More Related Content Similar to Basic m2-2-chapter4 Similar to Basic m2-2-chapter4 (20) More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20) Basic m2-2-chapter41. บทที่ 4
เสนขนาน (18 ชั่วโมง)
4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)
4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)
นักเรียนเคยเรียนรูเกี่ยวกับเสนขนานและสมบัติบางประการของเสนขนานมาแลว ในบทนี้จะ
เพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับสมบัติของเสนขนานและการนําสมบัติเหลานั้นไปใชในการใหเหตุผลเกี่ยวกับขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งสามารถนําไปใชในการใหเหตุผลอยางตอเนื่องเกี่ยวกับเงื่อนไขของ
ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน
ลักษณะการนําเสนอสาระในแตละหัวขอ จะมีกิจกรรมสํารวจที่เกี่ยวของกับสมบัติของเสนขนานซึ่ง
เปนทั้งทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทเหลานั้น ครูควรใหนักเรียนไดสรางขอความคาดการณจากผล
การสํารวจแลวเขียนขอสรุปเปนทฤษฎีบท พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ใน
ทฤษฎีบทดวย
สําหรับแบบฝกหัดในบทนี้ตองการฝกใหนักเรียนรูจักใหเหตุผลบางเพียงเพื่อเปนพื้นฐานในการ
พิสูจนในชั้นตอไป ถึงแมวาโจทยแบบฝกหัดบางขอจะเปนการคํานวณหาขนาดของมุมตาง ๆ ครูก็อาจนํา
โจทยเหลานั้นมาใหนักเรียนไดบอกเหตุผลและเรียนรูรวมกันในชั้นเรียนดวย การเขียนคําอธิบายหรือการ
ใหรายละเอียดในการบอกเหตุผลใหอยูในดุลพินิจของครู สําหรับตัวอยางการอางเหตุผลที่นําเสนอใน
หนังสือเรียนจะอางโดยใชขอความที่เปนทฤษฎีบท หรือสมบัติที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ซึ่งเปนการอาง
เหตุผลที่นิยมใชกันโดยทั่วไป อีกทั้งเพื่อใหนักเรียนคุนเคยและจดจําขอความนั้น ๆ ได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. บอกสมบัติของเสนขนาน และบอกเงื่อนไขที่ทําใหเสนตรงสองเสนขนานกัน
2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการ
3. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการ
ใหเหตุผลและแกปญหาได
2. 63
แนวทางในการจัดการเรียนรู
4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกบทนิยามของเสนขนานได
2. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน แลวระยะหางระหวางเสนตรงคูนั้นจะเทากันเสมอ
3. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนมีระยะหางระหวางเสนตรงเทากันเสมอ แลวเสนตรงคูนั้นจะ
ขนานกัน
4. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อกําหนดใหเสนตรง
เสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
5. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ ขนาด
ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา และนําสมบัตินี้
ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ในสิ่งแวดลอมรอบตัวที่มีลักษณะของเสนขนานบนระนาบ
เดียวกัน เพื่อนําเขาสูบทนิยามของการขนานกันของเสนตรง ครูควรชี้แจงใหนักเรียนเห็นวา บทนิยาม
ดังกลาวนี้สามารถนําไปใชกับการขนานกันของสวนของเสนตรงและรังสี เมื่อสวนของเสนตรงและรังสีนั้น
เปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่ขนานกัน
2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับระยะหาง
ระหวางเสนขนาน ครูอาจทบทวนความรูและทําความเขาใจเพิ่มเติมกับนักเรียนใน 2 ประเด็น ดังนี้
1) ระยะหางระหวางจุดจุดหนึ่งกับเสนตรงจะหมายถึง ความยาวของสวนของเสนตรงที่
ลากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเสนตรง ดังรูป
จากรูป PQ ตั้งฉากกับ AB จะได PQ คือระยะหางระหวางจุด P กับ AB
P
A Q B
3. 64
2) เมื่อกลาวถึงระยะหางระหวางเสนขนานที่กลาววา มีระยะหางระหวางเสนตรง
เทากันเสมอนั้น ในการตรวจสอบการเทากันของระยะหางของเสนขนานนี้
ในทางปฏิบัติ จะวัดหาระยะหางจากจุดที่แตกตางกันอยางนอยสองจุดบนเสนตรง
เสนหนึ่งไปยังเสนตรงอีกเสนหนึ่งก็เปนการเพียงพอแลว ทั้งนี้เนื่องจากมีเสนตรงเพียง
เสนเดียวเทานั้นที่ลากผานจุดสองจุดที่กําหนดใหได
3. สําหรับกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน” เปนกิจกรรมที่ทําใหนักเรียนเกิดความตระหนักวา
ในการตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันหรือไม ถาใชบทนิยามของเสนขนานโดยตรงหรือพิจารณาจาก
