SPD Linier

Sistem Persamaan Diferensial | 1
PERSAMAAN DIFERENSIAL
NAMA : WENDIROSANDI
NO : 19022118010082
1.1 Pengertian Sistem Persamaan Diferensial dan Jenis-jenisnya
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah
persamaan diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n
merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan 2 (Finizio dan
Ladas, 1982:132). Antara persamaan diferensial yang satu dengan yang lain
saling keterkaitan dan konsisten.
Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai
bentuk sebagai berikut :
𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= 𝑓1(𝑥, 𝑦1, 𝑦2 , …, 𝑦𝑛)
𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= 𝑓2 (𝑥, 𝑦1, 𝑦2, …, 𝑦𝑛)
.........................................
𝑑𝑦 𝑛
𝑑𝑥
= 𝑓𝑛( 𝑥, 𝑦1, 𝑦2 , …, 𝑦𝑛) ................................. (1.1)
dengan 𝑦1, 𝑦2 , …, 𝑦 𝑛 adalah variabel bebas dan 𝑥 adalh variabel terikat,
sehingga 𝑦1 = 𝑦1( 𝑥), 𝑦2 = 𝑦2( 𝑥),… 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛( 𝑥), dimana
𝑑𝑦 𝑛
𝑑𝑥
merupakan
derivatif fungsi 𝑦 𝑛 terhadap 𝑥, dan 𝑓𝑛 adalah fungsi yang tergantung pada
variabel 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦 𝑛 dan 𝑥 (Claudia,2004:702).
Bentuk lain sistem persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis
sebagai berikut. (Ross, 1984: 510)
𝒚 𝟏
′
= 𝑎11
( 𝑥) 𝑦1 + 𝑎12
( 𝑥) 𝑦2 + ⋯+ 𝑎1𝑛
( 𝑥) 𝑦𝑛 + 𝑔1(𝑥)
𝒚 𝟐
′
= 𝑎21
( 𝑥) 𝑦1 + 𝑎22
( 𝑥) 𝑦2 + ⋯+ 𝑎2𝑛
( 𝑥) 𝑦𝑛 + 𝑔2 (𝑥)

.................................................................................
𝒚 𝒏
′
= 𝑎 𝑛1
( 𝑥) 𝑦1 + 𝑎 𝑛2
( 𝑥) 𝑦2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛
( 𝑥) 𝑦𝑛 + 𝑔𝑛 (𝑥) ...........(1.2)
untuk 𝑎𝑖𝑗 𝑥, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 adalah fungsi terhadap 𝑡. Juga
𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), …, 𝑓𝑛(𝑥) merupakan fungsi terhadap 𝑡 dengan 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,
𝑖, 𝑗=1,2,3,..., 𝑛 merupakan konstanta. Sistem persamaan diferensial pada
persamaan (1.2) dapat ditulis dalam bentuk sebuah matriks.
𝑑𝑌
𝑑𝑥
= 𝐴𝑌 + 𝑓(𝑥)
dengan
𝑌 = [𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦 𝑛]
𝐴 = [
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛
]
𝑓( 𝑥) = [𝑓1( 𝑥), 𝑓2( 𝑥),… , 𝑓𝑛( 𝑥)]
Contoh 1








33
sin
242
321
21
4
321
1
3
3
2
21
1
2
yxyyxy
yyexyy
xyxyyy
x
SPD Linier
Bentuk martriksnya adalah :
𝑌 = [
𝑦1
𝑦2
𝑦3
] , 𝐴 = [
2 −4 𝑥2
sin 𝑥 𝑒 𝑥
−1
𝑥2
3𝑥 −1
] , 𝑓( 𝑥) = [
−2𝑥
0
3
]
Persamaan (1.2) disebut sistem persamaan diferensial linier homogen
jika 𝑓𝑖( 𝑥) = 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan disebut linier tak homogen jika ada
𝑓𝑛(𝑥) ≠ 0. Kemudian disebut sistem persamaan diferensial linier dengan
koefisien konstanya jika 𝑎𝑖𝑗( 𝑥) = 𝑎𝑖𝑗 (𝑘𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎), 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛.
Contoh 2

1.






321
21
4
321
1
1
3 yxyyxy
yyxyy
SPD Linier Homogen
2.






22
21
1
2
21
1
1 3
xyyy
eyyy x
SPD Linier tak Homogen
3.






21
1
2
21
1
1
32
45
yyy
yyy
SPD Linier Koef. Kostanta
4.






232 2
2
1
1
2
21
21
1
yxyy
xxyyxy
SPD Linier Koef. Variabel
1.2 Hubungan PD Orde n dengan Sistem PD
Persamaan diferensial orde n linier, koefisien konstanta dapat
ditransformasi menjadi sistem persamaan difensial orde 1 dengan variabel
benas n buah.
𝑦 𝑛
= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′
, …, 𝑦(𝑛−1)
Misalkan variabel beabas baru 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦 𝑛 sebagai berikut.
𝑦1 = 𝑦, 𝑦2 = 𝑦′
,… , 𝑦 𝑛 = 𝑦(𝑛−1)
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi sistem persamaan difensial orde 1
dengan n variabel.
𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦2
′
= 𝑦3
...........
𝑦 𝑛
′
= 𝑓𝑛( 𝑥, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦 𝑛)
Contoh 3
Tuliskan persamaaan diferensial 𝑦′′′
= 𝑥𝑦′′
− 𝑥2
𝑦′
+ 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥2
sebagai
sistem persamaan diferensial !
Jawab:
𝑦1 = 𝑦
𝑦1
′
= 𝑦′
= 𝑦2
𝑦1
′′
= 𝑦′′
= 𝑦2
′
= 𝑦3
𝑦1
′′′
= 𝑦′′′
= 𝑦3
′
= 𝑦4

Sehingga diperoleh SPDL :
𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦2
′
= 𝑦3
𝑦3
′
= 𝑥𝑦3
′
− 𝑥2
𝑦2 + 𝑦1
sin 𝑥 + 𝑥2
1.3 Solusi Sistem Persamaan Diferensial
SPDL dapat ditulis dalam bentuk :
𝒚 𝟏
′
= 𝑎11
( 𝑥) 𝑦1 + 𝑎12
( 𝑥) 𝑦2 + ⋯ + 𝑎1𝑛
( 𝑥) 𝑦𝑛 + 𝑔1(𝑥)
𝒚 𝟐
′
= 𝑎21
( 𝑥) 𝑦1 + 𝑎22
( 𝑥) 𝑦2 + ⋯ + 𝑎2𝑛
( 𝑥) 𝑦𝑛 + 𝑔2(𝑥)
.................................................................................
𝒚 𝒏
′
= 𝑎 𝑛1
( 𝑥) 𝑦1 + 𝑎 𝑛2
( 𝑥) 𝑦2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛
( 𝑥) 𝑦𝑛 + 𝑔𝑛(𝑥)
Fungsi-fungsi y1(x), y2(x), ... , yn(x) yang didefinisikan pada interval I 
dikatakan solusi dari SPDL jika fungsi-fungsi tersebut dan turunannya ada
pada I dan memenuhi SPDL.
Masalah mencari solusi dari SPDL pada selang I  R yang memenuhi syarat
awal y1(x0) = a1, y2(x0) = a2 , ... , yn(x0) = an , maka disebut masalah nilai awal
xo  R, (a1, a2, …, an)  Rn, (xo, a1, a2, …, an)  I x Rn
Contoh
Selidiki apakah fungsi-fungsi








