Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

666

1,321 views

Published on

  • Be the first to comment

666

  1. 1. ความน่าจะเป็น โดย ครูสุจินต์ เย้าดุสิต โรงเรียนกัลยาณีศรีธรรมราช
  2. 2. 1. กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฎข้อที่ 1 ในการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n 1 วิธี และในแต่ละวิธีที่ทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่ทำงานอย่างที่สองได้ n 2 วิธี จำนวนวิธีที่ทำงานทั้งสองอย่างนี้เท่ากับ n 1 n 2 วิธี ตัวอย่าง ห้องประชุมมีประตู 6 ประตู จงหาจำนวนวิธีที่ชายคนหนึ่งจะเดินเข้าและเดินออกจากห้องประชุม โดยที่ 1) จะเข้าหรือออกประตูใดก็ได้ 2) ห้ามเข้าและออกประตูเดียวกัน วิธีทำ 1) จำนวนวิธีที่เดินเข้า 6 วิธี จำนวนวิธีที่เดินออก 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่เดินเข้าและออกเท่ากับ 6 x 6 = 36 วิธี  2 ) จำนวนวิธีที่เดินเข้า 6 วิธี จำนวนวิธีที่เดินออก 5 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่เดินเข้าและออกไม่ซ้ำประตูเดิมเท่ากับ 6 x 5 = 3 0 วิธี 
  3. 3. กฎข้อที่ 2 ในการทำงานซึ่งมี k ขั้นตอนโดยขั้นตอนที่หนึ่งเลือกทำได้ n 1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งเลือกทำขั้นตอนที่สองได้ n 2 วิธี ในแต่ละวิธีที่ทำขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ n 3 วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n 1 n 2 n 3 …n k วิธี ตัวอย่าง มีเลขโดดอยู่ 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 นำมาสร้างเป็นจำนวนตัวเลข 3 หลักที่มีค่าน้อยกว่า 400 ได้กี่จำนวน เมื่อ 1) แต่ละหลักใช้เลขซ้ำกันได้ 2) แต่ละหลักใช้เลข ซ้ำกันไม่ได้ 3) เป็นจำนวนคู่และแต่ละหลักใช้เลข ซ้ำกันไม่ได้ วิธีทำ 1) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 3 วิธี (1,2,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 6 วิธี (0,1,2,3,4,5) หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 6 วิธี (0,1,2,3,4,5) ดังนั้น จำนวนเลขสามหลัก ที่น้อยกว่า 400 มี 3 x6x6 = 108 วิธี 
  4. 4. 2) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 3 วิธี (1,2,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 5 วิธี ( หลักร้อยเลือกไปแล้ว 1 ตัว ) หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนเลขสามหลักที่น้อยกว่า 400 มี 3x5x4 = 60 จำนวน  3) หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 2 วิธี (0,4) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 3 วิธี (1,2,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 4 วิธี และ หลักหน่วย เลือกตัวเลขได้ 1 วิธี (2) หลักร้อย เลือกตัวเลขได้ 2 วิธี (1,3) หลักสิบ เลือกตัวเลขได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนคู่สามหลักที่น้อยกว่า 400 มี (2x3x4)+(1x2x4) = 32 จำนวน 
  5. 5. 2. แฟกทอเรียล n (n-Factorial) บทนิยาม เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n หมายถึงผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n แทนด้วย n! จากบทนิยาม n! = 1.2.3….(n-1).n หรือ n! = n.(n-1).(n-2)….3.2.1 0! = 1 ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ
  6. 6. ตัวอย่าง จงเขียน 504 ให้เป็นแฟกทอเรียล วิธีทำ 504 = 9.8.7 ตัวอย่าง จงหาค่า n จาก วิธีทำ n-8 = 10 n = 18
  7. 7. 3. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 1) วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n! วิธี ตัวอย่าง จะมีวิธีจัดรูปภาพต่างๆกัน 7 รูป แขวนไว้ที่ผนังเป็นแถวได้กี่วิธี ถ้า 1) ไม่มีข้อกำหนดเพิ่มเติม 2) รูปภาพรูปหนึ่งที่กำหนดให้อยู่ตรงกลาง วิธีทำ 1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนรูปภาพ 7 รูป ได้ 7! = 5,040 วิธี  2) เพราะว่ารูปภาพที่กำหนดให้อยู่ตรงกลาง เท่ากับจัดรูปภาพ 6 รูป ดังนั้น จำนวนวิธีจัดรูปภาพ 7 รูปโดยให้รูปหนึ่งอยู่กลางได้ 6! = 720 วิธี  กฎข้อที่ 4 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดคราวละ r สิ่ง เท่ากับ P n,r วิธี โดย ,
