Makalah ini membahas metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde kedua homogen. Metode Frobenius melibatkan pengembangan deret pangkat di sekitar titik singular untuk mendapatkan solusi. Persamaan indicial digunakan untuk menentukan pangkat awal dalam pengembangan deret. Terdapat tiga kasus yang mungkin bergantung pada akar persamaan indicial: kasus akar berbeda, akar sama, dan akar dibedakan oleh

1. MAKALAH
METODE FROBENIUS
OLEH :
1. FARIDA ARIANI (J1A106022)
2. MEGAWATI (J1A106023)
3. JAMILIAH HASMY (J1A106026)
4. MUHAMMAD AMRILLAH (J1A106028)
5. ANDRY RISKI DINATA (J1A106031)
6. SALMANI (J1A106034)
7. YUANA SUKMAWATY (J1A106036)
8. HAYATUN NUPUS (J1A106038)
9. WIDYA PRATIWI (J1A106040)
10. ANDERI (J1A106044)
11. MUHAMMAD HASPRIADI (J1A106056)
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
BANJARBARU
2008

2. KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena atas berkat rahmat, hidayah serta
inayah-Nya jualah kami dapat menyelesaikan makalah ini pada waktunya.
Terimakasih kami ucapkan kepada Bapak Faisal, S.Si, M.Si selaku dosen
pengampu matakuliah Metode Matematika yang telah membimbing kami dalam
penyusunan makalah ini serta kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam
pembuatan makalah ini yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu. `.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, baik untuk
menambah wawasan pengetahuan atau juga dapat dijadikan bahan referensi mata
kuliah yang terkait. Kami menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan,
untuk itu kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan untuk dapat
memperbaiki segala kekurangan pada makalah ini. Kesempurnaan hanya milik Allah
dan kekurangan pasti milik kami. Salah khilaf mohon maaf.
Wassalam
Tim Penulis

3. BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Persamaan diferensial orde dua homogen yang ditulis dalam bentuk standar :
𝑃( 𝑥) 𝑦′′
+ 𝑄( 𝑥) 𝑦′
+ 𝑅( 𝑥) 𝑦 = 0 (1)
dengan koefisien P, Q dan R analitik untuk semua x. Akan tetapi, beberapa
persamaan mempunyai suatu titik x di mana P, Q atau R tidak lagi analitik (disebut
titik singular), sebagai lawan dari titik-titik lain yang disebut titik-titik regular.
Persamaan (1’) dapat diselesaikan dengan metode deret pangkat.
Sebagai contoh, persamaan diferensial orde dua homogen berikut.
𝑦′′
+
1
𝑥
𝑦′
+ (1 −
𝑣2
𝑥2) 𝑦 = 0
di mana x = 0 sebagai titik singular. Apabila x = 0 (atau x = xo) merupakan singular,
maka persamaan tersebut mungkin tidak mempunyai penyelesaian deret pangkat
dalam x. Dengan demikian, metode deret pangkat tidak akan berlaku.
Metode lanjutan untuk menyelesaikan persamaan tersebut disebut metode
Frobenius atau metode pengembangan deret pangkat. Namun, sebelumnya kita harus
mengenal konsep dari titik singular regular sebagai titik yang dapat dipakai untuk
menyelesaikan persamaan diferensial biasa menggunakan metode Frobenius.
I.2 Rumusan Masalah
Mengingat akan sifat makalah ini maka dirumuskan masalah sebagai berikut :
1). Bagaimana mengembangkan deret pangkat untuk menunjukkan bentuk persamaan
indicial dan persamaan rekurensi ?
2). Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari pengembangan deret
pangkat dengan metode Frobenius ?
I.3 Tujuan

4. Berdasarkan dari latar belakang dan rumusan masalah maka penulis dalam
makalah ini bermaksud untuk mengenalkan metode pengembangan deret pangkat
(metode Frobenius) dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde kedua
homogen.

5. BAB II
ISI
II. 1 Metode Frobenius
Jika x0 adalah sebuah titik biasa (ordinary point) dari persamaan (1). Nilai y
pada deret Taylor dikembangkan di persekitaran titik x0. Biasanya, pengembangan
titik yang dipilih adalah saat x0 = 0. Hasilnya berupa deret Maclaurin berikut:
𝑦 = ∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
(2)
Dengan mensubstitusikan y ke dalam persamaan (1) dengan 𝑎 𝑛 sebagai suatu
koefisien, dan pada akhirnya akan didapat persamaan rekurensi untuk hasil ke-n , dan
ditulis dengan mengembangankan deret pada hasil 𝑎 𝑛. Pengembangan yang didapat
sebagai berikut:
𝑦 = ∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
(3)
𝑦′
= ∑ 𝑛 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
∞
𝑛=1
= ∑( 𝑛 + 1) 𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
(4)
𝑦′′
= ∑ 𝑛( 𝑛 − 1) 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−2
= ∑( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 1) 𝑎 𝑛+2 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
(5)
∞
𝑛=2
Jika x0 merupakan titik singular regular dari persamaan (1), sehingga solusi
dapat ditentukan dengan metode Frobenius atau dengan kata lain sebagai
pengembangan dari deret Laurent.
Dalam metode Frobenius, dapat diambil sebuah solusi dari persamaan deret
berpangkat berikut.
𝑦 = 𝑥 𝑘
∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
(6)