xx
xx
eey
eey
2
2
2
1
2
2
SPDL






21
1
2
21
1
1
32
22
yyy
yyy
dan memenuhi y1(0) = 3, y2(0) = 3

Jawab
𝑦1 = 𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥
𝑦2 = 2𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
𝑦′1 = −2𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥
𝑦′2 = −4𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
2𝑦1 − 2𝑦2 = 2( 𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥) − 2(2𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
)
= 2𝑒−2𝑥
+ 4𝑒 𝑥
− 4𝑒−2𝑥
− 2𝑒 𝑥
= −2𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥
2𝑦1 − 3𝑦2 = 2( 𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥) − 3(2𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
)
= 2𝑒−2𝑥
+ 4𝑒 𝑥
− 6𝑒−2𝑥
− 3𝑒 𝑥
= −4𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
Sehingga :
𝑦′
1
= 2𝑦1 − 2𝑦2
−2𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥
= −2𝑒−2𝑥
+ 2𝑒 𝑥
𝑦′2 = 2𝑦1 − 3𝑦2
−4𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
= −4𝑒−2𝑥
+ 𝑒 𝑥
𝑦1(0) = 𝑒−2.0
+ 2𝑒0
= 3
𝑦2(0) = 2𝑒−2.0
+ 𝑒0
= 3
Jadi, 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan solusi dari SPD tersebut dan memenuhi syarat
awal yang diberikan
1.4 Solusi SPDL Homogen Koefisien Konstanta
Diberikan SPDL homogen dengan koefisien konstanta sebagai berikut :
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ...................................................................(1)
Dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPDL homogen
koefisien konstanta, terdapat beberapa cara penyelesaian. Salah satu cara
penyelesaian tersebut adalh dengan metode eliminasi-substitusi

Diambil Operator diferensial dengan 𝐷𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
dan 𝐷𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
maka SPDL
di atas adapt ditulis menjadi :
𝐷𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 atau ( 𝐷 − 𝑎) 𝑥 − 𝑏𝑦 = 0… … … …… … …… (2)
𝐷𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 atau ( 𝐷 − 𝑐) 𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 … …… … … …… … (3)
Jika kita mengeliminir x dari (1) dan (2), maka kita kalikan (1) dengan c dan
(2) dengan (D – a) sehingga diperoleh
c (D - a)x – bcy = 0
c (D - a)x – (D - a)(D - d)y = 0
(D - a)(D - d) - bc]y = 0
(D2 – (a + d)D + ad – bc)y = 0 .................................(4)
Persamaan (4) merupakan persamaan diferensial linier (PDL) order-2 dalam y.
Jika kita mengeliminir y akan di peroleh PDL order-2 dalam x.
Persamaan karekteristik dari (4) adalah :
𝑟2
− ( 𝑎 + 𝑑) 𝑟 + ( 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = 0 …… … …… … … …… … …. (5)
Karena (5) merupakan persamaan kuadarat dalam r maka kemungkinan nilai-
nilai r adalah sebagai berikut:
a. Real dan berbeda (r1 ≠ r2)
Solusi umum dari sistem (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑟1 𝑡
+ 𝑐2 𝑒 𝑟2 𝑡
b. Real dan sama (r1 = r2 = r)
Solusi umum dari sistem (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑟1 𝑡
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑟2 𝑡
c. Kompleks (r = a ± bi)
Solusi umum dari sistem (1) adalah 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥
(𝑐1 cos 𝑏𝑥 + 𝑐1 sin 𝑏𝑥)
(Kartono,1994:117-118) dalam (Yunitasari,2007:9)

Setelah didapatkan solusi umum dari y, kita substitusikan nilai y tersebut
ke dalam persamaan (2) untuk mendapatkan solusi umum dari x sehingga di
dapatkan solusi umum dari (1).
Dengan memasukan syarat awal ke dalam solusi umum, maka konstanta-
konstanta yang muncul (𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, … , 𝐶 𝑛) dapat diketahui nilainya.
1.5 Solusi SPDL Tak Homogen Koef Konstanta
Mencari solusi SPDL tak homogen dapat dialakukan dengan mencari
solusi persamaan homogennya terlebih dahulu. Kemudian mencari solusi
khususnya dengan beberapa cara, diantaranya yaitu dengan menggunkan
metode koefisien taktentu. Metode koefisien tertentu merupakan teknik untuk
mencari solusi partikulir (𝑦 𝑝).
Jika diberikan persamaan linier tak homogen dengan koefisien konstanta
y” + p y’ + p y’ + qy = b(x) dan akar persamaan karakteristik dari persamaan
homogennya diketahui, maka untuk mencari yp dilakukan prosedur berikut:
1. Jika b(x) = an xn + … + a1 x + a0, maka
i. yp = An xn + … + A1 x + A0, bila r = 0 bukan akar.
ii. Yp = x k (Anxn + … + A1x + A0), bila r = 0 merupakan akar kelipatan
k, k = 1,2.
2. Jika b(x) = (an xn + … + a1 x + a0) ebx, maka
i. yp = An xn + … + A1x + A0 )e bx , bila r = b bukan akar.
ii. yp = x k (Anxn + … + A1 x + A0)e bx , bila r = b merupakan akar
kelipatan k,
3. Jika b(x) = (an xn + … + a1x + a0) ebx sin  x + (bmxm + … + b1x +
b0) e bxcos x, dan N = max (n,m), maka
i. yp = (ANx N + … + A1x + A0)e bx sin  x + (BNxN + … +B1x + B0 )e
bx cos  x bila r = b +  i bukan akar
ii. yp = xk(ANxN + … + A1x + A0)ebx sin  x + xk (BNxN + … + B1x +
B0)e bxcos  x, bila r = b +  i akar kelipatan k, k = 1,2.

