1. บทที่ 1
ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต
(20 ชั่วโมง)
ลําดับอนันตและอนุกรมอนันตที่จะกลาวถึงในบทนี้ เปนเรื่องเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ
ทฤษฎีบทตาง ๆ เกี่ยวกับลิมิตของลําดับ การหาผลบวกของอนุกรมอนันต และการใชสัญลักษณ
แทนการบวก ตลอดจนโจทยที่แสดงใหเห็นการนําความรูที่กลาวมาไปใชในการแกปญหาตาง ๆ
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. หาลิมิตของลําดับอนันตโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได
2. หาผลบวกของอนุกรมอนันตได
3. นําความรูเรื่องลําดับและอนุกรมไปใชแกปญหาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรู
ชวงชั้นที่ 4 ทางดานความรู ในการจัดการเรียนรูผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดาน
ทักษะ/ กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมให
ผูเรียนเกิดทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแกความสามารถในการแกปญหา
การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยง
ความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค
นอกจากนั้น กิจกรรมการเรียนรูควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชา
คณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความ
รับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตนเอง
สาระการเรียนรูคณิตศาสตรเพิ่มเติมเปนสาระการเรียนรูสําหรับการศึกษาตอและอาชีพ
ดังนั้นในการจัดการเรียนรูในสาระนี้ ผูสอนควรสงเสริมใหผูเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะห
โดยคํานึงถึงความสมเหตุสมผลของขอมูล ดังนั้น ในการสอนแตละสาระผูสอนจําเปนตองศึกษา
สาระนั้น ๆ ใหเขาใจถองแทเสียกอนแลวเลือกวิธีสอนใหเหมาะสม เพื่อทําใหการจัดการเรียนรู
ไดผลดี

2. 2
ขอเสนอแนะ
1. รูปแบบการกําหนดลําดับทําไดหลายแบบ ผูสอนควรย้ําและยกตัวอยางใหผูเรียนเห็นวา
การกําหนดลําดับโดยการแจงพจนแลวหาพจนทั่วไปของลําดับนั้น อาจหาพจนทั่วไปไดตางกัน
(ดูหนังสือเรียนหนา 3 – 4 และคูมือครูสาระการเรียนรูพื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เรื่องลําดับ
และอนุกรม หนา 2)
2. ผูสอนควรทบทวนเรื่องลําดับจํากัด ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต และอนุกรม
จํากัดกอนที่จะขยายความตอและกลาวถึงลําดับอนันตและอนุกรมอนันต ผูสอนควรบอกผูเรียน
ดวยวา ยังมีลําดับอื่น ๆ อีกมากมายที่ไมใชลําดับเลขคณิตหรือลําดับเรขาคณิต ผูสอนอาจใช
ประโยชนจากเว็บไซต The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ซึ่งเก็บรวบรวมลําดับ
ตาง ๆ ไวใหคนหาไดมากมาย ที่ http://www.research.att.com/~njas/sequences/ หรือผูสอนอาจ
ใหผูเรียนชวยกันสรางลําดับใหมเอง
3. ในเรื่องความสัมพันธเวียนเกิด ผูสอนอาจเพิ่มเติมแบบฝกหัดสําหรับผูเรียนที่สนใจ
คณิตศาสตรเปนพิเศษ ผูสอนอาจใหผูเรียนกําหนดลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้โดยใชความสัมพันธ
เวียนเกิด
(1) 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n–1
, ...
เพราะวา a1 = 1
a2 = 2 = 2(1) = 2a1
a3 = 4 = 2(2) = 2a2
a4 = 8 = 2(4) = 2a3
an = 2n–1
= 2an–1
ดังนั้น กําหนดลําดับนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = 2an–1
เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1
(2) 1, –1, 1, –1, ..., (–1)n+1
, ...
เพราะวา a1 = 1
a2 = –1 = (–1)(1) = (–1)a1
a3 = 1 = (–1)(–1) = (–1)a2
a4 = –1 = (–1)(1) = (–1)a3
an = (–1)an–1
ดังนั้น กําหนดลําดับนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = (–1)an–1
เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1

3. 3
(3) กําหนดลําดับ 5, 9, 13, 17, ..., 4n + 1,... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปน
ลําดับ an = an–1 + 4 เมื่อ n 2≥ , a1 = 5
(4) กําหนดลําดับ 1, 3, 9, 27, ..., 3n–1
, ...โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ
an = 3an–1 เมื่อ n 2≥ , a1 = 1
(5) กําหนดลําดับ 1, 1, 1, 1, ..., 1, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ
an = an–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1
(6) กําหนดลําดับ 1, 3, 6, 10, 15, ..., n(n 1)
2
+
, ...โดยใชความสัมพันธเวียนเกิด
ไดเปนลําดับ an = an–1+ n เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1
(7) กําหนดลําดับ 5, 10, 30, 120, ..., 5n!, ...โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปน
ลําดับ an = nan–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 5
4. การทบทวนสูตรพจนที่ n ของลําดับเลขคณิต (หนา 7) และสูตรพจนที่ n ของลําดับ
เรขาคณิต(หนา9) โดยการเขียนยอนกลับผูสอนอาจจะแสดงตัวอยางที่เปนตัวเลขใหผูเรียนพิจารณา
ประกอบไปดวยสัก 2 – 3 ตัวอยางกอนที่จะสรุปเปนกรณีทั่วไป และถาผูสอนพิจารณาแลววา
แนวทางของเรื่องเดียวกันที่นําเสนอไวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษา
ปที่ 5 เขาใจงายกวา ก็อาจขามสวนนี้ไปก็ได อยางไรก็ตาม ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นแนวทาง
ที่แตกตางของทั้งสองวิธี
5. จากการพิจารณาลิมิตของลําดับ ทําใหแบงลําดับออกเปน 2 ประเภท คือ ลําดับ
ที่มีลิมิต เรียกวา ลําดับลูเขา และลําดับที่ไมมีลิมิต เรียกวา ลําดับลูออก สําหรับลําดับลูออก
ถาพิจารณาลําดับจากกราฟจะแบงออกเปน 3 ประเภทคือ
(1) ลําดับลูออกซึ่งพจนที่ n มีคามากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด
เชน 1, 2, 4, ..., 2n–1
,...
(2) ลําดับลูออกซึ่งพจนที่ n มีคาลดลงเรื่อย ๆ เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด
เชน –1, –3, –5, ..., –(2n – 1), ...
(3) ลําดับลูออกซึ่งมีลักษณะแตกตางจากลําดับในขอ (1) และขอ (2) ซึ่งเรียกวา
ลําดับแกวงกวัด เชน an = (–1)n
, bn = (–1)n
n
6. การเชื่อมโยงมโนทัศนเรื่องลิมิตของลําดับกับรูปภาพ ผูสอนอาจเริ่มจากการคํานวณ
แลวเขียนกราฟ และพิจารณาแนวโนมวา เมื่อ n มีคามากขึ้นเรื่อย ๆ กราฟของลําดับ an จะเปน
อยางไร ผูสอนอาจแนะนําการเขียนกราฟโดยใชเครื่องมือตางๆเชน กระดาษกราฟ เครื่องคํานวณ
โปรแกรมGeometer’sSketchpad หรือโปรแกรมประเภทตารางทํางาน เชน Microsoft Excel
7. หนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีการพิสูจนทฤษฎีบทตาง ๆ เกี่ยวกับลิมิตไว ผูสอนควรให
ผูเรียนพิจารณาคา an โดยตรง หรือทดลองเขียนกราฟของลําดับ an แลวพิจารณาแนวโนมของกราฟ

4. 4
เชน ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = 3
1
n
และ an = 1
3
1
n
เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบทที่วา
rn
1
lim
n→∞
= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มีคามากขึ้นอยาง
ไมมีที่สิ้นสุด n3
และ
1
3
n จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดดวย ซึ่งจะทําให 3
1
n
และ 1
3
1
n
มีคา
นอยลงและเขาใกล 0
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = n4
และ an =
1
4
n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบท
ที่วา r
n
lim n
→∞
หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มี
คามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุด n4
และ
1
4
n จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดดวย
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an =
n
1
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ an =
n
1
4
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
เพื่อนําไปสูการยอมรับ
ทฤษฎีบทที่วา n
n
lim r
→∞
= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r 1<
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = 3n
และ an = (–4)n
เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎี
บทที่วา n
n
lim r
→∞
หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r 1>
8. ขอความวา “ nn
lim a
→∞
หาคาไมได” มีความหมายเชนเดียวกับขอความ “ลําดับ an
ไมมีลิมิต” หรือ “พจนที่ n ของลําดับ an ไมเขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L ใด ๆ เลย” ในบทนี้
ไมมีการใชขอความวา “ nn
lim a
→∞
= ∞” หรือ “ nn
lim a
→∞
= –∞”
9. ในหนังสือเรียนหนา 22 ผูสอนควรย้ํากับผูเรียนวา จะใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได
เมื่อเงื่อนไขเบื้องตนเปนจริงกอนเทานั้น เชน จะสรุปวา
n
n
n n
lim a
nlim
n lim b
n
a
b
→∞=
→∞
→∞
ไดเมื่อ nn
lim a
→∞
และ nn
lim b
→∞
หาคาได และ nn
lim b 0
→∞
≠
ในกรณีที่ไมสามารถใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ an โดยตรงได อาจตองจัดรูปของ an
กอนการใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ดังปรากฏในหลาย ๆ ตัวอยางในหนังสือเรียน อยางไรก็ตาม
ลําดับบางลําดับก็ยังคงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตไมไดถึงแมจะพยายามจัดรูปใหแตกตางจากเดิม
แลว เชน
พิจารณาลําดับ
2
2n 3n
an
4n 5
−
=
−
เนื่องจาก 2
lim (2n 3n)
n
−
→∞
และ lim (4n 5)
n
−
→∞
หาคาไมไดทั้งคู ฉะนั้น หากตองการ
หา
2
2n 3n
lim a limnn n 4n 5
−
=
→∞ →∞ −
จึงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตที่วา
2
lim (2n 3n)
nlim ann lim (4n 5)
n
−
→∞=
→∞ −
→∞
ไมได
การจัดรูป an กอนการพิจารณาลิมิตอาจทําไดหลาย ๆ แบบ บางคนอาจทําดังนี้

