Ο αγαπητός φίλος Γιώργος Πολύζος (τ. Πάρεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου (Π.Ι) και μέλος της συγγραφικής ομάδας σχολικών βιβλίων) παρουσίασε στη Λιβαδειά 14/10/2018 και Χίο 21/10/2018 το εξής θέμα: "Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (Τα διαδοχικά βήματα από τον ορισμό μέχρι και την πλήρη μελέτη τους)". Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

1. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 1 /19
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
(Τα διαδοχικά βήματα από τον ορισμό μέχρι και την πλήρη μελέτη τους)
ΠΕΡΙΛΗΨΗ:
Όπως είναι γνωστό σε όλους τους διδάσκοντες, η εκθετική συνάρτηση εισάγεται στα
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας της Β΄ Λυκείου με εμπειρικό τρόπο και οι ιδιότητές της,
αλλά και οι ιδιότητες της αντίστροφής της, δηλαδή της λογαριθμικής συνάρτησης, που
αφορούν στη μονοτονία τους και στη συμπεριφορά τους στα άκρα του πεδίου ορισμού
τους δίνονται χωρίς απόδειξη. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζεται η διδασκαλία των
συναρτήσεων αυτών στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου, όπου δηλώνεται
απλώς ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες και δίνονται χωρίς
απόδειξη οι τύποι των παραγώγων τους. Αυτό συμβαίνει για έναν κυρίως λόγο: Διότι
για την αυστηρή εισαγωγή της εκθετικής συνάρτησης και για την απόδειξη των
ιδιοτήτων της, αλλά και των ιδιοτήτων της λογαριθμικής συνάρτησης, απαιτούνται
γνώσεις εννοιών της Ανάλυσης που δεν προβλέπονται από το Πρόγραμμα Σπουδών των
Μαθηματικών του Λυκείου.
Όμως, με την παραπάνω επιλογή παρουσίασης της εκθετικής και της λογαριθμικής
συνάρτησης, εμφανίζονται σχήματα πρωθύστερα. Για παράδειγμα, ζητείται να
αποδειχτούν, με τη βοήθεια των τύπων της παραγώγου της εκθετικής και της
λογαριθμικής συνάρτησης, οι ισότητες:
0
1
lim 1
x
x
e
x

 και
1
ln
lim 1
1x
x
x


,
και με τη βοήθεια των κριτηρίων μονοτονίας και ακροτάτων, οι ανισότητες:
1x
e x, για κάθε x   και 1 0ln x x , για κάθε x ( , )    ,
που είναι προαπαιτούμενα για την εύρεση της παραγώγου των συναρτήσεων αυτών.
Για την αποφυγή τέτοιων πρωθύστερων σχημάτων, αλλά και για το λόγο ότι όλα όσα
αναφέρονται στην εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση είναι διάσπαρτα στα διάφορα
Πανεπιστημιακά Συγγράμματα, θεώρησα ότι θα ήταν χρήσιμη για τους διδάσκοντες μια
συστηματική και αυστηρή παρουσίαση των παραπάνω συναρτήσεων και των ιδιοτήτων
τους.
Για την παρουσίαση των συναρτήσεων αυτών προσπάθησα να στηριχτώ όσο το δυνατόν
περισσότερο στο σχολικό βιβλίο και να χρησιμοποιήσω όσο το δυνατόν λιγότερες
προτάσεις της Ανάλυσης, που δεν υπάρχουν στα σχολικά βιβλία.
Τέλος, θεώρησα σκόπιμο να παρουσιάσω, χωρίς τη χρήση του κανόνα De L’ Hospital,
τον υπολογισμό των ορίων του γινομένου και του πηλίκου της συνάρτησης ( ) ν
h x x ,
(όπου ν 
 ) με την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση, αντιστοίχως, στα σημεία
στο  και στο  και  και 0, αντιστοίχως.
1. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ
Η έννοια της δύναμης με βάση θετικό πραγματικό αριθμό και εκθέτη ρητό, είναι
γνωστή από την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου. Η επέκταση του ορισμού της δύναμης ρ
α ,

2. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 2 /19
για 0α  και ρ , με
μ
ρ
ν
 , με μ και ν 
 , έγινε με τέτοιο τρόπο, ώστε να
ισχύουν οι ιδιότητες των δυνάμεων και για ρητούς εκθέτες (βλ. [5], σελ. 306). Έτσι,
για να ισχύει η ισότητα
νμ μ
ν
μν ν
α α α
 
  
 
, θα πρέπει, σύμφωνα με τον ορισμό της
νιοστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού, να ισχύει η ισότητα
μ
ν μν
α α . ΄Για το λόγο
αυτό δόθηκε ο ακόλουθος ορισμός:
1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ:
 Αν 0α  , τότε για κάθε ρητό αριθμό
μ
ρ
ν
 , με μ και ν 
 , ορίζουμε:
 
μ
μ
νρ μ νν
α α α α  
 Αν 0α  , τότε για κάθε θετικό ρητό αριθμό
μ
ρ
ν
 , με μ,ν 
 ορίζουμε: 0ρ
α 
Ο παραπάνω ορισμός είναι ανεξάρτητος της επιλογής του εκπροσώπου
μ
ν
, με μ
και ν 
 , του ρητού ρ. Πράγματι, αν
μ
ν