APLIKASI PENGGUNAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Banyak masalah dalam ilmu pengetahuan dan teknik menyangkut pengkajian
suatu sistem selama periode waktu tertentu. Kebanyakan masalah ini dimodelkan
dengan menggunakan suatu sistem persamaan diferensial, dengan berbagai variabel
bebas. Bidang kajian persamaan diferensial tidak hanya bukan sebagai salah satu
bagian tercantik dari matematika, namun ia juga merupakan alat yang penting di
dalam memodelkan benbagai fenomena dan masalah dalam bidang ilmu-ilmu
fisika, kimia, biologi, ekonomi, transportasi dan teknik
Berikut ini merupakan pengaplikasian sistem persamaan diferensial dam
berbagai bidang, yaitu :
1. Teknik
Sistem persamaan diferensial linier (SPDL) merupakan kumpulan dari
persamaan diferensial linier yang sering digunakan untuk melukiskan suatu
persoalan dalam di kehidupan nyata ke dalam model matematika. Pada struktur
bangunan bertingkat, banyak yang mempunyai derajat kebebasan banyak
(Multi Degree Of Freedom). Apabila diberikan suatu struktur MDOF (Multi
Degree Of Freedom) yang lebih dari satu derajat kebebasan dan ingin mencari
beberapa simpangan horizontal tiap tingkat, maka model persamaannya terdiri
dari beberapa persamaan diferensial yaitu dalam bentuk SPDL.
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang
diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada saat. Sehingga struktur
yang mempunyai n- tingkat akan mempunyai n- derajat kebebasan atau struktur
dengan dengan derajat kebebasan banyak.
Persamaan gerak struktur MDOF dapat disusun dengan pernyataan
keseimbangan gaya-gaya efektif yang berhubungan dengan masing-masing
derajat kebebasannya. Pada umumnya terdapat empat gaya pada setiap
koordinat i : beban luar yang dikenakan 𝑓𝑖( 𝑡) dan gaya-gaya yang diakibatkan
oleh gerak, yakni inersia 𝑓𝐼𝑖 , peredaman 𝑓𝐷𝑖 dan elastik 𝑓𝑆𝑖 sehingga
berdasarkan pada prinsip d’Alembert untuk masing-masing derajat kebebasan
kesetimbangan dinamika dapat dinyatakan sebagai berikut :

𝑓𝐼1 + 𝑓𝐷1 + 𝑓𝑆1 = 𝐹1 (𝑡)
𝑓𝐼2 + 𝑓𝐷2 + 𝑓𝑆2 = 𝐹2 (𝑡)
𝑓𝐼3 + 𝑓𝐷2 + 𝑓𝑆3 = 𝐹3 (𝑡) (3.1)
⋮
𝑓𝐼𝑁 + 𝑓𝐷𝑁 + 𝑓𝑆𝑁 = 𝐹𝑁 (𝑡)
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk
𝐹𝐼 + 𝐹𝐷 + 𝐹𝑆 = 𝐹(𝑡) (3.2)
dengan
𝐹𝐼 = 𝑚. 𝑦̈
𝐹𝐷 = 𝑐. 𝑦̇
𝐹𝑆 = 𝑘. 𝑦 (3.3)
Masing-masing gaya yang diakibatkan oleh gerak dinyatakan dengan
menggunakan koefisien pengaruh yang sesuai. Misalnya, kita tinjau komponen
gaya elastic yang terbentuk pada titik l komponen gaya elastic terdiri dari
komponen perpindahan yang terjadi pada semua titik struktur :
𝑓𝑆1 = 𝑘11 𝑦1 + 𝑘12 𝑦2 + 𝑘13 𝑦3+⋯ + 𝑘1𝑁 𝑦 𝑁
Sehingga secara umum
𝑓𝑆𝑖 = 𝑘𝑖1 𝑦1 + 𝑘𝑖2 𝑦2 + 𝑘𝑖3 𝑦3 +⋯ + 𝑘𝑖𝑁 𝑦 𝑁
Dalam bentuk matriks gaya elastic dapat di tulis sebagai berikut
𝑓𝑆1
𝑓𝑆2
⋯
𝑓𝑆𝑖
=
𝑘11 𝑘12 𝑘13
𝑘21 𝑘22 𝑘32
⋯
𝑘𝑖1
⋯
𝑘𝑖2
⋯
𝑘𝑖3
⋯ 𝑘1𝑁
⋯ 𝑘2𝑁
⋯
⋯
⋯
𝑘3𝑁
𝑦1
𝑦2
⋯
𝑦𝑖
atau
𝐹𝑠 = 𝒌𝒚

Dengan k sebagai matriks kekakuan struktur dan y adalah vektor perpindahan
yang menyatakan bentuk perpindahan struktur
Pada gaya redaman kita asumsikan bahwa peredaman dipengaruhi oleh
kecepatan dan redaman tipe viskos. Susunan gaya redam diberikan sebagai
berikut
𝑓𝐷1
𝑓𝐷2
⋯
𝑓𝐷𝑖
=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐32
⋯
𝑐𝑖1
⋯
𝑐𝑖2
⋯
𝑐𝑖3
⋯ 𝑐1𝑁
⋯ 𝑐2𝑁
⋯
⋯
⋯
𝑐3𝑁
𝑦̇1
𝑦̇2
⋯
𝑦̇ 𝑖
atau
𝐹𝐷 = 𝒄𝒚̇
dengan c adalah matriks redam struktur dan 𝒚̇ adalah vektor kecepatan.
Gaya inersia dipengaruhi oleh koefisien massa dan percepatan. Gaya
inersia dapat dinyatakan sebagai berikut
𝑓𝐼1
𝑓𝐼2
⋯
𝑓𝐼𝑖
=
𝑚11 𝑚12 𝑚13
𝑚21 𝑚22 𝑚32
⋯
𝑚 𝑖1
⋯
𝑚 𝑖2
⋯
𝑚 𝑖3
⋯ 𝑚1𝑁
⋯ 𝑚2𝑁
⋯
⋯
⋯
𝑚3𝑁
𝑦̈1
𝑦̈2
⋯
𝑦̈ 𝑁
atau
𝐹𝐼 = 𝒎𝒚̈
dengan m adalah matriks massa dan 𝒚̈ adalah vektor percepatan .
Situasi tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :

Strukrur bangunan gedung bertingkat n pada gambar di atas mempunyai
n derajat kebebasan. Biasanya jumlah derajat kebebasan suatu struktur
dihubungkan langsung dengan jumlah tingkatnya. Persamaan diferensial
gerakan pada umumnya, disusun berdasarkan pada goyangan struktur mode
pertama. Berdasarkan pada keseimbnagan dinamik pada free body diagram dan
prinsip d’Alembert yang telah dijelaskan sebelumnya maka diperoleh
𝑚1 𝑦̈1 + ( 𝑐1 + 𝑐2) 𝑦̇1 − 𝑐2 𝑦̇2 + ( 𝑘1 + 𝑘2) 𝑦1 − 𝑘1 𝑦2 = 𝐹1 (𝑡)
𝑚1 𝑦̈2 − 𝑐2 𝑦̇1 + ( 𝑐1 + 𝑐3) 𝑦̇2 − 𝑐3 𝑦̇3 − 𝑘2 𝑦1 + ( 𝑘2 + 𝑘3) 𝑦2 − 𝑘3 𝑦3 = 𝐹2 (𝑡)
.
.
.
𝑚 𝑛 𝑦̈ 𝑛 + 𝑐 𝑛( 𝑦̇ 𝑛 − 𝑦̇ 𝑛−1) + 𝑐 𝑛+1 𝑦̇ 𝑛 + 𝑘 𝑛( 𝑦 𝑛 − 𝑦 𝑛−1) + 𝑘 𝑛+1 𝑦 𝑛 = 𝐹𝑛(𝑡)
2. Biologi
a. Ekologi
Dalam bidang biologi khususnya ekologi, sistem persamaan diferensial
digunakan untuk memodelkan interaksi dua populasi. Interaksi populasi yang
paling terlihat adalah yang melibatkan pemangsaan, dimana seekor pemangsa
memakan mangsa.
1) Model Predator-Prey
Pada model mangsa-pemangsa, kajian matematis dapat menjelaskan
munculnya fenomena turun-naiknya jumlah mangsa dan pemangsa dalam
suatu periode tertentu
Sekitar tahun 1920 terdapat penurunan dan kenaikan jumlah ikan-
ikan di Laut Adriatic yang terjadi secara berkala. Saat terjadi penurunan
jumlah ikan nelayan di daerah tersebut sangat dirugikan. Penjelasan akan
fenomena tersebut diberikan pertama kali oleh Vito Volterra, di tahun
1926 melalui model predator-prey atau model mangsa-pemangsa. Ikan-

