1. บทที่ 1
การประยุกต 1 (16 ชั่วโมง)
1.1 รูปเรขาคณิต (3 ชั่วโมง)
1.2 จํานวนนับ (5 ชั่วโมง)
1.3 รอยละในชีวิตประจําวัน (4 ชั่วโมง)
1.4 ปญหาชวนคิด (4 ชั่วโมง)
ในบทเรียนนี้มุงเนนการจัดการเรียนการสอนใหสอดคลองตามมาตรฐานการเรียนรู สาระที่ 6
ทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรและ
เชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่นๆ ตลอดจนความคิดริเริ่มสรางสรรค
เนื้อหาสาระที่นําเสนออยูในรูปของกิจกรรมและใชความรูพื้นฐานคณิตศาสตรเดิมในชั้น
ประถมศึกษา รูปแบบของกิจกรรมมีหลากหลาย ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นลําดับขั้นตอนของการเรียนรู
และสามารถนําไปประยุกตใชในชีวิตจนเกิดเปนกิจนิสัย
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูควรใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติ มีการสนทนา อภิปราย
และนําเสนอผลงานหรือขอสรุป ขั้นสุดทาย ครูและนักเรียนจะตองชวยกันสรุปวา ในแตละกิจกรรม
นักเรียนไดเรียนรูสาระอะไรบาง ความคิดรวบยอดของเรื่องนั้นเปนอยางไรและสามารถนําความรูนั้น
ไปใชไดอยางไร
สําหรับการวัดผลและการประเมินผลของบทนี้ ใหครูเนนการวัดกระบวนการมากกวาคําตอบ
ครูควรวัดผลระหวางทํากิจกรรม และเมื่อจบบทเรียนนี้แลวควรมีการวัดผลโดยใชขอสอบแบบปลายเปด
ใหนักเรียนไดคิดอยางอิสระ เพื่อจะไดประเมินผลแนวคิดที่หลากหลายของนักเรียน
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได
2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2. 2
แนวทางในการจัดการเรียนรู
1.1 รูปเรขาคณิต (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกความสัมพันธระหวางผลบวกของความยาวของดานสองดานกับความยาวของดานที่สาม
ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได
2. บอกไดวาจุดที่กําหนดใหในรูปเสนโคงปดเชิงเดียวเปนจุดขางในหรือจุดขางนอก
3. สรางแทนแกรมไดและบอกความสัมพันธของรูปเรขาคณิตตางๆ ของแทนแกรมได
4. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตางๆ ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
ความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักใชกระบวนการทางคณิตศาสตรคนหาสมบัติทางเรขาคณิต
เกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม
ขอเสนอแนะ
1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมดวยการสนทนาและซักถามนักเรียนเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่นักเรียนได
เรียนมาแลว เชน ใหบอกบทนิยาม บอกชนิดของรูปสามเหลี่ยม ยกตัวอยางสิ่งของเครื่องใชที่มี
สวนประกอบของรูปสามเหลี่ยมดานเทา รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เปนตน
2. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเปนกลุมและดําเนินกิจกรรมตามลําดับขั้นตอนที่ระบุไวใน
หนังสือเรียนเพื่อใหนักเรียนไดใชกระบวนการดังแผนภูมิตอไปนี้

3. 3
ในขณะที่นักเรียนทํากิจกรรม ครูควรสังเกตแนวคิดและการบันทึกผลเกี่ยวกับการกําหนด
ความยาวที่ใชในแตละดาน อาจชี้แนะใหนักเรียนแจงกรณีอยางเปนระบบเพื่อใหไดคําตอบครบทุกกรณี
จากกิจกรรมนี้นักเรียนควรสรุปสมบัติเกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ไดวา
ผลบวกของความยาวของดานสองดานใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม
3. ครูอาจยกตัวอยาง การใชสมบัติเกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมเปนหลักใน
การออกแบบเครื่องใชในชีวิตประจําวัน เชน ที่รองรีดผาซึ่งสามารถปรับความสูงและพับเก็บแบนราบ
โดยใชความรูในกรณีที่ใชความยาวของสวนของเสนตรง 3 เสนมาประกอบกันแลวไมเกิดรูปสามเหลี่ยม
การทําใหที่รองรีดผาสามารถปรับเก็บแบนราบได จะตองปรับเลื่อนดานที่สามของรูป
สามเหลี่ยมใหความยาวของดานที่สามเทากับผลบวกของความยาวของดานอีกสองดานที่เหลือ ดังรูป
สถานการณ / ปญหา
ศึกษาสํารวจและจดบันทึกขอมูล
สังเกตขอมูล / วิเคราะหแบบรูปของคําตอบ
สรางขอความคาดการณ
ตรวจสอบ
สรุปผล
นําไปใช
(กิจกรรมขอ 2)
(กิจกรรมขอ 3 และขอ 4)
(กิจกรรมขอ 4 และขอ 5)
(แบบฝกหัดขอ 1)
(แบบฝกหัดขอ 2 และ ขอ 3)
(แบบฝกหัดขอ 4 และ ขอ 5)

4. 4
จากรูป ∆ ABC จะเห็นวา AB และ BC เปนความยาวที่คงตัว
เนื่องจากที่รองผาสามารถปรับความยาวของดานที่แทนดวย AC ได
ดังนั้น ถาปรับเลื่อนให AC ยาวมากขึ้น ขาโตะที่รองรีดผาจะหางกันมากขึ้นดวยดังรูป
ถาปรับ AC = AB + BC ที่รองรีดผาจะพับแบนราบได
จุดขางในและจุดขางนอก
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักใชกระบวนการทางคณิตศาสตร
ขอเสนอแนะ
1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมดวยการสนทนาเกี่ยวกับรูปปดที่นักเรียนรูจักมาแลว เชน รูปสามเหลี่ยม
รูปสี่เหลี่ยม ซึ่งมีเสนรอบรูปประกอบดวยสวนของเสนตรง จากนั้นใหครูใชเชือกแสดงรูปเสนโคงปด
เชิงเดียว
ครูอาจใหนักเรียน 2 – 3 คน ออกมาเขียนเสนโคงปดเชิงเดียวพรอมจุดบนกระดานดํา แลวให
ครูอธิบายความหมายของจุดขางนอกและจุดขางในโดยใชรูปที่นักเรียนเขียน
2. ครูควรศึกษากิจกรรมที่กําหนดไวในเรื่องนี้อยางละเอียดทุกขั้นตอน และควรจัดกิจกรรม
ตามลําดับขั้นตอนที่เสนอไวตามแนวทางของกิจกรรม “ สํารวจจุด” ดังนี้
A
B
C
A B C
A
A
C
C

5. 5
กิจกรรมนี้เริ่มจากปญหาที่ไมซับซอนที่นักเรียนสามารถหาคําตอบไดงายกอน แลวจึงให
ปญหาในลักษณะเดียวกันแตซับซอนขึ้นเพื่อใหนักเรียนรูสึกวา วิธีการหาคําตอบที่ใชอยูเดิมนั้นไมสะดวก
แลว นักเรียนควรคิด พิจารณา สืบเสาะและวิเคราะหหาแนวทางแกปญหาใหม แตกิจกรรมนี้เปนการ
เริ่มตนการเรียนรูในแนวนี้ จึงไดบอกวิธีคิดใหกอน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธจากแบบ
ปญหาที่ไมซับซอน
แกปญหาตามเงื่อนไข
ปญหาลักษณะเดียวกัน แตมีความซับซอน
สืบเสาะหาวิธีแกปญหาใหมที่เร็วขึ้นโดย
สํารวจ สังเกต และวิเคราะห
สรางขอความคาดการณ
ตรวจสอบ
สรุปผล
นําไปใช
ขอ 1 ขอ 1) – 4)
ขอ 1 ขอ 5)
ขอ 3
ขอ 4 ขอ 1) และ 2)
ขอ 4 ขอ 3)
ขอ 5
ผลสรุปทายหนา 9
กิจกรรม “ลองทําดู”
“พวกเดียวกันหรือไม”
และ “ชวนคิด”

