1. Persamaan nonhomogen; Metode Koefisien Tak Tentu
Kita kembali ke persamaan homogen
(1)
Dimana fungsi p , q , dan g diberikan (kontinu ) pada selang terbuka I. Persamaan
(2)
Di mana g(t) = 0 dan p dan q adalah sama seperti Persamaan (1), disebut persamaan
homogen sesuai dengan persamaan (1). Berikut dua hasil yang menggambarkan struktur
solusi dari persamaan homogen (1) dan menyediakan dasar untuk membangun solusi umum .
Teorema 3.6.1
Jika y1 dan y2 dua solusi dari persamaan homogen (1), maka selisih antara y1 - y2 merupakan
solusi dari persamaan homogen yang sesuai persamaa (2). Di samping itu, jika y1 dan y2
adalah seperangkat dasar solusi persamaan (2) , maka
(3)
Dimana c1 dan c2 adalah konstanta tertentu.
Untuk membuktikan hasil ini , perhatikan bahwa Y1 dan Y2 memenuhi persamaan
(4)
Dengan mengurangkan kedua persamaan ini terlebih dulu , kita dapatkan
(5)
Namun
Jadi persamaan (5) menjadi
(6)
Perhatikan persamaan (6) diatas bahwa Y1 - Y2 merupakan solusi dari persamaan (2).
Terakhir, karena semua solusi dari persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari satu himpunan solusi dengan Teorema 3.2.4, maka didapatkan bahwa solusi Y1 - Y2 bisa
ditulis seperti itu . Oleh karena itu Persamaan (3) terbukti .

2. Teorema 3.6.2
Solusi umum dari persamaan homogen (1) dapat ditulis dalam bentuk
y=
(7)
Dimana y1 dan y2 adalah seperangkat dasar solusi dari persamaan homogen berdasarkan
persamaan (2), c1 dan c2 adalah konstanta sembarang, dan Y adalah beberapa solusi khusus
dari persamaan homogen (1) .
Bukti Teorema 3.6.2 seperti teorema yang sebelumnya. Perhatikan bahwa persamaan (3)
berlaku jika kita mengidentifikasi Y1 dengan solusi
sembarang dari persamaan (1) dan y2
dengan solusi khusus Y. Dari persamaan (3) kita sehingga memperoleh
(8)
Yang setara dengan persamaan (7) . Karena
adalah solusi sembarang dari persamaan (1),
ruas kanan persamaan (7) termasuk semua solusi dari persamaan (1), sehingga dapat disebut
sebagai solusi umum dari persamaan (1). Dengan kata lain, Teorema 3.6.2 menyatakan
bahwa untuk memecahkan persamaan nonhomogen (1), kita harus melakukan tiga hal :
1. Cari c1y1 ( t ) + c2y2(t) dari persamaan solusi umum homogen yang sesuai . Solusi ini
sering disebut solusi komplementer dan dapat dilambangkan dengan yc( t ).
2. Cari beberapa solusi tunggal Y(t) dari persamaan homogen. Seringkali solusi ini
diarahkan untuk sebagai solusi tertentu.
3. Menambahkan secara bersama fungsi yang ditemukan dalam dua langkah sebelumnya
Kita sudah membahas bagaimana menemukan yc(t), setidaknya ketika persamaan homogen
(2) memiliki konstanta koefisien. Oleh karena itu, kita akan fokus untuk mencari solusi
tertentu Y(t) persamaan nonhomogen (1). Ada dua metode yang ingin kita bahas. Yang
dikenal sebagai metode koefisien ditentukan dan metode variasi parameter. Masing-masing
memiliki beberapa keuntungan dan beberapa kekurangan yang mungkin .
Metode Koefisien Tak Tentu. Metode koefisien tak-tentu mengharuskan kita membuat
asumsi awal tentang bentuk solusi tertentu Y(t), tetapi dengan koefisien yang tidak
ditentukan. lalu kemudian mengganti ekspresi diasumsikan ke dalam persamaan (1) dan
berusaha menentukan koefisien sehingga untuk memenuhi persamaan itu. Jika kita berhasil,
maka kita telah menemukan solusi dari persamaan diferensial (1) dan dapat menggunakannya
untuk solusi particuler Y(t). Jika kita tidak dapat menentukan koefisien, maka ini berarti

