1. บทที่ 2
ระบบสมการ (11 ชั่วโมง)
2.1 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง (5 ชั่วโมง)
2.2 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ (6 ชั่วโมง)
เนื้อหาในบทนี้ขยายความรูตอจากระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีสองสมการและกราฟของ
ระบบสมการดังกลาว การแกระบบสมการที่มีดีกรีไมเกินสองโดยใชสมบัติของการเทากัน และนําความรู
ที่ไดไปแกโจทยปญหาที่กําหนดให
สาระในบทนี้ไมเนนการหาคําตอบของระบบสมการโดยใชกราฟ สําหรับกราฟที่เสนอไวใน
ตัวอยาง มีเจตนาใหเห็นความสอดคลองกันระหวางคําตอบของระบบสมการที่หาไดจากการใชสมบัติของ
การเทากันและคําตอบที่หาไดจากกราฟ ทั้งยังเปนการเติมเต็มความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของระบบ
สมการจากกราฟ ซึ่งเปนแนวโนมของการศึกษาคณิตศาสตรประยุกตในปจจุบัน
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. แกระบบสมการสองตัวแปรที่สมการมีดีกรีไมเกินสองที่กําหนดใหได
2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับระบบสมการสองตัวแปรที่สมการมีดีกรีไมเกินสองที่กําหนดใหได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
หมายเหตุ สําหรับกราฟในหนังสือเรียนหนา 50 เปนกราฟของระบบสมการ
y = 0.1x3
– 0.6x2
– 1.5x + 5.6
y = 0.3x2
– 1.2x – 1.5
y = 0.6x – 1.2
กราฟของ y = 0.6x – 1.2 เปนเสนตรง กราฟของ y = 0.3x2
– 1.2x – 1.5 เปน
พาราโบลา และที่เหลือเปนกราฟของ y = 0.1x3
– 0.6x2
– 1.5x + 5.6

2. 38
แนวทางในการจัดการเรียนรู
2.1 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. แกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสองที่กําหนดใหโดยใชสมบัติ
ของการเทากันได
2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการเริ่มบทเรียนนี้ ครูอาจทบทวนความรูเกี่ยวกับการแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร
และอาจยกตัวอยางโจทยปญหาเชนที่เสนอไวในบทนําของบทเรียนนี้ เพื่อใหนักเรียนไดเห็นวาบางปญหา
หรือบางสถานการณจะแทนดวยสมการดีกรีสอง ซึ่งการหาคําตอบดวยการลองแทนคาในตัวแปรอาจทําได
ยาก จึงตองศึกษาวิธีการแกระบบสมการ
ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร คูอันดับที่
สอดคลองกับสมการทั้งสอง และจํานวนคําตอบของระบบสมการ จากนั้นจึงแนะนํารูปทั่วไปของระบบ
สมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง
Ax2
+ By2
+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 และ
Px + Qy + R = 0
ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนพิจารณาวา ถา A, B และ C เทากับศูนยพรอมกัน และ P, Q
เทากับศูนยพรอมกัน แลวระบบสมการดังกลาวจะเปนอยางไร
2. ในการแกระบบสมการในตัวอยางไดแสดงการเขียนตัวแปรตัวหนึ่งในสมการเชิงเสนใหอยูใน
รูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง แลวนําตัวแปรนั้นไปแทนในสมการดีกรีสอง เชน
ระบบสมการ x + y = 2 ……. 1
y – x2
= 0 ……. 2
แทน y ในสมการ 2 ดวย 2 – x ไดเปน (2 – x) – x2
= 0 หรือ x2
+ x – 2 = 0
ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นวา ในบางระบบสมการอาจแทนตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งในรูปพหุนาม
ดีกรีสองก็ได เชน ระบบสมการขางตนอาจเขียน y = x2
และแทน y ดวย x2
ในสมการ x + y = 2
ไดเปน x + x2
= 2 หรือ x2
+ x = 2 หรือ x2
+ x – 2 = 0 ก็ได แตวิธีนี้อาจไมสะดวกถา
ระบบสมการนั้นมีสมการดีกรีสองที่ซับซอนปรากฏอยู