ikan di Laut Adriatic merupakan mangsa, sedangkan ikan hiu sebagai
pemangsa. Model tersebut juga dikenal sebagai model Lotka-Volterra
karena Lotka juga menemukan model yang sama di waktu yang relatif
bersamaan.
Bayangkan suatu lingkungan yang tertutup dimana terdapat
sejumlah rusa (mangsa) dan singa (pemangsa). Andaikan di lingkungan itu
terdapat berlimpah rumput, namun bagi singa sumber makanannya hanya
rusa. Misalkan 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) berturut-turut menyatakan jumlah mangsa
dan pemangsa di lingkungan tersebut saat 𝑡. Jika mangsa dan pemangsa
tidak saling berinteraksi maka model pertumbuhannya masing-masing
adalah
𝑥′
= 𝑎𝑥
𝑦′
= −𝑏𝑦
Jika mangsa dan pemangsa saling berinteraksi, maka jumlah mangsa
akan berkurang karena di makan pemangsa. Laju berkurangnya mangsa
sebanding dengan jumlah pertemuan mangsa dan pemangsa, dimisalkan
sebagai-𝑝𝑥𝑦, dengan 𝑝 suatu bilangan positif. Sebaliknya jumlah
pemangsa akan bertambah dengan laju 𝑞𝑥𝑦. Sehingga model mangsa-
pemangsa menjadi
𝑥′
= 𝑎𝑥 − 𝑝𝑥𝑦
𝑦′
= −𝑏𝑦 + 𝑞𝑥𝑦
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai dua titik equilibrium (0,0) dan
(𝑎/𝑝, 𝑏/𝑞).
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut:
𝑥′
= 𝑥(1 − 0,5𝑦)

𝑦′
= 𝑦(−0,75 + 0,25𝑥)
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa model pada contoh
mempunyai dua titik equilibrium (0,0) dan (3,2). Tampak dari phase
portrait bahwa titik equilibrium (3,2) stabil, sedangkan titik (0,0) tidak
stabil. Ini berarti bahwa di alam akan terjadi kesetimbangan antara jumlah
mangsa dan pemangsa. Jika diamati lebih detail terdapat trajektori-
trajektori tertutup di sekitar (3,2). Hal ini yang menjelaskan munculnya
fenomena penurunan dan kenaikan jumlah ikan secara periodik di Laut
Adriatic. Perhatikan satu trajektori di sekitar titik (3,2), terdapat masa di
mana jumlah mangsa cukup banyak, sedangkan jumlah pemangsa sedikit.
Namun jumlah pemangsa segera meningkat karena banyaknya mangsa.
Hal ini berlangsung terus hingga jumlahpemangsa terlalu banyak,
sedangkan jumlah mangsa berkurang. Hingga pada suatu saat jumlah
pemangsa mencapai nilai maksimum. Karena banyaknya pemangsa maka
jumlah mangsa berkurang terus hingga mencapai nilai minimum.
Selanjutnya dengan bertambahnya waktu jumlah pemangsa berkurang
karena persaingan untuk mendapatkan makanan diantara mereka sendiri.
Hal ini mengakibatkan jumlah pemangsa berkurang terus hingga mencapai
jumlah minimal. Sementara itu jumlah mangsa bertambah karena
sedikitnya jumlah pemangsa, hingga jumlah mangsa mencapai nilai
maksimum.

2) Model Interaksi Dua Spesies
Pada model interaksi dua spesies, parameter-parameter sistem
persamaan differensial dapat menentukan apakah akan terjadi
kesetimbangan diantara dua spesies tersebut, ataukah salah satu dari
spesies tersebut akan punah.
Bayangkan di suatu lingkungan yang tertutup terdapat kelinci dan
rusa yang sama-sama makan rumput. Misalkan 𝑥( 𝑡) dan 𝑦(𝑡) berturut-
turut menyatakan jumlah kelinci dan rusa di lingkungan tersebut saat 𝑡.
Jika kelinci tinggal di lingkungan itu tanpa ada rusa, maka kelinci akan
bertumbuh secara logistik. Demikian pula dengan rusa, sehingga model
pertumbuhan kelinci dan rusa masing-masing adalah
𝑥′
= 𝑎1 𝑥 − 𝑏1 𝑥2
𝑦′
= 𝑎2 𝑦 − 𝑏2 𝑦2
Jika kelinci dan rusa sama-sama tinggal di lingkungan itu, maka
makanan mereka terbatas karena kehadiran spesies yang lain. Sehingga
model pertumbuhan kelinci dan rusa menjadi
𝑥′
= 𝑎1 𝑥 − 𝑏1 𝑥2
− 𝑐1 𝑥𝑦
𝑦′
= 𝑎2 𝑦 − 𝑏2 𝑦2
− 𝑐2 𝑥𝑦
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai empat titik equilibrium
(0,0), (0,𝑎2/𝑏2), (𝑎1/𝑏1,0) dan satu titik equilibrium (𝑝, 𝑞) dengan 𝑝, 𝑞
keduanya tak nol.
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut
𝑥′
= 𝑥(1 − 𝑥 − 𝑦)
𝑦′
= 𝑦(0,75 − 𝑦 − 0,5𝑥)

Model
di atas
mempunyai empat titik equilibrium (0,0),(0, 0.75),(1,0), dan (0.5, 0.5).
tampak dari phase portrait bahwa hanya terdapat satu titik equilibrium
(0.5, 0.5) yang stabil. Ini berarti bahwa akan terjadi kesetimbangan antara
kedua spesies tersebut.
b. Polusi Kolam
Perhatikan tiga kolam dihubungkan oleh sungai, seperti pada Gambar
berikut. kolam pertama memiliki sumber polusi, kemudian menyebar
melalui aliran yang menghubungkan kolam yang satu ke kolam lainnya. Hal
ini akan digunakan untuk menentukan jumlah polusi di setiap kolam.
Diasumsikan berikut.
1. Simbol f (t) adalah laju aliran polusi ke dalam kolam 1 (lb / min).
2. Simbol f1, f2, f3 menyatakan tingkat aliran polusi dari kolam 1, 2, 3,
masing-masing (gal / min). Hal ini diasumsikan bahwa polusi dicampur
dengan baik dalam setiap kolam.