ระยะหางระหางเสนตรงทั้งสองนั้นอาจไมสะดวก จึงใชกิจกรรมนี้นําเขาสูการตรวจสอบโดยใชวิธีการอื่น
เชน ตรวจสอบจาก ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดของเสนตรงสองเสนที่
กําหนดใหนั้น
4. ในกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด” สําหรับ
กิจกรรมขอ 3 ตองการใหนักเรียนสรางขอความคาดการณจากกิจกรรมขอ 1 และขอ 2 เพื่อใหไดผลสรุป
เกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด กิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสมบัติของ
เสนขนานที่เปนประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคเปนทฤษฎีบทที่ใชคําวา “ก็ตอเมื่อ”
ซึ่งความรูในสวนนี้ เคยกลาวไวแลวในสาระการเรียนรูเพิ่มเติม ม.1 เลม 2 เรื่องการเตรียมความพรอมใน
การใหเหตุผล จึงอาจมีนักเรียนบางคนไมไดเรียนเนื้อหานี้มากอน ครูจึงตองใหความรูเพิ่มเติมกับนักเรียน
กลุมนี้และอาจทบทวนความรูกับกลุมนักเรียนที่เคยรูจักคํานี้มาแลว
ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูจะตองใหนักเรียนเขาใจความหมายของ
ทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทนั้น พรอมทั้งชี้ใหเห็นวา เมื่อพบขอความที่ตองพิสูจนมีคําวา
“ก็ตอเมื่อ” เชื่อมขอความอยู เราจะตองแยกขอความนั้นเปนประโยคเงื่อนไขสองประโยคแลวพิสูจนวา
ทั้งสองประโยคเปนจริง จึงจะถือวาเปนการพิสูจนขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ซึ่งขอความเหลานี้มักเปน
ทฤษฎีบทที่มีบทกลับ เชน
ทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งเสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ
ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา”
5. หลังจากนักเรียนไดเรียนตัวอยางที่ 4 แลว ครูควรสรุปใหนักเรียนเห็นวาการขนานกันของ
เสนตรงมีสมบัติถายทอด เมื่อมีเสนตรงสามเสนขนานกันก็จะไมใชสัญลักษณ เชน AB // CD // EF แต
จะใชขอความวา AB, CD และ EF ขนานกัน
6. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 มีโจทยบางขอไดเชื่อมโยงความรูโดยใชสมการมาชวยหาขนาดของ
มุมที่เกี่ยวกับเสนขนาน ครูควรประเมินโดยการสังเกตวา นักเรียนสามารถเชื่อมโยงความรูดังกลาวนี้ได
หรือไม
4. 65
4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวามุมคูใดเปนมุมแยง เมื่อกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
2. บอกไดวาเมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี
ขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในหัวขอนี้ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงสาระวา การพิจารณาหรือตรวจสอบวาเสน
ตรงสองเสนขนานกันหรือไม นอกจากจะใชความรูเกี่ยวกับเสนขนานและขนาดของมุมภายในที่อยูบนขาง
เดียวกันของเสนตัด มาตรวจสอบแลวยังสามารถใชสมบัติของมุมแยงมาตรวจสอบได ดังกิจกรรมที่เสนอ
ไวในหัวขอนี้
2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะของ
มุมแยงและขนาดของมุมแยง ครูควรกลาวถึงในประเด็นตอไปนี้
1) มุมแยงที่เกิดจากเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง อาจเกิดจากเสนตรงที่ขนานกัน
หรือไมขนานกันก็ได
2) มุมแยงที่มีขนาดเทากันจะตองเกิดจากเสนตรงที่ขนานกันเทานั้น ดังนั้นเมื่อกลาวถึง
มุมแยงทั่ว ๆ ไป จะสรุปวามีขนาดเทากันไมได
3) การอางดวยสมบัติของมุมแยง ควรเขียนขอความของสมบัตินั้นใหสมบูรณ ไมควร
เขียนอางวา “เพราะเปนมุมแยง” หรือเขียนวา “มุมแยงยอมมีขนาดเทากัน”
4) การพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้น
ขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน” จะตองรูวาประโยคนี้คือประโยคเงื่อนไข
“ถา…แลว…” สองประโยคไดแก
(1) ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน
(2) ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน
5. 66
ความรูเพิ่มเติมสําหรับครู
มุมแยงที่กลาวถึงในบทเรียนเปนมุมแยงภายใน (alternate interior angles)
ในทางคณิตศาสตรกําหนดมุมแยง เปนดังนี้
กําหนดให EF เปนเสนตัด AB และ CD ดังรูป
∧
2 และ
∧
8 เปนมุมแยงภายนอก (alternate exterior angles)
∧
1 และ
∧
7 เปนมุมแยงภายนอก
∧
3 และ
∧
5 เปนมุมแยงภายใน
∧
4 และ
∧
6 เปนมุมแยงภายใน
เนื่องจาก ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน จึงทําใหได
∧
1 =
∧
3 ,
∧
2 =
∧
4 ,
∧
5 =
∧
7 และ
∧
6 =
∧
8
