Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran

21,492 views

Published on

  • Be the first to comment

Persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran

  1. 1. PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARANTujuan PembelajaranKompetensi Dasar :- Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah.Standar Kompetensi :Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat :- merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b).- menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui.- menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu.- menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran.- menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.Pengertian Irisan KerucutMenurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapattiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yangmempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes.MateriA. Persamaan Lingkaran1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r
  2. 2. Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalahproyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, makaOP =√OP’)2+(PP’)2Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = yr = √x2+y2r2 = x2 + y2x2 + y2 = r2Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :x2+y2 = r22. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r
  3. 3. Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusatA(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitigasiku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :AP = √(AP’)2 + (PP’)2r2 = √(x – a)2 + (y – b)2r2 = (x – a)2 + (y – b)2(x – a)2 + (y – b)2 = r2Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik,sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :(x – a)2 + (y – b)2 = r2B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk baku persamaan lingkaran :● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :L ≡ x2+y2 = r2● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalahL ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun,diperoleh :L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2)dan jari-jari r = 4.
  4. 4. Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)atauAx2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 02. Menentukan Pusat dan Jari-jari LingkaranCara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahuiadalahL ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C4444L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C4444Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :● Pusat lingkaran di (-A)B● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C44C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
  5. 5. ● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari rGaris singgung dapat ditentukan sebagai berikut :1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1x12. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennyamg = -1 = -1 = -x1Mop y1 y13. Persamaan garis singgung g :y – y1 = mg (x – x1)y – y1 = x1 (x – x1)y1y1y – y12 = - x1x + x12x1x + y1y = x12 + y12x1x + y1y = r2Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaranditentukan dengan rumus :x1x + y1y = r2• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r
  6. 6. Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - bx1 - a2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalahmg = -1 = - x1 - aMap - y1 - b3. Persamaan garis singgung g adalah :y – y1 = mg (x – x1)y – y1 = - x1 - a- y1 - a(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1)x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*)Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku :(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh :x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2(x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2(x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titiksinggung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r22. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
  7. 7. 2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :x2 + (mx + n)2 = r2x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2(1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalahD = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2D = 4 (m2r2 – n2 + r2)3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.4 (m2r2 – n2 + r2) = 0m2r2 – n2 + r2 = 0n2 = r2 (1 + m2)n = ± r √1 + m2Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 + m2Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalahy = mx ± r √1 + m2● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0(1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalahD = {– 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 04(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0(a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 +2bm2n + m2r2 = 0– 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 02amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0(n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0(n + am – b)2 = r2 (1+ m2)(n + am – b) = r √1 + m2n = (–am + b) ± r√1 + m24. Substitusi n = (–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperolehy = mx + (–am + b) ± r √1 + m2
  8. 8. (y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien madalah(y – b) = m(x – a) ± r√1 + m23. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar LingkaranCara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapatdilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.Langkah 1.Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1)atau y = mx – mx1 + y1Langkah 2.Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadratgabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.Langkah 3.Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperolehpersamaan-persamaan garis singgung yang diminta.
  9. 9. Contoh :Persamaan Lingkaran1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)Penyelesaian :Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalahr = √(-3)2 + 52 = √34r2 = 34Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2x2 + y2 = 34Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalahL ≡ x2 + y2 = 342. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)Penyelesaian :Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25Persamaan lingkarannya :(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25Bentuk Umum Persamaan Lingkaran3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0Penyelesaian :L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4Persamaan Garis Singgung Lingkaran4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-3,2)Penyelesaian :Titik (-3,2); x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13-3x + 2y = 135. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)Penyelesaian :Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25
  10. 10. Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 254x – 12 + 3y – 34 = 254x + 3y – 34 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x+ 3y – 34 = 06. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyaigradien 3.Penyelesaian :Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2y = 3x ± 4√10y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalahy = 3x + 4√10 dan 3x – 4√107. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradienm = 5/12Penyelesaian :Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2(y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/1212y + 24 = 5x – 5 ± 395x – 12y – 29 ± 39 = 05x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12adalah5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0

×