3. bahwa tidak ada solusi dari bentuk yang diasumsikan. Dalam hal ini kita dapat mengubah
asumsi awal dan mencoba lagi. Keuntungan utama dari metode koefisien tak-tentu adalah
untuk mengeksekusi asumsi yang dibuat untuk bentuk Y(t). Keterbatasan utamanya adalah
untuk persamaan yang kita dapat dengan mudah menuliskan bentuk yang benar dari solusi
tertentu di muka. Untuk alasan ini , metode ini biasanya hanya digunakan untuk masalah di
mana persamaan homogen memiliki konstanta koefisien dan istilah homogen yang terdiri dari
polinomial, fungsi eksponensial, sinus, dan cosinus. Meskipun ada keterbatasan ini, metode
koefisien tak-tentu berguna untuk memecahkan banyak masalah yang memiliki aplikasi
penting.
Contoh 1
Tenemukan solusi dari
(9)
Kita mencari fungsi Y sedemikian sehingga kombinasi Y”(t) - 3Y’(t) - 4Y(t) adalah sama
dengan 3e2t. Karena fungsi eksponensial mereproduksi dirinya sendiri melalui diferensiasi,
cara untuk mencapai hasil yang diinginkan adalah dengan mengasumsikan bahwa Y(t) adalah
beberapa e2t yaitu,
di mana koefisien A belum ditentukan. Untuk menemukan A kita menghitung
dan mengganti y, y’, dan y” dalam Pers. (9). Kita memperoleh
Oleh karena itu -6Ae2t harus sama 3e2t, jadi A = -1/2. Jadi solusinya adalah
(10)

4. Contoh 2
Cari solusi dari
(11)
Dengan analogi dengan contoh 1, mari kita asumsikan bahwa Y(t) = A sin t, dimana A adalah
konstanta yang akan ditentukan. Dengan mensubstitusikannya dalam Pers. (11), kita
memperoleh
Atau
(12)
Fungsi sin t dan cos t bebas linear, sehingga Persamaan. (12) terdapat pada interval hanya
jika koefisien 2 + 5A dan 3A keduanya nol. Persyaratan-persyaratan bertentangan berarti
bahwa tidak ada pilihan A konstan yang membuat Pers. (12) benar untuk semua t. Jadi kita
menyimpulkan bahwa asumsi kita mengenai Y (t) tidak memadai. Munculnya istilah kosinus
dalam Pers.(12) menunjukkan bahwa kita memodifikasi asumsi awal untuk menyertakan
istilah cosinus di Y (t), yaitu,
di mana A dan B akan ditentukan. Kemudian
Dengan mengsubstitusikannya ke y, y’, dan y” dalam Pers.(11), kita memperoleh
(13)
Untuk memenuhi Persamaan. (13) kita harus menyesuaikan koefisien sin t dan cos t di setiap
ruas persamaan, sehingga A dan B harus memenuhi persamaan
Oleh karena itu A = -5/17 dan B = 3/17, sehingga solusi tertentu Persamaan. (11) adalah
Metode diilustrasikan pada contoh sebelumnya juga dapat digunakan ketika ruas kanan
persamaan adalah polinomial. Jadi, untuk menemukan solusinya

5. (14)
Kita asumsikan bahwa Y(t) adalah polynomial yaitu, Y(t) = At2 + Bt + C. jika istilah
nonhomogeneous g(t) dalam Pers. (1) adalah fungsi eksponensial eαt, kemudian diasumsikan
bahwa Y(t) sebanding dengan fungsi eksponensial yang sama, jika g(t) adalah sin βt atau cos
βt, kemudian berasumsi bahwa Y (t) adalah kombinasi linear sin βt dan cos βt, IFG (t) adalah
polinomial, kemudian berasumsi bahwa Y (t) adalah polinomial derajat seperti. Prinsip yang
sama meluas ke kasus di mana g (t) adalah produk dari dua, atau tiga, dari jenis fungsi,
seperti contoh berikut mengilustrasikan.
Contoh 3
Cari solusi dari
(15)
Dalam hal ini kita mengasumsikan bahwa Y(t) adalah produk dari et dan kombinasi linear dari
cos 2t dan sin 2t, adalah,
ini berarti bahwa
Dan
Dengan mengsubsitusikannya kedalam Pers. (15), kita menemukan bahwa A dan B harus
memenuhi
Maka A = 10/13 dan B = 2/13, sehingga solusi tertentu dari Pers. (15) adalah
Sekarang anggaplah bahwa g(t) adalah jumlah dari dua istilah, g(t) = g1(t) + g2(t), dan
anggaplah bahwa Y1 dan Y2 adalah solusi dari persamaan
(16)
dan