ดังนั้นสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานที่เกี่ยวกับมุมแยงภายใน จึงยังคงเปนจริงสําหรับมุมแยงภายนอก
ดวย หนังสือหลายเลมเมื่อกลาวถึงสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง จึงไมระบุวาเปนมุมแยง
ภายในหรือมุมแยงภายนอก
1
8
A
B
DC
2
43
7
56
E
F
6. 67
4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อ
กําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง
2. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน และนํา
สมบัตินี้ไปใชได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ก็ทําเชนเดียวกันกับหัวขอ 4.2 นักเรียน
จะตองเกิดความคิดรวบยอดวา ในการตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไมนั้น นอกจากจะ
ตรวจสอบโดยใชผลบวกของขนาดของมุมภายในหรือพิจารณาขนาดของมุมแยงแลว ยังสามารถตรวจสอบ
ไดอีกวิธีหนึ่งโดยใชความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน ตามกิจกรรมที่เสนอไวใน
หัวขอนี้
2. การพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุม
ภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน” วิธีพิสูจนที่นําเสนอในหนังสือเรียนใช
สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับ
ผลบวกของขนาดมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เพื่อใหเห็นความหลากหลายของวิธีการพิสูจน
ก็ได ดังการพิสูจนตอไปนี้
กําหนดให AB // CD มี EF เปนเสนตัด
ตองการพิสูจนวา
∧
1 =
∧
5 ,
∧
2 =
∧
6 ,
∧
7 =
∧
3 และ
∧
8 =
∧
4
1
8
A B
DC
2
43
7
5 6
E
F
7. 68
พิสูจน AB // CD (กําหนดให)
∧
5 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o
)
∧
1 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมตรง)
∧
1 +
∧
3 =
∧
5 +
∧
3 (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น
∧
1 =
∧
5 (นํา
∧
3 มาลบทั้งสองขางของสมการ)
การพิสูจนวา
∧
2 =
∧
6 ,
∧
7 =
∧
3 และ
∧
8 =
∧
4 อาจใหนักเรียนลองพิสูจนโดยใชสมบัติ
ดังตัวอยางขางตนก็ได
ในทํานองเดียวกันการพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุม
ภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน”
วิธีพิสูจนที่นําเสนอไวในหนังสือเรียน ใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู
บนขางเดียวกันของเสนตัด ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง
ดังการพิสูจนตอไปนี้
กําหนดให EF ตัด AB และ CD ทําให EXA
∧
= XYC
∧
ตองการพิสูจนวา AB // CD
พิสูจน เนื่องจาก EXA
∧
= YXB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมี
ขนาดเทากัน)
และ EXA
∧
= XYC
∧
(กําหนดให)
จะได YXB
∧
= XYC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
เนื่องจาก YXB
∧
และ XYC
∧
เปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน
ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนาน
กัน)
A B
DC
Y
X
E
F
8. 69
1
3
2
2 3 1
4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)
จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ
1. บอกไดวา ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา และ
นําสมบัตินี้ไปใชได
2. บอกไดวา ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด
เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น และนําสมบัตินี้
ไปใชได
3. บอกไดวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน
เทากันทุกประการและนําสมบัตินี้ไปใชได
4. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผล
และแกปญหาได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนวา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เทากับ 180 องศา” ดวยการใหนักเรียนสังเกตผลจากการลงมือปฏิบัติ เชน การใหนักเรียนเขียน
รูปสามเหลี่ยม กลุมละ 3 – 4 รูป วัดขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมแตละรูป แลวหา
ผลรวมโดยบันทึกผลในตาราง
ขนาดของมุม (องศา)
รูปสามเหลี่ยม ∧
1
∧
2
∧
3
ผลรวมของขนาดของมุมทั้งสาม
(องศา)
ครูอาจแนะใหนักเรียนตัดหรือฉีกมุมทั้งสามของกระดาษรูปสามเหลี่ยม เพื่อแสดงผลบวก
ของขนาดของมุมทั้งสามมุม ดังรูป
3
1 2
9. 70
1 2
3
1 23
นอกจากนี้แลว ครูอาจแนะใหนักเรียนทํากิจกรรม “หมุนดินสอแลวไดอะไร” หนา
