1. สารบัญ
หน้า : 1 1.1 ลำาดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำาดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำาดับ
หน้า : 4 1.4 ลำาดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำาดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำาคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional
Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำาลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )
1
หน้าที่ 1 - 1.1 ลำาดับ (Sequence) คืออะไร ?
ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตวเลขมา 3-4 ตัว
ั
แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็น
อะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำาดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน
นอกจากนี้ ในชีวตประจำาวันของ ยังคุ้นเคยกับคำาว่า ลำาดับ คือ การเรียงกันของ
ิ
สิ่งของ หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ
ลำาดับตัวเลข คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำานวนเต็มบวก ตัวเลขในลำาดับแต่ละ
ตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำาดับ คือ เซตของจำานวนที่
เรียงเป็น โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขทีห้อยอยู่บอกถึง
่
ตำาแหน่งของเลขในลำาดับนั้น
ตัวอย่างเช่น
และ
จากตัวอย่างที่ 1 เลขลำาดับที่ 1 คือ 1, ลำาดับที่ 2 คือ 3, ลำาดับที่ 3 คือ 5, . . ., แล้ว เรา
สามารถหารูปแบบได้ว่า ลำาดับที่ nth ( ) คือ ได้อย่างไม่ยาก
ส่วนตัวอย่างที่ 2 เลขลำาดับที่ 1 คือ 2, ลำาดับที่ 2 คือ 4, ลำาดับที่ 3 คือ 8, . . ., แล้ว เรา
สามารถหารูปแบบได้ว่า ลำาดับที่ nth ( ) คือ ได้อย่างไม่ยากเช่นกัน
การเขียนแทนลำาดับนอกจาก หรือ แล้
ว เรายังสามารถเขียนได้ในรูป หรือ เรียกว่า “Bracket notation” ซึ่ง
แทนลำาดับที่มีพจน์ทั่วไป เป็น
เรียก ว่าพจน์ ที่ 1 ของลำาดับ

2. เรียก ว่าพจน์ ที่ 2 ของลำาดับ
เรียก ว่าพจน์ ที่ 3 ของลำาดับ
......................................................
เรียก ว่าพจน์ ที่ n ของลำาดับ
จะเห็นได้ว่าลำาดับเป็นเซตของจำานวนที่เรียงลำาดับกันภายใต้กฎเกณฑ์ อย่างใด
อย่างหนึ่งร่วมกัน ลำาดับที่มีพจน์เป็นจำานวนจำากัด เรียกว่า ลำาดับจำากัด ( Finite
Sequence ) ลำาดับที่มีจำานวนพจน์ ไม่จำากัด เรียกว่า ลำาดับอนันต์ ( Infinite Sequence )
การกำาหนดลำาดับหนึ่ง มักจะบอกโดยสูตร สำาหรับพจน์ที่ n ในลำาดับนั้น เช่น ลำาดับ
อาจจะบอกโดย เมื่อ เป็นจำานวนเต็มบวกหรือ
เขียนให้กระชับขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ ในสัญลักษณ์ นี้ แต่ละพจน์เกิดจาก
การแทนจำานวนเต็ม ลงในสูตร
ตัวอย่าง 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำาดับ
วิธีทำา แทน ลงในสูตร ได้
หรือ
ตัวอย่าง 2 จงเขียนลำาดับต่อนี้ในรูป Bracket notation
(ก ) (ข )
ตอบ ตอบ
( ค) (ง )
ตอบ
ตอบ
(จ )
ตอบ
ข้อสังเกต อักษร และ อาจจะใช้ตัวอักษร อื่นแทนได้ เช่น อาจจะแทนด้วย
ก็ได้ จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเห็นว่าในการเขียนลำาดับ
หรือ (1)
เป็นการกำาหนดความเกี่ยวข้องระหว่างจำานวน และจำานวนเต็มบวก ซึ่งกล่าว
ได้อีกแบบหนึ่งว่า เป็นสูตรสำาหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระคือ แปรค่า
บนจำานวนเต็มบวก ดังนั้น อาจจะเขียน (1) ในรูปฟังก์ชันเป็น ,
และ แทนฟังก์ชัน
เนื่องจากทุกลำาดับมีโดเมน คือ เซตของจำานวนเต็มบวกเหมือนกัน ดังนั้น ต่อไปจะ
เขียน แทน หรือ แทน

3. ลำาดับอนันต์ (Infinite Sequence) คือ ลำาดับที่ไม่มีจุดจบ เช่น ลำาดับของจำานวนนับ 1, 2,
3, ...
ลำาดับจำากัด (Finite Sequence) คือ ลำาดับที่มีจำานวนพจน์จำากัด ตัวอย่างเช่น ลำาดับ
หน้าของหนังสือเล่มหนึ่ง
ลำาดับชนิดพิเศษ
1) ลำาดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)
ลำาดับเลขคณิต เป็น ลำาดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง
จากพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าต่างคงที่ เรียกว่า ผลต่างร่วมของลำาดับ
ตัวอย่างเช่น 3, 6, 9, 12, . . .
เราทราบว่าลำาดับนี้เป็นลำาดับเลขคณิต เพราะ มีผลต่างร่วม = 3 = 12 -9 = 9 -6 = 6 -3
ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย , และพจน์ที่ ด้วย
เราจะได้ว่า
ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า เมื่อ แทนผลต่างร่วมของลำาดับนี้
2) ลำาดับเรขาคณิต (Geometric sequence)
ลำาดับเรขาคณิต เป็น ลำาดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลด
ลง โดยการคูณพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าคงที่ เรียกว่า อัตราส่วนร่วมของลำาดับ
ตัวอย่างเช่น 2, 4, 8, 16, . . .
เราทราบว่าลำาดับนี้เป็นลำาดับเรขาคณิต เพราะ มีอัตราส่วนร่วม = 2 = 4 / 2 = 8 / 4 =
16 / 8
ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย , และพจน์ที่ ด้วย
เราจะได้ว่า
ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า เมื่อ แทนอัตราส่วนร่วมของลำาดับนี้
หน้าที่ 2 - 1.2 กราฟของลำาดับ
เนื่องจากลำาดับ คือ ฟังก์ชัน เราอาจเขียนกราฟ ของลำาดับได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 1.2.1 ลำาดับ มีกราฟดังนี้