, με μ και ν 
 , είναι ένας άλλος
εκπρόσωπος του ρητού ρ, δηλαδή αν
μ μ
ν ν



, τότε θα ισχύει
μ μ
ν ν
α α


 , διότι:
μ μ
νν νν ν νμν μ ν μν μ ν μ μ ν ν
μ μ
μν μ ν α α α α α α α α
ν ν

       

           

.
Με βάση τον παραπάνω ορισμό και με τη χρήση των ιδιοτήτων των δυνάμεων με
ακέραιο εκθέτη και των ιδιοτήτων των ριζών, αποδεικνύονται εύκολα οι ακόλουθες
τρεις προτάσεις:
1.2 ΠΡΟΤΑΣΗ (Ιδιότητες δυνάμεων)
 Αν 0α  , τότε για οποιουσδήποτε 1 2ρ ,ρ  , ισχύουν:
1 2 1 2ρ ρ ρ ρ
α α α 
  ,
1
1 2
2
ρ
ρ ρ
ρ
α
α
α

 και   2
1 1 2
ρρ ρ ρ
α α 

 Αν 0α,β  , τότε για κάθε ρ , ισχύουν:
 
ρ ρ ρ
α β α β   και
ρ ρ
ρ
α α
β β
 
 
 
1.3 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Αν ρ 
 , τότε η συνάρτηση  0ρ
f ( x ) x , x ,    είναι:
 Γνησίως αύξουσα, όταν 0ρ  και
 Γνησίως φθίνουσα, όταν 0ρ  .

3. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 3 /19
1.4 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Αν 0α  με 1α  , τότε η συνάρτηση x
f ( x ) α , x  είναι:
 Γνησίως αύξουσα, όταν 1α  και
 Γνησίως φθίνουσα, όταν 0 1α  .
2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΑΡΡΗΤΟ
Στη συνέχεια δίνουμε μια αναλυτική περιγραφή του «φυσιολογικού» τρόπου ορισμού
της εκθετικής συνάρτησης x
f ( x ) α , με 0α  , επεκτείνοντας τον ορισμό 1.1 για
άρρητους εκθέτες. Η ιδέα για το πώς θα επεκτείνουμε τον ορισμό της δύναμης x
α , με
0α  και x είναι η εξής:
«Αφού για κάθε x υπάρχει ακολουθία  νρ ρητών αριθμών με x  , είναι
αναμενόμενο να ορίσουμε
ν
νρx
α lim α

 ».
Για να είναι, όμως, η δύναμη x
α , καλά ορισμένη, θα πρέπει αφενός η ακολουθία
 νρ
α να είναι συγκλίνουσα στο και αφετέρου το
ν
νρ
lim α

να είναι ανεξάρτητο της
επιλογής της ακολουθίας  νρ που συγκλίνει στον x, δηλαδή, για οποιεσδήποτε
ακολουθίες    καιν νρ σ ρητών αριθμών με καιx x    θα πρέπει να
ισχύει
ν ν
ν νρ σ
lim α lim α
 
  .
Έχουμε λοιπόν να αποδείξουμε την παρακάτω πρόταση:
2.1 ΠΡΟΤΑΣΗ (1):
Αν 0α  και x , τότε για κάθε ακολουθία  νρ ρητών αριθμών με x  η
ακολουθία  νρ
α είναι συγκλίνουσα στο και μάλιστα το
ν
νρ
lim α

είναι ανεξάρτητο
της επιλογής της ακολουθίας  νρ που συγκλίνει στον x, δηλαδή, για οποιεσδήποτε
ακολουθίες  νρ και  νσ ρητών αριθμών με καιx x    ισχύει:
ν ν
ν νρ σ
lim α lim α
 
 
Απόδειξη*:
Αρχικά αποδεικνύουμε το ακόλουθο Λήμμα με τη βοήθεια του οποίου θα αποδείξουμε
στη συνέχεια τη συγκεκριμένη πρόταση.
ΛΗΜΜΑ:
Αν 0α  , τότε για κάθε ακολουθία  νq ρητών αριθμών, με 0q  , ισχύει:
ν
ν
0
1
ν
ν
l qq im
lim α α α

  
(1)
Οι αποδείξεις που φέρουν αστερίσκο μπορούν να παραλειφθούν σε πρώτη ανάγνωση.

4. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 4 /19
Απόδειξη του Λήμματος*:
Αν 1α  , τότε προφανώς, ισχύει το Λήμμα. Θα αποδείξουμε τώρα το λήμμα μόνο για
1α  , αφού για 0 1α  , αναγόμαστε εύκολα στην προηγούμενη περίπτωση, θέτοντας
1
1β
α
  .
Για να δείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 0ε  , υπάρχει 0ν 
 ,
τέτοιος, ώστε για κάθε 0ν ν , να ισχύει 1 1νq
ε α ε    . Πράγματι, έστω τυχαίο
0ε  . Επειδή 1ν
α  και
1
1ν
α
 (βλ. [3], σελ. 47), θα ισχύει:
1
1 1 1ν
ν
ε α ε
α
      , τελικά για όλους τους δείκτες ν 
 ,
οπότε, θα υπάρχει δείκτης k 
 τέτοιος, ώστε να ισχύει:
1 1
1
1 1 1kk k
k
ε α α α ε
α