172 – 177 หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 พิมพครั้งที่ 1
ขอคนพบหรือผลสรุปจากการสํารวจตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัย
ผลสรุปที่ไดนี้อาจเปนจริงทุกกรณีหรือไมก็ได เพื่อเปนการยืนยันวา ผลสรุปนี้เปนจริง จึงตองใชการให
เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งแสดงไดโดยการพิสูจน
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เทากับ 180 องศา” สามารถนําไปใชพิสูจนเกี่ยวกับความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน
ของรูปสามเหลี่ยม” และที่สําคัญคือนําไปใชในการพิสูจนวา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกัน
แบบ มุม – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ”
2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง
ความรูในการนําสมบัติของเสนขนานมาใชในการพิสูจน ซึ่งทําใหไดทฤษฎีบทใหม ๆ ตอเนื่องกัน
ดังแผนภูมิตอไปนี้
สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง
สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
สมบัติเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอก
และมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
สมบัติเกี่ยวกับความเทากันทุกประการ
ของรูปสามเหลี่ยมแบบ ม.ม.ด.
ทําใหไดความคิดรวบยอดวาความสัมพันธ
แบบ ม.ด.ม. มีความสัมพันธแบบ ม.ม.ด. ดวย
10. 71
3. สําหรับกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร” มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคนที่นําความรูทั้งหมด
มาใชในการแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนชวยกันทําเปนกลุมยอยและสุมใหนักเรียนออกมานําเสนอหนา
ชั้นเรียนและใหบอกเหตุผลในการคิดคํานวณดวย
4. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” นอกจากจะมีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการคํานวณ
โดยใชสมบัติตาง ๆ ที่เรียนรูมาแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนเห็นรูปที่มีความสวยงามคลายรูปดาวหาแฉก และ
สามารถเขียนรูปจากการลากเสนตอเนื่องกันไดในครั้งเดียว (ไมตองยกดินสอขึ้น)
5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ขอ 8 หลังจากนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูอาจใหนักเรียนพิสูจนวา
“ขนาดของมุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รวมกันเทากับ 360 องศา”
6. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.4 เพื่อใหเห็นวา สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม สามารถนํามาใชหาสูตรผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม
เมื่อ n แทนจํานวนเต็มบวก และเมื่อนักเรียนไดทํากิจกรรมนี้แลว ครูอาจใหนักเรียนวิเคราะหตอวาผลบวก
ของขนาดของมุมภายนอกของรูป n เหลี่ยมเทากับเทาไร
7. สําหรับกิจกรรม “เฉลว” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับงานจักสานซึ่งเปน
ภูมิปญญาทองถิ่น ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาที่จริงแลวงานจักสานลวนมีความเกี่ยวของกับสมบัติทาง
เรขาคณิต ผูจักสานประดิษฐงานโดยใชความรูเกี่ยวกับขนาดของมุม ความยาวของดาน ตลอดจนใช
เสนขนานมาประดิษฐเปนลวดลายที่สวยงาม เชน ทําฝาชีครอบอาหาร ทําหมวก ตะกรา ฯลฯ ซึ่ง
ความรูทางดานเรขาคณิตนี้ ผูจักสานเรียนรูมาจากบรรพบุรุษที่ไดสั่งสอนกันตอ ๆ มา อาจ ไมไดเรียนรู
เชิงทฤษฎีโดยตรง นอกจากนี้ครูอาจสนทนาและใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ที่ใชประโยชนจาก
เสนขนาน เชน การสรางรั้วสนามที่ทําใหลูกกรงอยูในแนวขนานกัน การตัดถนนหรือทําขอบสนามให
ขนานกัน การทําขอบประตูหรือหนาตางใหขนานกัน เพื่อใหดูสวยงามและปดเปดไดสะดวก
11. 72
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน”
1. ขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวเทากัน
2. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
3. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
4. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน
คําตอบกิจกรรม “มุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”
1. FEA
∧
และ EFC
∧
FEB
∧
และ EFD
∧
2. YXM
∧
และ XYP
∧
YXN
∧
และ XYQ
∧
คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”
1.