5. 5
2
2n 3n
4n 5
−
−
=
32
n 2
n
4 52
n
2n n
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
3
2
n
4 5
2n n
−
−
กรณีนี้ก็ยังคงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตไมได เพราะเปนกรณียกเวน เนื่องจาก
4 5
lim
2n n n
−
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0
บางคนอาจทําดังนี้
2
2n 3n
4n 5
−
−
= ( )n 2n 3
5
n 4
n
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2n 3
5
4
n
−
−
การจัดรูป an เชนนี้ก็ยังคงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตไมไดเชนเดียวกัน เพราะ
lim (2n 3)
n
−
→∞
หาคาไมได
จะเห็นไดวาการจัดรูป an ทั้งสองแบบไมสามารถชวยสรุปไดวา na เปนลําดับลูเขาหรือลู
ออกโดยใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได จึงตองใชวิธีอื่นพิจารณา เชน การพิจารณาคาของ an
โดยตรง หรือจากกราฟของลําดับ an เปนตน
10. จากบทนิยามของอนุกรมจะเห็นวา อนุกรมไดจากการบวกพจนทุกพจนของลําดับ
และในการศึกษาเรื่องลิมิตของอนุกรมไดแบงอนุกรมออกเปน 2 ประเภท เชนเดียวกับลําดับ คือ
อนุกรมลูเขาและอนุกรมลูออก จากตัวอยางของอนุกรมลูเขาจะเห็นวา อนุกรมลูเขามักจะไดจาก
ลําดับลูเขา บางคนอาจจะเขาใจอยางไมถูกตองวา ลําดับลูเขาทุกลําดับเมื่อนํามาเขียนเปนอนุกรม
จะไดอนุกรมลูเขาเสมอ ซึ่งเปนขอที่ควรระวังอยางยิ่งดังตัวอยางตอไปนี้
(1) 1, 1, 1, ..., 1, ... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 1
1 + 1 + 1 + ...+ 1 + ... เปนอนุกรมลูออก
(2) 1, 1
2
, 1
4
, ..., n 1
1
2 −
, ... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 0
n 1
1 1 1
1 ... ...
2 4 2 −
+ + + + + เปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของ
อนุกรมนี้มีคาเปน 2
(3) 1 1 1
1, , ,..., ,...
2 3 n
เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 0
1 1 1
1 ... ...
2 3 n
+ + + + + เปนอนุกรมลูออก
การแสดงวาอนุกรม 1 1 1
1 ... ...
2 3 n
+ + + + + เปนอนุกรมลูออกนั้น จะตองพิสูจนไดวา
ลําดับผลบวกยอยไมมีลิมิต แตวิธีการพิสูจนคอนขางยุงยากในที่นี้จะแสดงคาของพจนแรก ๆ บาง
พจนของลําดับผลบวกยอยเพื่อใหเห็นวา เมื่อมีจํานวนพจนมากเขาผลบวกยอยจะมากขึ้นไดเรื่อย ๆ
ดังนี้

6. 6
S1 = 1
S2 = 1
1
2
+
S3 = 1 1
1
2 3
+ +
S4 = 1 1 1
1
2 3 4
+ + +
แต 1 1 1
1
2 3 4
+ + + > 1 1 1
1
2 4 4
+ + +
> 2
ดังนั้น S4 > 2
S8 = 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7 8
+ + + + + + +
แต 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
> 1 1 1 1 1 1 1
1
2 4 4 8 8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
> 1
2
2
ดังนั้น S8 > 1
2
2
S16 = 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 1 1
9 10 11 12 13 14 15 16
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
S16 > 1 1 1 1 1 1 1
1
2 4 4 8 8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16 16 16
⎛ ⎞
+ + + + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
S16 > 3
จะพบวา S4 (ผลบวก 4 พจนแรก) มากกวา 2
S8 (ผลบวก 8 พจนแรก) มากกวา 1
2
2
S16 (ผลบวก 16 พจนแรก) มากกวา 3
S32 (ผลบวก 32 พจนแรก) มากกวา 1
3
2
S64 (ผลบวก 64 พจนแรก) มากกวา 4
และผลบวกยอยจะมีคามากขึ้นเรื่อย ๆ ไปไมมีที่สิ้นสุด
11. จากการศึกษาเรื่องอนุกรมเลขคณิต จะเห็นวาอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิต
สวนมากเปนอนุกรมลูออก จะทําใหบางคนคิดวาอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตทุกอนุกรม

7. 7
เปนอนุกรมลูออก แตความจริงแลวมีอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตและเปนอนุกรมลูเขา คือ
อนุกรม 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... ซึ่งเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 0 และ d = 0 และมีผลบวก
เปน 0
12. ผูสอนควรย้ํากับผูเรียนวาการพิจารณาอนุกรมวาเปนอนุกรมลูเขาหรือลูออกตอง
พิจารณาจากลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมเปนหลัก เชน
พิจารณาอนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1
+ ... จะเห็นวาลําดับของผลบวกยอย
ของอนุกรมนี้คือ 1, 0, 1, 0, 1, ... ซึ่งเปนลําดับลูออก
ดังนั้น อนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1
+ ... จึงเปนอนุกรมลูออก
ผูสอนควรเสนอแนะเพิ่มเติมวา อาจมีบางคนเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนใหมดังนี้
1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1
+ ... = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...
ซึ่งจะไดอนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... เปนอนุกรมลูเขา ที่มีผลบวกเปน0
หรือบางคนอาจเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนใหมดังนี้
1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1
+ ... = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ...
ซึ่งจะไดอนุกรม 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... เปนอนุกรมลูเขา ที่มีผลบวกเปน 1
ผูสอนควรชี้แนะใหผูเรียนเขาใจใหไดวาการเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนทั้งสองแบบ
แลวสรุปวา อนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1
+ ... เปนอนุกรมลูเขานั้นไมถูกตอง
13. ในบทเรียนนี้มุงใหพิจารณาอนุกรมอนันตเฉพาะอนุกรมเรขาคณิตหรืออนุกรมที่
อาจจะหาพจนที่ n ของลําดับผลบวกยอยไดไมยากนัก กลาวคือ ถาเปนอนุกรมเรขาคณิตก็
พิจารณาอัตราสวนรวม r และถา r 1< ก็สามารถหาผลบวกจากสูตร S = 1a
1 r−
สวนอนุกรม
ที่ไมใชอนุกรมเรขาคณิตนั้น ใหหาผลบวกโดยการหาลําดับของผลบวกยอยกอน นั่นคือ จะตอง
หาพจนที่ n ของลําดับผลบวกยอยนั้น แลวจึงหาลิมิตของลําดับผลบวกยอย
14. ในบทเรียนนี้ไดนําเสนออนุกรมประเภทหนึ่งซึ่งมีความสําคัญและนาสนใจเรียกวา
อนุกรมเทเลสโคป (telescoping series)
อนุกรมเทเลสโคป คือ อนุกรม a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ที่สามารถเขียนอยูในรูป
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = (b1 – b2) + (b2 – b3) + (b3 – b4) + ... + (bn – bn+1) + ...
เมื่อ a1 = b1 – b2
a2 = b2 – b3
a3 = b3 – b4
an = bn – bn+1
ดังนั้น a1 + a2 + a3 ... + an = b1 – bn+1

8. 8
ผูสอนควรเนนลักษณะพิเศษของอนุกรมประเภทนี้ใหผูเรียนทราบ ตัวอยางของอนุกรม
เทเลสโคปในหนังสือเรียน ดังเชน
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 n(n 1)
+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ +
= 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 2 3 3 4 n n 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 1
1
n 1
−
+
( )
22
3 5 7 2n 1
...
1 4 4 9 9 16 n n 1
+
+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ +
=
( )
22
1 1 1 1 1 1
...
1 4 4 9 n n 1
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟− + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎝ ⎠
=
( )
2
1
1
n 1
−
+
15. ผูสอนอาจจะแนะนําสัญลักษณ ∑ ในหัวขอเรื่องสัญลักษณแทนการบวก ไปพรอม
กับหัวขอเรื่องผลบวกของอนุกรมอนันตเลยก็ได หากพิจารณาแลวเห็นวาสอดคลองกับแนว
ทางการจัดการเรียนการสอนที่ปฏิบัติอยู
16. ในหนังสือเรียนหัวขอ 1.2.2 ไดกลาวถึงสมบัติของ ∑ ที่ควรทราบไว สมบัติ
เหลานั้นแสดงใหเห็นจริงไดโดยงาย ผูสอนควรเชิญชวนใหผูเรียนทดลองพิสูจนสมบัติตาง ๆ ดวย
ตนเอง ดังนี้
(1)
n
i 1
c
=
∑ = nc เมื่อ c เปนคาคงตัว
n
i 1
c
=
∑ = c + c + c + ... + c
= nc
(2)
n
i
i 1
ca
=
∑ =
n
i
i 1
c a
=
∑ เมื่อ c เปนคาคงตัว
n
i
i 1
ca
=
∑ = ca1 + ca2 + ca3 + ... + can
= c(a1 + a2 + a3 + ... + an)
=
n
i
i 1
c a
=
∑
(3)
n
i i
i 1
(a b )
=
+∑ =
i 1
n n
i i
i 1
a b
==
+∑ ∑
n
i i
i 1
(a b )
=
+∑ = (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ... + (an + bn)
= (a1 + a2 + a3 + ... + an) + (b1 + b2 + b3 + ... + bn)
=
n n
i i
i 1 i 1
a b
= =
+∑ ∑
n พจน

