Jual Obat Aborsi Denpasar Bali ( Asli Ampuh No.1 ) 082223109953 Tempat Klinik...
Sistem persamaan linier
1.
2. Persamaan Linear
Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan
secara aljabar dengan sebuah persamaan
berbentuk :
a1x + a2y = b
Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan
linear dalam peubah x dan y.
3. Definisi persamaan linear dalam n peubah x1, x2,
….,xn sebagai suatu persamaan yang bisa
disajikan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b
dengan a1,a2,…,an dan b konstanta real.
Sistem Persamaan Linier merupakan
Set/kumpulan/ lebih dari satu persamaan linier
(polinom derajat 2).
4. Contoh-contoh Persamaan Linear
x + 3y = 7
x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8
y = (½)x+3z+1
x1 + x2 +…+ xn = 1
Himpunan semua penyelesaian persamaan
tersebut disebut himpunan penyelesaian.
5. Perhatikanlah!
Sebuah persamaan linier tidak melibatkan
sesuatu hasil kali atau akar variabel.
Cari Himpunan penyelesaian dari :
1. 4x – 2y = 1
2. 7x – 5y = 3
3. x – 4y +7z = 5
4. -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1
6. Definisi :
Dua sistem persamaan yang menggunakan peubah -
peubah yang sama dikatakan EKUIVALEN jika keduanya
mempunyai himpunan penyelesaian yang sama
1. Urutan penulisan dua persamaan dapat dipertukarkan.
2. Kedua ruas dari suatu persamaan dapat dikalikan dg
bilangan real.
3. Kelipatan dari suatu persamaan dapat dijumlahkan pada
persamaan yang lain.
Untuk memperoleh sistem yang ekuivalen lakukan tiga
langkah :
7. SEBUAH PEMECAHAN
Bentuk Umum Sistem Persamaan
Linier :
A11x1 +a12x2+…+a1nxn=b1
A21x1 +a22x2+…+a2nxn=b2
: : : : :
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
8. Sistem Persamaan Linier diatas mempunyai n
bilangan yang tidak diketahui dengan m jumlah
persamaan.
pemecahan persamaan akan terpenuhi jika;
x1=s1, x2=s2, …, xn=sn.
s1, s2, …, sn merupakan himpunan pemecahan,
sehingga sistem persamaan dikatakan
Konsisten dan sebaliknya.
9. Sebarang sistem persamaan linier akan mempunyai :
Tidak ada pemecahan
Persis satu pemecahan
Tak terhingga banyaknya pemecahan
Contoh :
4x – y + 3z = -1
3x + y + 9z = -4
mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = -1,
karena nilai - nilai ini memenuhi kedua persamaan
di atas.
13. x
y
l1 dan l2
Mempunyai tak hingga penyelesaian
Garis l1 dan l2
berimpit, dimana
ada tak berhingga
titik potong maka
terdapat banyak
penyelesaian
untuk sistem
tersebut.
14. Langkah mencari pemecahan dari suatu
sistem persamaan Linier dengan Operasi
Baris Elementer (OBE):
1. Susun dalam matriks yang diperbesar.
2. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah
konstanta yang tak sama dengan nol
3. Pertukarkanlah dua baris.
4. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris
kepada baris yang lainnya.
Point 2, 3,dan 4 merupakan Operasi Baris Elementer
15. Matriks yang diperbesar / diperbanyak.
( augmented matriks )
Misal, suatu sistem :
x1 + 2x2+ x3 = 3
3x1 - x2 + 3x3 = -1
2x1+ 3x2+ x3 = 4
dapat diasosiasikan sebagai suatu jajaran
bilangan - bilangan dengan orde 3 x 3 yang
angka - angkanya adalah koefisien dari xi.
Jajaran ini disebut sebagai matriks koefisien dari
sistem yang bersangkutan.
−−
132
313
121
16. Jika pada matriks koefisien tersebut,
disisipkan suatu kolom tambahan yang berisi
angka - angka diruas kanan dari sistem,
maka diperoleh matriks baru yang disebut
matriks yang diperbesar /
diperbanyak.
−−
−
4
1
3
1
3
1
32
13
21
17. Note : Diagonal merupakan satu utama
yang tidak boleh sama dengan nol, jika
berharga nol maka harus tukar baris.
Setelah melakukan OBE terhadap sistem
persamaan linier akan diperoleh bentuk
matriks segitiga
Matriks segitiga yang diperoleh berbentuk
matriks segitiga atas dengan elemen dibawah
diagonal utamanya nol.