3. Tiga kolam memiliki volume V1, V2, V3 (gal), yang tetap konstan.
4. Simbol x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah (lbs) polusi masing-
masing di kolam 1, 2, 3,.
Polutan fluks adalah laju aliran konsentrasi polusi, misalnya, kolam 1
dikosongkan dengan fluks f1 kali x1 (t) / V1. Sebuah analisis kompartemen
diringkas dalam diagram berikut.
Diagram ditambah kompartemen analisis diberikan oleh persamaan
diferensial berikut.
𝑥′
1( 𝑡) =
𝑓3
𝑉3
𝑥3( 𝑡) −
𝑓1
𝑉1
𝑥1( 𝑡) + 𝑓(𝑡)
𝑥′
2(𝑡) =
𝑓1
𝑉1
𝑥1( 𝑡) −
𝑓2
𝑉2
𝑥2( 𝑡)
𝑥′3 =
𝑓2
𝑉2
𝑥2( 𝑡) −
𝑓3
𝑉3
𝑥3( 𝑡)
c. Arus nutrisi dalam Aquarium
Pertimbangkan sebuah kapal dari air yang mengandung isotop
radioaktif, yang akan digunakan sebagai pelacak untuk rantai makanan,
yang terdiri dari varietas plankton air A dan B.
Plankton adalah organisme air yang melayang dengan arus, biasanya
di lingkungan seperti Chesapeake Bay. Plankton dapat dibagi menjadi
dua kelompok, fitoplankton dan zooplankton. fitoplankton yang
tanaman seperti drifter: diatom dan alga lainnya. Zooplankton yang mirip
binatang drifter: copepoda, larva, dan krustasea kecil.

Misal :
x (t) = konsentrasi isotop dalam air,
y (t) = konsentrasi isotop di A
z (t) = konsentrasi isotop di B.
d. Pestisida di Tanah dan Pohon
Sebuah Washington cherry di kebun disemprot dengan pestisida.
Asumsikan bahwa jumlah pestisida disemprotkan pada tanah tidak
diperhatikan. Pestisida yang disemprotkan pada pohon memiliki tingkat
pengaliran tertentu untuk tanah, dan sebaliknya, pestisida di dalam tanah
memiliki tingkat penyerapan tertentu ke dalam pohon. Pestisida digunakan
secara berulang untuk mengontrol serangga, yang berarti tingkat
penggunaan pestisida di pohon-pohon bervariasi dengan waktu. Quantize
pestisida penyemprotan sebagai berikut.
x (t) = jumlah pestisida di pohon-pohon,
y (t) = jumlah pestisida dalam tanah,
r (t) = jumlah pestisida disemprotkan pada pohon,
t = waktu dalam tahun.

Sebuah model diperoleh dari analisis input-output, mirip dengan
model tangki air garam:
𝑥′( 𝑡) = −2𝑥( 𝑡) − 𝑦( 𝑡) + 𝑟( 𝑡)
𝑦′( 𝑡) = −2𝑥( 𝑡) − 3𝑦( 𝑡)
Dalam kebun buah-buahan murni, data awal x (0) = 0, y (0) = 0, karena
pohon dan tanah awalnya tidak mengandung pestisida. Solusi dari model
jelas tergantung pada r (t). Ketergantungan homogen diperlakukan dengan
metode variasi parameter infra. rumus perkiraan adalah
𝑥(𝑡) ≈ ∫ (1.10 𝑒1.6( 𝑡−𝑢)
− 0.12 𝑒−2.6( 𝑡−𝑢)
)
𝑡
0
𝑟( 𝑢) 𝑑𝑢
𝑦(𝑡) ≈ ∫ (0.49 𝑒1.6( 𝑡−𝑢)
− 0.49 𝑒−2.6( 𝑡−𝑢)
)
𝑡
0
𝑟( 𝑢) 𝑑𝑢
Tingkat eksponensial 1,6 dan -2,6 masing-masing mewakili akumulasi
pestisida ke dalam tanah dan pembusukan pestisida dari pepohonan. Tingkat
aplikasi r (t) adalah langkah fungsi yang sama dengan konstanta positif pada
interval kecil dari waktu dan nol di tempat lain, atau jumlah fungsi tersebut,
mewakili aplikasi pestisida periodik.
3. Kimia
a. Brine Tank Cascade
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume
sebesar m, n, p seperti yang terlihat pada gambat berikut.
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan r, kemudian A mengalir ke B
dengan kecepatan r, selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan r.

Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan r. Hal tersebut
menyebabkan volume tangki tetap konstan.
Misalkan 𝑟 = 𝑎 untuk menggambarkan ide di atas. Kita asumsikan terjadi
pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang berarti
konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama.
Misal 𝑥1( 𝑡), 𝑥2( 𝑡), 𝑥3( 𝑡) menunjukkan jumlah garam pada waktu t di setiap
tangki. Tambahkan ke tangki A air yang tidak mengandung garam. Karena
itu, garam di semua tank akhirnya hilang dari saluran air. Cascade
dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑀𝑎𝑠𝑢𝑘𝑎𝑛 − 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝐾𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen
dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
𝑥′1 = −
𝑎
𝑚
𝑥1
𝑥′2 =
𝑎
𝑚
𝑥1 −
𝑤
𝑛
𝑥4
𝑥′3 =
𝑎
𝑛
𝑥1 −
𝑎
𝑝
𝑥4
b. Daur Ulang Brine Tank Cascade
Misal tank air garam A, B, C diberi volume a, b, c, masing-masing, sebagai
pada gambar berikut ini.
Misalkan cairan mengalir dari tangki A ke B pada tingkat r, mengalir dari
tangki B ke C pada tingkat r, kemudian mengalir dari tangki C ke A pada
tingkat r. Tangki volume tetap konstan karena daur ulang cairan konstan.
Untuk tujuan ilustrasi, misalkan r = m.

Diasumsikan terjadi pengadukan seragam pada masing-masing tangki,
yang berarti konsentrasi garam seragam pada setiap tangki.
Misal x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah garam pada waktu t di setiap
tangki. Tidak ada garam yang hilang dari sistem, karena daur ulang.
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan
dengan sistem non-segitiga.
𝑥′1 = −
𝑚
𝑎
𝑥1 +
𝑚
𝑐
𝑥3
𝑥′2 =
𝑚
𝑎
𝑥1 −
𝑚
𝑏
𝑥2
𝑥′3 =
𝑎
𝑏
𝑥2 −
𝑎
𝑐
𝑥3
4. Ekonomi
Peramalan Harga
Sebuah produsen kosmetik memiliki kebijakan pemasaran berdasarkan harga
x (t) sampo salon nya.
Strategi pemasaran untuk sampo adalah untuk mengatur harga x (t) secara
dinamis untuk menggambarkan permintaan pada produk. Persediaan yang
diperlukan rendah akan mengurangi biaya keseluruhan produk.
Produksi P (t) dan penjualan S (t) diberikan dalam hal harga x (t) dan perubahan
harga x '(t) dengan persamaan
𝑃( 𝑡) = 4 −
3
4
𝑥( 𝑡) − 8𝑥′( 𝑡) (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑘𝑠𝑖)
𝑆( 𝑡) = 15 − 4𝑥( 𝑡) − 2𝑥′( 𝑡) (𝑃𝑒𝑛𝑗𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛)