9. 9
ในทํานองเดียวกันจะแสดงไดวา
n
i i
i 1
(a b )
=
−∑ =
n n
i i
i 1 i 1
a b
= =
−∑ ∑
17. ในการหาผลบวก
n
i 1
i
=
∑ นอกจากวิธีที่แสดงไวในหนังสือเรียนแลว ยังแสดงไดโดยวิธี
เดียวกันกับที่ใชหาสูตรของ
n
2
i 1
i
=
∑ หรือ
n
3
i 1
i
=
∑ ดังนี้
เนื่องจาก n2
– (n – 1)2
= 2n – 1 -----(1)
(n – 1)2
– (n – 2)2
= 2(n – 1) – 1 -----(2)
(n – 2)2
– (n – 3)2
= 2(n – 2) – 1 -----(3)
32
– 22
= 2(3) – 1 -----(n–2)
22
– 12
= 2(2) – 1 -----(n–1)
12
– 02
= 2(1) – 1 -----(n)
(1) + (2) + (3) + ...+ (n) จะได n2
=
n n
i 1 i 1
2 i 1
= =
−∑ ∑
=
n
i 1
2 i n
=
−∑
ดังนั้น
n
i 1
i
=
∑ =
2
n n
2
+
= n(n 1)
2
+
หลังจากศึกษาที่มาของสูตร
n
i 1
i
=
∑ , 2
n
i 1
i
=
∑ , 3
n
i 1
i
=
∑ แลว ผูสอนอาจถามผูเรียนตอวา
การหาสูตร 4
n
i 1
i
=
∑ หรือ 5
n
i 1
i
=
∑ จะดําเนินการตามวิธีการเดิมไดหรือไม ผูสอนอาจแนะนําให
ผูเรียนเริ่มตนจาก n5
– (n – 1)5
และ n6
– (n – 1)6
ตามลําดับ
18. แบบฝกหัด 1.2 ข ขอ 7 และขอ 9 อาจจะยากเกินไปหากผูเรียนไมสามารถจัดรูปใหม
ได ดังนั้น ผูสอนควรใหคําแนะนําเบื้องตนในแตละขอดังนี้
7(1)
( )
1
n n 1+
= 1 1
n n 1
−
+
7(2)
( )( )
1
2n 1 2n 1− +
= 1 1 1
2 2n 1 2n 1
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− +⎝ ⎠
7(3)
( )( )
1
n n 1 n 2+ +
=
( ) ( )( )
1 1 1
2 n n 1 n 1 n 2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
7(4)
( )
1
n n 2+
= 1 1 1
2 n n 2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
+⎝ ⎠
9(1)
( )
22
2n 1
n n 1
+
+
=
( )
22
1 1
n n 1
−
+

10. 10
กิจกรรมแสนอแนะ
ลิมิตของลําดับ
กิจกรรมที่ 1
ผูสอนและผูเรียนชวยกันเขียนกราฟของลําดับ an ตอไปนี้บนกระดานดํา หรือใชโปรแกรม
ประเภทตารางทํางาน เชน Microsoft Excel
(1) an = n
1
2
(2) an = 2
(3) an =
n( 1)
1
n
−
+
(4) an = 2n – 1
(5) an = (–1)n+1
จากนั้นชวยกันพิจารณากราฟของลําดับ an เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด คาของ
พจนที่ n ของลําดับ จะมีคาเขาใกลจํานวนจริงใดหรือไม ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา
สําหรับ ลําดับในขอ (1) คาของพจนที่ n จะเขาใกล 0
ลําดับในขอ (2) คาของพจนที่ n จะเปน 2 เสมอ
ลําดับในขอ (3) คาของพจนที่ n จะเขาใกล 1
ลําดับในขอ (4) คาของพจนที่ n จะมากขึ้นเรื่อย ๆ
ลําดับในขอ (5) คาของพจนที่ n จะเปน 1 เมื่อ n เปนจํานวนคี่ และ
เปน –1 เมื่อ n เปนจํานวนคู
ผูสอนเสนอแนะผูเรียนวาลําดับในขอ (1), (2) และ (3) คาของพจนที่ n จะเขาใกลหรือ
เทากับจํานวนจริงเพียงจํานวนเดียวเทานั้น ในกรณีที่พจนที่ n ของลําดับมีคาเขาใกลหรือเทากับ
จํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทานั้น เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด จะเรียก L วาเปนลิมิต
ของลําดับนั้น หรือกลาววาลําดับนั้นมีลิมิตเปน L สวนลําดับที่ไมมีสมบัติเชนนี้จะเปนลําดับที่ไมมี
ลิมิต ผูสอนใหผูเรียนบอกวาลําดับขางตนลําดับใดบางมีลิมิตและลิมิตเปนเทาใด ลําดับใดไมมีลิมิต
ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา ลําดับในขอ (1) มีลิมิตเปน 0 ลําดับในขอ (2) มีลิมิตเปน 2 และลําดับใน
ขอ (3) มีลิมิตเปน 1
ผูสอนทบทวนผูเรียนเกี่ยวกับลําดับที่มีลิมิตเรียกวา ลําดับลูเขา สวนลําดับที่ไมมีลิมิต
เรียกวาลําดับลูออก แลวผูสอนใหผูเรียนบอกวาลําดับทั้งหาลําดับขางตน ลําดับใดเปนลําดับลูเขา
และลําดับใดเปนลําดับลูออก ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา ลําดับในขอ (1), (2) และ (3) เปนลําดับลู
เขา ลําดับในขอ (4) และ (5) เปนลําดับลูออก

11. 11
กิจกรรมที่ 2
ผูสอนอาจใชการพับกระดาษแสดงความหมายของลิมิตของลําดับบางลําดับไดดังตอไปนี้
เชน พิจารณาลําดับ 1, 1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
16
, 1
32
, …
1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
ผูสอนอธิบายวาถาพับกระดาษตอไปอีก จะไดความยาวของกระดาษนอยลงเรื่อย ๆ จน
เกือบเปน 0 แสดงวา ถา n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด พจนที่ n ของลําดับจะเขาใกล 0 และ
กลาวไดวา ลิมิตของลําดับขางตนเทากับ 0
อนุกรมอนันต
กิจกรรมที่ 3
ผูสอนอาจประยุกตใชกิจกรรมตอไปนี้นําเขาเรื่องอนุกรมอนันตได ใหผูเรียนปฏิบัติ
ตามลําดับขั้นและตอบคําถามตอไปนี้
ขั้นที่ 1 ตัดกระดาษขนาด A4 เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาสามรูปที่เทากัน ดังรูป

12. 12
ขั้นที่ 2 แยกสวนที่หนึ่งไวกองหนึ่ง สวนที่สองไวอีกกองหนึ่ง เก็บสวนที่สามไวในมือ
ขั้นที่ 3 ทําซ้ําขั้นที่ 1 และ 2 กับกระดาษสวนที่สามที่อยูในมือไปเรื่อย ๆ
1. สมมติวากระดาษ A4 มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย และสมมติวาสามารถตัดกระดาษซ้ํา
ตอไปไดอีกอยางตอเนื่องไมสิ้นสุด จะมีกระดาษในกองที่หนึ่งเทาไร กองที่สองเทาไร และมี
เหลืออยูในมือเทาไร ใหเขียนผลบวกของเศษสวนที่ใชแทนพื้นที่ของกระดาษที่มีอยูในแตละกอง
ผูเรียนควรตอบไดวา จะมีกระดาษในกองที่หนึ่งและกองที่สองเทากันคือเทากับ
2 3 4
1 1 1 1
...
3 3 3 3
+ + + + ตารางหนวย และกระดาษที่อยูในมือจะชิ้นเล็กลงเรื่อย ๆ จนไมสามารถตัด
ไดจริง ๆ
2. สมมติวาสามารถตัดกระดาษซ้ําตอไปไดอีกอยางตอเนื่องอยางไมสิ้นสุด เศษสวนในขอ 1
จะมีอยูอยางจํากัดหรือนับไมถวน และผลบวกของเศษสวนเหลานั้นหาคาไดหรือไม
ผูเรียนควรตอบไดวา เศษสวนในขอ 1 มีอยูอยางไมจํากัด แตผลบวกของเศษสวนเหลานั้น
ยังไมแนใจวาจะหาไดหรือไม
3. อนุกรมอนันต คือ ผลบวกของจํานวนหลาย ๆ จํานวน นับไมถวน เชน 1 + 2 + 3 + 4
+ 5 + ... + n + ... เปนอนุกรมอนันต อนุกรมนี้สามารถหาผลบวกเปนจํานวน ๆ หนึ่งไดหรือไม
ผูเรียนควรตอบไดวา ไมสามารถหาผลบวกดังกลาวได
4. ถาอนุกรมอนันตไมสามารถหาผลบวกเปนจํานวน ๆ หนึ่งได เรียกอนุกรมนั้นวา
อนุกรมลูออก เชน อนุกรมในขอ 3 เปนอนุกรมลูออก อนุกรม 2 3 4
1 1 1 1
...
2 2 2 2
+ + + + ลูออก
หรือไม ใหสรางแบบจําลองการตัดกระดาษคลาย ๆ กับที่ทํามาแลว
อนุกรม 2 3 4
1 1 1 1
...
2 2 2 2
+ + + + ยังไมแนใจวาจะหาผลบวกไดหรือไม แบบจําลองการ
ตัดกระดาษไปเรื่อย ๆ ซึ่งแทนอนุกรม 2 3 4
1 1 1 1
...
2 2 2 2
+ + + + ในขอ 4 เปนดังนี้
1
2
2
1
2
3
1
2
4
1
2