6. 6
รูปของคําตอบแลวสรางขอความคาดการณได และใชขอความคาดการณที่สรางขึ้นตรวจสอบกับปญหา
ในลักษณะเดียวกันจนแนใจวา สามารถนําขอความคาดการณนั้นไปใชได
3. กิจกรรม “สํารวจจุด” ขอ 2 เปนคําถามที่ตองการใหนักเรียนฉุกคิดวา วิธีการหาคําตอบ
โดยลากเสนจากจุดที่กําหนดใหออกมาขางนอกรูปเพื่อหาวา จุดใดเปนจุดขางในและจุดใดเปนจุดขางนอก
ไมนาจะเปนวิธีที่ดี ควรมีวิธีที่สะดวกกวาและหาคําตอบไดเร็วกวา
กอนใหทําขอ 3 และขอ 4 ครูควรใหนักเรียนลองหาวิธีที่จะหาคําตอบดวยตัวเองกอน และ
ชี้ประเด็นใหเห็นวาขอ 3 และขอ 4 นี้เปนขั้นตอนที่สําคัญของการสรางองคความรูใหม
ในการทําขอ 4 นักเรียนควรสังเกตผลจากการทดลองโดยวิธีใหม และวิเคราะหแบบรูปของ
คําตอบเพื่อสรางขอความคาดการณ
ขอ 5 เปนคําถามที่ใหนักเรียนเห็นวา เมื่อสรางขอความคาดการณแลวตองนําขอความ
คาดการณนั้นไปตรวจสอบกับปญหาในลักษณะเดียวกัน เพื่อดูวาขอความนั้นใชไดหรือไม
ในทางคณิตศาสตรเมื่อตองการยืนยันวาขอความคาดการณที่สรางขึ้นเปนจริง จะตองพิสูจน
โดยการใหเหตุผลแบบนิรนัย แตในกิจกรรมนี้จะใชการตรวจสอบแทนการพิสูจน ครูควรบอกใหนักเรียน
ทราบวาขอความคาดการณที่นักเรียนสรางขึ้นเปนทฤษฎีบทของฌอรดองและใหนําทฤษฎีบทนี้ไปใชใน
การทํากิจกรรมตอนทายตอไป
กิจกรรม “ลองทําดู” เปนกิจกรรมที่ใชตรวจสอบความรูความเขาใจและพัฒนาความคิด
สรางสรรค
สําหรับกิจกรรม “พวกเดียวกันหรือไม” เปนกิจกรรมที่ใหเห็นการนําความรูไปใชแกปญหา
4. สําหรับปญหาชวนคิด เมื่อใชทฤษฎีบทของฌอรดองตรวจสอบ จะพบวา ถาลากสวนของ
เสนตรงจากจุด A ตัดเสนรอบรูปจะไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคี่แสดงวา A เปนจุดขางใน เพื่อใหได
จํานวนจุดตัดเปนจํานวนคู ขุนแผนจะตองสะเดาะกลอนผานกําแพงออกมา 1 ชั้น ขุนแผนก็จะมาอยูใน
ตําแหนงของจุดขางนอกได
5. สําหรับกิจกรรม “เชื่อสายตาหรือไม” เสนอไวเพื่อใหนักเรียนตระหนักวา การหาคําตอบ
โดยใชสายตาเปนเครื่องวัดอาจจะเชื่อถือไมไดเสมอไป
แทนแกรม
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของรูปเรขาคณิตตาง ๆ ของแทนแกรม ใหเห็น
การเชื่อมโยงความรูระหวางรูปเรขาคณิตกับเศษสวน และใชเปนกิจกรรมที่ชวยพัฒนาความคิดสรางสรรค
และความรูสึกเชิงปริภูมิ

7. 7
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําเขาสูกิจกรรมโดยสนทนาเกี่ยวกับเกมตอภาพตางๆ อาจใหนักเรียนยกตัวอยางเกมตอ
ภาพที่เคยเลนมาแลว
2. กอนใหนักเรียนสรางแทนแกรม ครูควรใหนักเรียนบอกความสัมพันธของรูปตางๆ ใน
แทนแกรมกอนแลวใหนักเรียนทุกคนสรางแทนแกรมตามขั้นตอนที่กําหนดให อาจใหแตละคนใช
กระดาษสีตางกัน เพื่อทํากิจกรรมขอ 5 ขางลางนี้
3. ครูใหนักเรียนตัดกระดาษตามรูปแทนแกรมทั้งเจ็ดชิ้น แลวพิจารณาวาแตละรูปเปนรูป
เรขาคณิตชนิดใดบางและมีความสัมพันธกันอยางไร เชน บางรูปเทากันทุกประการ (ทับกันสนิทพอดี)
บางรูปนํามาตอกันจะไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ในกิจกรรม “คิดเปนเศษสวนเทาไร” ครูอาจแบงนักเรียนออกเปนกลุมใหชวยกันหาคําตอบ
แลวนําเสนอวิธีการแกปญหาของแตละกลุม
5. สําหรับกิจกรรมตอภาพแทนแกรมใหนักเรียนแลกเปลี่ยนชิ้นสวนของแทนแกรมเพื่อให
แตละคนมีแทนแกรมที่หลากสีซึ่งจะไดภาพที่มีความสวยงามมากขึ้น เมื่อนักเรียนทําตามคําสั่งในกิจกรรม
แลว ควรนําผลงานของนักเรียนไปแสดงใหเพื่อนๆ เห็น
1.2 จํานวนนับ (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. อธิบายแบบรูปและความสัมพันธของผลคูณในสูตรคูณแมตาง ๆ ได
2. ใชตะแกรงของเอราทอสเทนีสหาจํานวนเฉพาะได
3. ใชขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับที่มีคามาก ๆ ได
4. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
สูตรคูณ
กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นความสัมพันธระหวางการบวกและการคูณในสูตรคูณแมตางๆ และใช
ความสัมพันธนี้สรางขอความคาดการณเกี่ยวกับสูตรคูณแมอื่นๆ นอกเหนือจากที่เรียนมา ตลอดจน
สังเกตเห็นแบบรูปที่นาสนใจที่ไดจากสูตรคูณเหลานั้น

8. 8
ขอเสนอแนะ
1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมใหนักเรียนทองสูตรคูณ สองแมหรือสามแมที่ครูกําหนด หลังจากนั้น
ครูใชคําถามใหนักเรียนบอกความสัมพันธระหวางการบวกซ้ําๆ ดวยจํานวนที่เปนแมสูตรคูณที่ครู
กําหนด แลวโยงไปสูรูปการคูณซึ่งทําใหเกิดสูตรคูณแมตางๆ ขึ้น
2. ใหนักเรียนทํากิจกรรม “สูตรคูณแสนสนุก” หลังจากนักเรียนตอบคําถามขอ 2 แลว
ครูควรตรวจสอบความรู ความเขาใจและการใหเหตุผลของนักเรียนวาถูกตองหรือไม
ในระหวางที่นักเรียนหาคําตอบขอ 3 ครูควรสังเกตวานักเรียนเห็นแบบรูปที่ปรากฏใน
สูตรคูณแม 4 และสูตรคูณแม 6 หรือไม นักเรียนควรสังเกตเห็นวาเลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผล
คูณของสูตรคูณทั้งสองแมเปนเลขโดดชุดเดียวกัน แตเรียงสลับกันดังนี้
สูตรคูณแม 4 เลขโดดคือ 4 8 2 6 0
สูตรคูณแม 6 เลขโดดคือ 6 2 8 4 0
ครูอาจใหนักเรียนโยงสวนของเสนตรงในรูปวงกลมของสูตรคูณ พรอมแสดงทิศทางที่ได
เลขโดดในหลักหนวยของผลคูณเพื่อใหเห็นภาพที่มีความเกี่ยวของกัน
ในการทํากิจกรรมขอ 4 ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนสังเกตเห็นความเกี่ยวของกัน
ระหวางแมสูตรคูณซึ่งใหภาพเหมือนกัน และอาจแนะนําใหระบายสีหรือแตงรูปที่ไดใหเกิดความสวยงาม
ก็ได
สําหรับคําถามขอ 7 ตองการใหนักเรียนนําความรูขอ 6 มาอางอิงและใชการคาดการณ
หรือใหเหตุผลอื่นเพิ่มเติมโดยไมตองเขียนสูตรคูณเม 13 ถึงแม 24 จริง ๆ เชน สูตรคูณแม 13 มีภาพ
เหมือนกันและมีทิศทางการโยงจํานวนเหมือนกันกับสูตรคูณแม 3 เพราะวา 13 = 10 + 3 ดังนั้นเมื่อ
นํา 13 ไปคูณจํานวนนับใดๆ เลขโดดในหลักหนวยของผลคูณนั้นก็จะเหมือนกับเลขโดดในหลักหนวย
ของผลคูณของสูตรคูณแม 3 (ครูอาจแสดงการคูณใหเห็นไดโดยใชสมบัติการแจกแจง)
รอนหาจํานวนเฉพาะ
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการหาจํานวนเฉพาะ โดยใชตะแกรงของเอราทอสเทนีส
และรูจักวิธีการตรวจวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะ
ขอเสนอแนะ
1. ครูอาจนําเขาสูกิจกรรมโดยใชการถามตอบ ทบทวนความหมายของจํานวนเฉพาะภายใต
ขอบเขตของจํานวนนับ แลวจึงใหนักเรียนศึกษาวิธีการรอนหาจํานวนเฉพาะของเอราทอสเทนีส โดย
ใชแผนภูมิจํานวนนับ 1 ถึง 40 เพื่อสาธิตวิธีการตามลําดับขั้นตอนที่ปรากฏในหนังสือเรียน ครูอาจใช
ไมเคาะชี้ตัวเลขบนแผนภูมิใหเห็นการนับ ตามขั้นตอนขอ 2 หลังจากนั้นใหนักเรียนชวยกันทําตามใน