        (1)
Επειδή, όμως, 0q  , θα υπάρχει 0ν 
 , τέτοιος, ώστε να ισχύει
1 1
νq
k k
   , για
κάθε 0ν ν . Έτσι, επειδή 1α  , λόγω της πρότασης §1.4, θα ισχύει:
1 1
νqk k
α α α

  , για κάθε 0ν ν ,
οπότε, λόγω της (1), θα ισχύει 1 1νq
ε α ε    , για κάθε 0ν ν , που είναι και το
ζητούμενο ■
Απόδειξη της Πρότασης*:
Αν 1α  , τότε, προφανώς, ισχύει η πρόταση. Θα αποδείξουμε τώρα την πρόταση μόνο
για 1α  , αφού για 0 1α  , αναγόμαστε εύκολα στην προηγούμενη περίπτωση,
θέτοντας
1
1β
α
  .
Θεωρούμε, λοιπόν, τυχαία αύξουσα ακολουθία  ντ ρητών αριθμών, με x (βλ.
[4], σελ. 57), και τυχαίο ρ , με x ρ . Τότε θα ισχύει
n
lim x

     , για κάθε
ν 
 , οπότε θα έχουμε ότι  
  , για κάθε ν 
 , που σημαίνει ότι η ακολουθία
( )ντ
α είναι άνω φραγμένη. Επιπλέον, θα έχουμε ότι η ακολουθία ( )ντ
α είναι αύξουσα,
αφού η  ντ είναι αύξουσα (βλ. § 1.4). Άρα, θα υπάρχει το lim ντ
ν
α

και θα είναι ένας
πραγματικός αριθμός l, δηλαδή θα ισχύει lim ντ
ν
α l

  . Θα αποδείξουμε τώρα ότι
ν ν
ν νρ σ
lim α lim α l
 
  .
Αρχικά εργαζόμαστε με την ακολουθία  νρ . Επειδή 0x x     , σύμφωνα με
το προηγούμενο Λήμμα, θα ισχύει 1

  
 οπότε θα έχουμε ότι
1 l l
         
   . Δηλαδή θα ισχύει:

5. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 5 /19
lim νρ
n
α l

  .
Αν πάρουμε στη συνέχεια την ακολουθία  νσ και εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο, θα
καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι και:
lim ντ
n
α l

  .
Επομένως, αποδείξαμε ότι lim limν νρ σ
n n
α α l
 
   , που είναι το ζητούμενο ■
Με βάση την παραπάνω πρόταση, μπορούμε τώρα να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό:
2.2 ΟΡΙΣΜΟΣ:
 Αν 0α  , τότε για κάθε x , ορίζουμε:
ν
νρx
α lim α

 ,
όπου  νρ είναι τυχαία ακολουθία ρητών αριθμών με x  .
 Αν 0α  , τότε για κάθε 0x  ορίζουμε: 0x
α 
2.3 ΣΧΟΛΙΟ:
Έστω 0α  και x ρ  . Αν πάρουμε τη σταθερή ακολουθία νρ ρ, ν 
  , για
την οποία ισχύει   , τότε, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, θα έχουμε
νν
νρρ ρ ρ
α lim α lim α α

   . Επομένως, ο ορισμός 2.2 είναι γενίκευση του ορισμού 1.1
της δύναμης με βάση 0α  και εκθέτη ρητό αριθμό.
Με βάση τον παραπάνω ορισμό και με τη χρήση των ιδιοτήτων των ορίων ακολουθιών,
αποδεικνύεται εύκολα η επόμενη πρόταση:
2.4 ΠΡΟΤΑΣΗ (Ιδιότητες δυνάμεων):
 Αν 0α  , τότε για οποιουσδήποτε 1 2x ,x  , ισχύουν:
1 2 1 2x x x x
α α α 
  ,
1
1 2
2
x
x x
x
α
α
α

 και   2
1 1 2
xx x x
α α 

 Αν 0α,β  , τότε για x , ισχύουν:
 
x x x
α β α β   και
x x
x
α α
β β
 
 
 
3. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
3.1 ΟΡΙΣΜΟΣ:
Έστω 0α  . Ονομάζουμε εκθετική συνάρτηση με βάση α τη συνάρτηση:
με x
f : , f ( x ) α 

6. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 6 /19
3.2 ΠΡΟΤΑΣΗ:
α) Αν 1α  , τότε:
 Η συνάρτηση x
f ( x ) α είναι γνησίως αύξουσα.
 Η συνάρτηση x
f ( x ) α είναι συνεχής.
 Ισχύει: και 0x x
x x
lim α lim α
 
   .
 Το σύνολο τιμών της x
f ( x ) α είναι το  0fR ,  .
β) Αν 0 1α  , τότε:
 Η συνάρτηση x
f ( x ) α είναι γνησίως φθίνουσα.
 Η συνάρτηση x
f ( x ) α είναι συνεχής.
 Ισχύει: και 0x x
x x
lim α lim α
 
   .
 Το σύνολο τιμών της x
f ( x ) α είναι το  0fR ,  .
Απόδειξη*:
Θα αποδείξουμε μόνο την πρόταση για 1α  . Αν 0 1α  , τότε θα είναι
1
1
α
 ,
οπότε για τη συνάρτηση
1 1
x
x
g( x )
α α
 