1) ไมเทากับ 180o
2) ไมเทากับ 180o
2.
1) เทากับ 180o
2) เทากับ 180o
3.
1) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ไมขนานกัน
ไมเทากับ 180o
2) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ขนานกัน
เทากับ 180o
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.1
1.
1) ขนานกัน เพราะ 117 + 63 = 180o
2) ไมขนานกัน เพราะ 112 + 58 ≠ 180o
3) ไมขนานกัน เพราะ 90 + 80 ≠ 180o
4) ขนานกัน เพราะ 90 + 90 = 180o
12. 73
2.
1) x = 79 2) x = 88
3) x = 60 4) x = 61
3.
1)
FDC
∧
= 148o
2)
FDC
∧
= 50o
4. CDA
∧
= 127o
และ DCB
∧
= 109o
5.
เนื่องจาก PL // MN และมี AB เปนเสนตัด (กําหนดให)
LKM
∧
+ NMK
∧
= 180o
(ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o
)
P
B
N
L
A
M
K
A B
FE D
C 32o
D
130o
CA B
FE
13. 74
NMB
∧
+ NMK
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได NMB
∧
+ NMK
∧
= LKM
∧
+ NMK
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น NMB
∧
= LKM
∧
(นํา NMK
∧
มาลบทั้งสองขาง
ของสมการ)
6. x = 90 และ y = 90
7. ขนานกัน เพราะ ถาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่ง รวมกัน
เทากับ 180o
แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน
คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมแยง”
1.
1) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
2) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
2.
1) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
2) FEA
∧
และ EFD
∧
FEB
∧
และ EFC
∧
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ก
1. BAF
∧
= NBA
∧
เพราะ BN // FM มี AB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน
2. AEM
∧
= KAE
∧
เพราะ EM // KY มี NB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน
3. EBO
∧
= 126o
4. ECA
∧
= 131o
5. EDC
∧
= 40o
14. 75
6.
เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให)
จะได CBA
∧
= DCB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
เนื่องจาก BC //DE (กําหนดให)
จะได DCB
∧
= EDC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น CBA
∧
= EDC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
7.
เนื่องจาก PQ // RS (กําหนดให)
จะได CAP
∧
= SBA
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
SBA
∧
= CBR
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
ดังนั้น CAP
∧
= CBR
∧
(สมบัติของการเทากัน)
A
B
CD
E
R
B C
Q S
P
A
15. 76
8.
เนื่องจาก AD // CF (ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ยอม
ขนานกัน)
จะได EAD
∧
= EBF
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
AE = BE (E เปนจุดกึ่งกลางของ AB)
DEA
∧
= FEB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
จะได ∆ AED ≅ ∆ FEB
∧
(ม.ด.ม.)
ดังนั้น DE = FE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
9.
เนื่องจาก AE // HB (กําหนดให)
จะได FAE
∧
= GBH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
AF = BG (กําหนดให)
เนื่องจาก FE // HG (กําหนดให)
CD
F
E BA
E
F
G
H
BA
16. 77
จะได GFE
∧
= FGH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
EFA
∧
+ GFE
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
HGB
∧
+ FGH
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
EFA
∧
+ GFE
∧
= HGB
∧
+ FGH
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น EFA
∧
= HGB
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยนํา GFE
∧
และ
FGH
∧
ที่มีขนาดเทากันมาลบทั้งสองขางของ
สมการ)
จะได ∆ AFE ≅ ∆ BGH (ม.ด.ม.โดยมี FAE
∧
= GBH
∧
, AF = BG,
EFA
∧
= HGB
∧
)
ดังนั้น FE = GH (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ข
1.
1) AE // BC 2) AD// BM
3) SR // PQ 4) ไมมีสวนของเสนตรงคูใดขนานกันเลย
2. x = 98 และ y = 60
3.