4. ตัวอย่าง 1.2 .2 ลำาดับ มีกราฟดังนี้
ตัวอย่าง 1.2.3 ลำาดับ มีกราฟดังนี้
จากกราฟทั้งสามของลำาดับ ซึ่งเป็น กราฟที่ไม่ต่อเนื่อง ( Discontinuous curve ) ได้ว่า
กราฟของ (3.1) และ (3.3) นั้น จะมีค่าลู่เข้าสู่ 1 และ 3 ตามลำาดับ ส่วน กราฟของ (3.2)
จะมีการแกว่งไปมา ไม่ลู่เข้าสู่ค่าใดเลย
แบบฝึกหัด จงวาดกราฟของลำาดับต่อไปนี้
, และ
หน้าที่ 3 - 1.3 ลิมิตของลำาดับ
ในการที่จะกล่าวว่า ลำาดับ เข้าใกล้ลิมิต เมื่อ มีค่ามากขึ้น นั่นหมาย
ถึงว่าพจน์ในลำาดับนั้นมีค่าเข้าใกล้จำานวน ดังนั้น ถ้าเราเลือกจำานวนบวก

5. ใดๆ พจน์ต่างๆ ในลำาดับนั้นจะต่างจาก ไม่เกิน นั่นคือ ถ้าลากเส้น
และ แล้วพจน์ในลำาดับนั้นจะถูกกักอยู่ภายในแถบระหว่างเส้นทั้งสอง
นิยาม 1.3.1 จะเรียกว่าลำาดับ มีลิมิต ถ้ากำาหนด ใดๆ แล้วมี
จำานวนเต็มบวก โดยที่ เมื่อ
ถ้า ลำาดับ มีลิมิต แล้วเรากล่าวว่าลำาดับ คอนเวอร์จ หรือลู่เข้า และ
เขียน เขียน และเรียกลำาดับที่ไม่มีลิมิตว่า ไดเวอร์จ หรือ ลูออก
่
การคำานวณค่าลิมิตของลำาดับ ( Calculating limit of Sequence )
ทฤษฎีบท 1.3.2 กำาหนดให้ และ เป็นลำาดับของจำานวนจริง และ
เป็นจำานวนจริง ถ้า และ แล้วจะได้ว่า
1. ( Sum Rule )
2. ( Difference Rule )
3. ( Product Rule )
4. , ( Qutient Rule )
5. ( Constant Multiple Rule )
ทฤษฎีบท 1.3.3 ถ้าให้ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำาหรับ และ เป็นลำาดับ
ของจำานวนจริง ซึ่งทำาให้ สำาหรับ แล้วจะได้ว่า
ถ้า แล้ว
จาก ท.บ. 1.3.2 ถ้าในการคำานวณ ได้ลิมิตอยู่ในรูป หรือ ควร
ใช้กฎของโลปิตาล หรือ วิธีการแยกตัวประกอบ หรือ แยกแฟกเตอร์ ช่วยในการ
หาลิมิต
ลำาดับต่อไปนี้เป็นลำาดับลู่เข้าหรือไม่?
1.
ตอบ ลู่เข้า -6
2.
ตอบ ลู่ออก
3.

6. ตอบ ลู่เข้า
4.
ตอบ ลู่เข้า
5.
ตอบ ลู่ออก
ในการตรวจสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของลำาดับที่มีความซับซ้อนนั้นจำาเป็นต้องหา
ลิมิตในรูปแบบไม่กำาหนดลักษณะต่างๆ
( , , , , , )
ซึ่งลิมิตที่ควรรู้จักมีดังนี้
1)
2)
3)
4) ,
5) ,
6)
7) ,
กรณี 4)-6) เป็นค่าคงที่
โจทย์ จงทดสอบลำาดับอนันต์