  
 
θα ισχύουν τα συμπεράσματα της α)
περίπτωσης, από τα οποία εύκολα προκύπτουν τα συμπεράσματα της β) περίπτωσης.
Έχουμε λοιπόν:
 Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση 1x
f ( x ) α , α  είναι γνησίως αύξουσα, αρκεί
να δείξουμε ότι για οποιουσδήποτε 1 2x ,x  με 1 2x x ισχύει: 1 2x x
α α .
Πράγματι, επειδή 1 2x x , θα υπάρχουν 1 2q , q  τέτοιοι, ώστε να ισχύει
1 1 2 2x q q x   . Επιπλέον, θα υπάρχουν ακολουθίες    καιν νρ σ ρητών
αριθμών με:
1 2 1 2< < < , για κάθε , καιν ν ν νρ q q σ ν ρ x σ x
  
Τότε, σύμφωνα με την πρόταση 1.4 και τον ορισμό 2.2, θα ισχύει:
1 2 1 2
για κάθε καιν ν ν νρ σ ρ σq q x x
α α α α , ν , α α α α
     
οπότε θα έχουμε:
1 1 2 2
ν ν
ν νρ σx q q x
α lim α α α lim α α
 
     .
Άρα, θα ισχύει: 1 2x x
α α .
 Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση 1x
f ( x ) α , α  είναι συνεχής, αρκεί να
δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία  νx πραγματικών αριθμών, με x x  , η
ακολουθία  νx
α συγκλίνει στον αριθμό
x
α . Πράγματι, για κάθε ν 

υπάρχουν ρητοί αριθμοί νρ και νσ τέτοιοι, ώστε να ισχύει:
ν ν ν
1 1
ν νx ρ x σ x
ν ν
      .
οπότε θα έχουμε:
σν ν νρ x
α α α  , (1)

7. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 7 /19
(διότι η x
f ( x ) α είναι γνησίως αύξουσα) και:
καιν νρ x σ x  , (2)
(λόγω του κριτηρίου της παρεμβολής).
Έτσι έχουμε ότι:
καιν νρ σx x
α α α α  , (3)
οπότε, λόγω των (1) και (3), από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι:
νx x
α α .
 Για να δείξουμε ότι
x
x
lim α

  , αρκεί να δείξουμε(2) ότι για κάθε 0M 
υπάρχει 0β  τέτοιο, ώστε να ισχύει
x
α M για κάθε x β . Πράγματι, επειδή
1α  , θα ισχύει
ν
α  , οπότε θα υπάρχει 0ν 
 , τέτοιος, ώστε να ισχύει
ν
α M , για κάθε 0ν ν . Αν πάρουμε 0 0β ν  , επειδή η συνάρτηση
1x
f ( x ) α , α  είναι γνησίως αύξουσα, για κάθε x β θα ισχύει
0
α νx β
α α M   .
Για να δείξουμε τώρα ότι 0x
x
lim α

 θέτουμε u x  , οπότε έχουμε:
1
0x u
ux u u
lim α lim α lim .
α

  
  
 Τέλος, επειδή η συνάρτηση 1x
f ( x ) α , α  είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής
με πεδίο ορισμού το  fD ,     , το σύνολο τιμών της θα είναι το:
   0x x
f
x x
R lim α , lim α ,
 
    ■
Απομένει, τώρα, να δείξουμε ότι η 0x
f ( x ) α , α  είναι παραγωγίσιμη και στη
συνέχεια να τη μελετήσουμε πλήρως και να την παραστήσουμε γραφικά.
Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο, η ( ) x
f x α είναι
παραγωγίσιμη στο , αν και μόνο αν για κάθε x υπάρχει το
0 0 0 0
( ) ( ) 1 1
lim lim lim lim
x h x h h
x x
h h h h
f x h f x
h h h h

   
     
     
 
   
  (4)
και να είναι πραγματικός αριθμός, που συμβαίνει, αν και μόνο αν υπάρχει το
0
1h
h
α
lim
h

και είναι πραγματικός αριθμός.
(2)
Επειδή 1α  , θα είναι 1α θ  , με 1 0θ α   , οπότε για κάθε x>0 θα έχουμε:
[ ] [ ]
(1 ) 1 [ ] [ ] ( 1)
x x x
α α θ x θ x θ x θ         
και επειδή lim ( -1)
x
x

  , θα ισχύει
x
x
lim α

  .

8. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 8 /19
Αρχικά ας εξετάσουμε αν υπάρχει αριθμός 0α  για τον οποίο να ισχύει  x x
α α  .
Για να ισχύει, όμως, κάτι τέτοιο, αρκεί να ισχύει
0
1
1
h
h
α
lim
h

 , δηλαδή αρκεί:
1
1 για πολύ μικρά >0
h
α
, h
h

ή αρκεί
 
1
1 για πολύ μικρά >0hα h , h
ή αρκεί
1
1 για πολύ μεγάλα 0
x
α , x
x
 
  
 
Δηλαδή, αρκεί:
1
1
x
x
α lim
x
 
  
 
,
Τότε, όμως, θα ισχύει και
ν
1
1
ν
α lim
ν
 
  
 
,
που σημαίνει ότι ο α πρέπει είναι ο αριθμός e .
Επομένως, σύμφωνα με όσα εκθέσαμε με εμπειρικό τρόπο προηγουμένως, αρχικά
έχουμε να δείξουμε ότι
0
1
1
x
x
e
lim
x

 , οπότε θα καταλήξουμε άμεσα στο συμπέρασμα
ότι η εκθετική συνάρτηση x
f ( x ) e είναι παραγωγίσιμη, με  x x
e e  , για κάθε
x . Στη συνέχεια, και μετά την εισαγωγή της έννοιας του λογαρίθμου, θα
δείξουμε ότι η συνάρτηση x
f ( x ) α , με 0α  , είναι παραγωγίσιμη, με
 x x
α α lnα   , για κάθε x .
Για να δείξουμε, τώρα, ότι
0
1
1
x
x
e
lim
x

 , αποδεικνύουμε πρώτα τις παρακάτω δύο
βοηθητικές προτάσεις:
3.3 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Ισχύουν:
α)
1
1
x
e lim
x
 
  
 



, για κάθε ακολουθία ( ), μεx x   
β)
1
1
x
x
e lim
x
 
  
 
γ) 1 γιακάθε
ν
x
ν
x
e lim , x
ν
 
   
 
.

9. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 9 /19
Απόδειξη*:
α) Ισχύει    ν 1v vx x x   , οπότε, για 1νx  , αν θέσουμε  ν νk x 
  , θα
έχουμε ν 1ν νk x k   , οπότε θα ισχύει:
1 1 1
1 1 1
1ν ν νk x k
    

(1)
Επειδή όμως
ν
1
1 1
x
  , λόγω της §3.2α θα ισχύει:
ν 1
1 1 1
1 1 1
ν νk x k
ν ν νx x x

     
         
     
(2)
Επιπλέον, λόγω της (1) και επειδή για κάθε k 
 η συνάρτηση k
f ( x ) x , 0x 
είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει:
ν
1 1
1 1
1
ν νk k
νk x
   
     
   
και
ν 1 1
1 1
1 1
νk k
ν νx k
 
   
     
   
(3)
Έτσι, λόγω των (2) και (3) θα έχουμε:
1
1 1 1
1 1 1
1
ν ν νk x k
ν ν νk x k

     
         
     
ή, ισοδύναμα,
1
1
1
1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
ν
ν ν
k
x k
ν
ν ν ν
ν
k
x k k
k

 
 
                  
     

,
οπότε, λόγω του κριτηρίου παρεμβολής και επειδή
ν
1
1
ν
lim e
ν
 
  
 
, θα ισχύει το
συμπέρασμα.
β) Προκύπτει άμεσα από την α), λόγω της αρχής της μεταφοράς.
γ) Προκύπτει άμεσα από την α), αν πάρουμε ν
ν
x
x
   .
3.4 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Ισχύουν:
α) 1 για κάθεx
e x, x  
β)
1
1 για κάθε 1
1
x
e x, x
x
   

Απόδειξη:
α) Θεωρούμε τυχαίο x . Τότε, λόγω της Αρχιμήδειας ιδιότητας των πραγματικών
αριθμών, θα υπάρχει 0ν 
 τέτοιος, ώστε να ισχύει 0ν x  , οπότε, για κάθε ν 
 ,
με 0ν ν , θα ισχύει 1 0
x
ν
  . Έτσι, λόγω της ανισότητας του Bernoulli, θα ισχύει:

10. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 10 /19
1 1 1
ν
x x
ν x
ν ν
 
      
 
, για κάθε ν 
 , με 0ν ν , (1)
οπότε θα έχουμε:
 
(1)
1 1 1
ν
x
ν ν
x
e lim lim x x
ν 
 
      
 
β) Αν στην ανισότητα α) θέσουμε όπου x το –x, βρίσκουμε ότι για κάθε x ισχύει
1x
e x
  , οπότε για κάθε 1x  θα είναι
1
1
x
e
x


. Επομένως, λόγω και της α), θα
ισχύει:
1
1 για κάθε 1
1
x
e x, x
x
   

■
Έτσι, από την §3.4β, με τη χρήση του κριτηρίου παρεμβολής, προκύπτει άμεσα ότι:
3.5 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η εκθετική συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, δηλαδή ισχύει:
0
1
1
x
x
e
lim
x


Από την πρόταση αυτή προκύπτει, ως πόρισμα, η ακόλουθη πρόταση:
3.6 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η εκθετική συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει:
( ) e , για κάθεx x
e x  
Απόδειξη:
Για κάθε x έχουμε:
  0 0
1x h x h
x x x
h h
e e e
e lim e lim e
h h

 
      ■
3.7 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως κυρτή στο .
Απόδειξη:
Η x
f ( x ) e είναι γνησίως κυρτή στο , διότι   0 γιακάθεx x
e e , x    .
Τα συμπεράσματα των προτάσεων §3.2, §3.6 και §3.7 συνοψίζονται ως εξής:

11. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 11 /19
3.8 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η εκθετική συνάρτηση x
f ( x ) e :
α) Είναι γνησίως αύξουσα(3)
β) Είναι συνεχής(4)
γ) Είναι παραγωγίσιμη
δ) Είναι γνησίως κυρτή
ε) Έχει όριο στο  το  και στο  το 0, δηλαδή ισχύει:
x
x
lim e