3. 39
3. ในตัวอยางที่แสดงใหเห็นคําตอบของระบบสมการโดยการใชสมบัติของการเทากันและจาก
กราฟ มีเจตนายกตัวอยางเฉพาะระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองที่มีกราฟเปนพาราโบลาและ
สมการเชิงเสน ทั้งนี้เพราะนักเรียนมีความรูพื้นฐานเกี่ยวกับกราฟเสนตรงและพาราโบลาอยูแลว ตัวอยาง
จึงไมไดกลาวถึงระบบสมการที่แสดงกราฟวงกลม วงรีหรือไฮเพอรโบลากับกราฟเสนตรง และครูควร
ชี้ใหเห็นลักษณะของคําตอบของระบบสมการในหัวขอนี้ซึ่งมีอยู 3 แบบคือ มีคําตอบสองคําตอบ มีคําตอบ
เพียงคําตอบเดียวและไมมีคําตอบ การพิจารณาคําตอบจากกราฟใหอานจากพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้ง
สอง
4. สําหรับตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 4 เปนการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสน
และสมการดีกรีสองในรูปทั่วไป โดยใชสมบัติของการเทากันนั้น ครูควรย้ํากับนักเรียนในเรื่องการ
ตรวจสอบคําตอบซึ่งตองแทนคา x และ y ที่หาไดในสมการทั้งสองของระบบสมการ และในกรณีโจทย
ปญหาเชนตัวอยางที่ 5 จะตองตรวจสอบคาที่หาไดกับเงื่อนไขในโจทยวาสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย
หรือไม
5. สําหรับกิจกรรม “มีเพียงคําตอบเดียว” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกี่ยวกับการ
หาคําตอบของสมการกําลังสองไปใชในการวิเคราะหหาเงื่อนไขเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการ โจทยใน
ลักษณะของกิจกรรมนี้ครูไมควรนําไปวัดผลกับนักเรียน
6. สําหรับกิจกรรม “ใชกราฟหาคําตอบ” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวา สามารถหาคําตอบ
ของระบบสมการจากกราฟที่กําหนดใหไดโดยพิจารณาที่จุดตัดของกราฟทั้งสองของระบบสมการ พิกัดของ
จุดตัดทุกจุดคือ คําตอบของระบบสมการ โจทยในลักษณะของกิจกรรมนี้ครูไมควรนําไปวัดผลกับนักเรียน
เชนกัน
2.2 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ (6 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. แกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการที่กําหนดใหโดยใชสมบัติของ
การเทากันได
2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูใหขอสังเกตกับนักเรียนเกี่ยวกับการจํากัดลักษณะของพจนที่อยูในระบบสมการทั้งสอง
สมการใหเปนไปตามเงื่อนไขที่กําหนด ทั้งนี้เพราะไมตองการใหเกิดความยุงยากเกินไปในการหาคําตอบ
ของระบบสมการ

4. 40
2. ครูควรยกตัวอยางการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการโดยใช
สมบัติของการเทากันใหนักเรียนเห็นวา ระบบสมการอาจมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว มีคําตอบหลายคําตอบ
หรือไมมีคําตอบเลยก็ได
ถาครูมีความรูเกี่ยวกับเครื่องคํานวณเชิงกราฟหรือโปรแกรมทางคอมพิวเตอรก็อาจเขียนกราฟ
ของระบบสมการเพื่อแสดงคําตอบใหนักเรียนเห็น และอาจเพิ่มเติมระบบสมการที่มี 3 คําตอบ
นอกเหนือจากตัวอยางในหนังสือเรียนเชน x2
+ y2
= 4 และ y = x2
– 2
3. การแกระบบสมการในหัวขอนี้แมจะไมไดเนนถึงการแสดงการตรวจสอบคําตอบของระบบ
สมการ ทั้งนี้เพราะไมตองการใหนักเรียนเกิดความยุงยากในการเขียนแสดงการตรวจสอบคําตอบ แตครู
ควรย้ํากับนักเรียนวาการตรวจสอบคําตอบของระบบสมการยังจําเปนตองทําเสมอ อาจตรวจสอบในใจหรือ
ในกระดาษอื่น ๆ ทั้งนี้เพราะนักเรียนอาจดําเนินการคํานวณผิดพลาดได สําหรับโจทยปญหาที่เกี่ยวกับ
ระบบสมการ นักเรียนตองแสดงการตรวจสอบคําตอบใหสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทยเสมอ
4. สําหรับกิจกรรม “คิดหนอยนะ” โจทยขอ 1 เปนปญหาที่ตองการใหนักเรียนไดเห็นระบบ
สมการที่คําตอบของปญหาอยูในรูปตัวแปร และโจทยขอ 2 เปนโจทยที่นักเรียนจะไดวิเคราะหและ
ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
5. สําหรับกิจกรรม “คําตอบจากกราฟ” มีเจตนาใหนักเรียนหาคําตอบของระบบสมการไดจาก
การหาพิกัดของจุดตัดของกราฟที่กําหนดให ครูอาจทําความเขาใจเกี่ยวกับคําสั่งของกิจกรรมกอนก็ได ถา
ครูคิดวานักเรียนสวนใหญจะไมทราบ และกิจกรรมนี้ครูไมควรนําไปใชในการวัดผลและไมจําเปนตองหา
โจทยในลักษณะนี้เพิ่มเติม
6. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 เสริมทักษะการคํานวณเกี่ยวกับระบบสมการเพิ่มเติมก็ได
0 X
Y
x2
+ y2
= 4
y = x2
-2
(0, -2)
( 3 , 1)(- 3 , 1)