7. ตอบ ใส่ เข้าไปหน้าฟังก์ชัน ก่อนใช้กฎโลปิตาล แล้วจะได้ว่า ลำาดับ
นี้ลู่เข้า
ทฤษฎีบท 1.3.4 ( The Sandwich Theorem of Sequence )
ให้ และ และ เป็นลำาดับของจำานวนจริง โดยที่ ทุกๆ
ค่า ถ้า แล้วจะได้ว่า
ตัวอย่าง จงแสดงว่าลำาดับ ลู่เข้า
วิธีทำา เราทราบว่า และเพราะ
เราจึงสรุปได้ว่า ด้วย โดยทฤษฎีบท 1.3.4
ทฤษฎีบท 1.3.5 ( The Continuous Function Theorem for sequence )
ให้ เป็นลำาดับของจำานวนจริง ซึ่ง และ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง
ที่ นิยาม ที่ ทุกค่า แล้ว
หมายเหตุ อาจเขียนได้ว่า แล้ว
ตัวอย่าง ลำาดับ เป็นลำาดับลู่เข้าหรือไม่
วิธีทำา เนื่องจาก จึงได้ว่า
หน้าที่ 4 - 1.4 ลำาดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
นิยาม 1.4.1 จะเรียกลำาดับ ว่า
- เป็นลำาดับเพิ่ม ถ้า
- เป็นลำาดับไม่ลด ถ้า
- เป็นลำาดับลด ถ้า
- เป็นลำาดับไม่เพิ่ม ถ้า
เรียกลำาดับที่เป็นลำาดับไม่ลด หรือเป็นลำาดับไม่เพิ่มว่า ลำาดับทางเดียว ( monotone )
และ เรียก ลำาดับที่เป็นลำาดับเพิ่ม หรือเป็นลำาดับลดว่า ลำาดับทางเดียวโดยแท้ (
strictly monotone ) นั่นคือ ลำาดับทางเดียวโดยแท้ จะเป็นลำาดับทางเดียวด้วย ( แต่บท
กลับไม่จริง )

8. ตัวอย่าง 1
เป็นลำาดับเพิ่ม (1)
เป็นลำาดับลด (2)
เป็นลำาดับไม่ลด (3)
เป็นลำาดับไม่เพิ่ม (4)
ลำาดับทั้งสี่เป็นลำาดับทางเดียว และลำาดับ (1) ,(2) เป็นลำาดับทางเดียวโดยแท้
ลำาดับที่ไม่เป็นลำาดับทางเดียว เช่น
การทดสอบการเป็นลำาดับทางเดียว
การตรวจสอบลำาดับว่า เป็นลำาดับเพิ่ม หรือลำาดับลด อาจทำาได้ดังนี้
วิธีที่ 1 พิจารณา
ถ้าพบว่า แล้ว แสดงว่า เป็นลำาดับลด (1)
และ ถ้าพบว่า แล้ว แสดงว่า เป็นลำาดับเพิ่ม (2)
วิธีที่ 2 ถ้า เป็นลำาดับที่ ทุกๆ แล้ว จะพิจารณาอัตราส่วน
ถ้า ทุกๆ แล้ว เป็นลำาดับลด (3)
และ ถ้า ทุกๆ แล้ว เป็นลำาดับเพิ่ม (4)
หมายเหตุ
- ถ้าเครื่องหมายใน (1) หรือ (3) เป็น จะเป็นลำาดับไม่เพิ่ม
- ถ้าเครื่องหมายใน (2) หรือ (4) เป็น จะเป็นว่าลำาดับไม่ลด
ตัวอย่าง 2 จงพิจารณาลำาดับต่อไปนี้ว่าเป็นลำาดับทางเดียวหรือไม่ ถ้าเป็น เป็น
ลำาดับเพิ่มขึ้น หรือ ลดลง
2.1

9. ตอบ ใช้วิธีที่ 1 จะได้ว่า เป็นลำาดับลด
2.2
ตอบ ใช้วิธีที่ 2 จะได้ว่า เป็นลำาดับลด
ตัวอย่าง 3 จงแสดงว่าลำาดับ เป็นลำาดับลด
วิธีทำา ใช้วิธตรวจสอบอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน
ี
สำาหรับทุกค่า เสมอ
จึงสรุปได้ว่า เป็นลำาดับลด
หน้าที่ 5 - 1.5 ลำาดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
นิยาม 1.5.1 ให้ เป็นลำาดับของจำานวนจริง เรียกจำานวนจริง ว่าขอบเขตบน
( Upper Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ สำาหรับทุก ๆ
และเรียก ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ เ
ป็นขอบเขตบนของ และ มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ
นิยาม 1.5.2 ให้ เป็นลำาดับของจำานวนจริง เรียกจำานวนจริง ว่าขอบเขตล่าง
( Lower Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ สำาหรับทุก ๆ
และเรียก ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ
เป็นขอบเขตล่างของ และ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัว
ของ
เราจะเรียก ว่ามีขอบเขต ก็ต่อเมื่อ มีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง
ตัวอย่าง 1
1.1 ลำาดับ มี 2 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด แต่ไม่มีขอบเขตบน
ดังนั้นลำาดับนี้จึงไม่มีขอบเขต และ เป็นลำาดับเพิ่ม
1.2 ลำาดับ มี 1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ มี -1 เป็น
ขอบเขตล่างค่ามากสุด ดังนั้นลำาดับนี้จึงมีขอบเขต แต่ลู่ออก
1.3 ลำาดับ มี เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ
เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด ดังนั้น เป็นลำาดับที่มีขอบเขตและ ไม่เป็น