  & 0
x
x
lim e


στ) Έχει σύνολο τιμών το  0fR ,  
Γραφική παράσταση της x
f ( x ) e :
4. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Στην §3.2 είδαμε ότι η συνάρτηση x
f ( x ) α , με 0 1α  , είναι “1-1”, με πεδίο
ορισμού το fD  και σύνολο τιμών το ( ) (0, )f   . Επομένως, για κάθε
 0,θ   υπάρχει μοναδικός x , για τον οποίο ισχύει
x
α θ . Τον αριθμό
αυτόν τον ονομάζουμε λογάριθμο του θ με βάση α και τον συμβολίζουμε με αlog θ .
Έχουμε, δηλαδή, τον ακόλουθο ορισμό:
4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ:
Αν 0 1α  και 0θ  , τότε ονομάζουμε λογάριθμο του θ με βάση α και τον
συμβολίζουμε με αlog θ , τον μοναδικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει
x
α θ .
Είναι δηλαδή:
x
α
ορσ
log θ x α θ   .
(3)
ΠΡΟΣΟΧΗ: Για τον προσδιορισμό της μονοτονίας της
x
f ( x ) e δεν μπορούμε να κάνουμε χρήση
του προσήμου της παραγώγου της, διότι για την απόδειξη της §3.5, στην οποία στηρίζεται ο
υπολογισμός της παραγώγου της
x
f ( x ) e , χρειάζεται η μονοτονία της
x
g( x ) α , με 1α  (βλ.
§3.2). Αν, όμως, πούμε ότι η
x
f ( x ) e είναι γνησίως αύξουσα, επειδή για κάθε x  ισχύει
0
x
f '( x ) e  , επιβεβαιώνουμε απλώς το συμπέρασμα της §3.2.α.
(4)
Μπορούμε εδώ να ισχυριστούμε ότι η
x
f ( x ) e είναι συνεχής, ως παραγωγίσιμη, αφού για την
απόδειξη της ανισότητας της §3.4, με βάση την οποία αποδεικνύεται ότι η
x
f ( x ) e είναι
παραγωγίσιμη, δεν απαιτείται η συνέχεια της με 0
x
g( x ) α , α  .

12. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 12 /19
4.2 ΟΡΙΣΜΟΣ:
Τον λογάριθμο ενός θετικού αριθμού θ με βάση α e , δηλαδή τον elog θ , τον
ονομάζουμε φυσικό λογάριθμο του θ και τον συμβολίζουμε με lnθ . Είναι δηλαδή:
x
lnθ x e θ  
Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες ιδιότητες των
λογαρίθμων, που είναι γνωστές από τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας της Β΄ Λυκείου.
4.3 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Αν 0 1α  , τότε για κάθε 0θ  και για κάθε x ισχύουν:
 αlog θ x
αα θ & log α x 
 lnθ x
e θ & lne x 

x xlnα
α e
4.4 ΠΡΟΤΑΣΗ (Ιδιότητες λογαρίθμων):
α) Έστω 0 1α  . Τότε:
 Για οποιουσδήποτε 1 2 0θ ,θ  ισχύουν
 α 1 2 α 1 α 2log θ θ log θ log θ   & 1
α α 1 α 2
2
θ
log log θ log θ
θ
 
  
 
 Για κάθε 0θ  και για κάθε τ ισχύει
 α α
τ
log θ τ log θ 
β) Έστω 0 1α,β  . Τότε για κάθε 0θ  ισχύει:
α
α
β
log θ
log θ
log β

4.5 ΟΡΙΣΜΟΣ:
Έστω 0α  με 1α  . Ονομάζουμε λογαριθμική συνάρτηση με βάση α τη
συνάρτηση:
 0 με αf : , , f ( x ) log x  
Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι λογαριθμική συνάρτηση με βάση α είναι η
αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης με βάση α.
4.6 ΟΡΙΣΜΟΣ:
Τη λογαριθμική συνάρτηση με βάση α e , δηλαδή τη συνάρτηση:
 0 με ef : , , f ( x ) log x  
την ονομάζουμε απλά λογαριθμική συνάρτηση και τη συμβολίζουμε με f ( x ) ln x
Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη
της εκθετικής συνάρτησης.

13. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 13 /19
4.7 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η λογαριθμική συνάρτηση f ( x ) ln x είναι γνησίως αύξουσα.
Απόδειξη:
Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιουσδήποτε  1 2 0x ,x ,   με 1 2x x ισχύει
1 2ln x ln x . Πράγματι, έστω ότι υπάρχουν  1 2 0x ,x ,   με 1 2x x τέτοιοι, ώστε
να ισχύει 1 2ln x ln x . Τότε, επειδή η συνάρτηση x
f ( x ) e είναι γνησίως αύξουσα,
θα ισχύει 1 2ln x ln x
e e , οπότε θα έχουμε 1 2x x , που είναι άτοπο ■
4.8 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η λογαριθμική συνάρτηση f ( x ) ln x είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής.
Απόδειξη:
α΄ τρόπος:
Για να δείξουμε ότι η f ( x ) ln x είναι παραγωγίσιμη, ακολουθούμε τα παρακάτω
δύο βήματα:
Βήμα 1ο
: Αποδεικνύουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, δηλαδή ότι:
1
1
1u
lnu
lim
u