เนื่องจาก AO = BO (กําหนดให CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O)
DOA
∧
= COB
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม
มีขนาดเทากัน)
DO = CO (กําหนดให AB แบงครึ่ง CD ที่จุด O)
DA
C B
O
17. 78
ดังนั้น ∆ AOD ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.)
จะได ODA
∧
= OCB
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
นั่นคือ AD// BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
4.
เนื่องจาก BAC
∧
= DBE
∧
(กําหนดให)
EBA
∧
+ DBE
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได EBA
∧
+ BAC
∧
= 180o
(สมบัติของการเทากัน โดยแทน DBE
∧
ดวย
BAC
∧
)
เนื่องจาก EBA
∧
และ BAC
∧
เปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB
ซึ่งตัด AC และ BE
ดังนั้น AC// BE (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ
เสนตัดรวมกันเทากับ 180o
แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา BC// DE
คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมภายนอกและมุมภายใน”
1.
1) PRA
∧
และ PSC
∧
SRA
∧
และ QSC
∧
PRB
∧
และ PSD
∧
SRB
∧
และ QSD
∧
A B D
E
C
18. 79
2) PRA
∧
และ PSC
∧
SRA
∧
และ QSC
∧
PRB
∧
และ PSD
∧
SRB
∧
และ QSD
∧
2.
1) และ 2)
PEA
∧
และ PFC
∧
QEA
∧
และ QFC
∧
QEB
∧
และ QFD
∧
PEB
∧
และ PFD
∧
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.3 ก
1. QPA
∧
= SRP
∧
และ SRB
∧
= QPR
∧
เพราะวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู
ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน
2. TSN
∧
= MSQ
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
TSN
∧
= KTS
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
TSN
∧
= PTL
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู
ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
3. DYX
∧
= 52o
4. DCE
∧
= 128o
5. BAD
∧
= DCB
∧
= 47o
CBA
∧
= CDA
∧
= 133o
6. x = 65
19. 80
7.
เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให)
จะได CAB
∧
= ECD
∧
(เสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
AC = CE (กําหนดให)
เนื่องจาก CB // ED (กําหนดให)
จะได BCA
∧
= DEC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ CDE (ม.ด.ม.)
คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ข
1.
1) DF // CB เพราะ DAE
∧
เปนมุมภายนอกและ CBA
∧
เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัด BE มีขนาดเทากัน
2) AB // MN เพราะ CNM
∧
เปนมุมภายนอกและ CBA
∧
เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัด BC มีขนาดเทากัน
3) AB // CD เพราะ ABP
∧
เปนมุมภายนอกและ CDB
∧
เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัด PD มีขนาดเทากับ 44o
เทากัน
4) MN // PQ
เนื่องจาก QDA
∧
+ 50 = 180 (ขนาดของมุมตรง)
จะได QDA
∧
= 180 – 50
= 130o
เนื่องจาก NBA
∧
= 130o
(กําหนดให)
DB
A C E
20. 81
ดังนั้น NBA
∧
= QDA
∧
= 130o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ MN // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง
เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง
คูนั้นขนานกัน)
QR // NP เพราะ FEQ
∧
= DCN
∧
= 96o
(ใหเหตุผลในทํานองเดียวกันกับขางตน)
2. ECD
∧
= 98o
3.
เนื่องจาก YM // QR (กําหนดให)
จะได MAP
∧
= RQP
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
MYX
∧
= RQP
∧
(กําหนดให)
จะได MAP
∧
= MYX
∧
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น YX // QP (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
Y
Q R
M
P
X
A
21. 82
4.