10. ลำาดับทางเดียว
ตัวอย่าง 2
พิจารณาลำาดับ
ให้ ,
ดังนั้น
จึงได้ว่า ทุก ๆ นั่นคือ
หรือ และ จะได้ว่า ทุก ๆ
ดังนั้น เป็นขอบเขตล่างของ นอกจากนี้แล้วยังมีจำานวนจริงอีกมากมายที่
เป็นขอบเขตล่างของ เช่น 0 , -1 ,-3/2 เป็นต้น แต่ทุกจำานวนที่เป็นขอบเขตล่าง
ของ จะมีค่าไม่เกิน 1/3 ดังนั้น 1/3 เป็นขอบเขตล่างที่มีค่ามากที่สุด
สำาหรับขอบเขตบนของ จะพิจารณาจาก ทุกๆ
ดังนั้น เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของ และทุกจำานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ
เป็นขอบเขตบน ทั้งหมด
การที่จะแสดงว่า เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดทำาได้ดังนี้
สมมติว่ามีจำานวนจริง โดยที่ และ เป็นขอบเขตบนของ แล้ว
จะมีจำานวนเต็มบวก ตัวหนึ่งซึ่ง หรือ ได้ ซึ่งขัด
แย้งกับที่ เป็นขอบเขตบน
ดังนั้น จึงไม่มีจำานวนจริง และ เป็นขอบเขตบนของ นั่นคือ เ
ป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ
ทฤษฎีบท 1.5.3 ถ้า เป็นลำาดับที่ลู่เข้าแล้ว จะเป็นลำาดับที่มีขอบเขต
หมายเหตุ
- บทกลับของ 1.7 ได้ว่า ถ้า ไม่มีขอบเขต จะเป็นลำาดับลู่ออก
-ลำาดับทางเดียวที่มีค่าขอบเขต จะเป็นลำาดับที่ลู่เข้าเสมอ แต่ ลำาดับที่มีขอบเขต ไม่
จำาเป็นต้องลู่เข้า

11. ตัวอย่าง 3
เช่น ลำาดับ ในตัวอย่าง 1.2.2 จากกราฟจะเห็นได้ว่า ลำาดับนี้มี
ขอบเขตที่ -1 ถึง 1 แต่ไม่ลู่เข้า
หน้าที่ 6 - 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หัวข้อนี้จะศึกษาผลบวกที่มีพจน์เป็นจำานวนมากนับไม่ถ้วน ตัวอย่างของผลบวกที่
คุ้นเคยกันมาก เกิดขึ้นในการแทนจำานวนจริงด้วยทศนิยม
เช่น เมื่อเขียน ในรูปทศนิยม
นั้นหมายถึง
แสดงว่าการแทน ด้วย ทศนิยม อาจจะพิจารณาเป็นผลบวกของจำานวนจริง
หลายจำานวนนับไม่ถ้วน
ผลบวกของอนุกรมอนันต์
ในการนิยามความหมายของผลบวกของจำานวนจริงหลายจำานวนนับไม่ถ้วน จะ
เริ่มจากนิยามของอนุกรมอนันต์ก่อน ดังนี้
นิยาม 2.1.1 อนุกรมอนันต์ คือ นิพจน์ ( expression ) ที่อยู่ในรูป
หรือ เขียนในสัญลักษณ์ ได้เป็น
เรียกจำานวน ว่า พจน์ของอนุกรม และต่อไปจะใช้คำาว่า อนุกรม แทน
คำาว่า อนุกรมอนันต์
เนื่องจากเราไม่สามารถบวกจำานวนที่นับไม่ถ้วนเข้าด้วยกันได้ ดังนั้นจึงต้องนิยาม
ผลบวกของอนุกรมและ คำานวณค่าโดยใช้ลิมิต
เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐาน จะพิจารณาทศนิยม ซึ่งสามารถเขียน
เป็นอนุกรม

12. หรือ ____________
(1)
เนื่องจาก ดังนั้น ผลบวกของอนุกรม (1) ควรจะเป็น การหาผล
บวกของอนุกรมทำาได้โดยการพิจารณาลำาดับของผลบวก ดังนี้
..............................................................................
ลำาดับ สามารถใช้เป็นการประมาณ ผลบวกของอนุกรมได้ ใน
ลำาดับของผลบวกดังกล่าว จะมีการใช้พจน์ของอนุกรมมากขึ้น และการประมาณ
ค่าจะดีขึ้นตามลำาดับ และลิมิตของลำาดับ ควรเป็น
เพื่อให้เห็นว่าลิมิตเป็น จริง จะต้องคำานวณลิมิตของพจน์ทั่วไปในลำาดับที่ใช้
ประมาณค่า ในที่นี้พจน์ทั่วไปคือ
________ (2)
การหา ค่อนข้างยุ่งยาก เพราะ
ทั้งพจน์สุดท้ายและจำานวนพจน์เปลี่ยนตามค่า จึงต้องพยามยามเขียนลิมิตให้
อยู่ในรูปที่พจน์ไม่แปรค่า ดังนี้
คูณ (2) ด้วย จะได้
________ (3)
นำา (3) ลบออกจาก (2) จะได้
หรือ

13. เนื่องจาก เมื่อ จึงได้
ซึ่งอาจจะแทนด้วยการเขียน
จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม ได้
ดังนี้ ให้ แทนผลบวกของ พจน์แรกของอนุกรม
.................................
เรียก ว่า ผลบวกย่อยที่ ของอนุกรม และ เรียก ว่า ลำาดับของผลบวก
ย่อย เมื่อ มีค่าเพิ่มขึ้น ผลบวกย่อย จะรวมพจน์
ของอนุกรมมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ถ้า มีค่าเข้าใกล้ลิมิตค่าหนึ่ง ขณะที่
ค่าลิมิตนั้นจะเป็นผลบวกของทุกพจน์ในอนุกรมนั้น เขียนเป็นนิยามได้ดังนี้
นิยาม 2.1.2 ให้ เป็นลำาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม ถ้าลำาดับ
ลู่เข้าสู่ลิมิต แล้วจะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่เข้า และเรียก ว่า ผลบวกของ
อนุกรม เขียนแทนด้วย ถ้าลำาดับของผลบวกย่อยลู่ออกแล้ว จะเรียก
อนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่ออก และไม่มีผลบวก
ตัวอย่าง 1 จงแสดงว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า พร้อมทั้งหาผลบวกของ
อนุกรม
วิธีทำา เนื่องจาก จะได้