6. (17)
. Kemudian Y1 + Y2 masing-masing adalah solusi dari persamaan
(18)
Untuk membuktikan pernyataan ini, substitusikan Y1(t) + Y2(t) untuk y dalam Pers. (18) dan
menggunakan Pers. (16) dan (17). Sebuah kesimpulan serupa berlaku jika g(t) adalah jumlah
dari setiap jumlah. Signifikansi praktis dari hasil ini adalah bahwa untuk persamaan yang
fungsi nonhomogeneous g(t) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan.
Contoh 4
Cari solusi dari
(19)
Dengan membagi ruas kanan Persamaan. (19), kita memperoleh tiga persamaan
dan
Solusi dari ketiga persamaan telah ditemukan masing-masing dalam contoh 1, 2, dan 3,. Oleh
karena itu solusi tertentu dari Pers. (19) adalah jumlahnya yaitu,
Prosedur digambarkan dalam contoh-contoh ini memungkinkan kita untuk memecahkan
kasus yang cukup besar dengan cara yang cukup efisien. Namun, ada satu kesulitan yang
kadang-kadang terjadi. Contoh berikut ini menggambarkan bagaimana ia muncul.
Contoh 5
Cari solusinya
(20)
seperti pada Contoh 2, kita mengasumsikan bahwa Y(t) = A cos 2t + B sin 2t. Dengan
mengsubstitusikannya kedalam Pers. (20), kita kemudian mendapatkan

7. (21)
Karena ruas kiri dari Pers. (21) adalah nol, tidak ada pilihan A dan B yang memenuhi
persamaan ini. Oleh karena itu, tidak ada solusi tertentu Persamaan. (20) dari bentuk
diasumsikan. hasil ini mungkin tak terduga menjadi jelas jika kita menyelesaikan persamaan
homogen
(22)
yang sesuai dengan Pers. (20). dasar solusi dari Pers. (22) adalah y1(t) = cos 2t dan y2(t) =
sin 2t. Jadi kita asumsikan solusi tertentu Persamaan. (20) sebenarnya merupakan solusi dari
persamaan homogen (22), akibatnya, tidak mungkin bisa menjadi solusi dari persamaan
homogen (20). Untuk menemukan solusi dari Pers. (20) karena itu kita harus
mempertimbangkan fungsi dari bentuk yang agak berbeda. Fungsi sederhana, selain cos 2t
dan sin 2t sendiri, bahwa ketika dibedakan menyebabkan cos 2t dan sin 2t adalah t cos 2t
dan t sin 2t. Oleh karena itu kami berasumsi bahwa Y (t) = At cos 2t + Bt sin 2t. Kemudian,
setelah menghitung Y‘(t) dan Y”(t), subsitusikan ke Pers. (20), dan kita menemukan bahwa
Oleh karena itu A = 0 dan B = 3/4, sehingga solusi tertentu Persamaan. (20) adalah
Ringkasan. Kita sekarang mencari solusi dari masalah nilai awal yang terdiri dari persamaan
homogen bentuk
(23)
dimana koefisien a, b, dan c adalah konstanta, bersama-sama dengan himpunan kondisi awal:
1. Tentukanlah solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai.
2. Pastikan bahwa fungsi g(t) dalam Pers. (23) melibatkan fungsi eksponensial, sinus,
cosinus, polinomial, atau jumlah atau produk dari fungsi tersebut. Jika hal ini tidak terjadi,
menggunakan metode variasi parameter (dibahas pada bagian berikutnya).
3. Jika g (t) = g1 (t) + · + gn (t), masing-masing berisi hanya salah satu syarat g1 (t ),. . . , gn
(t). Yang terdiri dari persamaan

8. di mana i berjalan dari 1 sampai n.
4. Untuk Yi (t) yang terdiri dari fungsi eksponensial yang sesuai, sinus, cosinus, jumlahnya
banyak, atau kombinasinya. Jika ada duplikasi diasumsikan dalam bentuk Yi (t) dengan
solusi dari persamaan homogen (ditemukan pada langkah 1), kemudian kalikan Yi (t) oleh
t, atau (jika perlu) oleh t2, sehingga untuk menghapus duplikasi. Lihat Tabel 3.6.1.
5. Cari solusi khususnya Yi (t) untuk masing-masing subproblem. Maka jumlah Y1 (t) + · + Yn
(t) adalah solusi tertentu dari persamaan homogen penuh (23).
6. Bentuk jumlah dari solusi umum dari persamaan homogen (langkah 1) dan solusi khusus
dari persamaan homogen (langkah 5). Ini adalah solusi umum dari persamaan homogen.
7. Gunakan kondisi awal untuk menentukan nilai-nilai konstanta sembarang yang tersisa
dalam solusi umum.
TABEL 3.6.1 Solusi khusus dari ay “ + by’ + cy = gi (t)
Catatan.
Berikut adalah bilangan bulat nonnegatif yang terkecil (s = 0, 1, atau 2) yang akan memastikan bahwa tidak ada istilah
dalam Yi (t) merupakan solusi dari persamaan homogen yang sesuai. Ekuivalen, untuk tiga kasus, s adalah jumlah kali 0
adalah akar dari persamaan karakteristik, α adalah akar dari persamaan karakteristik, dan α + iβ adalah akar dari
persamaan karakteristik masing-masing.
Untuk beberapa masalah seluruh prosedur ini mudah, tetapi dalam banyak kasus
membutuhkan aljabar yang cukup.
Bukti Metode Koefisien Tak Tentu. Dalam pembahasan sebelumnya telah dijelaskan
bahwa metode koefisien ditentukan berdasarkan beberapa contoh. Untuk membuktikan
bahwa prosedur selalu bekerja seperti yang dinyatakan, sekarang kita memberikan argumen
yang umum, di mana kita mempertimbangkan beberapa kasus sesuai dengan bentuk yang
berbeda untuk nonhomogen g (t).
g (t) = Pn (t) = a0 t n + a1t n-1 + · + an. Dalam hal ini Persamaan. (23) menjadi