เนื่องจาก ∆ ABC และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
จะได CAB
∧
= ACB
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
และ FDE
∧
= DFE
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
CAB
∧
= DFE
∧
(กําหนดให)
ดังนั้น CAB
∧
= FDE
∧
และ ACB
∧
= DFE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ AB// DE และBC// EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
คําตอบกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร”
1. x = 48
2. x = 75 และ y = 15
3. x = 130 และ y = 110
4. x = 54 และ y = 78
5. x = 107
6. x = 56 และ y = 68
7. x = 25 และ y = 10
แนวคิด
เนื่องจาก 2x + y + 120 = 180
2x + y = 60
y = 60 – 2x
A D C F
E
B
22. 83
เนื่องจาก 2x – y + 140 = 180
จะได 2x – (60 – 2x) + 140 = 180 (แทน y ดวย 60 – 2x)
2x – 60 + 2x + 140 = 180
4x = 100
x = 25
จะได y = 60 – (2 × 25)
= 10
8. x = 15 และ y = 57.5
แนวคิด
เนื่องจาก 3x + 25 = x + 55
2x = 30
x = 15
เนื่องจาก (x + 55) + (2y – 5) = 180
15 + 55 + 2y – 5 = 180 (แทน x ดวย 15)
2y + 65 = 180
2y = 115
y = 57.5
9. x = 8 และ y = 12
แนวคิด
เนื่องจาก (5x + y) + (5x – y) + 100 = 180
10x + 100 = 180
10x = 80
x = 8
เนื่องจาก 100 + (5x + y) + (2x + y) = 180
100 + (5 × 8) + (2 × 8) + 2y = 180 (แทน x ดวย 8)
100 + 40 + 16 + 2y = 180
2y = 24
y = 12
23. 84
10. x = 12 และ y = 28
แนวคิด
เนื่องจาก HEA
∧
= CGH
∧
= 48o
จะได 2x + 2y = 32 + 48
= 80
เนื่องจาก 5y – 8 + 48 = 180
5y = 140
y = 28
จะได 2x + (2 × 28) = 80
2x = 24
x = 12
คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”
m = 26 r = 36
n = 50 s = 72
p = 86 t = 118
q = 22 u = 44
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.4
1.
1. DCE
∧
, XCA
∧
, EDC
∧
, YDB
∧
และ EBA
∧
2. BAE
∧
= 68o
2. PQ // AD
เนื่องจาก PAB
∧
= 32 + 28 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม
เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน
ที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)
= 60o
PAB
∧
+ PAD
∧
= 180o
(ขนาดของมุมตรง)
24. 85
จะได PAD
∧
= 180 – 60 (แทน PAB
∧
ดวย 60)
= 120o
ดังนั้น PQ // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน
ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว
เสนตรงคูนั้นขนานกัน)
3.
สราง ลาก BD
เนื่องจาก
∧
1 +
∧
2 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป
สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
∧
4 +
∧
5+
∧
6 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป
สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
จะได
∧
1 +
∧
2 +
∧
3+
∧
4 +
∧
5+
∧
6 = 180+ 180 (สมบัติของการเทากัน)
หรือ
∧
1 + (
∧
2 +
∧
5) +
∧
4 + (
∧
3+
∧
6 ) = 360o
ดังนั้น DAB
∧
+ CDA
∧
+ BCD
∧
+ ABC
∧
= 360o
(สมบัติของการเทากัน)
นั่นคือ ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รวมกัน เทากับ
360 องศา
4.
เนื่องจาก
∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
5
2
1
3 6
4
A
B
C
D
A FE
B C
25. 86
ดังนั้น CBA
∧
= BCA
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด
เทากัน)
เนื่องจาก EF // BC (กําหนดให)
จะได EAB
∧
= CBA
∧
และ FAC
∧
= BCA
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน
และมีเสนตัด แลวมุมแยง
มีขนาดเทากัน)
ดังนั้น EAB
∧
= FAC
∧
(สมบัติของการเทากัน)
5.
เนื่องจาก AB = EF (กําหนดให)
CG // DH มี AE เปนเสนตัด (กําหนดให)
จะได FBG
∧
= BFH
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมแยงมีขนาดเทากัน)
FBG
∧
= CBA
∧
และ BFH
∧
= DFE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว
มุมตรงขามมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น CBA
∧
= DFE
∧
(สมบัติของการเทากัน)
BC = FD (กําหนดให)
จะได ∆ ABC ≅ ∆ EFD (ด.ม.ด.)
ดังนั้น BAC
∧
= FED
∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
นั่นคือ AC // ED (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให
มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น
ขนานกัน)
F E
DG
BA
C
H
26. 87
6.
สราง ลาก BD
เนื่องจาก AB// CD มี BD เปนเสนตัด (สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)
จะได DBA
∧
= BDC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมแยงมีขนาดเทากัน)
เนื่องจาก AD// BC มี BD เปนเสนตัด (สมบัติรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)
จะได BDA
∧
= DBC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมแยงมีขนาดเทากัน)
BD = DB (เปนดานรวม)
ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ม.ด.ม.)