9. 9
ขั้นตอนขอ 3 - ขอ 5 ในการขีดฆาจํานวนทิ้งควรใชสีที่ตางกัน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธ
ของจํานวนที่ถูกขีดฆาทิ้งมากกวาหนึ่งครั้งดวย
2. ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนระหวาง 1 ถึง 102 ในหนังสือเรียนหนา 24 มีเจตนา
เขียนไวแถวละ 6 จํานวน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นวาจํานวนเฉพาะเกือบทุกจํานวนจะอยูในหลักที่
หนึ่งและหลักที่หา นักเรียนจะสามารถหาจํานวนเฉพาะไดงายขึ้น
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
จํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 102 ไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101
3. กอนใหตัวอยางการตรวจสอบวา 79 เปนจํานวนเฉพาะ ครูควรอธิบายสาระหนา 23 – 25
ในหนังสือเรียนใหนักเรียนเขาใจขั้นตอนวิธีการตรวจสอบวา จํานวนนับ n ที่กําหนดเปนจํานวนเฉพาะ
หรือไม โดยใหใชจํานวนเฉพาะ p ที่เมื่อคูณตัวเองแลวผลคูณนอยกวาหรือเทากับ n มาหาร n ถา p
ทุกตัวหาร n ไมลงตัวแลว n เปนจํานวนเฉพาะ

10. 10
สําหรับขอความ “แนวคิดทางคณิตศาสตร” ที่อางถึงในหนังสือเรียนหนา 25 นั้นมีความ
หมายดังนี้
สําหรับจํานวนเต็ม n ที่มากกวา 1 ถา n ไมเปนจํานวนเฉพาะ จะมีจํานวนเฉพาะ p ที่
นอยกวาหรือเทากับ n ซึ่งหาร n ลงตัว
หลังจากอธิบายตัวอยางตามที่กลาวไวในหนังสือเรียนแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุป
หลักการตรวจสอบวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะหรือไม
4. สําหรับขอความสนทนาที่อยูในกอนเมฆเสนอไวเพื่อใหนักเรียนเห็นเปนตัวอยางวา
เมื่อเรียนรูเรื่องใดแลว นักเรียนควรไดฝกการนําไปใช ในที่นี้คือฝกสังเกตหาความสัมพันธและสราง
ขอความคาดการณในเรื่องที่ตอเนื่องกัน เชน ในบทเรียนกุงและกอยพบจํานวนเฉพาะ 13 และ 31 ที่มี
เลขโดดชุดเดียวกันแตสลับหลักกันและจากการสืบเสาะของกุงและกอย ทั้งสองควรจะพบวาจํานวนนับ
ตั้งแต 1 ถึง 102 ในตารางจะมีจํานวนเฉพาะที่มีลักษณะพิเศษนี้อีก ไดแก 17 กับ 71 37 กับ 73
และ 79 กับ 97
นอกจากนี้ กุงและกอยยังพบจํานวนเฉพาะแฝดเพิ่มเติมอีก ไดแก 5 กับ 7 11 กับ 13
17 กับ 19 29 กับ 31 41 กับ 43 59 กับ 61 71 กับ 73 และ 87 กับ 89 ซึ่งเสนอไว ใน
กอนเมฆทายตารางหนา 24
ปญหาชวนคิดที่นําเสนอไวหนา 26 ตองการใหนักเรียนเห็นตัวอยางขอความคาดการณที่
ไดจากการพยายามพิจารณาหาแบบรูปของความสัมพันธวา ในบางครั้งขอความคาดการณที่สรางขึ้นอาจ
ไมเปนจริงสําหรับกรณีทั่วๆ ไป ซึ่งนักเรียนสามารถหาตัวอยางมาคานได เชน (2 × 7) + 1 = 15 และ
15 ไมใชจํานวนเฉพาะ ดังนั้นขอความคาดการณของกวีจึงไมเปนจริง
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด
กิจกรรมนี้ตองการใหความรูเกี่ยวกับวิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนที่มีคา
มากๆโดยใชขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดและใหเห็นความสัมพันธของห.ร.ม. ค.ร.น. กับจํานวนนับที่กําหนดให
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําเขาสูบทเรียนดวยการทบทวนวิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวน
ตามที่นักเรียนไดเรียนมาแลว เชน พิจารณาตัวประกอบ การตั้งหาร หรือการแยกตัวประกอบ จากนั้น
ครูกําหนดจํานวนนับที่มีสามหลักสองจํานวนและมี ห.ร.ม. เปนจํานวนนับที่มีสองหลัก ใหนักเรียนชวย
กันหา ห.ร.ม. ตามวิธีที่เคยรูมาแลว ตอจากนั้นครูจึงเสนอวิธี หา ห.ร.ม. ตามขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดซึ่ง
สามารถหา ห.ร.ม. ไดเร็วกวา ครูไมจําเปนตองอธิบายถึงหลักการและเหตุผลของวิธีการดังกลาว ใน
ชั้นนี้ตองการใหนักเรียนจําวิธีการและนําไปใชได

11. 11
2. สําหรับการหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับสามจํานวนที่มีคามาก ๆ นักเรียนจะเลือกหา ห.ร.ม.
สองจํานวนใดกอนก็ไดและใชวิธีหา ห.ร.ม. วิธีใดก็ได แตครูควรถามถึงเหตุผลในการเลือก
3. กอนใหนักเรียนหา ค.ร.น. ของจํานวนนับสามจํานวนที่มีคามากๆ ครูควรใหนักเรียนสํารวจดูวา
ถามีจํานวนนับสามจํานวนที่ตองการใหหา ค.ร.น. จะสามารถประยุกตสูตรในทํานองเดียวกันกับสูตร ค.ร.น.
ของ a และ b = bและaของห.ร.ม.
ba × มาใชกับจํานวนนับสามจํานวนไดหรือไม
4. สําหรับโจทยประยุกตในแบบฝกหัดขอ3 ขอ 4 และขอ 5กอนใหนักเรียนทํา ครูควรทบทวน
โดยใชการถามตอบเพื่อตรวจสอบความรูและความเขาใจในพื้นฐานความรูที่เรียนมาแลวจาก รายวิชา
คณิตศาสตรพื้นฐานเรื่องสมบัติของจํานวนนับ
1.3 รอยละในชีวิตประจําวัน (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. ใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ บอกคําตอบและเหตุผลได
2. ใชรอยละแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได
3. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
รอยละของจํานวนใด
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนมีความรู ความเขาใจและมีความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ
และนําไปใชอยางถูกตองในสถานการณจริง
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําเขาสูกิจกรรมดวยการสนทนาซักถามเรื่องรอยละที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวัน เชน
การลดราคาสินคา ดอกเบี้ยเงินฝากของธนาคาร ฯลฯ โดยเนนวารอยละที่กําหนดใหเปนรอยละของ
จํานวนใดจํานวนหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนยกตัวอยางจํานวนที่แสดงวา รอยละเดียวกันของจํานวนที่ตาง
กันจะไมเทากัน หลายๆ ตัวอยาง