  8. 8. ตัวอย่าง จะมีวิธีจัดคน 7 คน ยืนเข้าแถว 2 แถว เพื่อถ่ายรูปได้กี่วิธี ถ้าให้แถวหน้ามี 4 คน และแถวหลังมี 3 คน วิธีทำ แถวหน้าเลือก 4 คน จาก 7 คน จัดได้ วิธี เมื่อจัดแถวหน้าแล้วแถวหลัง 3 คน จัดได้ 3! = 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดคน 7 คน เข้าแถวได้ = 840 x 6 = 5,040 วิธี  ตัวอย่าง มีหนังสือคณิตศาสตร์ต่างกัน 5 เล่ม และหนังสือฟิสิกส์ต่างกัน 4 เล่ม จะมีวิธีจัดหนังสือเหล่านี้บนชั้นหนังสือได้กี่วิธี โดยที่หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน วิธีทำ การจัดหนังสือวิชาเดียวกันติดกันคิดเป็นของ 1 สิ่ง จัดได้ 2! วิธี หนังสือคณิตศาสตร์จัดได้ 5! วิธี และหนังสือฟิสิกส์จัดได้ 4! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือทั้งหมดเท่ากับ 2!5!4! = 5,760 วิธี 
  9. 9. 2) วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด กฎข้อที่ 5 ถ้ามีของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี n 1 สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n 2 สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง .... มี n k สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n 1 +n 2 +n 3 +…+n k = n จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง เท่ากับ วิธี ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีการจัดเรียงจาน 8 ใบขนาดเดียวกัน ซึ่งมีจานสีขาว 3 ใบ สีเขียว 3 ใบและสีแดง 2 ใบ วิธีทำ จำนวนวิธีเรียงจานทั้ง 8 ใบ วิธี ตัวอย่าง มีหนังสือคณิตศาสตร์เหมือนกัน 6 เล่ม และหนังสือภาษาอังกฤษเหมือนกัน 4 เล่ม จงหาจำนวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 10 เล่ม วางบนชั้นหนังสือโดยให้หนังสือที่อยู่หัวแถวและท้ายแถวเหมือนกัน วิธีทำ 1) ให้หนังสือคณิตศาสตร์ อยู่หัวแถวและท้ายแถว วิธี 2) ให้หนังสือภาษาอังกฤษ อยู่หัวแถวและท้ายแถว วิธี
  10. 10. 3) วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม กฎข้อที่ 6 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ (n-1)! วิธี ตัวอย่าง ครอบครัว ครอบครัว หนึ่งมีสมาชิก 6 คน จะจัดให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีจัดคน 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลมเท่ากับ (6-1)! = 5! = 120 วิธี  ตัวอย่าง จะจัดนักเรียนชาย 4 คน และหญิง 4 คน ยืนสลับกันเป็นวงกลมได้กี่วิธี วิธีทำ จัดนักเรียนชาย 4 คนให้ยืนเป็นวงกลมได้เท่ากับ (4-1)! = 3! วิธี จัดนักเรียนหญิง 4 คน ให้ยืนระหว่างนักเรียนชายได้เท่ากับ 4! วิธี ดังนั้น จะจัดนักเรียนชาย 4 คน และหญิง 4 คน ยืนสลับกันเป็นวงกลมได้เท่ากับ 3!.4! = 144 วิธี 
  11. 11. 4. วิธีจัดหมู่ (Combination) วิธีจัดหมู่ต่างกับวิธีเรียงสับเปลี่ยนตรงที่เราไม่ถืออันดับหรือตำแหน่งเป็นสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันไม่มีความหมาย เช่น มีตัวอักษร 2 ตัว คือ A , B ถ้าเรียงสับเปลี่ยนจะได้ AB และ BA แต่วิธีจัดหมู่ ถือว่า AB และ BA เหมือนกัน กฎข้อที่ 7 จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ให้มีหมู่ละ r สิ่ง เท่ากับ C n,r โดย , ตัวอย่าง ชายคนหนึ่งมีเสื้อที่แตกต่างกัน 10 ตัว ต้องการนำติดตัวไปต่างจังหวัด 4 ตัว จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี 1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2) ต้องมีเสื้อสีเหลืองอยู่ด้วย วิธีทำ 1) จะจัดเสื้อ 4 ตัว จากเสื้อที่ต่างกัน 10 ตัว ได้เท่ากับ วิธี 2) จะต้องจัดเสื้ออื่นอีก 3 ตัว จาก 9 ตัว จะจัดได้เท่ากับ วิธี
  12. 12. 5. ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) ทฤษฎีบททวินามเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการนำ (a+b) n มากระจายให้อยู่ในรูปของการบวก พิจารณาการกระจาย (a+b) n สัมประสิทธิ์ (a+b) 0 = 1 1 (a+b) 1 = a+b 1 1 (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 1 2 1 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 1 3 3 1 (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 1 4 6 4 1 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 ......................................... จะพบว่าผลการกระจายมี n+1 พจน์ และมีสัมประสิทธิ์เป็น C n,0 , C n,1 , C n,2 ,….,C n,n