Persamaan diferensial untuk harga x(t) dan tingkat persediaan I (t) adalah
𝑥′( 𝑡) = 𝑘( 𝐼( 𝑡) − 𝐼0)
𝐼′( 𝑡) = 𝑃( 𝑡) − 𝑆(𝑡)
Tingkat persediaan 𝐼0 = 50 merupakan tingkat yang diinginkan. persamaan
dapat ditulis dalam hal x (t), I (t) sebagai berikut.
𝑥′( 𝑡) = 𝑘𝐼( 𝑡) − 𝑘𝐼0
𝐼′( 𝑡)
=
13
4
𝑥( 𝑡) − 6𝑘𝐼( 𝑡) + 6𝑘𝐼0 − 11
Jika 𝑘 = 1, 𝑥(0) = 10 𝑑𝑎𝑛 𝐼(0) = 7, maka solusinya adalah
𝑥( 𝑡) =
44
13
+
86
13
𝑒−13𝑡 /2
𝐼( 𝑡) = 50 + 43𝑒−13𝑡/2
Perkiraaan harga 𝑥( 𝑡) ≈ 3.39 𝑑𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 pada tingkat persediaan 𝐼( 𝑡) ≈
50didasarkan pada dua limit
lim
𝑡→∞
𝑥(𝑡) =
44
13
, lim
𝑡→∞
𝐼(𝑡) = 50
5. Transportasi (pengangkutan barang)
Hutan Nasional di Amerika Serikat tidak memiliki akses login untuk
jalan. Pada saat di lakukan penebangan maka menggunakan helikopter untuk
memindahkan pohon yang ditebang ke area pemuatan terdekat untuk diangkut
menggunakan truk ke pabrik. Pohon yang ditebang dibawa dengan
disangkutkan pada tali/kabel yang tersambung pada helikopter. Sekali angkut
dapat mengankut dua pohon menggunakan sebuah bandul yang terosilasi
(ombang-ambing) selama penerbangan. Sudut osilasi yang terbentuk ialah
𝜃1, 𝜃2 yang terhubung oleh kabel dan diukur dari vektor gaya gravitasi
sehingga memenuhi sistem persamaan diferensial sebagai berikut, diamana g
adalah tetapan gravitas m1, m2 menunjukkan massa dari dua pohon dan L1, L2
adalah panjang kabel

(𝑚1 + 𝑚2)L1
2 𝜃1
n+ 𝑚2 𝐿1L2 𝜃2
n + (𝑚1 + 𝑚2)L1g𝜃1 = 0
𝑚2 𝐿1L2 𝜃2
n + 𝑚2L2
2 𝜃2 + 𝑚2L2g𝜃2 = 0
Model ini diturunkan menjadi perpindahan yang lebih kecil 𝜃1, 𝜃2 yaitu
sin 𝜃 ≈ 𝜃 untuk kedua sudut, dengan menggunakan diagram berikut.
Panjang L1 dan L2 menyesuaikan pada setiap perjalanan yang ditempuh dan
panjang pohon, sehingga pohon tidak bertabrakan satu sama lain saat diangkut
helikopter. Terkadang dalam sekali mengangkut apabila pohon kecil maka
dapat tiga atau lebih bandul yang digunakan, yang diperhatikan dalam
pengangkutan adalah ketebalan pohon karena kabel yang digunakan
menyesuaikan dengan tebal pohon.
Vektor- Model Matriks. Sudutnya 𝜃1, 𝜃2 memenuhi order kedua persamaan
vektor-matriks
(
(𝑚1 + 𝑚2)𝐿1 𝑚2 𝐿2
𝐿1 𝐿2
)(
𝜃1
𝜃2
)
′′
= − (
𝑚1 𝑔 + 𝑚2 𝑔 0
0 𝑔
) (
𝜃1
𝜃2
) .
Sistem ini ekuivalen dengan oder kedua sistem
(
𝜃1
𝜃2
)
′′
= (
−
𝑚1 𝑔+𝑚2 𝑔
𝐿1 𝑚1
𝑚2 𝑔
𝐿1 𝑚1
𝑚1 𝑔+𝑚2 𝑔
𝐿2 𝑚1
−
(𝑚1+𝑚2)𝑔
𝐿2 𝑚1
) (
𝜃1
𝜃2
)

LATIHAN PERSAMAAN SOAL
1. Sebuah bangunan bertingkat dua mempunyai massa dengan m1 = m2 = 5000kg,
kekakuan kolom k1 = k2 =5000kg/s2 dan redaman c1 = c1 = 5000kg/ s2.
Bangunan ini dipengaruhi gaya luar dengan F1= 10.000et dan F2= 5.000et.
tentukan besar simpangan pada setiap tingkat?
Penyelesaian:
SPDL dari contoh soal diatas yaitu
𝑦̈1 + 2𝒚̇ 1 − 𝑦̇2 + 2𝑦1 − 𝑦2 = 2𝑒 𝑡
........(3.5)
𝑦̈2 + 𝑦̇1 + 𝑦̇2 − 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑒 𝑡
.....(3.6)
Diubah dalam polinomial operator D, dimana 𝐷 =
𝑑
𝑑𝑡
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et (3.7)
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et (3.8)
Eliminasi variabel tak bebas
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et | (D-1) |
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et | (D2 +2D+2) |
(D4+4D3+6D2+4D+1)=4et
Atau
𝑑4
𝑦2
𝑑𝑡4 + 4
𝑑3
𝑦2
𝑑𝑡3 + 6
𝑑2
𝑦2
𝑑𝑡2 + 4
𝑑𝑦2
𝑑𝑡
+ 𝑦2 = 4𝑒 𝑡
(3.9)
Kemudian menghitung y2 yaitu mencari solusi umum dari PD:
( 𝐷2
+ 4𝐷3
+ 6𝐷2
+ 4𝐷 + 1) 𝑦2 = 4𝑒 𝑡
PD linier homogen dari PD ini adalah ( 𝐷2
+ 4𝐷3
+ 6𝐷2
+ 4𝐷 + 1) 𝑦2 = 0
Persamaan karakteristiknya adalah 𝑟4
+ 4𝑟3
+ 6𝑟2
+ 4𝑟 + 1 = 0