6. Sehingga
𝑦 = 𝑥 𝑘
∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= ∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑘
∞
𝑛=0
(7)
∞
𝑛=0
𝑦′ = ∑ 𝑎 𝑛( 𝑛 + 𝑘) 𝑥 𝑘+𝑛−1
∞
𝑛=0
(8)
𝑦" = ∑ 𝑎 𝑛( 𝑛 + 𝑘)(𝑛 + 𝑘 − 1)𝑥 𝑘+𝑛−2
∞
𝑛=0
(9)
Nilai y, y’, dan y” disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial biasa dengan
koefisien 𝑎 𝑛 hingga di dapat rumus rekurensi untuk hasil ke 𝑎 𝑛, lalu ditulis dalam
pengembangan deret untuk hasil dari 𝑎 𝑛.
Dengan menyamakan nilai 𝑎 𝑛 ke 0 akan didapat persamaan penunjuk (persamaan
indicial) yang akan memberikan nilai k pada pengembangan deret tersebut.
Sebagai contoh persamaan orede kedua homogen berikut
(10)
Persamaan (10) disubstitusikan ke persamaan (2), (3), (4) sehingga menjadi sebagai
berikut
(11)
Persamaan penunjuk (persamaan indicial) yang didapat saat n =0 adalah
(12)
Nilai 𝑎 𝑛 didefinisikan sebagai nilai bukan nol sehingga, k2 –m2 = 0 sehingga k = ±m.
Ambil nilai untuk kasus k = m sehingga persamaan (11) mendapatkan hasil:
(sehingga 𝑎1 = 0) dan
Untuk n = 2, 3, 4, . . . sehingga

7. n >1 (13)
Persamaan (13) disubstitusi kembali ke persamaan (11), disusun kembali dan
disederhanakan sehingga memberikan solusi deret yang didefinisikan sebagai fungsi
Bessel pertama Jm(x), dengan solusi non singular untuk persamaan (11). Untuk
kasus m = -k, prosesnya analog (sama) dan didapat solusi J-m(x) = (-1)m Jm(x)
Teorema 1 (Metode Frobenius)
Setiap persamaan diferensial berbentuk
𝑦" +
𝑏(𝑥)
𝑥
y’ +
𝑐(𝑥)
𝑥2 𝑦 = 0 (14)
Dengan fungsi-fungsi b(x) dan c(x) analitik pada x = 0, mempunyai sekurang-
kurangnya satu penyelesaian yang dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑦( 𝑥) = 𝑥 𝑟
∑ 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚
∞
𝑚=0
= 𝑥 𝑟( 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ ) ,( 𝑎0 ≠ 0) (15)
Di mana pangkat r dapat merupakan bilangan (riil atau komplek) yang sebarang
(dan r dipilih sehingga a0 0)
Persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian kedua (sedemikian hingga kedua
penyelesaian ini bergantung linier) yang mungkin serupa dengan persamaan (14)
(dengan r yang berbeda dan koefisein-koefisein yang berbeda) atau barangkali
mengandung bentuk logaritma.
Hal yang penting adalah bahwa di persamaan (15) mempunyai deret pangkat
yang dikalikan dengan sebuah pangkat dari x yang pangkatnya r tidak dibatasi
berupa bilangaan bulat tak-negatif.
Untuk menyelesaikan (14) dapat ditulis
𝑥2
𝑦" + 𝑥𝑏(𝑥)𝑦′ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 0 (14∗
)
Jabarkan b(x) dan c(x) dalam deret pangkat,
𝑏( 𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ , 𝑐( 𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2
+ ⋯
Kemudian diferensialkan (15) suku demi suku untuk memperoleh