12. 12
สาระสําคัญของกิจกรรมนี้ มุงเนนการเรียนรูที่ทําใหเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับรอยละ
เชน เมื่อพูดถึง 12% นักเรียนจะตองรูทันทีวาจํานวนนี้เปน 12% หรือ 100
12 หรือ 0.12 เทาของ
จํานวนใดจํานวนหนึ่ง
เพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับรอยละยิ่งขึ้น ครูอาจใหโจทยเพิ่มเติมในทํานองเดียวกันกับ
คําถามตอไปนี้
1) มะลิขายสมไดกําไร 20% ขายมะมวงไดกําไร 25% จะสรุปวามะลิขายสมและมะมวง
รวมกันไดกําไร 45% ไดหรือไม เพราะเหตุใด (สรุปไมไดเพราะวา ราคาทุนของสมและมะมวงอาจไม
ใชจํานวนเดียวกัน)
2) รุงฟาขายนาฬิกาปลุกรุนเกาขาดทุน 15% แตขายเครื่องคิดเลขไดกําไร 20% จะสรุปวา
รุงฟาขายของสองอยางนี้ไดกําไร 5% ไดหรือไม เพราะเหตุใด (สรุปไมไดเพราะวาราคาทุนของนาฬิกา
และเครื่องคิดเลขอาจไมใชจํานวนเดียวกัน)
ครูอาจใหนักเรียนตรวจสอบโดยกําหนดตัวอยางราคาทุนของสมเปน 400 บาท และราคา
ทุนของมะมวงเปน 500 บาท รวมเปนทุน 900 บาท และ ( ) ( ) ( )900100
45500100
25400100
20 ××× ≠+
2. สําหรับการจัดกิจกรรมในตัวอยางที่ 1 ครูอาจถามนักเรียนวา ทําไมจึงนํารอยละที่เพิ่มขึ้น
ของดานยาวบวกกับรอยละที่เพิ่มของดานกวางไมได และอาจเขียนภาพประกอบเพื่อสื่อความหมาย
ทําความเขาใจและชี้ประเด็นใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ รอยละของความยาวของแตละ
ดานที่เพิ่มขึ้นกับรอยละของพื้นที่ที่เพิ่มขึ้น ดังนี้
พื้นที่ของรูปเดิมหรือรูป A เทากับ 20 × 20 = 400 ตารางเซนติเมตร
พื้นที่ของรูป B ซึ่งเปนสวนที่เพิ่มขึ้นเทากับ 2 × 20 = 40 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่ของรูป B คิดเปน 100
10
400
40 == 10% ของพื้นที่ของรูปเดิม
ในทํานองเดียวกันพื้นที่ของรูป C คิดเปน 10% ของพื้นที่ของรูปเดิมดวย
พื้นที่ของรูป D ซึ่งเปนสวนที่เพิ่มขึ้นเทากับ 2 × 2 = 4 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้นพื้นที่ของรูป D คิดเปน 400
4 = 100
1 = 1% ของพื้นที่ของรูปเดิม
20
20A A
2
2DC
B
20
20

13. 13
ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตเห็นวาการเพิ่มขึ้นของพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติ พื้นที่
ของสวนที่เพิ่มขึ้นนั้นขึ้นอยูกับการเพิ่มขึ้นของทั้งดานยาวและดานกวางของรูปเรขาคณิตสองมิตินั้น
ดังนั้นเมื่อเพิ่มความยาวของดานกวาง 10% ก็มิไดหมายความวาพื้นที่จะเพิ่มขึ้น 10% หรือเมื่อเพิ่มความ
ยาวของดานกวาง 10% และดานยาว 10% ก็มิไดหมายความวาพื้นที่จะเพิ่มขึ้น 20% ดวย
ครูอาจนําเสนอโดยใชรูปดังนี้
จากรูปขางตนจะไดพื้นที่ของรูป B เปน 10% ของพื้นที่ของรูปเดิมและไดพื้นที่ของรูป C
เปน 11% ของพื้นที่ของรูปเดิม ครูถามนักเรียนวาสามารถนํา 10% และ 11% ที่ไดมาบวกกันไดหรือ
ไม เพราะเหตุใด (บวกกันได เพราะวา เปนรอยละของจํานวนเดียวกัน คือพื้นที่ของรูปเดิม)
ครูอาจอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้
( ) ( )400100
11400100
10 ×× + = ( ) 400100
11
100
10 ×+
= 400100
21 ×
ดังนั้นพื้นที่ของสวนที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดจึงคิดเปน 21% ของพื้นที่ของรูปเดิม
สําหรับวิธีทําของตัวอยางทั้งสามนี้ ครูไมควรตองเสียเวลาเขียนและอธิบายบนกระดาน
แตควรใหนักเรียนกลับไปศึกษาดวยตัวเองอีกครั้งหนึ่ง
3. กิจกรรม “ความคิดเห็นของฉัน” เปนกิจกรรมที่ตองการใหเห็นการนําความรูไปใชใน
ชีวิตจริง ฝกใหนักเรียนมีความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ ไมไดมุงใหนักเรียนตองคิดคํานวณจริงๆ
แตใหใชความรูสึกเชิงจํานวนประกอบเหตุผลที่สมเหตุสมผล ตัดสินใจและใหคําตอบ
การใหเหตุผลประกอบคําตอบเปนสิ่งสําคัญที่จะทราบวานักเรียนมีความรูความเขาใจและมี
ความรูสึกเชิงจํานวนเพียงใด การใหเหตุผลของนักเรียนอาจแตกตางกัน ครูควรพิจารณาเหตุผลและ
ยืดหยุนคําตอบตามความเหมาะสม
4. สําหรับเรื่อง “ผูซื้อ ผูขาย” ครูควรเนนใหนักเรียนทําความเขาใจเกี่ยวกับตนทุนหรือราคาทุน
กําไรหรือขาดทุนที่คิดเปนรอยละ แลวใหนักเรียนพิจารณาตัวอยาง สําหรับกิจกรรมที่ใหนักเรียนสมมติ
ตัวเองเปนเจาของกิจการมีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นการนําความรูไปใชในชีวิตจริง ถามีเวลาครูอาจให
20
20A A 22
22
C
B

14. 14
นักเรียนทํากิจกรรมนี้โดยสรางสถานการณซื้อขายจําลองในชั้นเรียน แลวหาขอสรุปวาไดผลเปนไปตาม
ที่นักเรียนคิดและวางแผนไวหรือไม
นอกจากนั้นครูควรสอดแทรกดานคุณธรรม ใหมีความซื่อสัตยและไมเอาเปรียบซึ่งกันและ
กันระหวางผูซื้อกับผูขายดวย
5. สําหรับเรื่อง “ลดแลว ลดอีก” ครูควรใหนักเรียนเขียนแผนภาพหาแนวคิด แสดงใหเห็น
การลดราคาแตละขั้นตอน อาจเขียนแผนภาพแสดงการหาคําตอบแตละคําถามในปญหารถจักรยานดังนี้
ดอกเบี้ย
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชรอยละในชีวิตจริงเกี่ยวกับการฝากเงิน การกูเงิน
การคิดดอกเบี้ย โดยกําหนดสถานการณปญหาที่กระตุนใหนักเรียนรูจักการออมเงิน
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการใชจายเงินของนักเรียนที่ไดรับเปนรายวัน รายสัปดาห หรือ
รายเดือน วิธีการออมเงินหรือการฝากเงินของนักเรียน
2. ใหนักเรียนศึกษาขอมูลเกี่ยวกับการฝากเงินกับธนาคารและอัตราดอกเบี้ยที่จะไดรับในการ
ฝากเงินแตละประเภท ครูอาจใหนักเรียนออกมาสรุปผลจากการศึกษาขอมูลในกิจกรรมนี้เพื่อตรวจสอบ
ความเขาใจของนักเรียนกอนใหตัวอยาง
ราคาขาย
ที่ลด 20%
ราคาขาย
2,600 บาท
ราคาขาย
ที่ลด 30%
ราคา
ทุน
ลดราคา
30%
กําไร 30%
ปดราคาขาย
จากการลดครั้งแรก
ลดราคา 10%
ลดราคา 10%
ปดราคาขาย
จากการลดราคาครั้งที่สอง
ตอบคําถามขอ 5
ตอบคําถามขอ 1
ตอบคําถามขอ 4ตอบคําถามขอ 2
ตอบคําถามขอ 3