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟3 = 𝑟4 = −1
Solusi homogennya adalah 𝑦2ℎ = 𝑐1 𝑒−𝑡
+ 𝑐2 𝑥𝑒−𝑡
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
+ 𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
Untuk mencari solusi khususnya, kita gunakan metode koefisien tak tentu.
Solusi khususnya diambil 𝑦2 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑡
Diperoleh 𝑦′2 𝑝 = 𝑦′′2 𝑝 = 𝑦′′′2 𝑝 = 𝑦 𝑖𝑣
2
𝑝 = 𝐴𝑒 𝑡
dan disubtitusikan ke (3.10)
didapat
𝐴𝑒 𝑡
+ 4𝐴𝑒 𝑡
+ 6𝐴𝑒 𝑡
+ 4𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐴𝑒 𝑡
= 4𝑒 𝑡
16𝐴𝑒 𝑡
= 4𝑒 𝑡
𝐴 =
4𝑒 𝑡
16𝑒 𝑡
𝐴 =
1
4
Jadi 𝑦2 𝑝 =
1
4
𝑒 𝑡
Jadi solusi umum (3.9)
𝑦2 = 𝑦2ℎ + 𝑦2 𝑝 = 𝑐1 𝑒−𝑡
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
+ 𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
+
1
4
𝑒 𝑡
Untuk menghitungvariabel tak bebas yang lain yaitu 𝑦1, masukkan 𝑦2 ke dalam
salah satu dari sistem ini:
Dipilih persamaan (3.8):
𝑦1 =
−𝐷2
− 𝐷 − 1
𝐷 − 1
𝑦2 − 𝑒 𝑡
= ( 𝐷 − 1)(𝑐1 𝑒−𝑡
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
+ 𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
+
1
4
𝑒 𝑡
) − 𝑒 𝑡
= −𝑐1 𝑒−𝑡
− 𝑐2 𝑥𝑒−𝑡
− 𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
− 𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
+
1
4
𝑒 𝑡
− 𝑐1 𝑒−𝑡
−
𝑐2 𝑥𝑒−𝑡
− 𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
− 𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
−
1
4
𝑒 𝑡
− 𝑒 𝑡
= 2𝑐1 𝑒−𝑡
− 2𝑐2 𝑥𝑒−𝑡
− 2𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
− 2𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
− 𝑒 𝑡
Jadi solusi umum sistem PD linier tak homogen ini adalah

𝑦1 = 2𝑐1 𝑒−𝑡
− 2𝑐2 𝑥𝑒−𝑡
− 2𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
− 2𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
− 𝑒 𝑡
𝑦2 = 𝑐1 𝑒−𝑡
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒−𝑡
+ 𝑐4 𝑥3
𝑒−𝑡
+
1
4
𝑒 𝑡
2. Perhatikan gambar dibawah ini :
Ketiga kolam di atas memiliki volume yang sama yaitu sebesar 2.000 gal. Pada
awalnya, tiga kolam di atas dalam keadaan murni (tanpa polusi). Kemudian
kolam-kolam tersebut diisi diberi polusi yang dialirkan dari kolam pertama
dengan laju 0,125 lb/min. Polusi tersebut kemudian menyebar dari koalm
pertama ke kolam dua kemudian ke kolam tiga dengan tingkat aliran sebesar 2
gal/min. Tentukan jumlah polusi dalam kolam jika dibiarkan selama 48 jam
(2880 menit) !
Jawab
Diketahui: 𝑓 (𝑡) = 0.125 𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛
𝑓𝑖
𝑉𝑖
=
2
2000
= 0.001
Masalah diatas dapat ditulis dalam sistem persamaan diferensial, sebagai
berikut :
𝑥′
1( 𝑡) = 0.001 𝑥3( 𝑡) − 0.001 𝑥1( 𝑡) + 0,125
𝑥′
2( 𝑡) = 0.001 𝑥1( 𝑡) − 0.001 𝑥2( 𝑡)
𝑥′
3( 𝑡) = 0.001 𝑥2( 𝑡) − 0.001𝑥3( 𝑡)
𝑥1(0) = 𝑥2(0) = 𝑥3(0) = 0
Solusi untuk sistem ini adalah
𝑥2𝑥1

𝑥1( 𝑡) = 𝑒
−
3𝑡
2000 (
125√3
9
𝑠𝑖𝑛 (
√3𝑡
2000
) −
125
3
𝑐𝑜𝑠 (
√3𝑡
2000
)) +
125
3
+
𝑡
24
𝑥2( 𝑡) = −
250 √3
9
𝑒
−
3𝑡
2000 𝑠𝑖𝑛 (
√3𝑡
2000
) +
𝑡
24
𝑥3( 𝑡) = 𝑒
−
3𝑡
2000 (
125
3
𝑐𝑜𝑠 (
√3𝑡
2000
) +
125√3
9
𝑠𝑖𝑛 (
√3𝑡
2000
)) +
𝑡
24
−
125
3
Setelah 48 jam berlalu, jumlah polusi perkiraan dalam pound adalah
𝑥1(2880) = 162.30, 𝑥2(2880) = 119.61, 𝑥3(2880) = 78.08.
Catatan : Perlu diketahui bahwa sistem di atas diubah dengan mengganti 0.125
dengan nol, untuk memprediksi keadaan kolam setelah 48 jam.
Sesuai dengan sistem homogen yang memiliki solusi ekuilibrium
𝑥1( 𝑡) = 𝑥2( 𝑡) = 𝑥3( 𝑡) = 120. solusi konstan ini adalah batas di
tak terhingga dari solusi untuk sistem homogen,menggunakan nilai
awal 𝑥1(0) ≈ 162.30, 𝑥2(0) ≈ 119,61, 𝑥3(0) ≈ 78,08.
3.
Pada aquarium di atas diasumsikan mengandung isotop radioktif untuk
melacak rantai makanan pada plankton air. Plaktok air pada aquarium di
atas termasuk pada kelompok fitoplanton yakni diatom dan alga.
Konsentrasi isotop rdiaoaktif pada aquarium digambarkan oleh sistem
sebagai berikut :
𝑥′( 𝑡) = −3𝑥( 𝑡) + 6𝑦( 𝑡) + 5𝑧(𝑡)

𝑦′( 𝑡) = 2𝑥( 𝑡) − 12𝑦( 𝑡)
𝑧′( 𝑡) = 𝑥( 𝑡) + 6𝑦( 𝑡) − 5𝑧(𝑡)
𝑥(0) = 𝑥0, 𝑦(0) = 0, 𝑧(0) = 0
Tentukan solusi dari sistem dan juga konsentrasinya !
Jawab :
Solusi dari sistem persaaan diferensial yang menggambarkan kandungan
radiokatif di atas adalah
𝑥( 𝑡) = 6𝑐1 + (1 + √6)𝑐2 𝑒(−10+√6) 𝑡
+ (1 − √6)𝑐3 𝑒(−10−√6) 𝑡
𝑦( 𝑡) = 𝑐1 + 𝑐2 𝑒(−10+√6) 𝑡
− 𝑐3 𝑒(−10−√6) 𝑡
𝑥( 𝑡) =
12
5
𝑐1 − (2 + √1.5)𝑐2 𝑒(−10+√6) 𝑡
+ (−2 + √1.5)𝑐3 𝑒(−10−√6) 𝑡
Konstanta 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 terkait dengan isotop radioaktif awal.
Konsentrasi 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑦(0) = 0, 𝑧(0) = 0, dengan sistem 3 × 3 dari
persamaan aljabar linier adalah
6𝑐1 + (1 + √6)𝑐2 + (1 − √6)𝑐3 = 𝑥0
𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 = 0
12
5
𝑐1 − (2 + √1.5)𝑐2 + (−2 + √1.5)𝑐3 = 0
4. Perhatikan gambar dibawah ini
40
60
20
r = 10
r = 10
A
B
C