13. 13
กิจกรรมที่ 4
การหาสูตร
n
i 1
i
=
∑ นอกจากจะใชวิธีทางพีชคณิตดังที่ปรากฏในหนังสือเรียนแลว ผูสอน
อาจเพิ่มความนาสนใจใหผูเรียนโดยใชพื้นที่สรุปการหาผลบวกของ i ไดอีกวิธีหนึ่งดังนี้
กําหนดใหรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ 1 รูป มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย
รูปที่ 1
จะเห็นวารูปที่ 1 มีพื้นที่เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 ตารางหนวย
ถานํารูปที่ 1 จํานวนสองรูปมาประกอบกัน จะไดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาหนึ่งรูป ดังนี้
รูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่ไดมีพื้นที่เปนสองเทาของรูปที่ 1 และมีพื้นที่เทากับ 4 5× ตารางหนวย
ดังนั้น จึงได 4 5× = 2(1 + 2 + 3 + 4)
4 5
2
×
= 1 + 2 + 3 + 4
ในทํานองเดียวกัน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก และตองการหาคาของ 1 + 2 + 3 + ... + n
ก็พิจารณาจากพื้นที่ได
4
4
4
5
n
n
n
n + 1

14. 14
จะเห็นวารูปซาย มีพื้นที่เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ตารางหนวย
ถานํารูปซายจํานวนสองรูปมาประกอบกัน จะไดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาหนึ่งรูปที่มีความยาว
n + 1 หนวย และความกวาง n หนวย
รูปสี่เหลี่ยมผืนผามีพื้นที่เปนสองเทาของรูปซาย และมีพื้นที่เทากับ n(n 1)+ ตารางหนวย
ดังนั้น จึงได n(n 1)+ = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)
=
n
i 1
2 i
=
∑
n
i 1
i
=
∑ = n(n 1)
2
+
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. ลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก
(1) an = 2n
5n 3−
(2) an =
2
2
1 n
2 3n
−
+
(3) an =
2
3 2
n n 7
2n n
− +
+
(4) an =
n
9
1
10
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5) an =
n
1
2
2
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6) an = 1 + (–1)n
2. จงตัดสินวาลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก โดยพิจารณาคาของพจนตาง ๆ ในลําดับ
โดยตรง หรือใชเครื่องคํานวณชวยเขียนกราฟของลําดับ หรือใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
(1) an = n 2
n 13
−
+
(2) an = n 1 1
( 1)
n
+
−
3. เขียน 0.249 ใหอยูในรูปเศษสวน
4. จงหาคา
(1) n
n 1
2
3
∞
=
∑ (2) 2
k 1
1
4k 1
∞
= −
∑
(3)
n n
n
n 0
2 7
9
∞
=
+
∑ (4)
k 1
6 6
4k 1 4k 3
∞
=
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− +⎝ ⎠
∑
5. อนุกรม 1 1 1 1
... ...
1 5 2 6 3 7 n(n 4)
+ + + + +
⋅ ⋅ ⋅ +
เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
6. การเลนบันจีจัมป (bungee jump) เปนกิจกรรมทาทายที่ผูเลนกระโดดลงมาจากที่สูงโดยมีปลาย
เชือกดานหนึ่งผูกติดลําตัวหรือหัวเขาของผูเลน ปลายเชือกอีกดานหนึ่งผูกติดไวกับฐานกระโดด
ชายคนหนึ่งใชเชือกยาว 250 ฟุต กระโดดบันจีจัมปจากฐานกระโดด และพบวาหลังจากใน
แตละครั้งที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด เชือกที่มีความยืดหยุนสูงจะดึงตัวเขาใหลอยขึ้นเปน
ระยะทาง 55% ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด จงหาระยะทางที่ชายคนนี้เคลื่อนที่
ลอยขึ้นและดิ่งลงทั้งหมด

15. 15
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. (1) n
2n
lim
5n 3→∞ −
= n
2n
lim
3
n 5
n
→∞ ⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= n
2
lim
3
5
n
→∞
−
เนื่องจาก n
lim 2
→∞
= 2 และ n
3
lim 5
n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 5
จะได n
2
lim
3
5
n
→∞
−
= n
n
lim 2
3
lim 5
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2
5
ดังนั้น ลําดับ n
2n
a
5n 3
=
−
เปนลําดับลูเขา และ n
2n
lim
5n 3→∞ −
= 2
5
(2)
2
2n
1 n
lim
2 3n→∞
−
+
=
2
2
2
2
n
1
n 1
n
lim
2
n 3
n
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
2
n
1
1
nlim
2
3
n
→∞
−
+
เนื่องจาก 2n
1
lim 1
n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= –1 และ 2n
2
lim 3
n→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3
จะได
2
2
n
1
1
nlim
2
3
n
→∞
−
+
=
2
2
n
n
1
lim 1
n
2
lim 3
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
3
−
ดังนั้น ลําดับ
2
n 2
1 n
a
2 3n
−
=
+
เปนลําดับลูเขา และ
2
2n
1 n
lim
2 3n→∞
−
+
= 1
3
−
(3)
2
2 2n
n n 7
lim
2n n→∞
− +
+
=
3
2 3
3
n
1 1 7
n
n n n
lim
1
n 2
n
→∞
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 3
n
1 1 7
n n nlim
1
2
n
→∞
− +
+
เนื่องจาก 3 3n
1 1 7
lim
n n n→∞
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0 และ n
1
lim 2
n→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2
จะได
2 3
n
1 1 7
n n nlim
1
2
n
→∞
− +
+
= 0
2
= 0
ดังนั้น ลําดับ
2
n 2 2
n n 7
a
2n n
− +
=
+
เปนลําดับลูเขา และ
2
3 2n
n n 7
lim
2n n→∞
− +
+
= 0
(4) เนื่องจาก n
lim 1
→∞
= 1 และ
n
n
9
lim
10→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0
จะได
n
n
9
lim 1
10→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
=
n
n n
9
lim 1 lim
10→∞ →∞
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1 + 0
ดังนั้น ลําดับ an =
n
9
1
10
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนลําดับลูเขา และ
n
n
9
lim 1
10→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= 1

16. 16
(5) เนื่องจาก n
lim 2
→∞
= 2 และ
n
n
1
lim
2→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0
จะได
n
n
1
lim 2
2→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
=
n
n n
1
lim 2 lim
2→∞ →∞
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 – 0 = 2
ดังนั้น an =
n
1
2
2
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนลําดับลูเขา และ
n
n
1
lim 2
2→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= 2
(6) ลําดับนี้คือ 0, 2, 0, 2, ... ซึ่งไมมีลิมิต ดังนั้น ลําดับนี้เปนลําดับลูออก
2. (1) พิจารณาคาของ an โดยตรง เมื่อ n มีคามากขึ้น n – 2 และ n +13 มีคาใกลเคียงกัน
มาก ลิมิตของลําดับ an = n 2
n 13
−
+
จึงเทากับ 1
ใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตเพื่อสนับสนุนการพิจารณาขางตนดังนี้
n
n 2
lim
n 13→∞
−
+
= n
2
n 1
n
lim
13
n 1
n
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= n
2
1
nlim
13
1
n
→∞
−
+
เนื่องจาก n
2
lim 1
n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1 และ n
13
lim 1
n→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
จะได n
2
1
nlim
13
1
n
→∞
−
+
=
n
n
2
lim 1
n
13
lim 1
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
1
= 1
ดังนั้น ลําดับ n
n 2
a
n 13
−
=
+
เปนลําดับลูเขา และ n
n 2
lim
n 13→∞
−
+
= 3
(2) คํานวณหาแตละพจนของลําดับ an = n 1 1
( 1)
n
+
− ไดลําดับ 1 1 1 1
1, , , , , ...
2 3 4 5
− −
จากนั้นพิจารณาคาของ an โดยตรง หรือเขียนกราฟของลําดับ an โดยใชโปรแกรม
ประเภทตาราง เชน Microsoft Excel มาชวย จะไดกราฟดังรูป
-0.4
-0.2
0
0.4
0.8
1
2 4 6 10
0.6
0.2
an
n8

17. 17
จากกราฟ จะเห็นวา an จะเขาใกล 0 เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด
ดังนั้น ลําดับ an = n 1 1
( 1)
n
+
− เปนลําดับลูเขา และ n 1
n
1
lim ( 1)
n
+
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0
3. 0.249 = 0.24999...
= 0.24 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ...
= 3 4 5
9 9 9
0.24 ...
10 10 10
+ + + +
3 4 5
9 9 9
...
10 10 10
+ + + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 3
9
10
และ r = 1
10
เนื่องจาก r = 1
10
< 1 อนุกรม 3 4 5
9 9 9
...
10 10 10
+ + + เปนอนุกรมลูเขา
และมีผลบวกเทากับ 1a
1 r−
=
3
9
10
1
1
10
−
=
3
9
10
9
10
= 1
100
= 0.01
ดังนั้น 0.249 = 0.24 + 0.01 = 0.25 = 1
4
4. (1) n
n 1
2
3
∞
=
∑ = 2 3 n
2 2 2 2
... ...
3 3 3 3
+ + + + +
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 2
3
และ r = 1
3
เนื่องจาก r = 1
3
= 1
3
< 1 อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา
และมีผลบวกเทากับ 1a
1 r−
=
2
3
1
1
3
−
= 1
ดังนั้น n
n 1
2
3
∞
=
∑ = 1
(2) ให Sn =
n
2
k 1
1
4k 1= −
∑
เนื่องจาก 2
1
4k 1−
= 2
1
(2k) 1−
= 1
(2k 1)(2k 1)− +
จะได Sn =
n
k 1
1 1 1
2 2k 1 2k 1=
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
− +⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
=
n
k 1
1 1 1
2 2k 1 2k 1=
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− +⎝ ⎠
∑
= 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