14. ดังนั้น
และ ดังนั้น เป็นลำาดับลู่เข้า นั้นคือ
เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า และมีผลบวกเป็น 1
ต่อไปจะขอเขียนแทนอนุกรมอนันต์ด้วย ซึ่งจะมีทฤษฎีบทที่สำาคัญ ดังนี้
ทฤษฎีบท 2.1.3 ถ้า เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้วจะได้ว่า
ทฤษฎีบท 2.1.4 ถ้า แล้ว จะได้ว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
ทฤษฎีบท 2.1.5 ถ้า และ เป็นอนุกรมสองอนุกรมซึ่งมีความแตกต่างกัน
เฉพาะ พจน์แรก แล้ว จะได้ว่า และ เป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งคู่ หรือ
อนุกรมลู่ออกทั้งคู่
หน้าที่ 7 - 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำาคัญ
นักศึกษาอาจเคยใช้อนุกรมในการช่วยคำานวณทางคณิตศาสตร์ เช่น
ซึ่งอนุกรมเหล่านี้ล้วนเป็นอนุกรมจำากัด คือ มีจำานวนพจน์ที่แน่นอน นอกจากนี้ ยัง
มีอนุกรมอนันต์ ที่สำาคัญ ที่ควรทราบ ดังต่อไปนี้
2.2.1 อนุกรมเรขาคณิต ( Geometric Series ) คืออนุกรมที่อยู่ในรูป
เมื่อ และ เป็นจำานวนจริงที่คงที่ และ เรียก ว่า อัตราส่วนร่วม (
Common Ratio )

15. ตัวอย่าง 1 อนุกรมเรขาคณิต
1) , ,
2) , ,
3) , , ,
ทฤษฎีบท 2.2.2
กำาหนดให้ เป็นอนุกรมเรขาคณิต
1. ถ้า จะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้า และ มีผลบวกเป็น
นั่นคือ
2. ถ้า จะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่ออก ( หาผลรวมไม่ได้ )
2.2.3 อนุกรม P ( P’s Series )
นิยาม อนุกรม P จะมีรูปแบบทั่วไปเป็น
เมื่อ เป็นจำานวนจริง
ตัวอย่าง 2
,
,
ทฤษฎีบท 2.2.4
กำาหนดให้ เป็นอนุกรม P
1. ถ้า แล้ว จะเป็น อนุกรมลู่เข้า

16. 2. ถ้า แล้ว จะเป็น อนุกรมลู่ออก
หน้าที่ 8 - 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
ในกรณีที่เราต้องการทราบว่าอนุกรมที่กำาหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก โดย
ไม่ต้องหาผลบวกย่อยที่ ในพจน์ของ หรือไม่สามารถนำาทฤษฎีเบื้องต้นที่
กล่าวมาใช้ได้ จึงจำาเป็นต้องศึกษาถึงทฤษฎีที่ใช้ในการทดสอบการลู่เข้า และการ
ลู่ออกของอนุกรม ซึ่งมีอยู่หลายทฤษฎี ดังต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 2.3.1 การทดสอบโดยอินทิกรัล ( Integral Test )
ให้ เป็นอนุกรมที่มี และ ให้ เป็นฟังก์ชันที่เกิดจากการแทน
ใน ด้วย ถ้า มีค่าลดลงและมีความต่อเนื่องสำาหรับ แล้ว อนุกรม
กับอินทิกรัลไม่ตรงแบบ จะลู่เข้า หรือลู่ออกเหมือนกัน
ตัวอย่าง 1 จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลูออก
่
ก.
วิธีทำา กำาหนดให้ จะได้ว่า เป็นฟังก์ชันลด และต่อเนื่องสำาหรับ
เราจึงสามารถใช้การทดสอบโดยอินทิกรัลได้
พิจารณา ใช้การอินทิกรัลแบบแยกส่วน (by parts) และ improper integral
แล้วจะได้ว่า เราจึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้
ลุ่เข้า
ข.
วิธีทำา กำาหนดให้ จะได้ว่า เป็นฟังก์ชันลด และต่อ
เนื่องสำาหรับ เราจึงสามารถใช้การทดสอบโดยอินทิกรัลได้
พิจารณา ใช้การอินทิกรัลแบบเปลี่ยนตัวแปร
(substitution) และ improper integral แล้วจะได้ว่า
เราจึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้ลุ่ออก
ทฤษฎีบท 2.3.2 การทดสอบแบบเปรียบเทียบ ( Comparison Test )
ให้ และ เป็นอนุกรมบวก ( , ทุกค่า )
1. ถ้า และ ลู่เข้าแล้ว จะได้ว่า ลูเข้าด้วย
่