8. 𝑦′
(𝑥) = ∑ ( 𝑚 + 𝑟) 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚+𝑟−1
∞
𝑚=0
= 𝑥 𝑟−1( 𝑟𝑎0 + ( 𝑟 + 1) 𝑎1 𝑥 + ⋯ )
𝑦"( 𝑥) = ∑ ( 𝑚 + 𝑟)(𝑚 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑚 𝑥 𝑚+𝑟−2∞
𝑚=0 = 𝑥 𝑟−2( 𝑟(𝑟 − 1)𝑎0 + (𝑟 +
1)𝑟𝑎1 𝑥 + ⋯ ) (15∗
)
Dengan memasukkan semua deret ini ke dalam (14∗
) kita peroleh
𝑥 𝑟( 𝑟( 𝑟− 1) 𝑎0 + ⋯ ) + ( 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ ) 𝑥 𝑟( 𝑟𝑎0 + ⋯ ) + ( 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ )( 𝑎0 +
𝑎1 𝑥 + ⋯ ) = 0 (16)
Sekarang kita menyamakan jumlah semua koefisien dari setiap pangkat x dengan
nol, seperti sebelumnya. Ini menghasilkan suatu sistem persamaan yang mengandung
koefisien-koefisien 𝑎 𝑚 yang tidak diketahui. Pangkat terkecil adalah xr dan
persamaan kaitannya adalah
[r(r – 1) + b0r + c0]a0 = 0
Karena asumsi a0 ≠ 0, maka pernyataan didalam kurung siku (besar) harus sama
dengan nol. Ini memberikan
r2 + (b0 – 1)r + c0 = 0 (17)
Persamaan kuadrat yang penting ini disebut persamaan penunjuk (persamaan
“indicial”) dari persamaan diferensial (14).
Metode yang kita gunakan akan menghasilkan suatu basis penyelesaian. Salah
satu dari kedua penyelesaian akan selalu berbentuk (15), dengan r adalah akar dari
persamaan (17). Bentuk dari penyelesaian lainnya akan ditunjukkan oleh persamaan
penunjuk ; bergantung pada akar-akarnya. Terdapat tiga kasus yang mungkin seperti
dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 2 [Metode Frobenius. Bentuk penyelesaian kedua]
Anggaplah persamaan diferensial (14) memenuhi anggapan-anggapan dalam
Teorema 1. Misalkan r1 dan r2 merupakan akar-akar persamaan indicial (17). Maka
kita mempunyai tiga buah kasus berikut ini.

9. Kasus 1. Akar-akar yang berbeda yang tidak dibedakan oleh bilangan bulat.
Basis penyelesaiannya adalah
Y1(x) = 𝑥 𝑟1(a0 + a1x + a2x2 +. . .) (18)
Dan
Y2(x) = 𝑥 𝑟2(A0 + A1x + A2x2 +. . .) (19)
Secara berurutan koefisien-koefisiennya diperoleh dari persamaan (16) dengan
berturut-turut r = r1 dan r = r2.
Kasus 2. Akar rangkap r1 = r2 = r. Basis penyelesaianya adalah
Y1(x) = 𝑥 𝑟
(a0 + a1x + a2x2 +. . .) r =
1
2
(1 – b0) (20)
(yang mempunyai bentuk umum yang sama dengan sebelumnya)dan
Y2(x) = y1(x) ln x + 𝑥 𝑟
(A0 + A1x + A2x2 +. . .) (x>0). (21)
Kasus 3. Akar-akar yang dibedakan oleh suatu bilangan bulat. Basis
penyelesaianya adalah
Y1(x) = 𝑥 𝑟1(a0 + a1x + a2x2 +. . .) (22)
(mempunyai bentuk umum yang sama dengan sebelumnya)
Y2(x) = ky1(x) ln x + 𝑥 𝑟2(A0 + A1x + A2x2 +. . .) (23)
Di mana akar-akarnya menunjukka bahwa r1 – r2 > 0 dan k mungkin menjadi nol

10. BAB III
PENUTUP
III.1 KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini terlihat
berdasarkan persamaan diferensial biasa bentuk standar.
𝑃(𝑥)𝑦" + 𝑄(𝑥)𝑦′ + 𝑅(𝑥)𝑦 = 0
yang memiliki titik singular regular di xo = 0, maka metode Frobenius terlihat dari
deret Maclaurin berikut.
𝑦 = ∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
Dengan menstubtitusikan y, y`, y`` ke dalam persamaan diferensial biasa tersebut
hingga mendapatkan persamaan petunjuk (persamaan indicial) untuk menentukan
akar-akar r1 dan r2 dan persamaan rekurensinya.
III.2 SARAN
Adapun saran yang dapat dikemukakan yaitu bagi para pembaca dapat menelaah
lebih jauh lagi tentang metode Frobenius agar dapat diketahui pengetahuan
mendalam tentang teori maupun penerapan dalam kehidupan.

11. DAFTAR PUSTAKA
Arfken, G. "Series Solutions--Frobenius' Method." §8.5 in Mathematical Methods for
Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 454-467, 1985.
Frobenius. "Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch
Reihen." J. reine angew. Math. 76, 214-235, 1873.
Ince, E. L. Ch. 5 in Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1956.
Ross, Shepley L. 1984. Differential Equations. New York: John Wileg & Sons, Inc.
Weisstein, Eric W. "Frobenius Method." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. http://mathworld.wolfram.com/FrobeniusMethod.html