15. 15
3. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินฝาก” แลว ครูอาจใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น
วา ถานักเรียนจะฝากเงินควรเลือกฝากประเภทใดและมีเหตุผลอยางไร
4. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินกู” แลวครูควรใหนักเรียนรวมกันแสดงความคิด
เห็นวา อัตราดอกเบี้ยเงินกูกับอัตราดอกเบี้ยเงินฝากตางกันอยางไร อาจใหนักเรียนทราบวาสวนตาง
ของอัตราดอกเบี้ยนี้เปนสวนหนึ่งของรายไดของธนาคาร และอาจใหขอคิดกับนักเรียนเกี่ยวกับการกูเงิน
นอกระบบซึ่งตองจายดอกเบี้ยในอัตราที่สูงกวาและอาจตองจายดอกเบี้ยเปนรายเดือนดวย ถาไมจําเปน
จริง ๆ ไมควรกูเงินนอกระบบ
เงินโบนัส
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชรอยละในชีวิตจริง และไดฝกทักษะการคิดคํานวณจาก
สถานการณปญหา
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับคําวา “โบนัส” ที่ใชกันในหลายสถานการณ เชน คะแนนโบนัส
แตมโบนัส รางวัลโบนัส และเงินโบนัส อาจใหนักเรียนเลาวาในสถานการณจริงๆ ของนักเรียนเคยได
โบนัสในเรื่องใดบาง
2. ครูใหความรูเกี่ยวกับเงินโบนัส และอาจยกตัวอยางการจายเงินโบนัสขององคกร บริษัท
หรือหางรานตางๆ มาเลาใหนักเรียนฟงวาแตละหนวยงานมีหลักเกณฑการจายเงินโบนัสอยางไรบาง
3. กิจกรรม “เงินโบนัสของปติ” และ “ใชเงินโบนัสอยางไรดี” เปนกิจกรรมที่นอกจาก
ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูเรื่องรอยละไปใชในชีวิตจริงแลว ยังเปนการฝกทักษะการคํานวณ
โดยใชรอยละดวย
กอนใหนักเรียนทํากิจกรรม “เงินโบนัสของปติ” ครูควรกลาวถึงเงินกองทุนสํารองเลี้ยง
ชีพซึ่งเกี่ยวของกับเงินเดือนและเงินโบนัส อาจใหความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชนที่จะไดรับจากเงิน
กองทุนสํารองเลี้ยงชีพ แตไมจําเปนตองใหรายละเอียดเกี่ยวกับการสะสมเงินกองทุนสํารองเลี้ยงชีพ
เพราะเรื่องนี้มีรายละเอียดมาก
4. ในการดําเนินกิจกรรม “ใชเงินโบนัสอยางไรดี” ครูอาจตั้งประเด็นใหนักเรียนรวมกัน
อภิปรายเกี่ยวกับการใชเงินโบนัสของปติ เชน ชี้ใหเห็นวาปติเปนผูชายที่รักครอบครัวไดเงินโบนัสมาก็
อยากจะแบงปนใหภรรยาและลูกๆ ดวย

16. 16
ครูอาจใชคําถามที่เสริมสรางลักษณะนิสัย ใหนักเรียนรูจักวางแผนการใชเงินอยางมีคุณคา
เชน ถานักเรียนไดรับเงินโบนัส
1) นักเรียนจะวางแผนการใชเงินโบนัสอยางไรบางและ มีเหตุผลอยางไรในการใชเงิน
จํานวนนั้น
2) นักเรียนคิดวาจะออมเงินสวนหนึ่งของเงินโบนัสโดยฝากไวกับธนาคารบางหรือไม
เพราะเหตุใด
5. ปญหา “คิด” เปนตัวอยางโจทยที่เชื่อมโยงสาระทางคณิตศาสตรระหวางจํานวนกับ
เรขาคณิต ในเรื่องรอยละกับพื้นที่ของวงกลม ไดฝกทักษะเกี่ยวกับใชสมบัติของการเทากัน (การแทนคา)
พัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนและความรูสึกเชิงปริภูมิ
1.4 ปญหาชวนคิด (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแกปญหาโดยใชยุทธวิธีตางๆ เชน สรางแบบจําลองสถานการณ
คนหาแบบรูป หาคําตอบโดยใชวิธีการแจกแจงกรณีหรือคิดยอนกลับ
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
ผลบวกของจํานวนคี่
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูวิธีหาคําตอบโดยการสํารวจ สังเกต วิเคราะหแบบรูปการเพิ่ม
จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและนําผลสรุปที่ไดไปใชในการหาคําตอบ
ขอเสนอแนะ
1. ใหนักเรียนศึกษาและทํากิจกรรม “ผลบวกของจํานวนคี่” ถาครูเห็นวานักเรียนมีปญหาใน
การหาคําตอบ ครูควรใชคําถามดังตอไปนี้ชี้นําใหนักเรียนสังเกตแบบรูปจนไดขอสรุป
1) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แรเงาและไมแรเงามีความเกี่ยวของกันอยางไร
นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปไดดังนี้
รูปที่ 1 2 3 4 ---
จํานวนรูปที่แรเงา 0 1 1 + 3 1 + 3 + 5 ---
จํานวนรูปที่ไมแรเงา 1 3 5 7 ---

17. 17
2) ลําดับที่ของรูปเกี่ยวของกับจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดอยางไร
นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปที่ไดดังนี้
รูปที่ 1 2 3 4 ---
จํานวนรูปสี่เหลี่ยม
ทั้งหมด
1
(1)
22
(1 + 3)
32
(1 + 3 + 5)
42
(1 + 3 + 5 + 7)
---
3) ลําดับที่ของรูปสัมพันธกับจํานวนของจํานวนคี่ที่นํามาบวกกันอยางไร
นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปที่ไดดังนี้
รูปที่ 1 2 3 4 ---
จํานวนของจํานวนคี่
ที่นํามาบวกกัน
1
(1)
2
(1 + 3)
3
(1 + 3 + 5)
4
(1 + 3 + 5 + 7)
---
2. กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนหาคําตอบโดยการสังเกตแบบรูป ยังไมตองการใหหาผลบวก
ของจํานวนนับโดยใชสูตร ( )la2
n + เมื่อ a แทนจํานวนแรก l แทนจํานวนสุดทายและ n แทน
จํานวนทั้งหมดที่นํามาบวกกัน
มีอะไรอยูเทาไร
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักแกปญหาโดยสังเกตแบบรูป วิเคราะหความสัมพันธ และใช
แบบรูปในการหาคําตอบ
ขอเสนอแนะ
1. ในการทํากิจกรรมเรื่องนี้ครูควรใหนักเรียนทํางานเปนกลุมเพื่อชวยกันสรางแบบรูป
นักเรียนควรหาคําตอบโดยการลองแทนคาจํานวนในตารางตอไปเรื่อยๆ กอน
2. การหาคําตอบของขอ 2 ที่อยูในสวนเฉลยคําตอบทายบทนี้ เปนคําตอบที่นักเรียนอาจได
จากการสืบเสาะหาคําตอบตอกันไปเรื่อยตามแบบรูปที่พบ ซึ่งอาจไมเห็นความสัมพันธที่จะชวยใหได