9. (24)
Untuk mendapatkan solusi tertentu kita mengasumsikan bahwa
(25)
Substitusikan kedalam Pers. (24), kita memperoleh
(26)
Menyamakan koefisien t memberikan
Asalkan c ≠ 0, solusi dari persamaan pertama adalah A0 = a0 / c, dan persamaan yang tersisa
menentukan A1, ..., An berturut-turut. Jika c = 0, tapi b ≠0, maka polinomial di sisi kiri dari
Pers. (26) adalah derajat n - 1, dan kita tidak bisa memuaskan Persamaan. (26). Untuk
memastikan bahwa aY “ (t) + bY ‘(t) adalah polinomial derajat n, kita harus memilih Y (t)
menjadi polinomial derajat n + 1. Oleh karena itu kami berasumsi bahwa
Tidak ada istilah konstan dalam ekspresi ini untuk Y (t), tetapi tidak ada perlu untuk
memasukkan istilah tersebut sejak konstan adalah solusi dari persamaan homogen ketika c =
0. Karena b ≠ 0, kita memiliki A0 = a0 / b (n + 1), dan koefisien lainnya A1, ..., An dapat
ditentukan sama. Jika kedua c dan b adalah nol, kita mengasumsikan bahwa
Istilah aY“(t) menimbulkan jangka waktu derajat n, dan kita dapat melanjutkan seperti
sebelumnya. Sekali lagi istilah konstan dan linier di Y (t) dihilangkan, karena dalam kasus ini
mereka berdua solusi dari persamaan homogen.
g (t) = eαt Pn (t). Masalah penentuan solusi dari

10. (27)
dapat dikurangi dengan kasus sebelumnya dengan substitusi
Kemudian
Dan
substitusikan y, y’, dan y” dalam Pers. (27), membatalkan faktor eαt, kita memperoleh
(28)
Penentuan solusi tertentu dari Pers. (28) justru masalah yang sama, kecuali untuk konstanta,
sebagai pemecahan Pers. (24). Karena itu, jika aα2 + bα + c tidak nol, kita asumsikan bahwa
u (t) = A0tn + · + An, maka solusi tertentu dari Pers. (27) adalah dalam bentuk
(29)
Di sisi lain, jika aα2 + bα + c adalah nol, tetapi 2aα + b tidak, kita harus mengambil u (t)
menjadi bentuk t (A0tn + · + An). Bentuk sesuai untuk Y (t) adalah t kali ekspresi di sisi kanan
dari Persamaan. (29). Perhatikan bahwa jika aα2 + bα + c adalah nol, maka eαt adalah solusi
dari persamaan homogen. Jika kedua aα2 + bα + c dan 2aα + b nol (dan ini menyiratkan
bahwa baik eαt dan teαt solusi dari persamaan homogen), maka bentuk yang benar untuk u (t)
adalah t2 (A0tn + · + An) . Maka Y (t) adalah kali t2 ekspresi pada sisi kanan Persamaan. (29).
g (t) = eαt Pn (t) cos βt atau eαt Pn (t) sin βt.. Kita bisa mengurangi masalah ini dengan yang
sebelumnya dengan mencatat bahwa, sebagai konsekuensi dari rumus Euler, sin βt = (eiβt - eiβt
) / 2i. Maka g (t) adalah dalam bentuk
dan kita harus memilih
atau ekuivalen,

11. Biasanya, bentuk yang terakhir ini lebih disukai. Jika α ± iβ memenuhi persamaan
karakteristik yang sesuai dengan persamaan homogen, kita harus kalikan setiap polinomial
dengan t untuk meningkatkan derajat mereka dengan satu. Jika fungsi nonhomogen
melibatkan kedua cos βt dan sin βt, karena masing-masing individu dapat menimbulkan
bentuk yang sama untuk solusi tertentu. Misalnya, jika g(t) = t sin t + 2cos t, bentuk untuk
Y(t) akan menjadi
asalkan sin t dan cos t bukan solusi dari persamaan homogen.