Kemudian kita cari pemecahan dengan
substitusi balik
18. CONTOH :
Carilah pemecahan dari sistem
persamaan linier berikut :
x + y +2z = 9
2x+4y- 3z = 1
3x+6y- 5z = 0
19. Bentuk Baris Eselon Tereduksi
Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi harus
mempunyai sifat - sifat berikut ini :
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka
angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah
angka 1.
2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari
nol, maka baris - baris ini dikelompokkan di bagian
bawah matriks.
3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak
seluruhnya terdiri dari nol, angka 1 dalam baris yang
lebih bawah terletak di sebelah kanan angka 1 dalam
baris yang lebih atas.
4. Masing - masing kolom yang berisi angka 1,
mempunyai nol di tempat lainnya.
20. Contoh matriks - matriks berikut dalam bentuk
baris eselon tereduksi.
00
00
,
100
010
001
,
3100
7010
4001
Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 saja
(tidak perlu 4) disebut mempunyai bentuk baris eselon.
5100
2610
7341
,
000
010
011
,
0000
4100
2610
7341
21. Jika dengan serangkaian operasi baris dasar elementer,
matriks yang diperbanyak untuk sebuah SPL dijadikan
bentuk baris eselon tereduksi, maka himpunan
penyelesaian sistem tersebut akan terbukti dengan
beberapa langkah sederhana.
Contoh :
4100
2010
5001
Sistem persamaan yang
berpadanan adalah :
X1 = 5
X2 = 2
X3 = 4
22. Selesaikan sistem persamaan dengan
membentuk eselon baris :
−−−
−
−
156542
281261042
1270200
Pemecahan Eliminasi Gauss :
Merupakan penyelesaian sistem persamaan
Linier yang menghasilkan matriks dalam
bentuk eselon (tangga) baris
23. Langkah 1. Letakkanlah kolom yg paling kiri yang
tidak terdiri seluruhnya dari nol
−−−
−
−
156542
1270200
281261042
* Tukarkan baris ke 1 dengan baris ke 2
Langkah 2. Jadikan kolom paling kiri pd baris 1
untuk memperoleh 1 utama
−−−
−
−
156542
1270200
1463521
R1½* R1
24. Langkah 3. Tambahkan kelipatan yg sesuai dari
baris atas kepada baris-baris yang dibawah
sehingga entri-entri dibawah 1 utama menjadi nol
R3 -2* R1+ R3
−−
−
−
29170500
1270200
1463521
Langkah 4. Sekarang tutuplah baris paling atas,
Ulangi langkah 1, 2, dan 3 untuk baris yang
tersisa.
26. R32 * R3
−−
−
210000
62/70100
1463521
Langkah selanjutnya kita dapat menyelesaikannya dengan
substitusi balik maupun dengan menjadikan bentuk eselon
baris yang tereduksi (entri bukan nol pertama dalam setiap
baris)
Proses menggunakan operasi - operasi baris elementer
untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon
baris yang tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan
sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk
baris eselon disebut eliminasi Gaussian.
28. Kemudian kita memperoleh hasil sbb :
X1+2x2+ 3x4 =7
x3 = 1
x5 = 2
x1= -2x2 - 3x4 + 7 = -2. r – 3. t + 7
X2 = r x4 = t x3 = 1 x5 = 2
Sistem tersebut konsisten dengan tak berhingga
banyaknya pemecahan.
29. Prosedur untuk mereduksi suatu matriks
menjadi bentuk baris eselon tereduksi
disebut eliminasi Gauss- Jordan,
sedangkan prosedur yang hanya
menghasilkan bentuk baris eselon disebut
eliminasi Gaussian.
30. Sistem Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear dikatakan
homogen jika konstantanya semua nol,
yaitu jika sistem tersebut mempunyai
bentuk :
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = 0
: : : : :
31. Sebuah sistem persamaan linear homogen
dengan jumlah peubah yang lebih banyak
daripada jumlah persamaan mempunyai tak
hingga banyaknya penyelesaian.
Setiap sistem persamaan linear homogen
mempunyai sifat konsisten, karena semua
sistem seperti itu mempunyai x = 0, y = 0 dan z
= 0,…, zn = 0 sebagai penyelesaian.
Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial,
jika ada penyelesaian yang lain maka
penyelesaiannya disebut penyelesaian tak
trivial.
32. Karena sistem linear homogen selalu
mempunyai penyelesaian trivial, maka
hanya ada dua kemungkinan untuk
penyelesaiannya :
1. Sistem tersebut hanya mempunyai
penyelesaian trivial.
2. Sistem tersebut mempunyai tak hingga
banyaknya penyelesaian di samping
penyelesaian trivial.