นั่นคือ
∧
A =
∧
C (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
ในทํานองเดียวกัน ถาลาก AC จะพิสูจนไดวา
∧
B =
∧
D
7.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (กําหนดให)
จะได CBA
∧
= CAB
∧
(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด
เทากัน)
CE // AB (กําหนดให)
จะได DCE
∧
= CBA
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขาม
บนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)
B
D
A
C
E
D
A
B C
27. 88
และ CAB
∧
= ACE
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
จะได CAB
∧
= DCE
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ
CBA
∧
)
ดังนั้น ACE
∧
= DCE
∧
(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ
CAB
∧
)
นั่นคือ CE แบงครึ่ง DCA
∧
8.
เนื่องจาก
∧
1 +
∧
4 =
∧
2 +
∧
5 =
∧
3+
∧
6 = 180o
(ขนาดของมุมตรง)
∧
1 +
∧
4 +
∧
2 +
∧
5+
∧
3+
∧
6 = 180 + 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)
= 540o
แต
∧
1 +
∧
2 +
∧
3 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
จะได
∧
4 +
∧
5+
∧
6 = 540 – 180 (สมบัติของการเทากัน)
= 360o
ดังนั้น ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ ABC รวมกันเทากับ 360o
9.
C
B
A
3
6
2
5
14
E
B
D
C
F
A
28. 89
เนื่องจาก
∧
A +
∧
B+
∧
C = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเทากับ 180o
)
และ
∧
D+
∧
E+
∧
F = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเทากับ 180o
)
จะได
∧
A +
∧
B+
∧
C+
∧
D+
∧
E+
∧
F = 180 + 180
= 360o
(สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอดทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใด ๆ รวมกัน
เทากับ 360o
10.
เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี BC เปนฐาน
จะได
∧
1 =
∧
2 (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด
เทากัน)
เนื่องจาก BC// ED (กําหนดให)
จะได
∧
1 =
∧
3 และ
∧
2 =
∧
4 (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด
แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)
ดังนั้น
∧
3 =
∧
4 (สมบัติของการเทากัน)
∧
3 +
∧
5 =
∧
4 +
∧
6 = 180o
(ขนาดของมุมตรง)
จะได
∧
5 =
∧
6 (สมบัติของการเทากัน)
EG = DF (กําหนดให)
GAE
∧
= FAD
∧
(กําหนดให)
ดังนั้น ∆ AEG = ∆ ADF (ม.ม.ด.)
นั่นคือ AE = AD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน
ทุกประการ จะยาวเทากัน)
1
A
DE 5 6
B C
FG
2
43
29. 90
คําตอบกิจกรรม “เฉลว”
พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ BDF
จะได
∧
1 =
∧
B+
∧
D (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทากับ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิด
ของมุมภายนอกนั้น)
พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ CEG
จะได
∧
2 =
∧
C+
∧
E
เนื่องจาก
∧
A +
∧
1 +
∧
2 = 180o
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o
)
นั่นคือ
∧
A +
∧
B+
∧
D +
∧
C +
∧
E = 180o
(สมบัติของการเทากันโดยแทน
∧
1 ดวย
∧
B+
∧
D และแทน
∧
2 ดวย
∧
C +
∧
E)
หรือ
∧
A +
∧
B+
∧
C +
∧
D +
∧
E = 180o
E
D C
B
A
F G1 2
31. 92
กิจกรรมเสนอแนะ 4.4
กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของ
มุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ไปใชสรางขอความ
คาดการณเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม
1. จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้
1) รูปสี่เหลี่ยม
2) รูปหาเหลี่ยม
3) รูปหกเหลี่ยม
2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมในขอ 1 เกี่ยวของกับผลบวกของขนาดของ
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหรือไม อยางไร
3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม เกี่ยวของกับจํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม
หรือไม อยางไร
4. จงหาสูตรการหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม
คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.4
1.
1) 360 องศา
2) 540 องศา
3) 720 องศา
2.
1) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมเทากับสองเทาของผลบวก
ของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
2) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหาเหลี่ยมเทากับสามเทาของ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
3) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมเทากับสี่เทาของ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
32. 93
3. เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมเทากับ
จํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมลบดวย 2 แลวคูณดวยผลบวกของขนาดของมุมภายในของ
รูปสามเหลี่ยม
4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม เทากับ 180(n – 2) องศา