Air masuk pada tangki A dengan kecepatan 10 , kemudian A mengalir ke B
dengan kecepatan10 , selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan 10.
Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan 10. Hal tersebut
menyebabkan volume tangki tetap konstan. Kita asumsikan terjadi
pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang berarti
konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama. Tentukan model matematika
cascade dan solusinya !
Jawab :
Cascade dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑀𝑎𝑠𝑢𝑘𝑎𝑛 − 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝐾𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen
dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
𝑥′1 = −
1
2
𝑥1
𝑥′2 =
1
2
𝑥1 −
1
4
𝑥2
𝑥′3 =
1
4
𝑥2 −
1
6
𝑥3
Solusinya diberikan oleh persamaan :
𝑥1( 𝑡) = 𝑒−
𝑡
2
𝑥2( 𝑡) = −2𝑒
−
𝑡
2 + 2𝑒
−
𝑡
4
𝑥3( 𝑡) =
3
2
𝑒
−
𝑡
2 − 6𝑒
−
𝑡
4 + 6 𝑒
−
𝑡
6
Perhatikan :

𝑥1( 𝑡) = 𝑒
−
𝑡
2
𝑥′1( 𝑡) = −
1
2
𝑒
−
𝑡
2
𝑥2( 𝑡) = −2𝑒
−
𝑡
2 + 2𝑒
−
𝑡
4
𝑥′2( 𝑡) = 𝑒
−
𝑡
2 −
1
2
𝑒
−
𝑡
4
𝑥3( 𝑡) =
3
2
𝑒
−
𝑡
2 − 6𝑒
−
𝑡
4 + 6 𝑒
−
𝑡
6
𝑥′3( 𝑡) = −
3
4
𝑒
−
𝑡
2 +
3
4
𝑒
−
𝑡
4 − 𝑒
−
𝑡
6
𝒙′ 𝟏 = −
𝟏
𝟐
𝒙 𝟏 → −
1
2
𝑒
−
𝑡
2 = −
1
2
𝑒
−
𝑡
2
𝒙′ 𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒙 𝟏 −
𝟏
𝟒
𝒙 𝟐 → 𝑒
−
𝑡
2 −
1
2
𝑒
−
𝑡
4 =
1
2
𝑒
−
𝑡
2 −
1
4
(−2𝑒
−
𝑡
2 + 2𝑒
−
𝑡
4 )
=
1
2
𝑒
−
𝑡
2 +
1
2
𝑒
−
𝑡
2 +
1
2
𝑒
−
𝑡
4)
= 𝑒
−
𝑡
2 −
1
2
𝑒
−
𝑡
4
𝒙′ 𝟑 =
𝟏
𝟒
𝒙 𝟐 −
𝟏
𝟔
𝒙 𝟑 → −
3
4
𝑒
−
𝑡
2 +
3
4
𝑒
−
𝑡
4 − 𝑒
−
𝑡
6 =
1
4
(−2𝑒
−
𝑡
2 + 2𝑒
−
𝑡
4 −
1
6
(
3
2
𝑒
−
𝑡
2 − 6𝑒
−
𝑡
4 + 6 𝑒
−
𝑡
6 )
= −
3
4
𝑒
−
𝑡
2 +
3
4
𝑒
−
𝑡
4 − 𝑒
−
𝑡
6
5. Pada tank air garam A, B, Cmasing-masing diisi dengan jumlah volume seperti
yang terlihat pada gambat berikut.
A
60
B
20
C
60

Kecepatan air masuk pada tangki A, kemudian A mengalir ke B dengan
selanjunya B mengalir ke C, terakhir dari tangki C mengalir ke A sebesar
10. Tentukan model matematika untuk masalah di atas dan tentukan
solusinya !
Jawab:
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan
dengan sistem non-segitiga.
𝑥′1 = −
1
6
𝑥1 +
1
6
𝑥3
𝑥′2 =
1
6
𝑥1 −
1
3
𝑥2
𝑥′3 =
1
3
𝑥2 −
1
6
𝑥3
Solusi diberiakan oleh persamaan
𝑥1( 𝑡) = 𝑐1 + ( 𝑐2 − 2𝑐3) 𝑒
−
𝑡
3 cos (
𝑡
6
)+ (2𝑐2 + 𝑐3) 𝑒
−
𝑡
3 sin (
𝑡
6
)
𝑥2( 𝑡) =
1
2
𝑐1 + (−2𝑐2 − 𝑐3) 𝑒−
𝑡
3 cos (
𝑡
6
) + ( 𝑐2 − 2𝑐3) 𝑒−
𝑡
3 sin (
𝑡
6
)
𝑥3( 𝑡) = 𝑐1 + ( 𝑐2 + 3𝑐3) 𝑒
−
𝑡
3 cos (
𝑡
6
)+ (−3𝑐2 + 𝑐3) 𝑒
−
𝑡
3 sin (
𝑡
6
)

KESIMPULAN
Sistem persamaan differensial merupakan salah satu persamaan yang banyak
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang ilmu pengetahuan,
misalnya dalam bidang sains dan teknik.
Salah satu contoh penggunaan persamaan diferensial linier dalam bidang
teknik adalah untuk menentukan simpangan horizontal tingkat pada sebuah
bangunan. Apabila bangunan itu mempunyai struktur MDOF maka model
matematika yang terbentuk adalah sistem persamaan diferensial linier (SPDL).
Pada bidang sains, persamaan diferensial dapat digunkana untuk
menyelesaiakan permasalahan-permasalahan pada bidang seperti kimia maupun
biologi. Pada biologi, sistem persamaan diferensial dapat digunkan untuk
mengetahui interksi dalam popolasi, kemudian mengetahui ekosistem hewan
maupun tumbuhan, tentang pestisida maupun polusi. Sedangkan pada kimia, dapat
digunakan untuk mengetahui konsentari garam dan sebagainya.
Selain dua bidang di atas, sistem persaam diferensial juga berguna dalam
bidang seperti ekonomi dan transportasi. Dalam bidang ekonomi, sistem persamaan
diferensial dapat digunakan untuk meramalkan harga. Sedangkan pada bidang
traspotasi, sistem persaaan diferensial dapat dimanfaatkan dalam proses
pengangukatan barang, seperti pengankutan kayu oleh helikopter.

DAFTAR PUSTAKA
Baiduri. 2004. Persamaan Diferensial. Malang : UMM Press
Firia, Vivi A. 2011. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey
dengan Perlambatan. Volume 2 Nomor 1 November 2011. ( )
Hendri, Yon dkk. Teknik Baru Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial
Linear Orde Satu Nonhomogen. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
Oktaviani, Rizka dkk. 2014. Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Diferensial
Non Linear Dengan Metode Heun Pada Model Lotka-Volterra. Volume 03,
No. 1 (2014), hal 29 – 38. ( )
Redjeki, Sri. 2009. DIKTAT KULIAH MA2271 METODA MATEMATIKA Semester
II 2009/2010. Prodi Matematika Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung.
( )
Yunitasari, Leni D. 2007. Aplikasi SPDL pada MDOF (Multi Degree Of Freedom).
Skripsi. Universitas Muhammadiya Malang. (ta.umm.ac.id diakses pada 10
Juni 2016)
http://www.math.utah.edu/~gustafso/2250systems-de.pdf

SPD Linier

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to SPD Linier

Similar to SPD Linier (20)

More from SMPNegeri12

More from SMPNegeri12 (9)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

SPD Linier