18. 18
= 1 1
1
2 2n 1
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
+⎝ ⎠
n
n
lim S
→∞
= n
1 1
lim 1
2 2n 1→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
+⎝ ⎠
= 1
2
ดังนั้น 2
k 1
1
4k 1
∞
= −
∑ = 1
2
(3)
n n
n
n 0
2 7
9
∞
=
+
∑ =
n
n
n 0
2
9
∞
=
∑ +
n
n
n 0
7
9
∞
=
∑
=
n
n 0
2
9
∞
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ +
n
n 0
7
9
∞
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
= 1
2
1
9
−
+ 1
7
1
9
−
= 9 9 18 63 81
7 2 14 14
+
+ = =
n n
n
n 0
2 7
9
∞
=
+
∑ = 81
14
(4) ให Sn =
n
k 1
6 6
4k 1 4k 3=
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− +⎝ ⎠
∑
จะได Sn =
n
k 1
6 6
4k 1 4k 3=
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− +⎝ ⎠
∑
= 6 6 6 6 6 6 6
2 ...
7 7 11 11 15 4n 1 4n 3
− + − + − + + −
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 6
2
4n 3
−
+
n
n
lim S
→∞
= n
6
lim 2
4n 3→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
+⎝ ⎠
= 2
ดังนั้น
k 1
6 6
4k 1 4k 3=
∞ ⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− +⎝ ⎠
∑ = 2
5. พิจารณา 1
k(k 4)+
= 1 1 1
4 k k 4
−
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดังนั้น Sn = 1 1 1 1
...
1 5 2 6 3 7 n(n 4)
+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ +
= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
4 5 2 6 3 7 4 8 5 9 6 10
− + − + − + − + − + − +
⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝
1 1 1 1
...
7 11 n n 4
− + + −
+
⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
= 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
4 2 3 4 4 n 1 n 2 n 3 n 4
+ + + + − − − −
+ + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

19. 19
เนื่องจาก n
n
lim S
→∞
= n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
4 2 3 4 4 n 1 n 2 n 3 n 4
lim
→∞
+ + + + − − − −
+ + + +
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= 1 1 1 1
1
4 2 3 4
+ + +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 25
48
ดังนั้น อนุกรม 1 1 1 1
... ...
1 5 2 6 3 7 n(n 4)
+ + + + +
⋅ ⋅ ⋅ +
เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 25
48
6. ระยะทางที่ชายคนนี้เริ่มกระโดดจนถึงตําแหนงต่ําสุดมีระยะทาง 250 ฟุต
ชายคนนี้จะลอยขึ้นสูงเปนระยะทาง 55% ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด
มีคาเทากับ ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด
ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยขึ้นครั้งที่ 1 แลวดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุดมีระยะทาง
คือ
ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยขึ้นครั้งที่ 2 แลวดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุดมีระยะทางคือ
ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยขึ้นแลวดิ่งลงเปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ
จะไดระยะทางที่ชายคนนี้เคลื่อนที่ลอยขึ้นและดิ่งลงทั้งหมดเทากับ
2 3
11 11 11
250 500 500 500 ...
20 20 20
+ + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
2 3
11 11 11
250 500
20 20 20
...+
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
=
11
20250 500
11
1
20
+
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 11
250 500
9
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 861.11
ดังนั้น ในการกระโดดบันจีจัมปครั้งนี้ ชายคนนี้เคลื่อนที่ลอยขึ้นและดิ่งลงเปนระยะทาง
ทั้งหมด 861.11 ฟุต
11
20
11 11 11
250 250 500 ฟุต20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ =
211 11 11 11 11
250 250 500 ฟุต20 20 20 20 20
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ =

20. 20
เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ก
1. (1) a2 = a1 + 2 – 1 = 0 + 2 – 1 = 1
a3 = a2 + 3 – 1 = 1 + 3 – 1 = 3
a4 = a3 + 4 – 1 = 3 + 4 – 1 = 6
a5 = a4 + 5 – 1 = 6 + 5 – 1 = 10
ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 1, 3, 6, 10
(2) a2 = 1 + 0.05a1 = 1 + 0.05(1000) = 51
a3 = 1 + 0.05a2 = 1 + 0.05(51) = 3.55
a4 = 1 + 0.05a3 = 1 + 0.05(3.55) = 1.1775
a5 = 1 + 0.05a4 = 1 + 0.05(1.1775) = 1.058875
ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 1000, 51, 3.55, 1.1775, 1.058875
(3) a2 = 6a1 = 6(2) = 12
a3 = 6a2 = 6(12) = 72
a4 = 6a3 = 6(72) = 432
a5 = 6a4 = 6(432) = 2592
ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 12, 72, 432, 2592
(4) a3 = a2 + 2a1 = 2 + 2(1) = 4
a4 = a3 + 2a2 = 4 + 2(2) = 8
a5 = a4 + 2a3 = 8 + 2(4) = 16
ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 1, 2, 4, 8, 16
(5) a3 = a2 + a1 = 0 + 2 = 2
a4 = a3 + a2 = 2 + 0 = 2
a5 = a4 + a3 = 2 + 2 = 4
ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 0, 2, 2, 4
2. (1) เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน 2
(2) เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน –1
(3) เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน –2
(4) เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน 1
3
(5) ไมเปนทั้งลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต

21. 21
3. (1) d = 4 – (–2) = 6
เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
∴ an = –2 + (n – 1)6
= 6n – 8
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 6n – 8
(2) d = 1 1
6 6
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
3
เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
∴ an = 1 1
(n 1)
6 3
− + −
= 3 n
6 3
− +
= 2n 3
6
−
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 2n 3
6
−
(3) d = 1
13 11
2
− = 5
2
เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
∴ an = 5
11 (n 1)
2
+ −
= 17 5n
2 2
+
= 5n 17
2
+
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 5n 17
2
+
(4) d = 22.54 – 19.74 = 2.8
เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
∴ an = 19.74 + (n – 1)(2.8)
= 2.8n + 16.94
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 2.8n + 16.94
(5) d = (x + 2) – x = 2
เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
∴ an = x + (n – 1)2
= x + 2n – 2
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = x – 2 + 2n

22. 22
(6) d = (2a + 4b) – (3a + 2b) = –a + 2b
เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
∴ an = (3a + 2b) + (n – 1)(–a + 2b)
= 3a + 2b – na + 2nb + a – 2b
= 4a – na + 2nb
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 4a – na + 2nb
4. จะได 5p – p = 6p + 9 – 5p
4p = p + 9
3p = 9
p = 3
จะได สามพจนแรกของลําดับนี้คือ 3, 15, 27 ลําดับนี้มีผลตางรวมเปน 12
ดังนั้น สี่พจนตอไปของลําดับนี้คือ 39, 51, 63, 75
5. ใหลําดับนี้มีสามพจนแรกคือ a – d, a, a + d
จะได a – d + a + a + d = 12 ---------- (1)
และ (a – d)3
+ a3
+ (a + d)3
= 408 ---------- (2)
จาก (1) 3a = 12
a = 4
จาก (2), a3
– 3a2
d + 3ad2
– d3
+ a3
+ a3
+ 3a2
d + 3ad2
+ d3
= 408
3a3
+ 6ad2
= 408
3(4)3
+ 24d2
= 408
24d2
= 408 – 192
d2
= 216
24
= 9
d = 3 หรือ –3
ถา d = 3 แลว จะไดลําดับนี้คือ 1, 4, 7, 10, 13, ...
ถา d = –3 แลว จะไดลําดับนี้คือ 7, 4, 1, –2, –5, ...
6. (1) r = 6
3
−
−
= 2
เนื่องจาก an = a1rn–1
∴ an = (–3)2n–1
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = (–3)2n–1

23. 23
(2) r = 5
10
−
= 1
2
−
เนื่องจาก an = a1rn–1
∴ an =
n 1
1
10
2
−
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =
n 1
1
10
2
−
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3) r =
5
4
1
4
= 5
เนื่องจาก an = a1rn–1
∴ an = n 11
5
4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = n 11
5
4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(4) r =
5
3
5
6
= 2
เนื่องจาก an = a1rn–1
∴ an = n 15
(2)
6
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = n 15
(2)
6
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5) r =
1
12
2
9
−
= 3
8
−
เนื่องจาก an = a1rn–1
∴ an =
n 1
2 3
9 8
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =
n 1
2 3
9 8
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
(6) r =
2 2
3
a b
ab
= a
b
เนื่องจาก an = a1rn–1
∴ an =
n 1
3 a
(ab )
b
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

24. 24
=
n
4 n
a
b −
พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =
n
4 n
a
b −
7. (1) ให a1 = –15 และ a5 = –1215
จะได a5 = a1r4
= –1215
–15r4
= –1215
r4
= 81
r = –3 หรือ r = 3
ดังนั้น สามพจนที่อยูระหวาง –15 กับ –1215 คือ 45, –135, 405 หรือ –45, –135, –405
(2) ให a1 = 4
3
และ a5 = 27
64
จะได a5 = a1r4
= 27
64
4
3
r4
= 27
64
r4
= 81
256
r = 3
4
หรือ r = 3
4
−
ดังนั้น 3 พจนที่อยูระหวาง 4
3
กับ 27
64
คือ 1, 3
4
, 9
16
หรือ –1, 3
4
, 9
16
−
8. ให a เปนจํานวนที่นําไปบวก
จะได 3 + a, 20 + a, 105 + a เปนลําดับเรขาคณิต
ดังนั้น 20 a
3 a
+
+
= 105 a
20 a
+
+
400 + 40a + a2
= 315 + 108a + a2
68a = 85
a = 85
68
= 5
4
จํานวนที่นําไปบวกคือ 5
4

25. 25
เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ข
1. (1) ลูออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1 0
(2) ลูเขา
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1 0 –0.333 0 0.2 0 –0.142 0 –0.111 0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25 30
an
n
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an
n

26. 26
(3) ลูเขา
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 2.5 1.666 1.25 1 0.833 0.714 0.625 0.555 0.5 0.454
(4) ลูออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 2 2 2.666 4 6.4 10.666 18.285 32 56.888 102.4
n0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
an
10 20 30
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8
an
n

27. 27
(5) ลูออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 0 4 0 8 0 12 0 16 0 20
(6) ลูเขา
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 3.5 3.75 3.875 3.937 3.968 3.984 3.992 3.996 3.998 3.999
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20
an
n
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
0 2 4 6 8
an
n

28. 28
(7) ลูเขา
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
(8) ลูเขา
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 0.666 0.816 0.873 0.903 0.922 0.934 0.943 0.950 0.955 0.960
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8
an
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20
an
n