18. 18
คําตอบอยางรวดเร็ว ถาครูเห็นวานักเรียนมีความพรอมพอที่จะใหสังเกตพบความสัมพันธได ครูอาจใช
คําถามกระตุนใหนักเรียนคิดและสามารถเห็นความสัมพันธของลําดับของรูปกับจํานวนรูปสามเหลี่ยม
ลําดับของรูปกับจํานวนจุดยอด และลําดับของรูปกับจํานวนดานของรูปสามเหลี่ยม ดังในวงเล็บที่อยูใน
ตารางขางลางนี้
รูปที่ 1 2 3 4 5 ---
จํานวน
รูปสามเหลี่ยม
1
[(2 × 1) – 1]
3
[(2 × 2) – 1]
5
[(2 × 3) – 1]
7
[(2 × 4) – 1]
9
[(2 × 5) – 1]
---
จํานวนจุดยอด
3
[(4 × 1) – 1]
7
[(4 × 2) – 1]
11
[(4 × 3) – 1]
15
[(4 × 4) – 1]
19
[(4 × 5) – 1]
---
จํานวนดานของ
รูปสามเหลี่ยม
3
[(6 × 1) – 3]
9
[(6 × 2) – 3]
15
[(6 × 3) – 3]
21
[(6 × 4) – 3]
27
[(6 × 5) – 3]
---
3. สําหรับการหาคําตอบขออื่น ๆ นักเรียนควรใชแบบรูปที่ไดเสนอไวในตารางในขอ 2 เปน
แนวคิดหาคําตอบ ในกิจกรรมนี้ยังไมไดมุงใหนักเรียนเขียนแบบรูปแสดงความสัมพันธเปนกรณีทั่วไป
แตครูอาจใหนักเรียนบางคนที่มีความสนใจเปนพิเศษคนหาความสัมพันธจากแบบรูป ซึ่งจะไดรูปทั่วไป
เปนดังนี้
ให n แทนลําดับที่ของรูป
หาจํานวนรูปสามเหลี่ยมไดจาก 2n – 1
หาจํานวนจุดยอดไดจาก 4n – 1
หาจํานวนดานของรูปสามเหลี่ยมไดจาก 6n – 3
เงิน – เงิน – เงิน
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชคณิตศาสตรในชีวิตประจําวันและรูจักนํายุทธวิธีบาง
ประการมาชวยในการแกปญหา เชน การแจกแจงกรณี
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําเขาสูกิจกรรมดวยการสนทนาเกี่ยวกับความเปนมาของธนบัตรไทยอยางคราวๆ
2. กิจกรรม “แลกเงิน” เปนกิจกรรมที่มีสถานการณใกลตัวนักเรียนมาก แตนักเรียนอาจไม

19. 19
สนใจและไมเกิดความรูสึกวามีปญหา ถากําหนดเงื่อนไขในการแลกเงินให กิจกรรมนี้จะเปนปญหาที่
ตองคิดและตองใชความรอบคอบในการหาคําตอบ ครูอาจใหนักเรียนทําเปนกลุมยอย ๆ ใหชวยกัน
วิเคราะหและหาคําตอบทั้งควรใหนําเสนอหนาชั้นเรียน ครูควรชี้ใหเห็นความสําคัญของการเขียนคําตอบ
ใหเปนระบบ ซึ่งจะชวยใหนักเรียนหาคําตอบไดครบทุกกรณีงายขึ้น
กอนใหนักเรียนทํากิจกรรม ครูอาจยกตัวอยางปญหาการแลกธนบัตร 50 บาท เปนเหรียญ
หาบาทหรือเหรียญสิบบาท จะเปนชนิดเดียวกันหรือตางชนิดกันก็ไดใหครบทุกกรณี
3. กิจกรรม “แลกเงินตรา” เปนกิจกรรมที่มีสถานการณใกลตัวนักเรียนเชนกัน นักเรียนควรรู
ไวเพราะเชื่อมโยงกับธุรกิจและเศรษฐกิจของประเทศ มีขาวสารเกี่ยวกับอัตราแลกเปลี่ยนเงินตราที่เปลี่ยน
แปลงเกือบทุกวัน ครูอาจหาอัตราแลกเปลี่ยนเงินตราจากหนังสือพิมพรายวันหลาย ๆ วันมาแทนขอมูลใน
หนังสือเรียนก็ได
ในการดําเนินกิจกรรมนี้ครูอาจใชการสนทนาสอดแทรกใหนักเรียนเห็นความมีน้ําใจของยุวดี
ที่ดูแลและชวยเหลือเพื่อนตางชาติ ซึ่งนักเรียนควรถือเปนตัวอยาง
4. สําหรับกิจกรรม “ซื้อสินคา” เปนกิจกรรมที่ตองการฝกใหนักเรียนใชวิธีแจกแจงกรณี
ชวยในการหาคําตอบ สิ่งสําคัญในกิจกรรมนี้คือการหาคําตอบอยางเปนระบบ ซึ่งครูควรใหนักเรียนมานํา
เสนอบนกระดานดําบาง เพื่อใหนักเรียนในชั้นไดเห็นขอดีและขอบกพรองที่ควรไดแกไขไปพรอมๆ กัน
เรียงอิฐปูพื้น
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกแกปญหาโดยใชวิธีการแจกแจงกรณี รูจักจัดขอมูลใหเปน
ระบบ
ขอเสนอแนะ
1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับรูปแบบของการเรียงอิฐซึ่งจะแตกตางกันตามความชอบหรือวัตถุ
ประสงคของการใชงาน สําหรับกิจกรรมนี้จะใหเรียงอิฐตามเงื่อนไขที่กําหนด
2. ครูใหนักเรียนศึกษาตารางซึ่งเปนตัวอยางการเรียงอิฐตามจํานวนกอนอิฐที่กําหนด
ในเบื้องตนครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตวิธีเรียงอิฐอยางเปนระบบและคนพบแบบรูปดวยตัวเอง อาจใหมี
การอภิปรายภายในกลุมจนไดขอสรุป ถานักเรียนมีปญหาในการสังเกตแบบรูปก็ใหครูชี้แนะ
3. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการหาคําตอบโดยใชตารางซึ่งใชการวิเคราะหและแจกแจงกรณี
ควรใหมีการอภิปรายกันภายในกลุมเพื่อหาขอสรุปถึงการเรียงอิฐที่เปนไปไดและเปนไปไมได และให
สังเกตแบบรูปของการเรียงอิฐในแนวนอนและแนวตั้ง นักเรียนควรสังเกตไดวาอิฐที่เรียงในแนวนอน
ตองเปนจํานวนคู

20. 20
4. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมขอ 1 และขอ 2 แลว ครูอาจใหนักเรียนสังเกตจํานวนรูปแบบ
ในตารางชองขวาสุดวาจํานวนรูปแบบที่ไดมีความสัมพันธกันอยางไร อาจมีนักเรียนสังเกตไดวา
จํานวนรูปแบบที่ตองการหาเทากับผลบวกของจํานวนรูปแบบสองจํานวนที่อยูถัดขึ้นไปกอนหนา
ดังแผนภาพ
ผลรวม 1 2 3 5 8 13 ---
ความสัมพันธ 1 2 (1 + 2) (2 + 3) (3 + 5) (5 + 8) ---
แบงที่ดินปลูกผัก
กิจกรรมนี้ตองการฝกทักษะการแกปญหาโดยใชการวิเคราะห
ขอเสนอแนะ
ในกิจกรรมนี้ครูอาจใหนักเรียนคิดวิเคราะหหาคําตอบดวยตัวเองกอน แลวนําเสนอแนวคิด ซึ่ง
นักเรียนอาจมีวิธีคิดที่แตกตางกัน ครูอาจเพิ่มเติมแนวคิดใหชัดเจนโดยใชการถามตอบพรอมทั้งเขียน
ภาพประกอบ เพื่อเนนใหนักเรียนเห็นวาการคิดวิเคราะหในเรื่องนี้จะตองเริ่มมาจาก สิ่งที่โจทยบอกหรือ
เริ่มจากสิ่งที่รูไปหาสิ่งที่ไมรู ในที่นี้จะเริ่มจากพื้นที่ปลูกผักคะนาที่โจทยกําหนดพื้นที่ให 20 ตารางเมตร
ใหครูเขียน 20 ลงในแผนภาพแลวใหนักเรียน หาพื้นที่ของที่ดินแปลงตอไปตามเงื่อนไขที่โจทย
กําหนดซึ่งตองคิดตามลําดับจากสิ่งที่รูดังภาพประกอบตอไปนี้
ถั่วฝกยาว
2×{2×(20×2)}
บวบ
2×(20×2)
ผักบุงจีน
(20×2)
คะนา
(20)
พริกขี้หนู
(20÷2)
ตะไคร
(20÷2)

