 yaitu
풚푝 = 풂푥2 + 풃푥 + 풄 + 풅푒푥 =
1
−
2
−
1
4
푥2 +
3
4
5
8
푥 +
11
−
16
−
21
32
+
2
10
4
10
푒푥
풃 = 퐴풄 …(4)
풃 = 퐴풄
풄 = 퐴−1풃
풄 =
−
1
2
−
1
2
−
1
4
−
3
4
3
4
5
8
풄 =
−
21
32

18. Jadi solusi umum dari SPD tak homogen yang diberikan yaitu
풚 = 풚ℎ + 풚푝
= 푐1
1
1
푒−푥 + 푐2
−2
1
푒−4푥 −
1
21
4
푥2 +
3
4
5
8
푥 −
11
16
21
32
+
2
10
4
10
푒푥

19. Langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak homogen
dengan metode koefisien tak tentu yaitu:
1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks 풚′ = 퐴풚 + 푭 풙 .
2. Mencari solusi homogen dari sistem 풚′ = 퐴풚 yaitu
풚ℎ = 푐1퐯1푒휆1푥 + 푐2퐯2푒휆2푥
dengan 휆 dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks 퐴.
3. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen 푭 풙 dengan cara melihat dan
mencocokkan bentuk fungsi 푭 풙 dengan bentuk yang tersedia dan dengan
solusi homogen, kemudian pilih pemisalan 풚푝 yang bentuknya sesuai dengan
bentuk 푭 풙 , setelah itu substitusikan 풚푝 ke sistem 풚′ = 퐴풚 + 푭 풙 untuk
mencari koefisien-koefisien dari 풚푝.
4. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen,
yaitu
풚 = 풚ℎ + 풚푝

20. Bagi pembaca yang tertarik untuk membahas lebih mendalam mengenai
metode ini, dapat mengkaji tentang solusi sistem persamaan diferensial linear
tak homogen dengan orde yang lebih tinggi atau solusi persamaan diferensial
linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi.

21. Anton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (Jilid 1). Tangerang : Binarupa
Aksara.
Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi
Kedelapan). Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harmen. Jakarta : Erlangga.
Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern. Terjemahan oleh Dra. W. Santoso. Jakarta: Erlangga.
Gazali, Wikaria. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta:
Erlangga.
Purcell, E. J, D. Varberg, dan S. E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 1 (Edisi Kedelapan).
Jakarta: Erlangga.
Waluya, B. 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial. Semarang: Universitas Negeri
Semarang.