29. 29
(9) ลูออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an –1.333 1.777 –2.370 3.160 –4.213 5.618 –7.491 9.988 –13.318 17.757
(10) ลูเขา
.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 0.25 0.333 0.3 0.222 0.147 0.090 0.053 0.031 0.017 0.009
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 2 4 6 8 10 12
an
n
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12
an
n

30. 30
2. ไมเห็นดวย เพราะเปนการสรุปที่ไมถูกตอง ถา xn และ yn เปนลําดับ การที่จะกลาววา
n
n
n
x
lim
y→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= n
n
n
n
lim x
lim y
→∞
→∞
ไดนั้น ขอตกลงเบื้องตนเกี่ยวกับ n
n
lim x
→∞
และ n
n
lim y
→∞
ตองเปน
จริงกอน ขอกําหนดเบื้องตนนั้นคือ n
n
lim x
→∞
และ n
n
lim y
→∞
ตองหาคาได
ในกรณีนี้ ตองจัดรูป an และ bn กอนการใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ดังนี้
จาก
4 22n n
43n 13
−
+
=
14n (2 )
2n
134n (3 )
4n
−
+
=
1
2
2n
13
3
4n
−
+
และเนื่องจาก 2n
1
lim(2 )
n→∞
− = 2 และ 4n
13
lim(3 )
n→∞
+ = 3
ดังนั้น
4 2
4n
2n n
lim
3n 13→∞
−
+
=
1
2
2nlim
n 13
3
4n
−
→∞
+
=
2n
4n
1
lim(2 )
n
13
lim(3 )
n
→∞
→∞
−
+
= 2
3
3. (1) n
8
lim
3n→∞
= n
8 1
lim
3 n→∞
= 8
(0)
3
= 0
ดังนั้น ลําดับ an = 8
3n
เปนลําดับลูเขา
(2) จาก
n
n
8
7
=
n
8
7
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จะได
n
nn
8
lim
7→∞
=
n
n
8
lim
7→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
n
8
lim
7→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
หาคาไมได เพราะ 8
7
> 1
ดังนั้น ลําดับ an =
n
n
8
7
เปนลําดับลูออก
(3) n
( 1)− = 1 เมื่อ n เปนจํานวนคู และ n
( 1)− = –1 เมื่อ n เปนจํานวนคี่
ดังนั้น ลําดับ an = (–1)n
ไมมีลิมิต และเปนลําดับลูออก

31. 31
(4)
n
n
1
lim3
2→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n
n
1
3lim
2→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3(0)
= 0
ดังนั้น ลําดับ an =
n
1
3
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนลําดับลูเขา
(5) เนื่องจาก n
lim 4
→∞
= 4 และ n
1
lim
n→∞
= 0
จะได n
1
lim 4
n→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= n n
1
lim 4 lim
n→∞ →∞
+
= 4 + 0
= 4
ดังนั้น ลําดับ an = 1
4
n
+ เปนลําดับลูเขา
(6) จาก 6n 4
6n
−
= 6n 4
6n 6n
− = 1 – 2
3n
และเนื่องจาก n
lim1
→∞
= 1 และ n
2
lim
3n→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0
จะได n
6n 4
lim
6n→∞
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= n
2
lim 1
3n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= n n
2
lim1 lim
3n→∞ →∞
−
= 1 – 0
= 1
ดังนั้น ลําดับ an = 6n 4
6n
−
เปนลําดับลูเขา
(7) เมื่อ n มีคาเพิ่มขึ้น คาของพจนที่ n ของลําดับนี้จะเพิ่มขึ้น และไมเขาใกลจํานวนใด
จํานวนหนึ่ง
ดังนั้น ลําดับ an = 3n 5
6
+
เปนลําดับลูออก
(8) จาก n
n 1+
= n
1
n 1
n
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
1
1
n
+
และเนื่องจาก n
lim1
→∞
= 1 และ n
1
lim
n→∞
= 0
จะได n
n
lim
n 1→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
= n
1
lim
1
1
n
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠

32. 32
= n
n n
lim1
1
lim1 lim
n
→∞
→∞ →∞
+
= 1
1 0+
= 1
ดังนั้น ลําดับ an = n
n 1+
เปนลําดับลูเขา
(9) เนื่องจาก 2n
4
lim
n→∞
= 0 และ 2n
5n
lim
n→∞
= 0
จะได 2n
4 5n
lim
n→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 2n n
4 5n
lim lim
n n→∞ →∞
+
= 0 + 0
= 0
ดังนั้น ลําดับ an = 2
4 5n
n
+
เปนลําดับลูเขา
(10) จาก 2n 1
3n 1
−
+
=
1
n 2
n
n 3
n
1
−
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
2
n
3
n
1
−
+
และเนื่องจาก 1
lim 2
n n
−
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 และ lim 3
n n
1
+
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3
จะได n
2n 1
lim
3n 1→∞
−
+
=
n
n
1
lim 2
n
1
lim 3
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2
3
ดังนั้น ลําดับ an = 2n 1
3n 1
−
+
เปนลําดับลูเขา
(11) an =
2
3n 5n
7n 1
−
−
เปนลําดับลูออก
(12) จาก
2
2
7n
5n 3−
=
2
2
2
7n
3
n 5
n
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
7
3
5
n
−
และเนื่องจาก n
lim7
→∞
= 7 และ 2n
3
lim 5
n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 5
จะได
2
2n
7n
lim
5n 3→∞ −
= n
2n
lim7
3
lim 5
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠

33. 33
= 7
5
ดังนั้น ลําดับ an =
2
2
7n
5n 3−
เปนลําดับลูเขา
(13) จาก
2
2
4n 2n 3
n
− +
= 2
2 3
4
n n
− +
และเนื่องจาก n
lim 4
→∞
= 4 , n
2
lim
n→∞
= 0 และ 2n
3
lim
n→∞
= 0
จะได
2
2n
4n 2n 3
lim
n→∞
⎛ ⎞− +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2n
2 3
lim 4
n n→∞
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2n n n
2 3
lim 4 lim lim
n n→∞ →∞ →∞
− +
= 4 – 0 + 0
= 4
ดังนั้น ลําดับ an =
2
2
4n 2n 3
n
− +
เปนลําดับลูเขา
(14) จาก
2
2
3n 1
10n 5n
−
−
=
2
2
2
1
n 3
n
10
n 5
n
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
1
3
n
10
5
n
−
−
และเนื่องจาก 2n
1
lim 3
n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3 และ 10
lim 5
n n
−
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= –5
จะได
2
2n
3n 1
lim
10n 5n→∞
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
=
2n
n
1
lim 3
n
10
lim 5
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3
5
−
ดังนั้น ลําดับ an =
2
2
3n 1
10n 5n
−
−
เปนลําดับลูเขา
(15) เนื่องจาก n
1
lim
n→∞
= 0 และ n
1
lim
n 1→∞ +
= 0
จะได n
1 1
lim
n n 1→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
+⎝ ⎠
= n n
1 1
lim lim
n n 1→∞ →∞
−
+
= 0 – 0
= 0
ดังนั้น ลําดับ an = 1 1
n n 1
−
+
เปนลําดับลูเขา

34. 34
(16) จาก
n 1
n 2
3
5
+
+
=
n 1
n 1
3
5 5
+
+
⋅
=
n 1
1 3
5 5
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จะได
n 1
n 2n
3
lim
5
+
+→∞
=
n 1
n
1 3
lim
5 5
+
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n 1
n
1 3
lim
5 5
+
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
(0)
5
= 0
ดังนั้น ลําดับ an =
n 1
n 2
3
5
+
+
เปนลําดับลูเขา
(17) จาก
n 1
n 2
2 3
3
−
+
+
=
n 1
n 1 n 2
2 3
27 3 3
−
− +
+
⋅
=
n 1
1 2 1
n 127 3 3
−
+
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และเนื่องจาก
n 11 2
lim
27 3n
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
−
→∞
= 1
27
และ 1
lim
n 1n 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠+→∞
= 0
จะได
n 1
n 2n
2 3
lim
3
−
+→∞
+
=
n 11 2 1
lim
n 127 3n 3
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
−
+
+→∞
=
n 1
n 1n n
1 2 1
lim lim
27 3 3
−
+→∞ →∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
(0) 0
27
+
= 0
ดังนั้น ลําดับ an =
n 1
n 2
2 3
3
−
+
+
เปนลําดับลูเขา
(18) จาก n 1
n 1
−
+
=
1
n 1
n
1
n 1
n
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
1
n
1
1
n
−
+
และเนื่องจาก n
1
lim(1 )
n→∞
− = 1 และ n
1
lim(1 )
n→∞
+ = 1
จะได n
n 1
lim
n 1→∞
−
+
=
n
n
1
lim 1
n
1
lim 1
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
ดังนั้น ลําดับ an = n 1
n 1
−
+
เปนลําดับลูเขา

35. 35
(19) จาก
2
n 1
4n
−
=
2
1
n 1
n
4n
−
=
2
1
1
n
4
−
และเนื่องจาก 2n
1
lim 1
n→∞
− = 1 และ n
lim 4
→∞
= 4
จะได
2
n
n 1
lim
4n→∞
−
=
2
n
1
1
nlim
4→∞
−
= 2n
1 1
lim 1
4 n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
1
4
= 1
4
ดังนั้น ลําดับ an =
2
n 1
4n
−
เปนลําดับลูเขา
(20) จาก
2
3 3
4n 1
2n n 2
−
+ +
=
2
3
3
1
n 4
n
2
n 2 1
n
−
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
3
3
1
4
n
2
2 1
n
−
+ +
และเนื่องจาก 2n
1
lim 4
n→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 และ 3
3n
2
lim 2 1
n→∞
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3
จะได
2
3 3n
4n 1
lim
2n n 2→∞
−
+ +
=
2
n
3
3
1
4
nlim
2
2 1
n
→∞
−
+ +
=
2n
3
3n
1
lim 4
n
2
lim 2 1
n
→∞
→∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2
3
ดังนั้น ลําดับ an =
2
3 3
4n 1
2n n 2
−
+ +
เปนลําดับลูเขา
(21) an =
n( 1)
n
−
เปนลําดับลูเขา
(22) an =
2
8n 5n 2
3 2n
+ +
+
เปนลําดับลูออก

