Kongruensi kuadratis. untuk Teori Bilangan

1. Kongruensi Kuadratis
ax2+bx+c=0(mod p)

2.  ax2+bx+c=0(mod p)
a0, p prima ganjil, (a,p)=1
a-1ax2+a-1bx+a-1c=0(mod p)
x2+a-1bx+a-1c=0(mod p)
x2+qx+r=0(mod p)
 Contoh.
4x2-9x+5=0(mod 17)
13.4x2-13.9x+13.5=0(mod 17)
x2-117x+65=0(mod 17)
x2+2x+14=0(mod 17)

3.  Teorema. Misalkan k  Z, dan p bilangan prima
ganjil dimana (k,p)=1. Jika kongruensi x2=k(mod p)
dapat diselesaikan, maka terdapat tepat dua
penyelesaian yang tidak kongruen modulo p.
 Contoh. Selesaikan
 x2=5(mod 11)
 x2=11(mod 19)

4.  x2+qx+r=0(mod p)
x2+q.1.x+r=0(mod p)
x2+q.2m.x+r=0(mod p)
x2+q.2m.x+[(qm)2-(qm)2]+r=0(mod p)
(x+(qm))2-(qm)2+r=0(mod p)
(x+(qm))2=((qm)2-r) (mod p)  y2=k(mod p)
 Contoh.
4x2+9x+5=0(mod 17)
x2+2x+14=0(mod 17)
(x+1)2=4(mod 17)
(x+1)=2(mod 17) atau (x+1)=-2(mod 17)

5.  Definisi. Jika k, p  Z, p>0, dan (k,p)=1, maka
a) k disebut residu kuadratis modulo p jika
x2=k(mod p) mempunyai penyelesaian
b) k disebut bukan residu kuadratis modulo p jika
x2=k(mod p) tidak mempunyai penyelesaian
 Definisi. Misalkan p bilangan prima ganjil, k Z,
dan k tidak habis dibagi p. Lambang Legendre [k/p]
didefinisikan dengan
1.[k/p] = 1 jika k adalah residu kuadratis modulo p
2.[k/p] = -1 jika k bukan residu kuadratis modulo p

6.  Teorema (Kriteria Euler) Jika p bilangan prima
ganjil, k Z, dan k tidak habis dibagi p, maka
[k/p] =k(p-1)/2mod(p)
 Teorema (Lemma Gauss) Misalkan k  Z, dan p
bilangan prima ganjil dimana (k,p)=1. Jika r adalah
banyaknya residu terkecil dari k, 2k, 3k, …,[(p-1)/2]k
yang lebih dari p/2, maka [k/p]=(-1)r
 Contoh.
 x2=7(mod 13)
 7, 14,21,28,35,42(mod 13) = 7,1,8,2,9,3(mod 13)
 yang lebih dari 13/2 adalah 1,2 dan 3, maka [7/13]=(-1)3