5. 41
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 2.1
1.
1) (4, 3), (-4, -3)
2) (−
2
9
, −
22
9
), (2, 2)
3) (-5, -3), (5, 3)
4) (5, 2)
5) (1, 1)
6) (4, -2), (1, 1)
7) (-10, -4), (2, 2)
8) (-3, 1), ( 40
13
, −
27
52
)
9) (-3, 4), (4, -3)
10) ไมมีคําตอบ
2. 7
2
และ 5
2
3. 12 × 18 ตารางเซนติเมตร
4. 7 เซนติเมตร และ 5 เซนติเมตร
คําตอบกิจกรรม “มีเพียงคําตอบเดียว”
17
4
คําตอบกิจกรรม “ใชกราฟหาคําตอบ”
1. (-3, 4), (0, 1)
2. (1, 0)
3. (-2, 0), (0, 2)
4. (0, 1)
5. (2, -1), (5, 2)
6. (-1, -1), (0, 0), (1, 1)

6. 42
คําตอบแบบฝกหัด 2.2
1.
1) (0, 2), (0, -2)
2) ( 2 , 3), ( 2 , -3), (- 2 , 3), (- 2 , -3)
3) ( 1
5
, −
11
5
), (−
1
5
, −
11
5
)
4) (-2, 3), (2, -3)
5) (2, 5 ), (2, – 5 )
6) ( 2
3
, 3
2
)
7) (2, 15
2
), (2, −
15
2
)
8) (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3)
9) ไมมีคําตอบ
10) ( a , −
a
2
), ( a , a
2
), (– a , −
a
2
), (– a , a
2
)
2. 8 และ 12
3. 6 และ 5
3
4. 9 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร
คําตอบกิจกรรม “คิดหนอยนะ”
1. 2ax + ah + b
2. ความยาวเปน 7 เซนติเมตร และความกวางเปน 2 เซนติเมตร
คําตอบกิจกรรม “คําตอบจากกราฟ”
1. (1, 1), (-1, 1)
2. (1, 0), (-1, 0)
3 (0, 2), (0, -2)
4 (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)
5 (1, 1), (-1, -1)
6 (1, 1), (0, 1), (-1, 1)
คําตอบกิจกรรม “คิดดูหนอย”
4 กับ 3 และ -3 กับ -4

7. 43
แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

8. 44
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2
แบบฝกหัดนี้จัดไวเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อใชทบทวนความรูเรื่องการแกระบบสมการและการนําไปใช
แกโจทยปญหา
1. จงหาคําตอบของระบบสมการตอไปนี้
1) x + 2y = 1
x2
+ xy = 28 [(7, -3) และ (-8, 9
2
)]
2) 3x – y = -9
3x2
– y2
= -33 [(-1, 6) และ (-8, -15)]
3) x2
– 3x – y = 6
2x – y = 0 [(6, 12) และ (-1, -2)]
4) 2xy – x2
= -95
3xy + x2
= -80 [(5, -7) และ (-5, 7)]
5) 4x2
– 5y2
= 1
5x2
+ 4y2
= 61
16
[( 3
4
, 1
2
), ( 3
4
,−
1
2
), (−
3
4
, 1
2
) และ (−
3
4
, −
1
2
) ]
2. ผลบวกของจํานวนสองจํานวนเทากับ 208 และกําลังสองของผลตางของจํานวนทั้งสองเทากับ 16,384
จงหาจํานวนทั้งสองนั้น [40 และ 168]
3. ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวรอบรูป 70 เซนติเมตร ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่ง
ยาว 20 เซนติเมตร ผลตางของกําลังสองของอีกสองดานที่เหลือเทากับ 400 จงหาพื้นที่ของ ∆ABC
[210 ตารางเซนติเมตร]
4. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จุด E และ
จุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ BC ตามลําดับ
AC = 17 หนวย และความยาวรอบรูปของ BEOF
เทากับ 23 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BC
[15 และ 8 หนวย]
5.
จากรูป ABCD และ CEFG เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่
ของ ABCD มากกวาพื้นที่ของ CEFG เทากับ 458
ตารางหนวย อยากทราบวาความยาวของดานของ ABCD
มากกวาความยาวของดานของ CEFG เทาไร
[4 เซนติเมตร]A B
CD E
F G
A B
CD
F
E
O