1. PDB Linier Orde Satu Nonhomogen
Bentuk umum dari persamaan differensial linier orde satu :
dy
+ P( x ) ⋅ y = Q ( x )
dx
Berikut adalah beberapa cara penyelesaian dari persamaan differensial linier orde satu
nonhomogen : 1. Bernoulli 2. Lagrange
Cara Bernoulli
Misal :
y = u ⋅v →
dy
dv
du
=u
+v
dx
dx
dx
dy
+ P( x ) ⋅ y = Q ( x )
dx
dv
du
u
+v
+ P( x ) ⋅ u ⋅ v = Q( x )
dx
dx
du
 dv

u  + P( x) ⋅ v + v ⋅
= Q( x)
dx
dx


 dv

Persamaan Pertama : u  + P ( x ) ⋅ v  = 0
 dx

du
Persamaan Kedua : v
= Q( x)
dx
Persamaan Pertama
dv
= −P ( x ) ⋅ v
dx
dv
dv
= −P ( x )dx →∫
= −∫ P ( x )dx
v
v
ln v = −∫ P ( x )dx
[− P ( x ) dx ]
v =e ∫
Persamaan Kedua
du
v
=Q( x)
dx
[ P ( x ) dx ]
Q( x)
du =
dx →∫ du = ∫Q ( x )e ∫
dx + c
v
[ P ( x ) dx ]
u = Q ( x )e ∫
dx + c
∫
[ P ( x ) dx ]
[− P ( x ) dx ]
y = u ⋅ v = ∫Q ( x )e ∫
dx + c e ∫





2. Menyelesaikan persamaan differensial linear dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange.
Cara ini dilakukan dengan mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan
mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau c(x)
.
dy
+ P( x ) y = 0
dx
dy
= −P ( x )dx
y
dy
∫ y = −∫ P( x )dx →ln y = −∫ P ( x )dx +ln c
[− P ( x ) dx ]
y = ce ∫
[− P ( x ) dx ]
y = c( x )e ∫
ln y = −∫ P ( x )dx + ln c ( x )
1 dy
1 dc ( x )
= −P ( x ) +
y dx
c ( x ) dx
dy
y dc ( x )
=
− yP ( x )
dx c ( x ) dx
dy
y dc ( x )
+ yP ( x ) =
dx
c ( x ) dx
[− P ( x ) dx ] dc( x )
dy
+ yP ( x ) = e ∫
= Q( x)
dx
dx
[ P ( x ) dx ]
dc( x )
= Q ( x )e ∫
dx
[ P ( x ) dx ]
c ( x ) = Q ( x )e ∫
dx + c
∫