17. 2. ถ้า และ ลู่ออกแล้ว จะได้ว่า ลู่ออกด้วย
นอกเหนือจากนี้สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 2
จงทดสอบอนุกรมที่กำาหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก
ก.
วิธีทำา กำาหนดให้ เลือก แล้วเราจะได้ว่า แต่เรา
ทราบว่า ลูเข้า เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วมเป็น
่ ฉะนั้น
จึงลู่เข้าด้วย
ข.
วิธีทำา กำาหนดให้ เลือก แล้วเราจะได้ว่า แต่เราทราบว่า
ลูเข้า เพราะเป็นอนุกรม
่ โดยที่ ฉะนั้น จึงลู่เข้าด้วย
ค.
วิธีทำา กำาหนดให้ เลือก แล้วเราจะได้ว่า แต่
เราทราบว่า ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วมเป็น ฉะ
นั้น จึงลู่เข้าด้วย
ทฤษฎีบท 2.3.3
การทดสอบแบบเปรียบเทียบโดยลิมิต (Limit Comparison Test )
ให้ และ เป็นอนุกรมบวก ( , ทุกค่า )
1. ถ้า แล้วจะได้ว่า และ จะลู่เข้า หรือ ลู่ออกเหมือนกัน
2. ถ้า และ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วจะได้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า

18. 3. ถ้า และ เป็นอนุกรมลู่ออก แล้วจะได้ว่า เป็นอนุกรมลู่
ออก
ตัวอย่าง 3 จงทดสอบอนุกรมที่กำาหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลูออก
่
ก.
วิธีทำา กำาหนดให้ เลือก แล้วเราจะได้ว่า แต่เรา
ทราบว่า ลูเข้า เพราะเป็นอนุกรม
่ โดยที่ ฉะนั้น จึงลู่
เข้าด้วย
ข.
วิธีทำา กำาหนดให้ เลือก แล้วเราจะได้ว่า และ
ทราบว่า ลูออก เพราะเป็นอนุกรม
่ โดยที่ ฉะนั้น จึง
ลู่ออกด้วย
ค.
วิธีทำา กำาหนดให้ เลือก แล้วเราจะได้ว่า แต่เรา
ทราบว่า ลูเข้า เพราะเป็นอนุกรม โดยที่
่ ฉะนั้น จึงลู่
เข้าด้วย
ทฤษฎีบท 2.3.4 การทดสอบโดยอัตราส่วน ( Ratio Test )
ให้ เป็นอนุกรมที่ต้องการทดสอบ ถ้า แล้วได้ว่า
(1) ถ้า อนุกรมจะลู่เข้า
(2) ถ้า อนุกรมจะลู่ออก
(3) ถ้า สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 4
จงทดสอบอนุกรมที่กำาหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก

19. ก.
วิธีทำา กำาหนดให้ แล้วเราจะได้ว่า
เราจึงสรุปได้ว่า ลู่เข้า
ข.
วิธีทำา กำาหนดให้ แล้วเราจะได้ว่า
เราจึงสรุปได้ว่า ลู่ออก
ทฤษฎีบท 2.3.5
การทดสอบโดยใช้รากที่ ( nth-Root Test )
ให้ เป็นอนุกรมที่ต้องการทดสอบ ถ้า แล้วได้ว่า
(1) ถ้า อนุกรมจะลู่เข้า
(2) ถ้า อนุกรมจะลู่ออก
(3) ถ้า สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 5 อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลูออก
่
วิธีทำา กำาหนดให้ แล้วเราจะได้ว่า
เราจึงสรุปได้ว่า ลู่เข้า
หน้าที่ 9 - 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
คืออนุกรมที่เขียนได้ในรูป
หรือ
ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
ถ้า เป็นอนุกรมสลับซึ่งมีคุณสมบัติต่อไปนี้

20. (1) สำาหรับ
(2)
จะได้ว่า อนุกรมสลับนี้ ลู่เข้า
ถ้าขาดข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
ตัวอย่าง 6 จงทดสอบอนุกรมสลับต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก
ก.
วิธีทำา จากโจทย์ แล้วเราจะได้ว่า และ
เราจึงสรุปได้ว่า ลู่เข้า
ข.
วิธีทำา จากโจทย์ แล้วเราจะได้ว่า
เราจึงสรุปได้ว่า ลูออก
่
หน้าที่ 10 - 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional
Convergence )
นิยาม 2.5.1 เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้า เป็นอนุกรมลู่เข้า
นิยาม 2.5.2 เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ถ้า เป็นอนุกรมลู่เข้า แต่
เป็นอนุกรมลู่ออก
ทฤษฎีบท 2.5.3 ถ้า เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้วจะได้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และ
มี

21. ตัวอย่าง 7 จงทดสอบว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่
วิธีทำา
อนุกรม
พิจารณา เนื่องจาก สำาหรับ
แต่ เป็นอนุกรม P ทีลู่เข้า เพราะ
่
จากการทดสอบแบบเปรียบเทียบได้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า
โดยทฤษฎีบท 1.6.3 จะได้ เป็นอนุกรมลู่เข้า
โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วนในการบอกว่าอนุกรมลู่
เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือไม่ ดังนี้
ทฤษฎีบท 2.5.4 การทดสอบโดยอัตราส่วน ( Ratio Test )
ให้ เป็นอนุกรม ถ้า แล้วได้ว่า
(1) ถ้า จะได้อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
(2) ถ้า อนุกรมจะลู่ออก
(3) ถ้า สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 8 จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือ ลู่เข้า
แบบมีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก
ก.
วิธีทำา จากโจทย์ แล้วเราจะได้ว่า จึงสรุปไม่ได้
แต่จากตัวอย่าง 6 เราทราบว่า ลูเข้า แต่
่ ลู่ออก เพราะ
เป็นอนุกรม โดยที่ เราจึงสรุปได้ว่า ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