21. 21
มีลูกอมอยูกี่เม็ด
กิจกรรมนี้ตองการฝกทักษะการแกปญหาโดยใชวิธีการคิดยอนกลับ
ขอเสนอแนะ
1. การแกปญหาในกิจกรรมนี้ตองคิดยอนกลับโดยเริ่มคิดจากจํานวนลูกอมที่เหลืออยูสุดทาย1เม็ด
ครูอาจใชการถามตอบใหนักเรียนชวยกันคิด และเติมคําตอบในตารางใหไดคําตอบดังนี้
การแบง จํานวนลูกอม (เม็ด) จํานวนลูกอมที่เพื่อนไดรับ (เม็ด)
ครั้งที่ เหลือ กอนการแถม กอนการแบง คนที่ 3 คนที่ 2 คนที่ 1
3 1 1 + 1 = 2 2 × 2 = 4 2 + 1 = 3
2 4 4 + 1 = 5 2 × 5 = 10 5 + 1 = 6
1 10 10 + 1 = 11 2 × 11 = 22 11 + 1 = 12
นั่นคือ เดิมกนกมีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด
การแกปญหานี้ทางตรง จะเริ่มคิดจากจํานวนลูกอมที่มีอยูเดิมกอนที่จะแจกใหเพื่อนๆ โดย
ใชสมการชวยหาคําตอบดังนี้
สมมุติใหกนกมีลูกอมอยูเดิม x เม็ด
เพื่อนคนที่หนึ่งจะไดรับลูกอม 1
2
x + เม็ด
หลังจากใหเพื่อนคนที่หนึ่งแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก ( ) 12
x12
xx −+− = เม็ด
เพื่อนคนที่สองจะไดรับลูกอม 1
2
1
4
x11
2
x
2
1 +−+



 − =
2
1
2
x += เม็ด
หลังจากใหเพื่อนคนที่สองแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก ( ) ( ) 2
3
4
x
2
1
4
x12
x −+−− = เม็ด
เพื่อนคนที่สามจะไดรับลูกอม ( ) 14
3
8
x12
3
4
x
2
1 +−+− =
4
1
8
x += เม็ด
หลังจากใหเพื่อนคนที่สามแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก ( ) ( ) 4
7
8
x
4
1
8
x
2
3
4
x −+−− = เม็ด

22. 22
จํานวนลูกอมที่เหลืออยูในครั้งนี้เทากับ 1 เม็ด
จึงไดสมการ 14
7
8
x =−
814x =−
22x =
เมื่อตรวจสอบจะไดวาจํานวนลูกอม 22 เม็ด เปนคําตอบที่ถูกตอง
ดังนั้น กนกมีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด
เนื่องจากนักเรียนในชั้นนี้ยังไมมีความรูในการแกสมการที่ซับซอน วิธีนี้จึงยังไมเหมาะที่จะ
นํามาใช ครูจึงควรชี้แนะใหนักเรียนหาคําตอบโดยคิดแบบยอนกลับ
ถาครูพิจารณาเห็นวาปญหานี้ยากเกินไปสําหรับนักเรียนทุกคน อาจใหเฉพาะนักเรียนที่มี
ความสามารถพิเศษทําก็ได
2. ในการแกปญหาเรื่องนี้ครูอาจจําลองสถานการณโดยใชลูกอมหรือวัตถุอยางอื่นแทน เชน
เม็ดมะขาม กอนหิน ใหนักเรียนไดคิดและปฏิบัติจริงๆ ถาครูเห็นวานักเรียนตอบไดและเขาใจดีแลว
ครูอาจขยายปญหาใหยากขึ้นโดยปรับโจทยใหมีการแบงใหเพื่อน 5 คน หรือ 6 คนก็ได
ครูควรกลาวสรุปปดทายบทเรียนวาวิธีแกปญหาทางคณิตศาสตรมียุทธวิธีหลากหลาย นักเรียน
จะตองมีความคิดยืดหยุนและพยายามใชวิธีแกปญหาหลายๆ วิธี การไดฝกทักษะในการแกปญหา
ทางคณิตศาสตรมากๆ จะชวยทําใหนักเรียนเรียนคณิตศาสตรไดดีขึ้นดวย

23. 23
คําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม”
2. ใชไมจิ้มฟน 4 อันถึง 8 อันเพื่อตอกันเปนรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูป บันทึกผลที่ไดในตารางใหครบ
ทุกกรณี ไดดังนี้
ตอกันเปน
รูปสามเหลี่ยม
จํานวนไมจิ้มฟนที่ตอเปนดาน
(อัน)
จํานวนไมจิ้มฟน
ทั้งหมด (อัน)
ได ไมได ดานที่ 1 ดานที่ 2 ดานที่ 3
3 1 1 1
4 1 1 2
5
1
1
1
2
3
2
6
1
1
2
1
2
2
4
3
2
7
1
1
1
2
1
2
3
2
5
4
3
3
8
1
1
1
2
2
1
2
3
2
3
6
5
4
4
3

24. 24
3.
ความยาวของดาน (หนวย)
ความยาวรอบรูป (หนวย)
ดานที่ 1 ดานที่ 2 ดานที่ 3
3 1 1 1
5 1 2 2
6 2 2 2
7 1
2
3
2
3
3
8 2 3 3
4.
1) ไมมี
2) ไมมี
3) ทุกกรณี
4) ผลบวกของความยาวของดานสองดานใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะมากกวาความยาวของดาน
ที่เหลือเสมอ
5. ใช
คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”
1.
(1) ขอ 1), 4), 5) และ 6) เพราะมีผลบวกของความยาวของดานสองดานทุกคูมากกวาดานที่เหลือ
(2) ขอ 2) และ 3) เพราะมีผลบวกของความยาวของดานสองดานอยางนอย 1 คูนอยกวา
หรือเทากับความยาวของดานที่เหลือ
2. AB + BC = AC
3. กรณีที่ 1 ได ในกรณีที่ A, B และ C เปนจุดสามจุดที่ไมเรียงอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
ดังตัวอยาง
AB + BC มากกวา AC
กรณีที่ 2 ไมได ในกรณีที่ A, B และ C เปนจุดสามจุดที่เรียงกันดังตัวอยาง
A C
B
A C B
AB + BC มากกวา AC

25. 25
4. เดินตามแนว AB เพราะวาทางเดินในแนวอื่นๆ จะอยูในลักษณะ AC + CB ซึ่งยาวกวา AB
ดังรูปตัวอยาง
5. ทําได เพราะวาความยาวของแตละดานไมจําเปนตองเปนจํานวนนับ เชน อาจวางเชือกใหมีความยาว
ของดานเปน 1.5 เมตร 1.5 เมตร และ 1 เมตร
คําตอบกิจกรรม “สํารวจจุด”
1.
ขอ จุดขางนอก จุดขางใน
1)
2)
3)
4)
5)
B
A และ B
B และ C
B
A และ C
A และ C
C
A
A และ C
B
2. วิธีที่ใชหาคําตอบในขอ 1 เมื่อใชกับรูปในขอ 5) จะไมสะดวกเพราะตองใชเวลานานขึ้น นาจะมีวิธี
หาคําตอบที่ดีกวานี้
3.
ขอ จุด จุดขางใน จุดขางนอก จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียว (จุด)
1) A
B
C
1
2
1
2) A
B
C
2
2
3
A
B
C

26. 26
ขอ จุด จุดขางใน จุดขางนอก จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียว (จุด)
3) A
B
C
1
2
2
4) A
B
C
5
2
3
5) A
B
C
4
5
4
หมายเหตุ จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียวอาจหาไดแตกตางกัน
4.
1) จุดขางนอก
2) จุดขางใน
3) ถาลากสวนของเสนตรงจากจุดที่กําหนดใหออกมาขางนอกรูป ถาไดจํานวนจุดตัดเปน
จํานวนคู จุดนั้นจะเปนจุดขางนอก และถาไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคี่ จุดนั้นจะเปนจุด
ขางใน
5. P และ X เปนจุดขางนอก
Q และ Y เปนจุดขางใน
คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”
3. A, B, E และ F เปนจุดขางใน
C และ D เปนจุดขางนอก
คําตอบกิจกรรม “พวกเดียวกันหรือไม”
1. สามารถลากเสนเชื่อมจุด P กับจุด Q ไดโดยไมตัดผานเสนรอบรูป
2. สามารถลากเสนเชื่อมจุด X และจุด Y ไดโดยไมตัดผานเสนรอบรูป