  13. 13. ทฤษฎีบททวินาม เมื่อ a , b เป็นจำนวนจริง n , r เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a+b) n = C n,0 a n +C n,1 a n-1 b+C n,2 a n-2 b 2 +….+C n,r a n-r b r +….+C n,n b n หมายเหตุ 1) C n,r ที่ปรากฎในทฤษฎีบททวินาม เรียกว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม 2) พจน์ที่ r+1 หรือ T r+1 = C n,r a n-r b r ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 6 ในการกระจาย (2x-y) 8 วิธีทำ พจน์ที่ 6 คือ T 5+1 = C 8,5 (2x) 8-5 (-y) 5 = 56(2 3 x 3 )(-y 5 ) = -448x 3 y 5  ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่มี x 9 จากการกระจาย
  14. 14. 6. ความน่าจะเป็น (Probability) 1) การทดลองสุ่ม (Random Experiment) บทนิยาม การทดลองสุ่ม คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์มีอะไรบ้างแต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองจะเกิดผลลัพธ์อะไร เช่น ๏ การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ๏ การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง 2) ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) บทนิยาม ปริภูมิตัวอย่าง คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เช่น ๏ ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจแต้มของลูกเต๋า ปริภูมิตัวอย่าง คือ S = {1,2,3,4,5,6}
  15. 15. ๏ ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ปริภูมิตัวอย่าง คือ S = {HH,HT,TH,TT} 3) เหตุการณ์ (Event) บทนิยาม เหตุการณ์ คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง เช่น ๏ ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6)} * เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 5 คือ E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} * เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่างกัน 2 คือ E = {(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4)}
  16. 16. 4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ บทนิยาม ถ้า S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มอย่างหนึ่ง ซึ่งแต่ละจุดตัวอย่างมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน และ E แทนเหตุการณ์ แล้ว สมบัติของความน่าจะเป็น 1) 2) 3 ) หมายเหตุ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด คือตัวเลขที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด
  17. 17. ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 1) ได้ผลรวมของแต้มมากกว่า 9 2) ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว วิธีทำ S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6)} , n(S) = 36 1 ) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่า 9 คือ E 1 = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} , n(E 1 ) = 6 ดังนั้น  2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว คือ E 2 = {(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)} ดังนั้น 
  18. 18. ตัวอย่าง สุ่มหยิบไพ่ 3 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่โพดำทั้ง 3 ใบ วิธีทำ n(S) = C 52,3 = 22,100 ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่ได้ไพ่โพดำทั้ง 3 ใบ คือ n(E) = C 13,3 = 286 ดังนั้น 5) กฎที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งเป็นเซตจำกัด และ A , B เป็นเหตุการณ์ใดๆ กฎข้อที่ 1 กฎข้อที่ 2 , กฎข้อที่ 3 กฎข้อที่ 4
  19. 19. ตัวอย่าง ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้วสีแ ดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีฟ้า 4 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วขึ้นมา 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกแก้วเป็นสีแดงหรือสีฟ้า วิธีทำ ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกแก้วสีแดง B เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกแก้วสีฟ้า เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีฟ้า จะได้ , ดังนั้น นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกแก้วเป็นสีแดงหรือสีฟ้าเท่ากับ

×