.
Πράγματι, για κάθε 0u  , από την ανισότητα:
1 για κάθεx
e x, x   ,
θέτοντας x lnu και x lnu  αντιστοίχως, βρίσκουμε ότι:
1
1 και 1u lnu lnu
u
    ,
οπότε έχουμε:
1
1 για κάθε >0
u
lnu u , u
u

   .
Επομένως, αν διαιρέσουμε όλα τα μέλη της παραπάνω ανισότητας με το 1u 
βρίσκουμε ότι:
 
1
1 για κάθε 1
1
lnu
, u ,
u u
    

&  
1
1 για κάθε 0 1
1
lnu
, u ,
u u
  

,
οπότε, από το κριτήριο παρεμβολής, προκύπτει ότι
1
1
1u
lnu
lim
u


.
Βήμα 2ο
: Αποδεικνύουμε ότι η f ( x ) ln x είναι παραγωγίσιμη με:
   
1
για κάθε 0ln x , x ,
x
    
Πράγματι:
  0
1
h
h o
ln( x h ) ln x
ln x lim
h
h
ln( )
xlim
h


  



14. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 14 /19
 
 1
1 1
θέσαμε =1 1 οπότε 1
1
1 1
αφού 1
1 1
u
u u
lnu h
lim u , h x u
x u x
lnu lnu
lim lim
x u x u

 
 
      
   
 
    
  
β΄ τρόπος:
Επειδή η συνάρτηση f ( x ) ln x είναι αντίστροφη της x
g( x ) e , που είναι συνεχής
και παραγωγίσιμη, θα είναι και αυτή συνεχής και παραγωγίσιμη. Όμως για κάθε
(0, )x  ισχύει ln x
e x . Άρα, με βάση τον κανόνα της αλυσίδας, για κάθε
(0, )x  θα ισχύει:
         
1
1 1ln x ln x
e x e ln x x ln x ln x
x
             ■
Όλα τα προηγούμενα ανακεφαλαιώνονται ως εξής:
4.9 ΠΡΟΤΑΣΗ:
Η λογαριθμική συνάρτηση f ( x ) ln x :
α) Είναι γνησίως αύξουσα.
β) Είναι συνεχής
γ) Είναι παραγωγίσιμη
δ) Έχει όριο στο  το  και στο 0 το , δηλαδή ισχύουν:
0x x
lim ln x & limln x
 
   
ε) Έχει σύνολο τιμών όλο το
στ) Είναι γνησίως κοίλη.
Απόδειξη:
α, β, γ)Αποδείχτηκαν στις προτάσεις 4.7 και 4.8.
δ) Για να δείξουμε ότι
x
lim ln x

  , αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 0M  ,
υπάρχει 0α  , τέτοιος ώστε να ισχύει lnx M για κάθε x α . Αυτό
προκύπτει άμεσα, αν πάρουμε M
α e .
Για να δείξουμε τώρα ότι
0x
limln x

  , θέτουμε
1
u
x
   , οπότε έχουμε:
0
1
x u u
limln x lim ln lim lnu .
u  
    
ε) Επειδή η f ( x ) ln x είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο  0fD ,   ,
λόγω του συμπεράσματος γ), το σύνολο τιμών της θα είναι το:
   0x x
limlnx, limlnx ,
 
     .
στ) Επειδή:
  2
1
0ln x
x
    , για κάθε  0x ,   ,
η f ( x ) ln x είναι γνησίως κοίλη ■

15. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 15 /19
Γραφική παράσταση της f ( x ) ln x :
4.10 ΠΡΟΤΑΣΗ (Παράγωγος της συνάρτησης με 0x
f ( x ) α , α  )
Η εκθετική συνάρτηση με 0x
f ( x ) α , α  , είναι παραγωγίσιμη με:
  γιακάθεx x
α α lnα, x   
Απόδειξη:
α΄ τρόπος:
Για κάθε x ισχύει:
   ln ln ln
( ) ln ln lnx x α x α x α x
α e e x α e α α α         ■
β΄ τρόπος:
Είδαμε πιο πριν ότι η συνάρτηση ( ) x
f x α , με 0α  , είναι παραγωγίσιμη, αν και
μόνο αν για κάθε x υπάρχει το
0 0 0 0
( ) ( ) 1 1
lim lim lim lim
x h x h h
x x
h h h h
f x h f x α α α α
α α
h h h h

   
     
     
 
και είναι πραγματικός αριθμός, που συμβαίνει, αν και μόνο αν υπάρχει το
0
1h
h
α
lim
h

είναι πραγματικός αριθμός. Θα δείξουμε τώρα ότι το όριο αυτό υπάρχει και είναι ο
αριθμός lnα , δηλαδή ότι ισχύει:
0
1h
h
α
lim lnα
h

 (5)
Πράγματι, αν θέσουμε
0
, τότε θα ισχύει και 1
α
h
h
lnu
u α h limu
ln 
   , οπότε θα
έχουμε:
(5)
Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του τύπου
0
1
h
h
α
lim ln α
h

