2. Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier
simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang
tak diketahui.
a11x1 a1n xn
b1
a21x1 a2n xn
Bentuk umum:
b2
. . . . . . . . . . .
am1x1 amn xn bm
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak
diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya
merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut
sistem persamaan homogen
3. Sistem Persamaan Linier
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set
nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak
penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem
persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai
satu solusi?
4. Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
a11x1 a1n xn
b1
a21x1 a2n xn
b2
. . . . . . . . . . .
am1x1 amn xn bm
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut
operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan
dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan
sistem persamaan tersebut.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini
tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu
himpunan sistem persamaan.
6. Sistem Persamaan Linier
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan
memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
a11 a12
a21 a22
am1 am 2
atau secara singkat
dengan
A
a11 a12
a21 a22
am1 am 2
a1n
a2 n
amn
x1
x2
xn
b1
b2
bm
Ax b
a1n
a2n
amn
; x
x1
x2
xn
; b
b1
b2
bm
7. Sistem Persamaan Linier
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu
matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan
menggandengkan matriks A dengan b menjadi
~
A
a11 a12
a21 a22
am1 am 2
a1n
a2 n
amn
| b1
| b2
|
| bm
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara
lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita
terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan
faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
8. Sistem Persamaan Linier
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks
gandengan yang lama.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan
menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan
matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem
persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
10. Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk
memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan
merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier,
maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Contoh:
Suatu sistem persamaan linier:
xA
xA
xA
xA
xB
8
4 xB
3 xB
4 xB
2 xC
5 xC
3xC
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
1
1
1
1
4
3
0
2
5
0
0
2
1
4
3
2
xA
xB
xC
xD
8
0
8
0
0
2 xD
2 xD
8
0
11. Sistem Persamaan Linier
1 1 1 1 0 0 0x A | 88
0
Matriks gandengnya 1 1 4 2 2 0x | 00
4
0
B
adalah:
x
1 1 3 3 5 2 2C | 88
5
1 1 4 3 3 2xD | 00
4
2
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil
baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris
berikutnya menjadi bernilai nol.
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan
dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris
ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil
operasi ini adalah
1
0
0
0
1
3
2
3
0
2
5
3
0
| 8
pivot
0
| 8
( baris1)
2 | 0
( baris 1)
2
| 8
( baris 1)
12. Sistem Persamaan Linier
1
0
0
0
1
1
3
0
0
1
32
0
0
0
2
|0 8 | 8 pivot
|0 8 | 8 ( baris1)
5 2 | 20 | 0 ( baris 1)
2
0
3
0
5
2
33
2
3
|2 8 | 8 ( baris 1)
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks
gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku
kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan
mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke
baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi
ini adalah
1
1
0
3
0
0
0
0
0
2
5 4/3
1
0
|
8
0
|
8
2 | 16 / 3
2
|
0
(pivot)
( 2/3 baris 2)
(-baris 2)
14. Sistem Persamaan Linier
1
1
0
0
3
0
11
0
0
1
|
8
0
2
0
0
|
8
6 | 16
2
|
0
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai
pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat
kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian
menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
1
1
0
0
3
2
0
0
11
0
0
0
0
|
8
0
|
8
6 | 16
16
| 16
pivot
11 baris 3
15. Sistem Persamaan Linier
1
Hasil terakhir
langkah ketiga
adalah:
1
0
0
3
2
0
0
11
0
0
0
0
|
8
0
|
8
6 | 16
16
| 16
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
1
0
0
1 0
3
2
0 11
0
0
0
0
0
6
16
xA
xB
xC
xD
8
8
16
16
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
xA
3 xB
xB
8
2 xC
11xC
6 xD
16xD
16
8
16
yang dengan substitusi
mundur akan memberikan:
xD
1 ; xC
2 ; xB
4 ; xA
12
17. Sistem Persamaan Linier
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak
dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling
bergantungan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka
sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu
memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem
menjadi tertentu berlebihan.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak)
sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan
solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
19. Sistem Persamaan Linier
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
xA
xB
3 xB
0
8
2 xC
8
0
Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan xB
yang kemudian memberikan x A
(8 2xC ) / 3
8 (8 2 xC ) / 3
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak
solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita
menentukan nilai xC lebih dulu
20. Sistem Persamaan Linier
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
xA
Contoh:
xB
xA
8
4 xB
3 xB
2 xC
2 xC
0
10
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
1
1
0
1
4
3
0
|
8
1
2 |
0
0
10
0
2
|
1
1
0
3
0
0
0
1
3
3
|
8
2 |
8
0
|
2
0
|
8
2 |
8
2
|
10
21. Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
xA
3 xB
0
xB
2 xC
8
8
2
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya
menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau
tidak memberikan solusi.