27. 27
คําตอบปญหา “ชวนคิด”
ขุนแผนจะตองสะเดาะกลอนผานกําแพงอยางนอยหนึ่งชั้น เพราะจุด A ที่ขุนแผนยืนอยูเปนจุดขาง
ในคายกลที่มีลักษณะเปนเสนโคงปดเชิงเดียว
คําตอบกิจกรรม “เชื่อสายตาหรือไม”
1. ยาวเทากัน
2. ยาวเทากัน
3. ยาวไมเทากัน
4. ยาวเทากัน
5. ทุกคูขนานกันหมด
6. พื้นที่เทากัน (วงกลมในที่นี้หมายถึงรูปที่มีเสนทึบ)
คําตอบกิจกรรม “สรางแทนแกรม”
2.
1) ∆ DEF, ∆ ERC, ∆ IPQ, ∆ ABQ และ ∆ BQC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปในขอ 1) เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวย
3) IERQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4) IFAP เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
3. ตัวอยาง ความสัมพันธที่พบ
1) FI = IE, ER = IQ, IP = EC ฯลฯ
2) ∆ ERC กับ ∆ IQP ทับกันไดสนิทพอดี
3) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ ∆ DEF
4) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ IERQ
5) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ IFAP
6) พื้นที่ของ ∆ DEF เทากับพื้นที่ของ IERQ และเทากับพื้นที่ของ IFAP
7) พื้นที่ของ ∆ DEF = 4
1 ของพื้นที่ของ ∆ ADC
8) พื้นที่ของ ∆ ABQ เทากับพื้นที่ของ ∆ BQC

28. 28
9) พื้นที่ของ ∆ ABQ = 4
1 ของพื้นที่ของ ABCD
10) พื้นที่ของ ∆ DEF = 2
1 ของพื้นที่ของ ∆ ABQ
ฯลฯ
คําตอบกิจกรรม “คิดเปนเศษสวนเทาไร”
1. รูป A และรูป B มีพื้นที่เทากัน
รูป D และรูป F มีพื้นที่เทากัน
รูป E รูป C และรูป G มีพื้นที่เทากัน
2. รูป A มีพื้นที่เทากับ 4
1 ของพื้นที่ของ PQRS
3. รูป F มีพื้นที่เทากับ 2
1 ของพื้นที่ของรูป E
4. รูป E มีพื้นที่เทากับ 2
1 ของพื้นที่ของรูป A
5. รูป E มีพื้นที่เทากับ 4
1 ของพื้นที่ของ ∆ PQR
6. รูป C มีพื้นที่เทากับ 8
1 ของพื้นที่ของ PQRS
7. รูป D มีพื้นที่เทากับ 16
1 ของพื้นที่ของ PQRS
8. พื้นที่ของ PQRS เทากับ 16 ตารางหนวย

29. 29
คําตอบกิจกรรม “สูตรคูณแสนสนุก”
1.
แม 2 แม 3 แม 4 แม 5 แม 6 แม 7 แม 8 แม 9 แม 10 แม 11 แม 12
ตัวตั้ง
ตัวคูณ
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144
2.
1) สูตรคูณแม 2, 4, 6, 8, 10 และ 12 เพราะผลคูณของจํานวนคูกับจํานวนเต็มใดๆ จะเปน
จํานวนคูเสมอ
2) ไมมี เพราะสูตรคูณทุกแมตองมีตัวคูณเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลคูณจึงมีทั้งจํานวนคู
และจํานวนคี่
3) สูตรคูณแม 3, 5, 7, 9 และ 11 เพราะเมื่อนําแมสูตรคูณไปคูณกับจํานวนคูจะใหผลคูณ
เปนจํานวนคูและเมื่อไปคูณกับจํานวนคี่จะใหผลคูณเปนจํานวนคี่
4) สูตรคูณแม 3, 7, 9 และ 11
5) มีคําตอบไดหลากหลาย เชน สูตรคูณแม 5 เปนสูตรคูณเดียวที่มีเลขโดดในหลักหนวยของ
ผลคูณเปนจํานวนคี่ คือ 5 หรือจํานวนคู คือ 0 เทานั้น

30. 30
3.
1) ไดภาพเหมือนกันแตตางกันที่ทิศทางการโยงจํานวนซึ่งมีลูกศรกลับทิศกัน เพราะวาไดเลข
โดดในหลักหนวยของผลคูณชุดเดียวกันแตเรียงลําดับกลับกัน
2) ชุดเดียวกัน
3) อาจใหชื่อภาพวา “ดาว” หรือ “ดาวตางดวง” ฯลฯ
4.
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 2
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 3
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 4
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 5
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 6

31. 31
หมายเหตุ เนื่องจากสูตรคูณแม 10 มีหลักหนวยของผลคูณเปน 0 เพียงตัวเดียว จึงไมสามารถ
ลากสวนของเสนตรงเชื่อมโยงกับจํานวนอื่นๆ ได
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 6
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 7
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 8
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 9
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 10
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 11
1
2
34
5
6
7
8 9
0
แม 12

32. 32
5.
1) แม 2 กับแม 8 แม 3 กับแม 7 แม 4 กับแม 6 และแม 9 กับแม 11 เพราะวา
สูตรคูณแตละคูมีหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกัน แตการเรียงลําดับของเลข
โดดจะกลับกัน
2) แม 2 กับแม 12 เพราะวาสูตรคูณทั้งสองมีหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกัน
และเรียงลําดับเหมือนกัน หรือเพราะวา 12 = 10 + 2 เมื่อนํา 12 ไปคูณกับจํานวนเต็มตั้ง
แต 1 ถึง 12 จะไดหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกันกับที่ปรากฏในผลคูณ
ของสูตรคูณแม 2
6.
1) กรณีใหภาพเหมือนกันและมีทิศทางของเสนไปทางเดียวกัน ผลตางของแมสูตรคูณทั้งสอง
จะหารดวย 10 ลงตัว
2) กรณีใหภาพเหมือนกันและมีทิศทางของเสนตรงขามกัน ผลบวกของแมสูตรคูณทั้งสองจะ
หารดวย 10 ลงตัว
7. แตละขอมีหลายคําตอบ เชน
1) แม 6 กับแม 16 แม 13 กับแม 23 แม 14 กับแม 24 ฯลฯ
2) แม 7 กับแม 13 แม 14 กับแม 16 แม 19 กับแม 21 ฯลฯ
คําตอบกิจกรรม “รอนหาจํานวนเฉพาะ”
คําตอบของคําถามหนา 24
จํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 102 มี 26 จํานวนไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 และ 101
คําตอบของคําถามหนา 25
89, 149 และ 179 เปนจํานวนเฉพาะ
221, 413, 779 และ 893 ไมเปนจํานวนเฉพาะ
เพราะ 221 = 17 × 13 779 = 19 × 41
413 = 7 × 59 893 = 19 × 47

33. 33
คําตอบ “ปญหาชวนคิด”
ขอความคาดการณของกวีไมจริง สามารถยกตัวอยางคานไดวา (2 × 7) + 1 = 15 และ 15
ไมใชจํานวนเฉพาะ
คําตอบกิจกรรม “ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด”
คําตอบแบบฝกหัดหนา 31
1.
1) 39
2) 3
3) 2
4) 12
2.
1) 3,556
2) 39,648
3) 3,640
4) 9,240
3. 59,581
4. 168
5. 1,311 และ 1,748
คําตอบกิจกรรม “ลองเปรียบเทียบดู”
1. ไมเทากัน เพราะเปนรอยละเดียวกันของจํานวนที่ตางกัน
2. มากกวา 45 เพราะวาจํานวนที่นํามาคิดเปนรอยละเปนจํานวนเดียวกันคือ 500 แต 12% มากกวา9%
3. นอยกวา 36 เพราะวาเปนรอยละเดียวกันของจํานวนที่ตางกันคือ 270 และ 300 แต 270 นอยกวา300