 είναι ο εξής:
0 0 0
1 1 1
1
h h ln α t
h h t
α e e
lim ln α lim ln α lim ln α ln α.
h h ln α t

  
  


     

16. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 16 /19
0 1
1 1
= 1
h
h u
α u
lim lnα lim lnα lnα
h lnu 
 
   
διότι, όπως θα δείξαμε στη πρόταση 4.8, ισχύει
1
1
1u
lnu
lim
u


.
Επομένως:
  για κάθεx x
α α lnα, x    ■
ΣΧΟΛΙΟ:
Από τον τύπο
0
1h
h
α
lim lnα
h

 , με βάση την αρχή της μεταφοράς, προκύπτει ότι:
 ν ν
1
ν 1
1
1
ν
lim lim
α
lnα ν α
ν
 

    
 
.
Γραφική παράσταση της 0x
f ( x ) α , α 

17. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 17 /19
5. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΟΡΙΑ:
5.1 ΠΡΟΤΑΣΗ:
lim & lim , για κάθε
x x
νx x
e e
ν
x x

 
    
Απόδειξη:
 Για 0x  είναι:
/2 2 2 2
( ) ( / 2 1) ( / 2)
4
x x
e e x x x
x x x x

   
και επειδή lim
4x
x

  , θα ισχύει lim
x
x
e
x
  .
 Ισχύει:
/ /
( )
lim lim lim θέτουμε
1
lim lim
νx x ν ν x ν
ν νx x x
ν νu u
νu u
e e e x
u
x x x ν
e e
νu ν u
  
 

   
         
   
      
   
5.2 ΠΟΡΙΣΜΑ:
lim 0 & lim 0 για κάθε,x x
x ν x
x e x e ν
 

  
Απόδειξη:
Έχουμε:
lim lim [θέτουμε ]
( )
lim lim 0
ν
ν x
xx x
ν ν
u uu u
x
x e u x
e
u u
e e
 
 
    

   
ΣΧΟΛΙΟ:
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:
«Κατά τον υπολογισμό του ορίου στο  και στο  του γινομένου και του
πηλίκου, αντιστοίχως, της εκθετικής συνάρτησης με τη συνάρτηση ( ) ν
h x x , όπου
ν 
 , “υπερισχύει” η εκθετική συνάρτηση».
5.3 ΠΡΟΤΑΣΗ:
0
ln
lim ln 0 & lim 0, για κάθε
x x
ν
ν
x
x x ν
x 

  

18. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 18 /19
Απόδειξη:
    0 0
ln
lim( ln ) lim ln lim 0 [θέσαμε ln ]
x x
x u
u
x x e x e u u x
  
        
  1
0 0 0
lim( ln ) lim lim ln 0 0 0, αν 1ν ν
x x x
x x x x x ν
  
     
 ln
ln ln
lim lim lim 0x ux x u
x x u
x e e  
  
 1
ln ln 1
lim lim lim 0 0 0, αν 1ν νx x x
x x
ν
x x x   
     
Αλλιώς:
 Για κάθε 1x  ισχύει:
 2 1ln 2ln 2 2
0
xx x x
x x x x x

     .
Επομένως, έχουμε:
ln
0 2 , για κάθε (1, )
x
x x
x
  
οπότε, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι
ln
lim 0
x
x
x
 .
 Έχουμε:
0
ln(1/ ) ln 1
lim( ln ) lim lim 0 [θέσαμε ]
x u u
u u
x x u
u u x  
      
Άρα:
0
lim( ln ) 0
x
x x

  .
ΣΧΟΛΙΟ:
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:
«Κατά τον υπολογισμό του ορίου στο 0 και στο  του γινομένου και του πηλίκου,
αντιστοίχως, της λογαριθμικής με τη συνάρτηση ( ) ν
h x x , όπου ν 
 ,
“υπερισχύει” η συνάρτηση ( ) ν
h x x ».

19. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 19 /19
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1]. Ανδρεαδάκης, Σ., Κατσαργύρης, Β., Μέτης, Σ., Μπρουχούτας, Κ. & Πολύζος, Γ.
(2003). Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου,
Εκδόσεις Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα, Ελλάς.
[2]. Γιαννόπουλος, Α. (2009), Απειροστικός Λογισμός Ι (σελ. 68-69, 98, 113-115),
Μαθηματικό Τμήμα ΕΚΠΑ, Αθήνα, Ελλάς.
[3]. Νεγρεπόντης, Σ., Γιωτόπουλος, Σ., Γιαννακούλιας, Ε. (1987), Απειροστικός
Λογισμός Ι (σελ. 47, 52), Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα, Ελλάς.
[4]. Ντούγιας, Σ. (2007), Απειροστικός Λογισμός Ι (σελ. 57, 73-75, 207-209, 228,
299). Εκδόσεις Leader Books, Αθήνα, Ελλάς.
[5]. Παντελίδης, Γ. (2000), Ανάλυση Ι (σελ. 62, 73-75), Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη,
Ελλάς.
[6]. Spivak, M. (2013), Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές
Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, Ελλάς. (σελ. 306, 311, 314)
[7]. Nathan, Term S, Trans Math (2012), (σελ. 95, 141).
[8]. Hachette, Term S, Mathsreperes (2012) (σελ. 125, 128)