22. Sistem Persamaan Linier
Bentuk Eselon
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk
eselon.
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks
gandengannya adalah
1
1
0
3
0
0
0
2
0
Secara umum bentuk
eselon matriks
gandengan adalah
1
1
0
3
0
dan
0
0
|
8
2 |
8
0
|
2
a11 a12 a1n |
0 c22 c2n |
|
b1
b2
krr krn | br
0 | br 1
|
0
|
bm
23. Sistem Persamaan Linier
dan sistem yang
telah tereduksi
pada langkah akhir
eliminasi Gauss
akan berbentuk
a11x1
a12 x2 a1n xn
c22 x2 a2n xn
b1
b2
krr xr
krn xn
0
br
br 1
0
dengan a11
0, a22
bm
0 , krr
0 , dan r n
Perhatikan bentuk ini:
a). Jika r n dan br 1 , , bm sama dengan nol atau tidak ada,
maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika r n dan br 1,, bm sama dengan nol atau tidak ada,
maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika r n ataupun r n dan br 1,, bm tidak sama dengan nol
atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan
solusi.
24. Sistem Persamaan Linier
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika br 1,, bm
sama dengan nol atau tidak ada.
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan
solusi terjadi jika r n .
Jika r
n persamaan akan memberikan banyak solusi.
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya
vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian
tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
26. Sistem Persamaan Linier
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Misalkan a1 , a2 , am
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
c1a1 c2a2 cmam
0
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien
(c1
cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien
yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada
satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
tidak bebas linier.
27. Sistem Persamaan Linier
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier,
maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena
dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk
dapat dipenuhi.
Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada
persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak
bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari vektor yang lain.
Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
a1
c2
cm
a2
am
c1
c1
0
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
28. Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Dua vektor baris
a1
2 3 1 2
dan a2
4 2 6 2
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
c1a1 c2a2
c1 2 3 1 2
c2 4 2 6 2
c1
hanya akan terjadi jika
Ambil vektor ketiga a3
c2
0
0
4 6 2 4
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3
sebagai
a3 2a1 2 2 3 1 2 4 6 2 4
Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan
a3 sebagai
a3
2a1 0a2
22 3 1 2
04 2 6 2
4 6 2 4
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah
bebas linier.
30. Sistem Persamaan Linier
Rank Matriks
Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank
matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk]
disebut rank matriks A disingkat rank A.
Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara
baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks.
Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu
sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir
eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
31. Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
1
1
0
0
1
0
0
3
2
0
0
11
0
0
0
0
3
2
0
0
11
6
0
0
0
16
dan
1
0
0
|
8
0
|
8
6 | 16
16
| 16
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks
gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
32. Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
1
1
0
3
0
0
1
0
2
0
dan
1
0
3
0
0
0
| 8
2 | 8
0
| 0
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank
matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
33. Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
1
1
0
3
0
0
0
2
0
1
dan
1
0
3
0
0
0
|
8
2 |
8
0
|
2
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan
rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2
sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak
samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak
adanya solusi.
34. Sistem Persamaan Linier
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas
ternyata berlaku umum.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank
matriks koefisien harus sama dengan rank matriks
gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank
matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak
diketahui;
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang
tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