36. 36
4. (1) ไมจริง เชน ลําดับ an = n และ ลําดับ bn = –n เปนลําดับลูออก
แตลําดับ (an + bn) = n – n = 0 เปนลําดับลูเขา
(2) จริง การพิสูจนโดยขอขัดแยง (proof by contradiction) ทําไดดังนี้
สิ่งที่กําหนดใหคือ ลําดับ an เปนลําดับลูเขา และ ลําดับ bn เปนลําดับลูออก
สมมติวา “(an + bn) เปนลําดับลูเขา”
เนื่องจากลําดับ an และลําดับ (an + bn) เปนลําดับลูเขา จึงไดวา n
n
lima
→∞
และ
n n
n
lim(a b )
→∞
+ หาคาได ให n
n
lima
→∞
= A และ n n
n
lim(a b )
→∞
+ = B
พิจารณา n n n
n
lim(a b a )
→∞
+ − = n
n
lim b
→∞
และ n n n
n
lim(a b a )
→∞
+ − = n n
n
lim(a b )
→∞
+ – n
n
lima
→∞
= B – A
ดังนั้น n
n
lim b
→∞
หาคาได ซึ่งทําให ลําดับ bn เปนลําดับลูเขา
เกิดขอขัดแยงกับสิ่งที่กําหนดให
จึงสรุปวา ขอความที่สมมติวา “(an + bn) เปนลําดับลูเขา” เปนเท็จ
นั่นคือ (an + bn) ตองเปนลําดับลูออก
5. (1) n
n
r
lim P(1 )
12→∞
+ = n
n
r
Plim(1 )
12→∞
+
เนื่องจาก r
1 1
12
+ > ดังนั้น
n
n
r
lim 1
12→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
หาคาไมได
ดังนั้น an =
n
r
P 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
ไมเปนลําดับลูเขา
(2) จาก an =
n
r
P 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
กําหนด r = 1.5
100
= 0.015
สิ้นเดือนที่ 1 จะได a1 = 0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9011.25
สิ้นเดือนที่ 2 จะได a2 =
2
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9022.51
สิ้นเดือนที่ 3 จะได a3 =
3
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9033.79
สิ้นเดือนที่ 4 จะได a4 =
4
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9045.08
สิ้นเดือนที่ 5 จะได a5 =
5
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9056.39
สิ้นเดือนที่ 6 จะได a6 =
6
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9067.71

37. 37
สิ้นเดือนที่ 7 จะได a7 =
7
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9079.05
สิ้นเดือนที่ 8 จะได a8 =
8
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9090.39
สิ้นเดือนที่ 9 จะได a9 =
9
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9101.76
สิ้นเดือนที่ 10 จะได a10 =
10
0.015
9000 1
12
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 9113.13
ดังนั้น สิบพจนแรกของลําดับ คือ 9011.25, 9022.51, 9033.79, 9045.08, 9056.39,
9067.71, 9079.05, 9090.39, 9101.76, 9113.13
6. (1) ให an เปนงบรายจายปกติที่ถูกตัดลงเมื่อเวลาผานไป n ป
A แทนงบรายจายปกติเปน 2.5 พันลานบาท
สิ้นปที่ 1 จะได a1 = 20
A (A)
100
− = 4
A
5
สิ้นปที่ 2 จะได a2 = 4 20 4
A A
5 100 5
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
4
A
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สิ้นปที่ 3 จะได a3 =
2 2
4 20 4
A A
5 100 5
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
3
4
A
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สิ้นปที่ n จะได an =
n
4
A
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดังนั้น เมื่อเวลาผานไป n ป งบรายจายเปน
n
4
2.5
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
พันลานบาท
(2) งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 1 เปน 4
(2.5)
5
= 2 พันลานบาท
งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 2 เปน
2
4
(2.5)
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1.6 พันลานบาท
งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 3 เปน
3
4
(2.5)
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1.28 พันลานบาท
งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 4 เปน
4
4
(2.5)
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1.024 พันลานบาท
ดังนั้น งบรายจายในสี่ปแรก หลังถูกตัดงบเปน 2, 1.6, 1.28 และ 1.024 พันลานบาท
ตามลําดับ
(3) เนื่องจาก 4
1
5
< จะได
n
4
lim 2.5
n 5→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0
ดังนั้น ลําดับของงบรายจายนี้เปนลําดับลูเขา

38. 38
เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ก
1. (1) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 1
2
S2 = 1 1
2 6
+ = 2
3
S3 = 1 1 1
2 6 18
+ + = 13
18
Sn =
n 1
1 1 1 1 1
...
2 6 18 2 3
−
⎛ ⎞
+ + + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n
n 1
3 1
4 3 −
−
⋅
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1
2
, 2
3
, 13
18
, ...,
n
n 1
3 1
4 3 −
−
⋅
, ...
(2) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 3
S2 = 3 + 2 = 5
S3 = 3 + 2 + 4
3
= 19
3
Sn = 3 + 2 + 4
3
+ ... +
n 1
2
3
3
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n
2
9 1
3
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 3, 5, 19
3
, ...,
n
2
9 1
3
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, ...
(3) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 1
2
S2 = 1 5
2 2
+ = 3
S3 = 1 5 25
2 2 2
+ + = 31
2
Sn = n 11 5 25 1
... (5)
2 2 2 2
−
+ + + + = n1
(1 5 )
8
− −
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1
2
, 3, 31
2
, ..., n1
(1 5 )
8
− − , ....

39. 39
(4) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 1
2
S2 = 1 1
( )
2 4
+ − = 1
4
S3 = 1 1 1
2 4 8
⎛ ⎞
+ − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 3
8
Sn =
n 1
n
1 1 1 ( 1)
...
2 4 8 2
−
−⎛ ⎞
+ − + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n
1 1
1
3 2
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1
2
, 1
4
, 3
8
, ...,
n
1 1
1
3 2
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, ...
(5) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 2
S2 = 2 + (–1) = 1
S3 = 2 + (–1) + (–4) = –3
Sn = 2 + (–1) + (–4) + ... + (5 – 3n) = n
(7 3n)
2
−
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 2, 1, –3, ..., n
(7 3n)
2
− , ...
(6) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 3
4
S2 = 3 9
4 16
+ = 21
16
S3 = 3 9 27
4 16 64
+ + = 111
64
Sn =
n
3 9 27 3
...
4 16 64 4
⎛ ⎞
+ + + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n
3
3 1
4
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 3
4
, 21
16
, 111
64
, ...,
n
3
3 1
4
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, ...
(7) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 0
S2 = 0 + 3 = 3

40. 40
S3 = 0 + 3 + 8 = 11
Sn = 0 + 3 + + 8 + ... + (n2
– 1) =
n
2
i 1
(i 1)
=
−∑ =
3 2
2n 3n 5n
6
+ −
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 0, 3, 11, ...,
3 2
2n 3n 5n
6
+ −
, ...
(8) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = –1
S2 = –1 + 0 = –1
S3 = –1 + 0 + 9 = 8
Sn = –1 + 0 + 9 + ... + 23
n
(i 2i )
i 1
−∑
=
=
4 3 2
3n 2n 9n 4n
12
− − −
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ –1, –1, 8, ...,
4 3 2
3n 2n 9n 4n
12
− − −
, ...
(9) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 1
10
−
S2 = 1 1
10 100
− + = 9
100
−
S3 = 1 1 1
10 100 1000
− + − = 91
1000
−
Sn =
n
1 1 1 1
...
10 100 1000 10
−⎛ ⎞
− + − + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
n
1 1
1
11 10
⎛ ⎞⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1
10
− , 9
100
− , 91
1000
− , ...,
n
1 1
1
11 10
⎛ ⎞⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, ...
(10) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 100
S2 = 100 + 10 = 110
S3 = 100 + 10 + 1 = 111
Sn = 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103 – n
= n
1000 1
1
9 10
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 100, 110, 111, ..., n
1000 1
1
9 10
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ...

41. 41
(11) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้
S1 = 1
S2 = 1 – 2 = –1
S3 = 1 – 2 + 3 = 2
S4 = 1 – 2 + 3 – 4 = –2
S5 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3
S6 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = –3
ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...
2. (1)
n 1
1 1 1 1 1
...
2 6 18 2 3
−
⎛ ⎞
+ + + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ ... เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 1
3
ซึ่ง | r | < 1
ดังนั้น อนุกรมนี้จึงเปนอนุกรมลูเขาที่มีผลบวกเปน
1
2
1
1
3
−
= 3
4
(2) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 9
(3) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1
2
, 3, 31
2
, ..., n1
(1 5 )
8
− − , ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต
ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก
(4) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 1
3
(5) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 2, 1, –3, ..., n
(7 3n)
2
− , ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต
ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก
(6) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 3
(7) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 0, 3, 11, ...,
3 2
2n 3n 5n
6
+ −
, ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต
ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก
(8) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ –1, –1, 8, ...,
4 3 2
3n 2n 9n 4n
12
− − −
, ... ลําดับนี้
ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก
(9) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 1
11
−
(10) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 1000
9
(11) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 2, –2, 3, –3, ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต
ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก

42. 42
3. (1) จะได 4 1 8 1 16 1
...
9 27 81
+ + +
+ + + = 4 8 16 1 1 1
... ...
9 27 81 9 27 81
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
4 1
9 9
2 1
1 1
3 3
+
− −
= 4 1 3
(3)
9 9 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= 4 1
3 6
+
= 3
2
(2) อนุกรม n 1
3 3 3 3
3 ... ...
2 4 8 2 −
+ + + + + + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 1
2
จะได n 1
3 3 3 3
3 ... ...
2 4 8 2 −
+ + + + + + = 3
1
1
2
−
= 3
1
2
= 6
(3) เมื่อ x เปนจํานวนจริง จะได 1 1 1 1
... ...
2 2 2 2 3 2 n
2 x (2 x ) (2 x ) (2 x )
+ + + + +
+ + + +
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 1
2
2 x+
เนื่องจาก x2
≥ 0 ดังนั้น 2 + x2
≥ 2 ซึ่งทําให 1
2
2 x+
≤
1
2
< 1
ดังนั้น 1 1 1 1
... ...
2 2 2 2 3 2 n
2 x (2 x ) (2 x ) (2 x )
+ + + + +
+ + + +
=
1
2
2 x
1
1
2
2 x
+
−
+
= 1
2
x 1+
4. 0.9
i
= 0.9999...
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
= 2 3 4
9 9 9 9
...
10 10 10 10
+ + + +
เนื่องจาก 2 3
9 9 9
...
10 10 10
+ + + เปนอนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 1
10
ดังนั้น 2 3
9 9 9
...
10 10 10
+ + + =
9
10
1
1
10
−
= 9 10
10 9
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

43. 43
= 1
จะได 0.9
i
= 1
5. (1) 0.21
i i
= 0.212121...
= 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ...
= 2 4 6
21 21 21
...
10 10 10
+ + +
=
2
2
21
10
1
1
10
−
=
2
2
21 10
10 99
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= 21
99
= 7
33
(2) 0.6104
i i
= 0.6104104...
= 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + 0.0000000104 + ...
= 4 7 10
6 104 104 104
...
10 10 10 10
+ + + +
=
4
3
104
6 10
110 1
10
+
−
= 6 104
10 9990
+
= 5994 104
9990
+
= 6098
9990
(3) 7.256
i i
= 7.25656...
= 7 + 0.2 + 0.056 + 0.00056 + 0.0000056 + ...
= 3 5 7
2 56 56 56
7 ...
10 10 10 10
+ + + + +
=
3
2
56
2 107
110 1
10
+ +
−
= 2 56
7
10 990
+ +
= 198 56
7
990
+
+

44. 44
= 254
7
990
= 127
7
495
(4) 4.387
i i
= 4.38787...
= 4 + 0.3 + 0.087 + 0.00087 + 0.0000087 + ...
= 3 5 7
3 87 87 87
4 ...
10 10 10 10
+ + + + +
=
3
2
87
3 104
110 1
10
+ +
−
= 3 87
4
10 990
+ +
= 297 87
4
990
+
+
= 384
4
990
= 192
4
495
(5) 0.073
i i
= 0.07373...
= 0.073 + 0.00073 + 0.0000073 + ...
= 3 5 7
73 73 73
...
10 10 10
+ + +
=
3
2
73
10
1
1
10
−
= 73
990
(6) 2.9
i
= 2.999 ...
= 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
= 2 3
9 9 9
2 ...
10 10 10
+ + + +
=
9
102
1
1
10
+
−
= 9
2
9
+
= 3

45. 45
6. เพราะวา 1 + x + x2
+ x3
+ ... + xn–1
+ ... = 2
3
และเนื่องจาก a1 = 1 , r = x
จะไดวา 2
3
= 1
1 x−
2 – 2x = 3
∴ x = 1
2
−
7. จาก a1 + a1r + a1r2
+ a1r3
+ ... = 3
2
จะได 1a
1 r−
= 3
2
---------- (1)
และ a1 – a1r + a1r2
– a1r3
+ ... = 3
4
จะได 1a
1 r+
= 3
4
---------- (2)
จาก (1), 2a1 + 3r = 3 ---------- (3)
จาก (2), 4a1 – 3r = 3 ---------- (4)
(3) + (4), 6a1 = 6
∴ a1 = 1
จาก (3) จะได r = 3 2
3
−
= 1
3
8. (1) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปแรกมีดานยาว 5 หนวย
ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองยาว
2 2
5 5
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 25
2
= 5 2
2
หนวย
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองมีเสนรอบรูปยาว 10 2 หนวย
(2) ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามยาว
2 2
5 2 5 2
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 5
2
หนวย
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามมีเสนรอบรูปยาว 10 หนวย
ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สี่ยาว
2 2
5 5
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 5 2
4
หนวย
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สี่มีเสนรอบรูปยาว 5 2 หนวย
จะได ผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปน 20 + 10 2 + 10 + 5 2 + ...
= 20
2
1
2
−
= 20(2 2)+
9. ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปแรก เทากับ 30 นิ้ว
ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สอง เทากับ 15 นิ้ว
ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สาม เทากับ 15
2
นิ้ว

46. 46
ผลบวกของความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ 15
30 15 ...
2
+ + +
= 30
1
1
2
−
= 60
∴ ผลบวกความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมีคา 60 นิ้ว
10. การแกวงครั้งแรกจากจุดไกลสุดดานหนึ่งไปอีกดานหนึ่งไดระยะทาง 75 เมตร
การแกวงครั้งที่สองไดระยะทาง 75 3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมตร
การแกวงครั้งที่สามไดระยะทาง 3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
75 3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 75
2
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมตร
การแกวงครั้งที่สี่ไดระยะทาง 3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
75
2
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 75
3
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมตร
ระยะทางที่ไดจากการแกวงครั้งใหมเปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ
ดังนั้น เรือไวกิ้งจะแกวงไปมาตั้งแตเริ่มตนจากจุดสูงสุดเปนระยะทางเทากับ
75 + 75 3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 75
2
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 75
3
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ ... = 75
2 3
3 3 3
1 ...
5 5 5
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= 75 1
3
1
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 75 5
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 187.5 เมตร
11. (1) ให an เปนระยะทางที่สารพิษแพรกระจายตอจากตําแหนงเดิมเมื่อเวลาผานไป n ป
กําหนด a1 = 1500 , a2 = 900 , a3 = 540
สังเกตวา 900 540 3
1500 900 5
= =
สมมติให an เปนลําดับเรขาคณิตที่มีพจนแรกเปน 1500 และมีอัตราสวนรวมเปน 3
5
ให S10 เปนผลบวกของระยะทางที่สารพิษแพรกระจายไปไดเมื่อสิ้นปที่สิบ
จะได S10 = 1500 + 900 + 540 + ... + 1500
9
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
10
3
1500 1
5
3
1
5
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
−

47. 47
= ( )
10
5 3
1500 1
2 5
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= 3750
10
3
1
5
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= 3727.325
เมื่อสิ้นปที่สิบ สารพิษจะแพรกระจายไปได 3727.325 เมตร
(2) เพราะวา ผลบวกอนันตของอนุกรมนี้เทากับ 1500
3
1
5
−
= 3750
ดังนั้น สารพิษจะแพรกระจายไปไดไกลที่สุด 3,750 เมตร ซึ่งไปไมถึงโรงเรียน
12. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรม
2 n 1
2 2 2
1 ... ...
3 3 3
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Sn =
( )na 1 r1
1 r
−
−
=
n
2
1 1
3
2
1
3
−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =
n
2
3 1
3
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
S1 = 1 S2 = 5
3
= 1.6666
S3 = 19
9
= 2.1111 S4 = 65
27
= 2.4074
S5 = 211
81
= 2.6049 S6 = 665
243
= 2.7366
S7 = 2059
729
= 2.8244 S8 = 6305
2187
= 2.8829
S9 = 19171
6561
= 2.9219 S10 = 58025
19683
= 2.9479
S11 = 175099
59049
= 2.9653
เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกิน 1 จะได 2 ≤ Sn < 3
เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกิน 0.2 จะได 2.8 ≤ Sn < 3
เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกิน 0.05 จะได 2.95 ≤ Sn < 3
จะได n ที่นอยที่สุด ตามเงื่อนไขขางตนเปน n = 3, n = 7 และ n = 11 ตามลําดับ
13. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรม 1 1 1
1 ... ...
2 3 n
+ + + + +
โดยใชเครื่องคํานวณ จะได S1 = 1
S2 = 3
2
= 1.500

48. 48
S3 = 11
6
= 1.833
S4 = 25
12
= 2.083
S5 = 137
60
= 2.283
S6 = 49
20
= 2.450
S7 = 363
140
= 2.592
S8 = 761
280
= 2.717
S9 = 7129
2520
= 2.828
S10 = 7381
2520
= 2.928
S11 = 83711
27720
= 3.019
S12 = 86021
27720
= 3.103
S13 = 1145993
360360
= 3.180
S14 = 1171733
360360
= 3.251
S15 = 1195757
360360
= 3.318
S16 = 2436559
720720
= 3.380
S17 = 42142223
12252240
= 3.439
S18 = 14274301
4084080
= 3.495
S19 = 275295799
77597520
= 3.547

49. 49
S20 = 55835135
15519504
= 3.597
S21 = 18858053
5173168
= 3.645
S22 = 19093197
5173168
= 3.690
S23 = 444316699
118982864
= 3.734
S24 = 1347822955
356948592
= 3.775
S25 = 34052522467
8923714800
= 3.815
S26 = 34395742267
8923714800
= 3.854
S27 = 312536252003
80313433200
= 3.891
S28 = 315404588903
80313433200
= 3.927
S29 = 9227046511387
2329089562800
= 3.961
S30 = 9304682830147
2329089562800
= 3.994
S31 = 290774257297357
72201776446800
= 4.027
ดังนั้น n ที่นอยที่สุด เมื่อ Sn มากกวา 2 คือ 4
n ที่นอยที่สุด เมื่อ Sn มากกวา 3 คือ 11
n ที่นอยที่สุด เมื่อ Sn มากกวา 4 คือ 31
14. (1) ไมถูกตอง เพราะ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... เปนอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรม
เรขาคณิต อนุกรมนี้มีอัตราสวนรวมเปน 2 ซึ่ง | 2 | > 1 จึงไมสามารถหาผลบวกได
(2) ไมถูกตอง เพราะ 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + ... เปนอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรม
เรขาคณิต อนุกรมนี้มีอัตราสวนรวมเปน –2 ซึ่ง | –2 | > 1 จึงไมสามารถหาผลบวกได