22. ข.
วิธีทำา จากโจทย์ แล้วเราจะได้ว่า จึงสรุปไม่ได้
แต่ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ กับอนุกรม โด
ยที่ เราจึงสรุปได้ว่า ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
หน้าที่ 11 - 2.6 อนุกรมกำาลัง ( Power Series )
นิยาม 2.6.1 อนุกรมกำาลัง เป็นอนุกรมอนันต์ของฟังก์ชัน ซึ่งเขียนได้ในรูป
(1)
เมื่อ เป็นค่าคงที่ และ เป็นตัวแปร, เรียก ว่าศูนย์กลาง
ของอนุกรมกำาลัง และเรียก ว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำาลัง
ในกรณีที่ เราจะเรียกอนุกรม (1) ว่า อนุกรมกำาลังใน เช่น
, และ เป็นต้น
แต่ถ้า จะเรียก (1) ว่า อนุกรมกำาลังใน เช่น และ
เป็นต้น
เนื่องจาก มีค่าต่างๆกัน เมื่อแทนลงในอนุกรมกำาลัง (1) จะได้อนุกรมที่ลู่เข้า หรือ
ลู่ออกก็ได้ เช่น
พิจารณาอนุกรมกำาลัง
ถ้า จะได้ อนุกรม ซึ่งเป็นอนุกรม P , P=2 ลูเข้า
่
ถ้า จะได้ อนุกรม ซึ่งเป็นอนุกรมสลับที่ลู่ออก
ดังนั้น อนุกรมกำาลัง จึงมีจุดบางจุด หรือ ช่วงบางช่วงที่ทำาให้อนุกรมลู่เข้า จึงเขียน
เป็นนิยามได้ดังนี้

23. นิยาม 2.6.2 เซตของจุดบนช่วงจำากัด ช่วงหนึ่ง ที่ทำาให้อนุกรมกำาลังเป็นอนุกรมที่ลู่
เข้า เรียกช่วงจำากัดนี้ว่า ช่วงของการลู่เข้า ( Interval of Convergence ) ช่วงจำากัดอาจ
จะเป็นช่วงเปิด ช่วงปิด หรือ ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิดได้ นั่นคือ
นิยาม 2.6.3 ถ้า เป็นจำานวนที่ทำาให้อนุกรมกำาลังเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
ทุกๆ ถ้า และ เป็นขีดจำากัดบนที่น้อยที่สุด เราเรียก ว่ารัศมี
ของการลู่เข้า ( Radius of Convergence )
ขั้นตอนการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมกำาลัง
ขั้นที่1 ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน ( Ratio Test ) หรือ การทดสอบแบบรากที่ (
Root Test ) จะทราบว่าอนุกรมกำาลังลู่เข้า ในช่วงใด ซึ่งจะได้รูปช่วงเปิด
หรือ
ขั้นที่2 จะทำาการทดสอบปลายช่วง โดยนำาจุดปลายไปแทนในอนุกรมกำาลัง จะได้
อนุกรมค่าคงตัว ซึ่งจะต้องใช้วิธีการอื่นๆ ในการทดสอบ เช่น การทดสอบแบบ
เปรียบเทียบ, การทดสอบโดยอินทิกรัล หรือ การทดสอบอนุกรมสลับ เป็นต้น
ตัวอย่าง 1 จงหาค่า ที่ทำาให้อนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้า
ก.
วิธีทำา ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
สำาหรับทุกค่า เพราะฉะนั้น อนุกรมนี้จึงลู่เข้า สำาหรับทุกค่า
ข.
วิธีทำา ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
สำาหรับทุกค่า เพราะฉะนั้น อนุกรมนี้จึงลู่เข้าที่เดียว เมื่อ
ตัวอย่าง 2 จงหาช่วงและรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำาลังต่อไปนี้
ก.
วิธีทำา ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน

24. เราจึงได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า เมื่อ จากนั้นต้องเช็คจุดปลาย
ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบอนุกรมสลับ
ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ
เพราะฉะนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้า เมื่อ และมีรัศมีของการลู่เข้า เป็น
ข.
วิธีทำา ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
เราจึงได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า เมื่อ นั่นก็คือ จาก
นั้นต้องเช็คจุดปลาย
ลูเข้า เพราะเป็นอนุกรม P , P=2
่
ลูเข้า เพราะเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
่
เพราะฉะนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้า เมื่อ และมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น
หน้าที่ 12 - 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series
)
เป็นอนุกรมกำาลังใน ชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้ประมาณค่าฟังก์ชันพื้นฐานต่างๆ กำาหนด
ได้ดังนี้
ทฤษฎีบท 2.7.1 Taylor’s Series
ถ้า เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับที่ จะกำาหนด Taylor Series
สำาหรับ รอบจุด ได้เป็น

25. นิยาม 2.7.2 ถ้า เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ ที่ จะกำาหนด
Taylor’s Series สำาหรับ รอบจุด ได้เป็น
จะเห็นว่าอนุกรมที่ได้สามารถเขียนในรูปพหุนามอันดับที่ ได้
สำาหรับอนุกรมเทย์เลอร์ในกรณีที่กระจายรอบจุด จะเรียกว่า อนุกรมแมค
คลอริน
ตัวอย่าง 8 กำาหนดฟังก์ชัน จงหาอนุกรมแมคคลอริน
วิธีทำา ให้ จะได้ และ
ดังนั้น
รูป 1

26. จากรูป 1 จะเห็นว่า เมื่อเราใช้อนุกรมแมคลลอรินอันดับสูง หรือใช้พจน์ของอนุกรม
จำานวนมากขึ้นเท่าใด ค่าประมาณที่ได้ ก็จะใกล้เคียงกับ ฟังก์ชัน มากขึ้น
เท่านั้น นั่นคือ ในการคำานวณ พจน์ ค่าที่ได้ จะไม่เป็นค่าที่แท้จริงของ ฟังก์ชัน
เพราะเราจะมีการตัดส่วนปลายทิ้งไป จึงเกิดเป็นความคลาดเคลื่อนที่เรียกว่า
ความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลาย ( truncation error ) และจากรูป พบว่า อนุกรมแม
คลอริน จะมีความถูกต้องมาก เมื่อ หรือ ใกล้เคียงศูนย์ แต่ถ้า เป็นจุดอื่นๆ
ที่ไกลจากศูนย์ จะพบว่ามีความคลาดเคลื่อนค่อนข้างมาก ดังนั้นการประมาณ ใน
ลักษณะนี้จะอาศัยอนุกรมเทย์เลอร์
ตัวอย่าง 9 จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ รอบจุด โดยกระจาย 4 พจน์
แรกของอนุกรม
วิธีทำา
ถ้า จะได้ว่า
,
,
,
แทนลงใน (17) ได้
สูตรของ เทย์เลอร์ และ การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ ( Taylor Formula with
Remainder and Convergence of Taylor series )
เนื่องจากอนุกรมเทย์เลอร์ เป็นอนุกรมอนันต์ เราสามารถเลือกกระจายอนุกรมถึง
อันดับที่ต้องการแล้ววิเคราะห์ว่าพจน์ที่ตัดทิ้งไปนั้น ทำาให้เกิดความแม่นยำาใน
ระดับที่พึงพอใจหรือไม่ ถ้า ไม่เราอาจสามารถเพิ่มจำานวนพจน์ของอนุกรมให้มาก
ขึ้น จึงจะได้ผลรวมแม่นยำาตามที่ต้องการ
ทฤษฎีบท 1 ถ้า สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ และอนุพันธ์ทุกอันดับ
ของ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และให้
เป็นอนุกรมเทย์เลอร์อันดับ โดยกระจายรอบจุด จะมีจุด ที่อยู่ระหว่าง
และ อย่างน้อยหนึ่งจุด ที่

27. เราจะเรียก นี้ว่า remainder หรือ ความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลาย และ
สามารถเขียน Taylor Formula with Remainder ได้ดังนี้
Taylor Formula with Remainder
นอกจากนี้เราสามารถหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลายได้จาก
จะเห็นว่าอนุกรมเทย์เลอร์ หรืออนุกรมแมคลอริน จะลู่เข้าสู่ เมื่อ นั่น
คือ
ตัวอย่าง 10 จงประมาณ และบอกด้วยว่าได้ความแม่นยำาเท่าใด
วิธีทำา จากสูตร จะได้
ว่า คือ อนุกรมแมคคลอริน
ถ้าเราใช้อนุกรมนี้คำานวณค่าของ เราจะแทน และใช้เพียงสี่พจน์แรก
ของอนุกรม จะได้
โดยที่ขอบเขต ความคลาดเคลื่อน
ซึ่ง ในช่วง มีค่ามากสุดที่
ดังนั้น
นั่นคือ

28. เราจะได้ว่า (21) เป็นค่าของ โดยมีความแม่นยำาทศนิยม 2 ตำาแหน่ง
ตัวอย่าง 11 อนุกรมแมคคลอรินของ คือ
ถ้าต้องการหาค่า เมื่อ ให้ได้
ผลลัพธ์ถูกต้องทศนิยม 5 ตำาแหน่ง ต้องใช้พจน์ทั้งหมดกี่พจน์
วิธีทำา ถ้าต้องการผลลัพธ์ถูกต้องทศนิยม 5 ตำาแหน่ง จะได้ขอบเขตความคลาด
เคลื่อนคือ
เราอาจจะใช้วิธีประมาณค่าสูงสุดของแต่ละพจน์ของอนุกรมเมื่อ
พจน์ที่ 3 มีค่าสูงสุดเมื่อ
จะได้
พจน์ที่ 4 มีค่าสูงสุดเมื่อ
ได้
ดังนั้นในการคำานวณ จึงต้องเก็บพจน์ที่สามไว้ เพราะยังมีขนาดใหญ่กว่าค่า
ขอบเขตของความคลาดเคลื่อน แต่พจน์ที่สี่ปัดทิ้งได้ โดยใช้
สำาหรับ จะได้ค่าของ แม่นยำาถูกต้องทศนิยม 5 ตำาแหน่ง
การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ และแมคคลอริน
ทฤษฎีบท อนุกรมเทย์เลอร์ และแมคคลอริน สำาหรับ ลูเข้าสู่
่ คือ
ก็ต่อเมื่อ
ตัวอย่าง 12 จงแสดงการลู่เข้าของอนุกรมแมคคลอรินสำาหรับ
วิธีทำา เราทราบว่า
จึงได้ว่า
การหาอนุพันธ์ และปริพันธ์ของอนุกรมกำาลัง (Differentiation and Integration of Power
Series)
เราหาได้ทีละพจน์ในอนุกรม ตามทฤษฎีบทข้างล่างนี้

29. กำาหนดให้ เป็นอนุกรมกำาลัง โดยมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น
เราจะได้ว่า
1. เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เมื่อ
2.
3.
อ้างอิงจาก
- http://www.mathcomplete.com/tutorial/sequence/
- แคลคูลัส II อังสนา และ วิภาวรรณ